第
9
章 行列と行列式電気電子回路を解析する際に，取扱い物理現象を分かり易くシステマチックに表 現すると便利である．本章で扱う行列と行列式はこのニーズに対応するもので，計 算も機械的に行うことができる利点がある．パソコンで用いる
EXCEL
もこの行列 の考え方に基づいている．9.1
行列数や記号を配列したものを行列といい，数や記号の横の並びを行
,
縦の並びを列 という．行は上から順に第1
行，第2
行，· · ·
と数え，列は左から順に第1
列，第2
列，· · ·
と数える．また，個々の数や記号を要素あるいは成分といい，第i
行，第j
列の要素をij
要素という．m
個の行とn
個の列からなる行列をm
行n
列の行列，または簡単にm × n
行列 という．とくに，n × n
行列をn
次正方行列という．行列は，たとえば，
A = 12 20 14 19 32 22
!
, B = −2 3
2 − 4
!
のように，
A
，B
，C
などの太文字を用いて表すことが多い．また，[A]
，[B]
，[C]
のように
[
]
で表すこともある．1
つの行だけから成る1 × n
行列はn
次行ベクトル，1
つの列だけからなるm × 1
行列をm
次列ベクトルという．9.2
行列の計算(1)
和と差次のように，それぞれの行列の対応する要素の和またを差をとればよい．
a b c d
!
± a
′b
′c
′d
′!
= a ± a
′b ± b
′c ± c
′d ± d
′!
[
複合同順] (9.1)
62
第9
章 行列と行列式(2)
行列の実数倍k
が実数のとき，行列A
のすべての成分をk
倍してできる行列をA
のk
倍とい い，kA
で表す．2 × 2
行列の場合，k
倍は次のようになる．k a b c d
!
= ka kb kc kd
!
(9.2) [
例1]
次の計算をせよ．2 4 1
− 3 2
!
+ 3 − 1 2 4 − 1
!
− 4 2 − 1
− 2 3
!
= 8 − 3 − 8 2 + 6 + 4
− 6 + 12 + 8 4 − 3 − 12
!
= −3 12
14 − 11
!
(3)
行列の積O
1 行列と列ベクトルの積2 × 2
行列と2
次列ベクトルの積は次のように定義される．a b c d
! x y
!
= ax + by cx + dy
!
(9.3) O
2 行列と行列の積2 × 2
行列は2
つの列ベクトルを並べたものと考えられるので，2 × 2
行列と2 × 2
行列の積は次のように定義される．a b c d
! e f g h
!
= ae + bg af + bh ce + dg cf + dh
!
(9.4) [
例2]
1 4
− 1 2
! 3 1 2 − 2
!
= 1 · 3 + 4 · 2 1 · 1 + 4 · (−2)
− 1 · 3 + 2 · 2 − 1 · 1 + 2 · ( − 2)
!
= 11 −7
1 − 5
!
O
3 行列の積の性質行列についても，数と同様に，次のような等式が成り立つ．
k(AB) = (kA)B = A(kB)
分配法則
A(B + C ) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC
結合法則(AB)C = A(BC)
また，次のような性質がある．
i) AB ̸ = BA
行列は数の場合と異なり，A = B
のような特殊な場合を除い ては交換法則は成り立たない．ii)
一般に，A
がℓ × m
行列，B
がm × n
行列のとき，これらの積AB
はℓ × n
行列となる．ただし，A
の列数とB
の行数は必ず等しくなければならない．[
例3]
A = 4 1
−3 2
!
, B = − 1 2 4 −1
!
のとき，行列の積
AB
とBA
を求める．AB = 4 1
− 3 2
! − 1 2 4 − 1
!
= − 4 + 4 8 − 1 3 + 8 − 6 − 2
!
= 0 7
11 − 8
!
BA = − 1 2 4 − 1
! 4 1
− 3 2
!
= − 4 − 6 − 1 + 4 16 + 3 4 − 2
!
= − 10 3 19 2
!
この例でも分かるように，一般に
AB ̸ = BA
となるので，行列積の計算では，掛 ける順序が重要である．[
例4]
− 1 0 2 1 2 3
!
2 3
1 −5
4 0
= − 1 · 2 + 0 · 1 + 2 · 4 − 1 · 3 + 0 · ( − 5) + 2 · 0 1 · 2 + 2 · 1 + 3 · 4 1 · 3 + 2 · ( − 5) + 3 · 0
!
= 6 − 3
16 − 7
!
[
例5]
A = 2 − 3 1 − 4
!
のとき，
A
2 を求める．A
2= AA = 2 − 3 1 − 4
! 2 − 3 1 − 4
!
= 1 6
− 2 13
!
【例題
1
】図9.1
に示すように点P(x, y)
を角θ
だけ回転したときの座標点P
′(x
′, y
′)
は，次式より計算できる．64
第9
章 行列と行列式y
x O
θ P'
P( x, y ) ( x', y' )
図
9.1:
座標の回転x
′y
′!
= cos θ − sin θ sin θ cos θ
! x y
!
上式を使って，点
A(1, 0)
を120
◦回転したときの 座標A
′(x
′, y
′)
と，A
′をさらに120
◦回転したと きの座標A
′′(x
′′, y
′′)
を求めよ．【解】
cos 120
◦= − 1
2
，sin 120
◦=
√ 3
2
だから，x
′y
′!
= −
√12−
√233 2
−
12! 1 0
!
= −
√123 2
!
x
′′y
′′!
= −
√12−
√233 2
−
12! −
√123 2
!
=
−
12· −
12−
√23·
√23√3
2
· −
12−
12·
√23
= −
12−
√23!
したがって，
A
′= − 1 2 ,
√ 3 2
!
，
A
′′= − 1 2 , −
√ 3 2
! .
9.3
特殊な行列(1)
零行列次のようにすべての要素が
0
である行列を零(
ゼロ)
行列といい，0
で表す．0 =
0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 .. . .. . . .. ...
0 0 · · · 0
(2)
対角行列正方行列の対角線上の要素以外
(
非対角要素)
がすべて0
である行列を対角行列 という．[
例6]
次の行列は対角行列である．
2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4
,
− 1 0 0
0 2 0
0 0 −4
(3)
単位行列対角行列で，対角要素がすべて
1
である行列を単位行列という．U
や[U]
で表 す1．たとえば，2 × 2
行列の単位行列U
は次のようになる．U = 1 0 0 1
!
(4)
転置行列行と列を入れ換えた行列をいう．
A
の転置行列はA
T と表す2．たとえば，A =
2 − 1 3 0 1 − 2
4 2 −3
のとき，A
T=
2 0 4
− 1 1 2 3 −2 −3
である．(5)
対称行列A = A
T の場合，A
を対称行列という．電気電子工学で取り扱う行列は，この 行列が多い．たとえば，A =
1 4 5 4 2 6 5 6 3
は対称行列である．零行列，対角行列，単位行列はいずれも対称行列である．
9.4 2
次正方行列の逆行列(1)
逆行列の定義AA
−1= U
またはA
−1A = U (9.5)
を満たすような行列
A
−1をA
の逆行列という．1数学では，単位行列をIまたはEで表すが，電気電子工学では，電流や電圧と混同することを 避けてUで表すことが多い．
2T は英語のTransposeの頭文字を意味している．
66
第9
章 行列と行列式(2) 2
次正方行列の逆行列の計算2 × 2
行列A
について，式(9.5)
の定義を満たす逆行列A
−1は次のようになる．A = a b c d
!
に対して，
(i) ad − bc ̸ = 0
のとき，A
−1= 1 ad − bc
d − b
− c a
!
(9.6) (ii) ad − bc = 0
のとき，A
−1は存在しない．ここで，
ad − bc
は2
次正方行列の行列式である．行列式については，第9.5
節で 詳しく述べる．A
の逆行列が存在するとき，A
は正則行列という．[
例7]
A = 4 3 2 2
!
, B = − 4 6
− 2 3
!
について，
A
では，4 · 2 − 2 · 3 = 8 − 6 = 2 ̸ = 0
であるから，A
−1= 1 2
2 − 3
− 2 4
!
= 1 −
32− 1 2
!
B
では，− 4 · 3 − 6 · ( − 2) = − 12 − ( − 12) = 0
であるから，逆行列は存在しない．(3) AB
の逆行列積
AB
の逆行列はA
，B
が共に正則行列のとき，次式となる．(AB)
−1= B
−1A
−1(9.7)
【例題
2
】 式(9.7)
を証明せよ．【解】
(AB )(B
−1A
−1) = A(BB
−1)A
−1= AU A
−1= AA
−1= U
したがって，(AB)
−1= B
−1A
−1.
9.5
行列式(1)
行列式の定義行列式
(determinant)
は正方行列に対して定義され，2
次の行列A = a b
c d
!
の行列式
| A |
は次のように定義される．| A | =
a b c d
= ad − bc
行列式は行列の要素同士の演算であり，単なる値
(
スカラー量)
3となる．|A|
は行 列式を表す英単語の略を使ってdetA
と書く場合もある．(2)
サラスの方法(3
次の行列式の計算)
a b c d e f g h i
+ + +a b c d e f g h i
−
− −
図
9.2:
サラスの方法3
次正方行列の行列式は図9.2
に示すサラスの方法を使って次のように計算することができる．
a b c d e f g h i
= aei + bf g + chd − ceg − bdi − ahf
[
例8]
2 1 3
− 1 2 1 0 1 −1
= 2 · 2 · ( − 1) + 1 · 1 · 0 + 3 · 1 · ( − 1) − 3 · 2 · 0
− 1 · ( − 1) · ( − 1) − 2 · 1 · 1
= − 4 + 0 − 3 − 0 − 1 − 2 = − 10
(3)
行列式の展開3
次以上の行列式は，ij
要素にi
行j
列を取り去った行列式をかけて，次のよう に展開できる．このような方法を小行列式展開と呼んでいる．a b c d e f g h i
= a
e f h i
− b
d f g i
+ c
d e g h
(9.8)
式
(9.8)
は第1
行について展開しているが，どの行，または列についても展開することができる．また，展開する行または列の各要素
i
行j
列の符号は(−1)
i+jであ り，次のようになる．+ − +
− + −
+ − +
3スカラー量については22.1節を参照．
