数理物理及び演習
I（ 解析）
2004.1.1511
関数行列式と積分変数の変換
1 座標系(x1 x2 xn)が座標系 (u1u2 un) によって
x
1
=f
1 (u
1 u
2
u
n ) x
2
=f
2 (u
1 u
2
u
n
) x
n
=f
n (u
1 u
2
u
n )
のように表されるとき，関数行列式（Jacobian）は，以下のように定義される。
J
@(x
1 x
2
x
n )
@(u
1 u
2
u
n )
@x
1
=@u
1
@x
1
=@u
2
@x
1
=@u
n
@x
2
=@u
1
@x
2
=@u
2
@x
2
=@u
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
@x
n
=@u
1
@x
n
=@u
2
@x
n
=@u
n
(1)jJjは，x1 x2 xn空間とu1 u2 un空間において互いに対応する体積（2 次元の場合は面積）の比を表す。これを x=au+bv y=cu+dv の場合につい て確認せよ（a b c dは定数）。
(2)x+y =u x=uvのとき，@(x y)
@(u v)
を計算せよ。
(3)(2)の結果を用いて，ガンマ関数とベータ関数
;(p)= Z
1
0 e
;x
x p;1
dx B(pq)= Z
1
0 x
p;1
(1;x) q;1
dx
の関係式 B(pq)= ;(p);(q)
;(p+q)
を証明せよ。ただし，p qは正の実数である。
2 極座標系(r ') とxyz直交座標系の関係は
x=rsincos' y =rsinsin' z =rcos
で与えられる。
(1)
@(xy z)
@(r ')
を計算せよ。
(2)原点を中心とする半径aの球面をSとし，A=(x3 y3 z3)とするとき，面積分
Z
AdS を計算せよ。
