一般固有値問題から学ぶ線形代数

一般固有値問題から学ぶ線形代数

線形代数学において、線形空間、基底、行列の固有値問題から、さらに一般固有値問題、

ジョルダンの標準形まで講義をすすめることは難しく、理科系教養の講義でも線形代数の 一部の紹介で終わってしまうことが多い。そこで、逆に一般固有空間、ジョルダンの標準 形を学び、その特別な場合として、エルミート行列、ユニタリー行列、対称行列、直交行 列などのスペクトル分解へという方法も考えられる。一般固有空間とその上の適当な基底 での表現行列としてジョルダン標準形を修得すると、上記の行列の固有値問題がその特殊 な場合として見通しよく理解できる。以上のような試みとして、笠原皓司著「線形代数と 固有値問題」（現代数学社）を参考テキストとして、上記のような流れで線形代数学の内容 を再構成してみたものである。ただし線形空間、基底などの基礎的事項は付録を参照して いただきたい。

目 次 §１．一般固有値問題 §２．最小多項式

§３．行列との対応、ジョルダン標準形 §４．ジョルダン標準形の例

§５．(λI −ϕ)⁻¹の構造

§６．正規変換、エルミート変換、ユニタリー変換 §７．線形変換の正則関数

付録Ａ：線形写像・基底・座標変換・表現行列 付録Ｂ：射影作用素

付録Ｃ：対称変換・直交変換

付録Ｄ：応用（１）線形微分方程式、（２）線形差分方程式

§１．一般固有値問題 E上の線形変換：ϕ

) 0 ( )

(x =λx x≠

ϕ ^を満たすx^{を固有ベクトル、}λを固有値という。

λ^が固有値⇔λ^はdet(A−λI)=0(固有方程式)の解である。

ϕ^{の異なる固有値：}λ₁,λ₂,....,λ_r （係数体：複素数体）

＊固有空間 F_i ={x;(ϕ−λ_iI)x=0} i=1,2,...,r

＊一般固有空間 G_i ={x; ある非負整数kがあって (ϕ−λ_iI)^kx=0} i=1,2,...,r

G_i^{は線形部分空間で}G_i ⊇F_i

定理１．任意の線形変換ϕ Gr

G G

E = 1⊕ 2 ⊕L⊕ （直和）；各G_i^{に対しある自然数}k_iが定まって

} 0 ) ( ) (

;

{ − =

= x I x

G_i ϕ λ_i ^ki かつ (ϕ−λ_iI)^ki−1x≠0となるxがG_iに存在する。

ki^を固有値λ_iの標数という。

＜証明＞

① ϕ−λ_iI =ϕ_i (i=1,2,..,r)とする。E ⊇ϕ_i(E)⊇ϕ_i²(E)⊇ϕ_i³(E)⊇L Ｅは有限次元なので ϕ_i^k−1(E)⊃ϕ_i^k(E)=ϕ_i^k+1(E)=L ^となるkが存在する。

このようなｋの最小値をk_i^{とし、固有値}λ_i^{の標数という。}ϕ_i^ki(E)=R_iとおく。

=L

=

= (E) ⁺¹(E)

R_i ϕ_i^ki ϕ_i^{ki より部分空間}R_i^上ではϕ_i^kiは全単射である。

② Ker(ϕ_i^ki)=G_i ^； G_i ={x; ^あるk^があって ϕ_i^k(x)=0}={x;ϕ_i^ki(x)=0} 明らかにG_i ⊇{x;ϕ_i^ki(x)=0}^{。逆にあるｋがあって}ϕ_i^k(x)=0^のとき、k ≤k_i^{ならば明ら}

かにϕ_i^ki(x)=ϕ_i^ki−k(ϕ_i^k(x))=0^。k >k_i^ならばy=ϕ_i^k−1(x)^とするとk−1≥k_i^よりy∈R_i

よってϕ_i(y)=ϕ_i^k(x)=0^、①よりy=ϕ_i^k−1(x)=0すなわちｋの値を１つ減らせる。これ を繰り返すとϕ_i^ki(x)=0^{、すなわち}x∈(ϕ_i^ki)⁻¹(0)。

③ E =G_i ⊕R_i

) Im(

),

( _i^ki _{i i}^ki

i Ker R

G = ϕ = ϕ ^よりdimE=dimG_i +dimR_i^。故にG_i IR_i ={0}^を示せば

よい。x∈G_i IR_i^ならばϕ_i^ki(x)=0^。一方x∈R_i^よりあるy∈E^によってx=ϕ_i^ki(y)、 これよりϕ_i^2ki(y)=0^{、すなわち}y∈G_i^{。これより}x=ϕ_i^ki(y)=0。

④ G_i,R_i^はϕ−不変な線形部分空間。 ϕ_i =ϕ−λ_iI^とϕは可換なので、

Gi

x∈ ^のとき、ϕ_i^ki(ϕ(x))=ϕ(ϕ_i^ki(x))=ϕ(0)=0^、よってϕ(x)∈G_i。

Ri

x∈ ^のとき、x=ϕ_i^ki(y), (y∈E)^、よってϕ(x)=ϕ(ϕ_i^ki(y))=ϕ_i^ki(ϕ(x))∈R_i。

⑤ ϕ^のG_i^{上の固有値は}λ_i^のみ。R_i^{上の固有値は}λ_i^{を除く全ての}λ₁,_Lλ_r。

Giがλ_j(j≠i)を固有値に持つとする。それに対応する固有ベクトルをx∈G_iとすると

), 0 ( )

(x =λ_jx x≠

ϕ これより0=ϕ_i^ki(x)=(ϕ−λ_iI)^ki(x)=(λ_j −λ_i)^kix≠0となり矛盾。

Ri

x∈ ^{のとき、①より}ϕ_i(x)=0^ならx=0^。よってλ_i^はR_iの固有値ではない。

i

i R

G , の基底をそれぞれ{e₁,Le_μ},{f₁,Lf_ν}^{とすると、これら}μ+ν ^{個のベクトルは}Eの 基底になる。この基底によるϕの行列表示は

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

B f A

f e e f

f e

e 0

) 0 , , , , , ( )) ( , ), ( ), ( ), (

(ϕ _{1 L}ϕ _μ ϕ _{1 L} ϕ _{ν 1 L μ 1 L ν} 、 ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

B M A

0

0

B

A, ^{はそれぞれ}ϕ^のG_i^上、R_i^{上の表現行列。}ϕの固有多項式は

r

i m

r

I m

M I

B I A I

M ) det( )det( ), det( ) ( ) ( )

det( −λ = −λ −λ −λ = λ₁−λ L λ −λ

かつdet(A−λI)=0はλ =λ_iのみを解に持つのでdet(A−λI)=(λ₁−λ)^mi,

∏

≠=

−

=

− ^r

i j j

m j

I j

B

1

) (

)

det( λ λ λ 。これよりdimG_i =m_i。

⑥ E =G1⊕G2 ⊕L⊕G_r （直和）

まず③よりE=G₁⊕R₁^{、部分空間}G₁, R₁は線形変換ϕ,ϕ_jについて不変である。部分空間 R1に①～⑤の議論を繰り返し使うことによりE =G1⊕G2⊕L⊕G_r ⊕Rを得る。Rはϕ

不変で固有値を全く含まない。dimR≥1ならばこのようなことは起こらないのでR={0}。

系1-1．dimG_i =m_i (λ_iの代数的重複度m_iは一般固有空間の次元に等しい）

系1-2．k_i ≤m_i

ki^はE ⊇ϕ_i(E)⊇ϕ_i²(E)⊇ϕ_i³(E)⊇_Lにおいて次元が減少する回数を表わすが、次元 の減少は部分空間G_iのみで起こるので、その次元数m_iを超えない。

§２．最小多項式

定義１． ϕの最小多項式：Ψ(λ)=(λ−λ₁)^k1....(λ−λ_r)^kr （k_jは固有値λ_jの標数）

定理２．

（１）Ψ(ϕ)=0

（２）ϕ^{の固有多項式}Φ(λ)^{は最小多項式}Ψ(λ)^{で割り切れる。故に}Φ(ϕ)=0

Hamilton-Cayleyの定理

（３）最小多項式Ψ(λ)^はQ(ϕ)=0^{を満たす多項式}Q(λ)を全て割り切る。

＜証明＞

（１） 任意のx= x₁ +Lx_r (x_i ∈G_i)^について

( )( ) ( )( ) ( ( ) )( ) 0

1 1

1

=

−

= Ψ

=

Ψ

∑ ∑ ∏

= =

=

r

i r

j

i k j r

i

i I x

x

x ϕ ϕ λ ^j

ϕ ^なぜなら(ϕ−λ_iI)^ki(x_i)=0^。

（２）Φ(λ)=(−1)ⁿ(λ−λ₁)^m1_L(λ−λ_r)^mr , k_i ≤m_i (i=1,..,r)より明らか。

（３）Q(λ)^をQ(ϕ)=0を満たす多項式とする。λ =λ_iを中心としたティラー展開により

p i i

p i

i

i p

Q Q Q

Q ( )

! ) ) (

! ( 1

) ) (

( ) (

) (

' λ λ λ λ λ λ

λ

λ = + − +L − ^。

0 ) (

, ¹ ≠

∈G ⁻ x

x _i ϕ_i^ki とすると、

)

! ( ) ) (

! ( 1

) ) (

( ) )(

( 0

) ( '

p x x Q

x Q Q x

Q ⁱ _i^p

p i

i

i λ ϕ λ ϕ

λ

ϕ = + +_L

= 。

ki

p≥ ならϕ_i^p(x)=0より ( )

)!

1 (

) ) (

! ( 1

) ) (

(

0 ¹

) 1 ( '

k x x Q

x Q

Q ⁱ

i k

i i

i k i

i i

− −

+ − +

= λ λ ϕ _L λ ϕ 。

次の補題１よりx,ϕ_i(x),_L,ϕ_i^ki−1(x)は一次独立なので、

0 ) ( )

( )

( _i =Q^' _i = =Q^(ki−1) _i =

Q λ λ _L λ 。これは多項式Q(λ)がλ =λ_iを少なくともk_i

重根として持っていることを意味する。よってQ(λ)は(λ−λ_i)^kiで割り切れる。

従ってQ(λ)はΨ(λ)=(λ−λ₁)^k1L(λ−λ_r)^{kr で割り切れる。}

補題１．線形変換ϕに対しϕ^k(x)=0, ϕ^k−1(x)≠0なら、x,ϕ(x),....,ϕ^k−1(x)

は線形独立である。

＜証明＞

0 ) ( )

( ¹

2

1x+c x +c ⁻ x =

c ϕ _kϕ^k とする。両辺にϕ^k−1を施すとϕ^k(x)=0より

0 )

1(

1 ⁻ x =

cϕ^k 、ϕ^k−1(x)≠0なのでc₁ =0。同様にϕ^k−2,ϕ^k−3,....を施すと順に

0

2 =....=c_k =

c 。

定義２．線形変換ϕがべき零⇔ϕ^k =0、 k≥1自然数 このようなk^{の最小の数を}ϕ^{の零化指数という。}

定理３ べき零変換ϕの固有値は０のみ。逆に固有値が全て０ならϕはべき零。

＜証明＞

固有値をλとするとϕ(x)=λx, (x≠0) よってϕ^k(x)=λ^kx=0よりλ =0。

固有値が０だけとすると、ϕの固有方程式はΦ(λ)=λⁿ。よって定理２（２）よりϕⁿ =0。 系3-1 べき零変換ϕの零化指数は固有値０の標数に等しい。（定理１より明らか）

定義３．線形変換ϕ^が半単純⇔ϕ =λ₁p₁+L+λ_rp_r, p₁,...,p_r^{は射影作用素} 系3-2 べき零で半単純な変換は０に限る。

r rp

p λ

λ

ϕ = 1 1+L+ とするとλ₁ =_Lλ_r =0^よりϕ =0。

定理４． 二つの半単純変換ϕ₁,ϕ₂^が可換、ϕ_1oϕ₂ =ϕ_{2 o}ϕ₁が成り立つための必要十分条 件は共通な射影作用素の組p₁,...,p_mがあって同時に

ϕ₁ =λ₁p₁ +_Lλ_mp_m, ϕ₂ =μ₁p₁ +_Lμ_mp_mと表わされることである。

ただし、λ₁,...,λ_m^やμ₁,...,μ_mは必ずしも異ならない。

＜証明＞ 十分性は明らかなので、必要性を示す。ϕ₁,ϕ₂の射影分解を

n n m

mp q q

p λ ϕ μ μ

λ

ϕ₁ = _{1 1}+_L , ₂ = _{1 1} +_L ^とする。ϕ₁, ϕ₂が可換なので、その多項式 も可換、よってp_iとq_jも可換である（射影作用素の表現参照）。そこで

) (

) (

), (

) (

1 1

1 1 2

1 1

1 1 1

m n

n m

n m

m n

p p

q p

p q

q q

p q

q p

+ + +

+ + +

=

+ + +

+ + +

=

L o

L L

o

L o

L L

o

μ μ

ϕ

λ λ

ϕ と書くと、これは p_i oq_j^の

線形結合である。そして{p_i oq_j;i=1,..,m, j=1,..,n}^{は射影作用素の条件}

( ) ( )

, _{, ,}

1 1

1 1

j i l j k i l k j i n

j j m

i i m

i n

j

j

i q p q I p q p q p q

p o o ⎟⎟⎠= o o o =δ δ o

⎞

⎜⎜⎝

⎟ ⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛

∑ ∑

∑∑

を満たしている。

系4.1 二つの半単純変換ϕ₁,ϕ₂^{が可換なら線形結合}aϕ₁ +bϕ₂^およびϕ_1oϕ₂もまた 半単純である。

＜証明＞

定理４よりϕ1 =λ1p1+L+λ_mp_m, ϕ2 =μ1p1 +L+μ_mp_m、よって

m m

m b p

a p

b a b

aϕ₁ + ϕ₂ =( λ₁+ μ₁) ₁ +L+( λ + μ ) ^、ϕ1oϕ2 =λ1μ1p1+L+λmμmpm。

定理５．２つのべき零変換ϕ₁,ϕ₂^{が可換なら、}ϕ₁+ϕ₂, ϕ_1oϕ₂もべき零である。

＜証明＞

0 ,

0 ₂

1^m = ϕ ⁿ =

ϕ ^、m≤n^{とする。可換なので}(ϕ_1oϕ₂)^m =ϕ₁^m_oϕ₂^m =0。

∑

=

−

+ ⎟⎟⎠ + =

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛ +

+ ^{m n}

j

j n m n j

m

j n m

0

2 1 2

1 ) 0

(ϕ ϕ ϕ _oϕ 。なぜなら、j≤mのとき、m+n− j≥n。

○一般固有空間への射影作用素の表現

分解E =G1⊕G2 ⊕L⊕G_rの一般固有空間G_i^{への射影作用素を}p_iとする。

I = p₁+L+ p_r, p_i² = p_i, p_i o p_j =0 (i≠ j), p_i(E)=G_i ϕ^{の最小多項式を}

∏

=

−

=

Ψ ^r

j

k j

j

1

) (

)

(λ λ λ ^とする。

) ( 1

λ

Ψ ^{を部分分数分解して}

kr

r r k

h h

) (

) ( )

( ) ( )

( 1

1

1 1

λ λ

λ λ

λ λ

λ + + −

= −

Ψ L ^、 h_j(λ)は高々k_j −1次の多項式。これより、

) , (

) ) (

) ( (

) ) (

( 1

1

1

1 kr

r

k hr

h λ λ

λ λ λ

λ λ λ

− + Ψ

− +

= Ψ L

) ,.., 2 , 1 ) (

( ) ) (

( )

( h i r

g

ki

i i

i =

−

= Ψ

λ λ λ λ

λ ^とすると1=g₁(λ)+L+g_r(λ)^。 )

( )

1(ϕ g_r ϕ

g

I = +L+ ^より x=g₁(ϕ)(x)+L+g_r(ϕ)(x)^。

(

)

k i

i ϕ ϕ λ i ϕ ϕ ϕ

ϕ _o ^よりg_i(ϕ)(x)∈G_i

よって

∏

≠=

−

=

= ^r

i j j

k j i

i i

i

h j

g g

p

1

) (

) ( ) ( ),

(ϕ λ λ λ λ 。

定理６．

任意の線形変換ϕは互いに可換な半単純変換とべき零変換の和として一意に表せる。

＜証明＞ 分解の存在：

定理１よりϕの一般固有空間によって直和分解：E=G1⊕G2 ⊕L⊕G_r。

これに対する射影p₁,...,p_rが決まり、I = p1 +L+ p_r、ϕ =ϕoI =ϕo p₁+Lϕo p_r。

I I

I _{i i i}

i λ ϕ λ

λ ϕ

ϕ =( − )+ = + とすると、

θ ψ

ϕ ϕ

λ λ

λ ϕ λ

ϕ ϕ

+

=

+ + +

+

= +

+ + +

=( ) ( ) ( ) ( )

) 1 . 2

( _{1 1}I o p₁ L _{r r}I o p_{r 1}p₁ L _rp_{r 1}o p₁ L _r o p_r

r r r

rp p p

p L λ θ ϕ o L ϕ o

λ

ψ = _{1 1}+ + , = _{1 1} + +

) 2 . 2 (