総 合 生 産 計 画 モ デ ル の 発 展

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総 合 生 産 計 画 モ デ ル の 発 展

問題解決手法 の類型 (1)

中 橋 国 蔵

1皿皿WVW

総 合 生 産 計 画 問 題

線 型 決 定 ル ー ル(以 上 本 号) 経 営 者 係 数 モ デ ル

コ ス ト ・シ ミ ュ レ ー シ ョソ ・モ デ ル パ ラ メ ト リ ッ ク計 画 モ デ ル

探 求 決 定 ル ー ル

問 題 解 決 手 法 の類 型 と実 施 問 題

1総 合 生産 計 画 問 題

本 稿 は,ボ ル ト(C.C.Holt)ら の 定 式 化 した 基 礎 的 な 「総 合 生 産 計 画 」 (AggregateProductionPlanning,以 下APPと 略 称)問 題 に た いす る 種 々 の 解 法 を 検 討 す る こ と に よ っ て ∫ 問 題 解 決 手 法 の 類 型 に つ い て 考 察 し よ う と

・(1)

す る もので あ る。

一一般 的 に い え ば ,APP問 題 とは,1ヵ 月 を こえた1力 年 以 内 の計 画 期 間 を もつ 企 業 の 計 画 問題 で あ り,現 存 の物 的設 備 能 力 の前 提 の も とで,需 要 変

(2)

動 に た い して生 産 シス テ ム を適 応 させ る問題 で あ る。 企 業 の種 々の計 画 問 題

*本 稿(1〜va)の 要 旨 は 日 本 経 営 学 会 北 海 道 部 会(昭 和49年12月21日,北 海 道 大 学)で 報 告 し,コ メ ン トを い た だ く こ と が で き た.ま た,本 稿 の[数 学 注]

の 部 分 に つ い て は,本 学 の 山 下 隆 弘 教 授 か ら 貴 重 な ご 教 示 を い た だ い た.こ こ に 記 し て 感 謝 申 し 上 げ ま す.

(1)総 合 生 産 計 画 モ デ ル に つ い て の レ ビ ュ ー は,す で に バ ッ フ ァ に よ っ て 詳 細 に な さ れ て い る.E.S.BuffaandW.H.Taubert,Production‑Tnventor)tSツstθms,'

「eviseded・ ・ChaPs・5・6・7・Irwin・1972・ 本 稿 で は,後 述 す る バ ー ジ ソ(R.C.

Vergin)の モ デ ル やV‑(W・BLee)の 研 究 を 検 討 に 加 え る こ と に よ っ て,問 題 解 決 手 法 の 類 型 に つ い て の 考 察 を,よ り包 括 的 な も の と す る よ う に 試 み た, (2)Ibia.,pp。149‑153.

ノ

、

46、 商 学 ・討 究 第25巻 第4号

のな か で は,APP問 題 は,そ の決 定 が お よぼす 影 響 期 間 お よび そ の決 定 を

(3)

行 な う組織 レベ ル に お い て,中 間 的 な 位置 に あ る。 す な わ ち,APP問 題 は, 長 期 的 な 戦 略的 計 画 や設 備 計 画 の下 位 に あ る と と もに,詳 細 な短 期 的 日程 計 画 に た い しては そ の上 位 に あ る。 した が って,APP問 題 に お い て は,製 品 ミ ラクスや 物 的 設 備 能 力 は所 与 で あ り,制 約 条 件 と して 考 え られ て い る。 他 方,APPは,短 期 的 な 日程 計 画 に た い して制 約 を 与 え るの で あ る。

、 このAPP問 題 に た い す る初期 の 最 も有 名 な 研 究 は,ホ ル トらの研 究 で あ

(4)

る 。 そ して,彼 らが 定 式 化 したAPP問 題 は,1つ の標 準 的 な い し基 礎 的 問 題 と して 認 識 され て い る 。 本 稿 で は,わ れ わ れ は,ホ ル トらの 定 式 化 した 基 礎 的 なAPP問 題 を も っ ぱ ら考 察 の 対 象 とす る 。

票 言 的 に い え ば,ホ ル トらの ば あ い,rAPP問 題 と は,将 来 の 数 期 間 に わ た る 各 期(通 常 は 月)の 販 売 予 測 量 が 与 え られ た と き に,そ の 数 期 間 に わ た るAPPコ ス トを 最 小 化 す る よ うに,工 場 全 体 の 各 期 の 総 合 的 な 生 産 量 (a99regateProduction)と 要 員 数(workforce)と を 動 学 的 に 決 定 す る 多

(5)

期 間 的決 定 問 題 で あ る」 と定 式化 して い る。 こ こで,要 員 数 とは 工 場 全 体 の 従業 員 の数 を さ し,総 合的 な 生 産 量 とは,何 らか の 共 通 の測 定 尺 度 に よっ

て,工 場 全 体 の全 製 品 の生 産 量 を 総 計 した もの で あ る。

つ ぎに,若 干 の説 明 を加 え る こ とに よって,こ の定 義 に 含 まれ る 重 要 な ポ イ ン トを 明 らか に して お こ う。

第1に,各 種 の製 品 の生 産 量 を何 らか の共 通 の 測 定 尺度 に よ って総 計 で き

(3)W.B.Lee,AMethodologyforImPlementationofAggregateProduction PlanningModels,,Ph.D.Dissertation,Univ.ofNorthCarolinaatChapel Hil1,1972,pp.1‑4.

(4)ボ ル ト ら の 研 究 は,は じ め2つ の 論 文 に 報 告 さ れ,の ち に よ り 完 全 な 内 容 が 著 書 に ま と め ら れ た.C.C.Holt,F・Modigliani,andH.A.Simon,"ALinear

DecisionRuleforProductionandEmploymentScheduling,"Management Science,Oct・,1955,PP・1‑30・c,c・Holt,F・Modigliani,andJ・F・Muth,

"DeviationofaLinearDecisionRuleforProductionandEmployment

,"

Managementscience,Jan・,1956,PP・159‑177・c・c・Holt,F・Modigliani,J・F・

Mu並h,andH.A.Simon,PlanningProdttction,lnvento「ies,andMorkFo「ce' Prenticè]Hall,1960.

(5)こ の 問 題 構 造 の 設 定 は,Holt,eta1・,1960,ψ ・cit・,Chaps・2,4に よ る.

総合生産計画モデルの発展 ⁴⁷

る とい う仮 定 が お かれ て い る。

第2に,ホ ル トらのば あ い,APP問 題 を もっば ら生 産 部 長 な い し工 場 長 の立 場 に た って考 察 し,各 期 の販 売 予測 量 の大 き さ とそ の変 動 の パ タ ー ンは 所 与 と仮 定 して い る。 した が っ て,販 売 な い し 収 益 の側 面 は 全 く考 慮 しな い。APP問 題 は コス ト最 小 化 問 題 のか た ちに 定 式 化 され る こ とに な る。

第3に,APPの 重 要 課 題 は需 要 変動 に対 処 す る ことで あ るが,ホ ル トら は,需 要 変 動 に対 処 す るた め の純 粋 的 な代 替 案 と して,つ ぎ の3つ の方 法 を あ げ る。 それ に よっ てAPPコ ス トめ成 分 を示 す と と もに,総 合的 な生 産 量

と要 員数 とい う2つ の 変数 が決 定 変 数 とな る ことを 認識 す るの であ る。

す なわ ち,需 要 変 動 に対 処 す るた め の純 粋 案 と して,つ ぎの3つ の ものが

くの

考 え られ て い る。

(1)従 業 員 の雇 入 また は解 雇に よっ て各 期 の 要 員数 を増 減 し,そ れ に よっ て 生 産量 を増 減 す る方 法 。

(2)要 員数 は変 え な いで,従 業 員 に残 業 また は遊 休 を させ る ことに よって 生 産 量 を増 減 す る方 法 。

③ 各 期 の生 産 量 も要 員 数 も変 えず に,在 庫 量 や ノ極 クオ ー ダ量 を増 減 す る ζ とに よっ て,受 注量 の 変動 に対 処 す る方 法 。

・これ らの3つ の方 法 の そ れ ぞ れ を実 行 す る とき ,そ れ に 関連 して コス トが

く ラ

発 生 す る 。

まず,第(1)の 純 粋 案 を と る と き に は,(a)正 規 賃 金 コ ス ト(regularpayroll cost)が 変 動 す る と と もに,(b)雇 入 ・解 雇 コ ス ト(hiringandlayoffcost)

が 発 生 す る。 正 規 賃 金 コ ス トと は,従 業 員 を 一 定 期 間 雇 用 す る こ と に 伴 な っ て,そ の 作 業 時 間 の 長 さ の い か ん に か か わ らず 支 払 わ ね ば な らな い 労 務 費 を さ して い る。t期 の 正 規 賃 金 コ ス ト(CRt)は,t期 の 要 員 数(Wt)の 関 数 と

して と ら え る こ と が で き よ う。

雇 入 ・解 雇 コス'トは,要 員 数 そ の も の の 大 き さ に 関 連 す る コ ス トで は な

直

(6)lbid.,PP.48‑49.

(7)詳 細 に つ い て は,Ibia.,pp・51‑57,67‑72を 参 照.

48 商 学 討 究 第25巻 第4号

く,要 員 数 の 変 化,す な わ ち 要 員 数 を 現 員 数 よ り も増 加 さ せ た り減 少 させ た りす る こ と に よ っ て 発 生 す る コ ス トで あ る。 要 員 数 を 増 加 す る た め に 新 し く 従 業 員 を 雇 入 れ る と き に は,募 集 ・選 抜 の コ ス トや 訓 練 コ ス トな どが 発 生 す る 。 ま た 要 員 数 を 減 少 させ る た め に 現 従 業 員 を 解 雇 す る と き に は,退 職 金 コ ス トや 残 っ た 従 業 員 を 配 置 替 え す る た め の コ ス ト,あ る い は 企 業 イ メ ー ジ を 悪 くす る と い う 無 形 の コ ス トな どが 発 生 す る 。'期 の 雇 入 ・解 雇 コ ス ト

(CHt)は,(t‑1)期 の 要 員 数(Wt.一 、)と 彦期 の 要 員 数 と の 関 数 で あ る が, (t‑1)期 の お わ りに お い て 前 者 は 既 知 で あ る の で,結 局 この コ ス トはt期 の 要 員 数(呪)の 関 数 と考 え られ る 。

つ ぎに,第(2)の 純 粋 案 を と る と き に は,(c)残 業 コ ス トあ る い は 遊 休 コ ス . トが 発 生 す る 。t期 の 残 業 ・遊 休 コ ス ト(σò)は,t期 の 生 産 量 が,t期 の 要 員 数 が 正 規 の 作 業 時 間 で 達 成 で き る 標 準 生 産 量 を 上 まわ るか 下 ま わ る か に よ っ て 発 生 す る も の で あ る 。 した が っ て これ は,≠ 期 の生 産 量(Pt)と 要 員

数(躍 ∂ の 関 数 と して と らえ られ る。 、

つ ぎ に,第(3)の 純 粋 案 を と る と き に は,(d)在 庫 関 連 コ ス トが 発 生 す る 。,

 の

t期 の 在 庫 関 連 コス ト(C、t)は,t期 の 在 庫 量(r,)の 関 数 で あ る。 こ のt期 の 在 庫 量 は,(t‑1)期 末 在 庫 量(1,一 、)とt期 の 生 産 量(.Pb)と 販 売 量(St)

とに よ っ て き ま る も の で あ る。 す な わ ち,1,・ ・lt‑・+・P,‑s̀.と こ ろ が,t期 の 決 定 に つ い て は,(t‑‑1)期 末 在 庫 量 とt期 販 売 予 測 量 は 与 件 と して 与 え

られ る も の で あ る か ら,結 局,∫ 期 の 在 庫 関 連 コ ス トは,≠ 期 の 生 産 量 の 関 数 と 考 え る こ とが で き よ う。

APP問 題 は,こ れ ら3つ の 純 粋 案 の い ず れ か,ま た は,そ れ らを 適 当 に 組 み 合 わ せ た 種 々 の 混 合 案 の な か か ら,コ ス ト最 小 の 代 替 案 を 選 択 す る 問 題 に な る。 そ れ は 結 局,3つ の 純 粋 案 に 関 連 して 発 生 す る コ ス トの 総 和 (APPコ ス ト)を 最 小 化 す る 問 題 で あ り,そ こに お け る 決 定 変 数 は,生 産 量 と要 員 数 な の で あ る。 す な わ ち,

(8)こ こ に 在 庫 量 と は,純 在 庫 量(=現 有 在 庫 量 一 パ ッ ク ナ ー ダ 量)を さ す.

総合生産 計画 モデルの発 展

ノ

彦期 のAPPコ ス ト(Ct)r彦 期 正 規 賃 金=一 ス ト(CRり

+t期 雇 入 ・解 雇 コ ス ト(Cガ) +t期 残 業 ・遊 休 コ ス ト(c・t) +t期 在 庫 関 連 コ ス ト(C∬ り

=f̀(P, ,四t) 〔t]

49

第4に,APP問 題 は,そ の決 定 変 数 が 時 問的 相互 依 存 性 を もつ か ら,多

(9)

段 的(多 期 間 的)決 定 問 題 と して 考 察 しな け れ ば な らな い 。

す な わ ち,t期 の 生 産 量 と要 員 数 の 決 定 は,t期 のAPPコ ス トを き め る ば か りで は な い 。 そ れ は,● 期 末 在 庫 量 や 要 員 数 とい う 状 態 変 数 を 介 して, '

(t+1)期 以 降 のAPPコ ス トに も影 響 を お よぼ す 。 そ して,(t+1)期 以 降 の 各 期 のAPPゴ ス トは,そ の 各 期 の 生 産 量 と要 員 数 を き め る こ とに よ っ て は.じめ て 推 定 す る こ とが で き る 。 した が っ て,APPの 第1次 的 な 決 定 変 数 は,次 期 の 生 産 量(Pl)と 要 員 数(W・)で あ る が,そ れ を 決 定 す るに あ た っ て は,次 期 のAPPコ 入 トば か りで な く,次 々 期 以 降 のAPPコ ス トを も考 慮 に 入 れ る た め に,次 々期 以 降 の 生 産 量 と要 員 数 を 同 時 に 決 定 す る 必 要 が あ る 。

か くて,計 画 期 間 を 丁 期 間 とす る と,APP問 題 は,こ の 丁 期 間 に わ た ろAPPコ ス ト の 総 和(C7)を 最 小 化 す る問 題 と考 え ね ば な らな い 。 そ し て,そ こで の 決 定 変 数 は,T期 間 に わ た る 各 期 の 生 産 量 と要 員 数 で あ る 。 す な わ ち,APP問 題 は,次 式 の コ ス トCTを 最 小 化 す る多 期 間 的 決 定 問 題 と

して と らえ ね ば な らな い。

い グ

CT=・ ΣCt=:Σ(CRt+ρ ガ+C♂+C、 り

t・=le=1

・・f(P1 ,Wi,P2,W2,…,PT,17V■)[2コ

最 後 比,与 件 と し て 与 え ら れ る 将 来 の 販 売 予 測 量 の 不 確 実 性 を 考 慮 に 入 れ

'

(9)多 段 的 決 定 問 題 に つ い て は,BuffaandTaubert,1972・oP・cit・,pp・184‑188・

253‑256・ を 参 照 .

50 商 学 討 究 第25巻 第4号

(【O)

6と,各 期 の決 定 は 動学 的 に 行 な われ な け れ ば な らない 。 す な わ ち,一 般 に 販 売予 測 量 の値 は,時 間 の経 過 に よ って新 しい情 報 が え られ るにつ れ て,よ

ノ

り正 しい と思 わ れ る値 に 修正 され る。 さ らに,企 業 の コス ト構 造 も,時 間 の 経過 に つれ て 環 境 条 件 が 変 わ る こ とに よって 変 化 す るか も しれ な い。 した が って,[2]に お い て3CTを 最 小 化す るた め にT期 間 の 各 期 の 計 画(生 産 量 ・量 員数)を きめ る必 要 が あ るが,そ の ま ま実 行 に 移 され るの は 次期 の 計 画(Pl,w1)だ け で あ る。 次 々期 以 降 の 計 画 は 暫定 的 決 定 に す ぎず,期 間 が す す ん で 販売 予 測 量 な どの新 しい 情報 が え られ るに つれ て,当 然 に 修 正 され

る性 質 の もの で あ る。

APPの 基 礎 問題 の一 般 的 な構 造 は 以 上 の よ うに定 式 化 で き る。 この問題 に た い して は,非 常 に多 数 の解 法 が 提 唱 され て い る。 われ わ れ はそ こに,問 題 解 決 手 法 の 多 様 性 を み る こ とが で き る。 以 下 そ の代 表 的 な 手法 をそ れ が 発 表 され た 年 代 順 に 考 察す る こ とに よっ て,問 題 解決 手法 の類 型 を 明 らか に し

た い。

皿 線 型 決 定 ル ー ル

1.2次 コ ス ト関 数'

APP問 題 の 解 決 手 法 と して 第1に と りあ げ ね ば な らな い の は,ホ ル ト ら の 方 法 で あ る 。 そ れ は,そ の 後 の 研 究 を 刺 激 し,つ ね に 「比 較 の 基 準 」 と さ

(11)

れ る地 位 に あ るか らで あ る。 われ わ れ は,ホ ル トらの方 法 を,ORな い し管 理 科 学 の伝 統 的 な 方法 の1つ の典 型 と して 特 徴 づ け る こ とが で き る。

(10こ こ で の 「動 学 性 」(dynamicnature)の 意 味 は,BuffaandTaubert,1972, op・Git・,P・155,あ る い は,よ り 詳 し く は,H・Theil,Optimal1)ecision.Rules

fbrGovernmentandIndustay,North‑Holland,1964,p.9.に し た が っ て い る.

こ の 性 質 を 考 慮 に 入 れ る と,厳 密 に はJ最 小 化 す べ きAPPコ ス ト は,多 期 間 に

わ た る 期 待 コ ス ト と な ろ う.し か し 本 稿 で は,こ の 動 学 性 に か か わ る 種 々 の 問 題 や そ の 分 析 方 法 に つ い て は 扱 わ な い.こ れ に つ い て は,Holt,etaL,1960,0P・

eit・,Chaps・6,8,9,あ る い は,Thei1,0p・cit・,Chap・5・ な ど を 参 照 .

⑪ES.BuffaandWH.Taubert,"EvaluationofDirectComputerSearch Methodsfor七heAggregatePlanningProblem,"IndtestrialManagement Review,Fall,1967,p.19.BuffaandTaube1【t,1972,0p.cit.,p.227.

'総合生 産計画 モデルの発展

51

、

問題 解 決 の た め のORの 伝 統 的 方 法 は,ま ず,問 題 状 況 を あ らわ す 数 学 的 な モ デ ル を構 築 し,つ い で,そ の問 題 モ デ ルに た いす る数 学 的 な最 適 解 を 導 出す る,と い う手順 を とる もの で あ る とい え よ う。 この 手順 の遂 行 に あた っ て,ラ デ ルに た いす る数 学 的 な最 適 解 を え る こ とを 重視 す るの が大 き な特 徴 であ る。 そ の た め に,そ の 手順 とは逆 に,構 築 され るモ デ ル は,利 用 可 能 な

塾

数 学 的 最 適 化 手 法 の形 式 に適 合す る こ とを要 求 され る ことに な る。

ホ ル トらの 方 法 は,微 分 法 とい う 数 学 的 最 適 化 手法 を 利 用 す るた め に, 'APPコ ス ト ・モ デ ル を つ ぎ の よ うな2次 関 数 で 近 似 す る と こ ろ に 特 徴 が あ(12)

る 。

ぞ

Cアー Σ σ

̀=1,

〒 Σ[CIW・+C18

̀=1

た だ し,

(正 規 賃 金 コ ス ト)

+C2σ 巧 一1防 一1"一'Cl1)2(雇 入 ・ 解 雇 コ ス ト) +C3(」Pt‑C4Ẁ)2+C5Pt‑C6Wt+Cl2PtWt

+C7(1,一 一Cs‑CgS,)2

(残 業 。遊 休 コ ス ト) (在 庫 関 連 コ ス ト)]

1,==.Z'̲̀1十P,‑St,≠=1,2,...,T

[3コ

[4]

こ の 目的 関 数 に お い て,決 定 変 数 は,T期 間 に わ た る 各 期 の 生 産 量 と要 員 数(P・,琳,t=1‑,2,…,T)で あ る 。0期 の お=わ りに お い て,0期 に お け る

⑫Holt,eta1・,1960,0p・cit・,p・58・ ホ ル トら の ば あ い は,APP問 題 の 動 学 性, と く に 販 売 予 測 量 の 不 確 実 性 を 考 慮 に 入 れ て,最 終 的 な 目 的 コ ス ト関 数 は,多 期 間 に わ た るAPPコ ス トの 期 待 値,す な わ ちE(CT)で あ る と し て い る.そ し て, Holtら は,制 約 条 件 式 が1次 で,コ ス ト関 数 が2次 で あ る と き に は,販 売 予 測 量 と し て そ の 期 待 値 を 用 い る な ら ば,そ れ を 確 定 値 と 考 え てCTを 最 小 化 す る最 適 解 を 求 め る と,そ れ はE(CT)を も 最 小 化 す る(確 実 性 等 価 の 性 質)こ と を 証 明 し て い る.Ibia・ ・Chap・6・ した が っ て,実 際 に は,CTを 目 的 コ ズ ト関 数 と し て 論 を す す め る こ と が で き る の で あ る.コ ス ト関 数 を2次 関 数 で 近 似 す る 大 き な 理 由 は,微 分 法 を 利 用 す るた め と,こ の 確 実 性 等 価 の 性 質 を 利 用 す るた め で あ

る.本 稿 で の ち に 考 察 す る 他 の 方 法 も,CTを 目 的 コ ス ト関 数 と し て い るが,そ れ ら の ば あ い は,コ ス ト関 数 を2次 関 数 で 近 似 す る こ と は しな い か ら,こ の 確 実 性 等 価 の 条 件 は 成 立 し な い.

ノ

52 商 学 討 究 第25巻 第4号

要 員 数(vv'o)と 期 末 在 庫 量(1。)は,実 績 値 か ら与 え られ,各 期 の 販 売 予 測

く 

量(St,'=1,2,…,T,T+1,…,2T‑1)は 条 件 と し て 与 え ら れ る 。 そ し て, 定 数C1〜C・3は,当 該 企 業 の コ ス ト構 造 か ら き め ら れ る も の で あ る 。

か く て,そ の 数 学 的 形 式 か ら み る と,ボ ル ト ら は,APP問 題 を,「1次 の 制 約 条 件 式 の も と で の,2次 関 数 の 最 小 化 問 題 」,す な わ ち 「2次 計 画 法 」 (quadraticprogrammin9)の 問 題 と し て 定 式 化 す る の で あ る 。

コ ス ト関 数[3コ に お い て,ま ず,正 規 賃 金 コ ス トは,要 員 数 の1次 関 数  

と み な され て い る 。 つ ぎに,雇 入 ・解 雇 コ ス トは,要 員 数 の 変 化 量(Wt‑

Wt‑1)の2次 関 数 に よ っ て 近 似 され る 。 残 業 ・遊 休 コ ス トは,t期 の 必 要 生 産 量 と ∫期 の 要 員 数 の 正 規 作 業 時 間 に お け る 標 準 生 産 量 と の 差 の 大 き さ (P・‑C4W・)の2次 関 数 で 近 似 で き る と考 え られ て い る。 こ こで,C4は 労 働 生 産 性 定 数(単 位/人 ・期),つ ま り,1人 の 作 業 者 が1期 間 の 正 規 作 業 時 間 で 生 産 で き る生 産 量 を あ らわ す 。 そ して,在 庫 関 連 コ ス トは,在 庫 量(lt)

と最 適 在 庫 量(ろ*)と の 差(lt一 ろ*)の2次 関 数 で あ り,最 適 在 庫 量 は 販 売 量 の1次 関 数 で あ る(1,*=C8+CgSt)と 考 え られ て い る。 ホ ル トらは,こ れ ら の コ ス トが,こ の よ うな1次 ま た は2次 関 数 で 近 似 で き る理 由 を 列 挙 して

い ￡ 曾 な お,C、3,C、 、,C、P、‑C、Wt+C、2P,Wtと い う 項 は,デ ー タ へ の 関 数 の'

あ 七は め を 行 な うば あ い に,近 似 を よ くす るた め に 導 入 され た もの で あ る。

ホル トらは,そ の 研究 対 象 とな った 会 社 の1塗 料 工場 に つ い て実 態 調 査 を

ロ の

行 な い,そ の 工 場 のAPPコ ス ト関 数 を つ ぎ の[5]の よ うに 推 定 して い る。

ア

C■==Σ{[340Wtコ t=1

十[64.3(W,一 一Wt̲1)2]

十[0.20(P,‑5.67確,)2十51.2P,・ 一一・281W,〕

+[0.0825(1,‑320)2]}[5]

⑬t=2,…,T期 の 暫 定 酌 決 定 を す る た め に は,T+1・ …,2T‑1期 ま で の 販 売 予 測 量 が 必 要 で あ る.

⑭lbid.,pp・52‑57・ を 参 照.な お,遊 休 コ ス トは.遊i休 に よ る 生 産 性 の 低 下 に よ っ て 発 生 す る と 考 え ら れ て い る.

a∂Ibid.,P・59・

総合生産計画モデルの発展 ⁵³

こ こで,単 位 期 間 は 月 であ り,CTの 測 定 尺 度 は ドル で あ り,Wtの 測 定 尺 度 は 人 数 で あ り,P・ お よび1,の 測 定 尺 度 は ガ ロ ン で あ る。 な お,[5コ を 求 め る に あ た っ て は,単 純 化 の た め に,定 数Cg=Oと して い る。 関 数 の あ て は め を 行 な う と,結 果 と して,C11・ ・C12・‑Oで あ っ た 。 最 適 解 の 探 求 に 無 関 連 な 定 数Clsは コ ス ト関 数 か ら除 去 して い る。

2.線 型 決 定 ルb‑一ル

コ ス ト関 数[3]を 最 小 化 す る数 学 的 最 適 解 は,[3]を2種 類2T個 の 決 定 変 数(Pt,肌,t=1,…,T)の そ れ ぞ れ に 関 して 偏 微 分 して え られ る1階 偏 導 関 数 を ゼ ロ とお き,そ れ に よ っ て え られ る 連 立 方 程 式 を 各 決 定 変 数 に つ い て 解 く こ とに よ っ て 求 め る こ と が で き る 。 ホ ル ト らは,そ の 能 率 的 な 解 法 を

ぐ    し

開発 し,ル ーチ ンな計 算 手 順 と して い る。

こ こで は,計 算 手順 に つ い て は考 察 を 省 略 す る。事 例 を 用 い て,計 算 手 順 の適 用 に よって え られ る 「決 定 ル ール」 に つ い て検 討 しよ う。

この 計 算 手順 を適 用す る と,最 終 的 に は,最 適解 は1次 式 か ら求 め る こ と が で き る。 上 述 の塗 料 工場 の コ ス ト関数[5]を 最 小化 す るP,と 呪 の 値

(17)

は,そ れ ぞ れ,つ ぎ の2つ の1次 式[6⊃ と[7]か ら求 め る こ とが で き る 。

t'+O .458S,、1

00000000000十十十十一一一一一一一

=

・乃 233S+

111S+

046S+

014S+

001S+

007S+

008S,+

008S,+

007S,+

005S̀+1。

OO4St÷tll

＼十1 .005Wt.̲1‑←153.0‑O.464Jt̲1 [6コ

(t()Ibid・,PP・94‑114・

⑰Ibid.・p・61・ 詳 細 な 導 出 手 順 は,lbid・,pp・101‑106を 参 照.ま た,タ イ ル は,

Tを 有 限 と 考 え て,別 の 導 出 方 法 を 展 開 し て い る.Thei1・oP・oit・,pp・103‑111・

ノ

54

1‡8

確i=:'十 〇

十 〇

‡8 i‡8

‡8 [‡8

商 学 討 究 第25巻 第4号

01015tL OO88S,+

0071St+

0055S̀+

0042S̀+

0031St+

0022St+

OOI6S̀+

00115t+

黙ii!j

し

この2つ の 式 は,t期 の 最 適 な 生 産 量 と要 員 数 の値 は,(t・‑1)期 の 要 員 数

(18)

と期 末 在 庫量,お よび,将 来 の12期 間 の 各 期 の販 売予 測 量 の1次 関 数 と し て計 算 で き る こ とを示 して い る。 この1次 関数 の か た ち は,コ ス ト関 数[3]

に おけ る定 数Ciの 値 の いか ん にか か わ らず,変 わ らな い。 そ して,こ の1 次 関 数 に お け る各 変数 の 係数 と定 数 項 の値 は,コ ス ト関 数[3]の 定 数Ciの 値 の 組 に 対応 して一 意 的 に計 算 され る。

この2つ の1次 式 は,決 定 変 数 の 値 を決 定 ナ る方 法 とな るか ら,決 定 ル ー

(19),

ル で あ り,そ の 数 学 的 な か た ち が1次(線 型)で あ る か ら,「 線 型 決 定 ル ー ル 」(lineardecisionrule・LDR)と タば れ る 。 「線 型 決 定 ル ール 」 の 名 前 は,ホ ル トらの 研 究 な い し方 法 の 代 名 詞 と して 用 い られ る こ とが 多 い の で あ る'。わ れ お れ も,ボ ル トらの 開 発 した 解 法 をLDRと よぶ こ とに し よ う。'1

3.線 型 決 定 ル 〒 ル の 現 実 的 意 味 づ け

こ の 線 型 決 定>v一 ル は コ ス ト関 数[5]か ら数 学 的 に 導 出 され た もの で あ る が,そ れ を 現 実 の 決 定 行 動 と関 連 づ け て,そ の 含 意 を 考 察 す る と,興 味 あ る

(20)

発 見 を す る こ と が で き る 。 一

ま ず,生 産 量 決 定 ル ー ル[6]を み よ う。 は じめ の 項 は,t期 の 生 産 量 を 決

⑱ こ こ で は12期 間 の 販 売 予 測 量 を 用 い て い る が,す ぐ あ と で の べ る よ う に,12 と い う 数 値 は 絶 対 的 な も の で は な い.

⑲ 決 定 ル ー ル の よ り 一 般 的 な 意 味 に つ い て は つ ぎ を 参 照.中 橋 国 蔵 稿 「企 業 シ ミ ュ レ ー一一・シ ョ ン ・モ デ ル の 基 本 構 造 」,『 国 民 経 済 雑 誌 』 昭 和46年8月 号.74‑75 ペ ー ジ.

⑳Holt,etal.,1960,0P.cit.,pp.60‑63,Chap.8.お よ びT.E.Vollmann, OperationsManagement,Addison‑Wesley,1973,pp.622‑623・ を 参 照.

i

、

、

総合生産計画モデルの発展 ⁵⁵

定 す るに あた って,t期 を含 め て将 来 の12期 間(1年 間)の 各 期 の 販 売 予測 量 を,そ れ ぞ れ に ウエ イ トを 付与 して考 慮 す る こ とを あ らわ して い る。 各期 の 販 売 予測 量 に付 与 され る ウエ イ トは,遠 い将 来 に な るほ ど幾 何級 数 的 に減 少 して い る。 彦期 に は,'期 の需 要 ば か りで な く,将 来 期 間 の需 要 の た めの 生 産 も行 な うが,在 庫保 管 コス トは時 間 の関 数 で もあ るので,遠 い 将 来 の 期 間 の 需要 ほ ど,そ れ を現 在 生 産 す るの は 望 ま しくな いか らであ る。 理 論 的 に 厳 密 な 真 の 最 適 決定 を行 な うた めに は,将 来 の 無限 期 間 の販 売 予 測 量 を 考え

(21)

ね ば な らな い。 しか しなが ら,こ の事例 が示 す よ うに,将 来 の 販 売 予 測量 に 付 与 され る ウエ イ トは順 次,,急 激 に 小 さ くな る。 した が っ て,実 際 に は,最 近 の 数 期 間 の 販 売予 測 量 を考 慮 に 入 れ れ ば 十 分 で あ る。

生産 量 決 定 ル ール の第2の 項 は,当 期 要 員 数(Wt.‑1)が 次期 の 生 産 量 決 定 に影 響 を お よぼ す こ とを示 して い る。 この項 を 介 して,生 産 量 決 定 ル ール と

r

要 員 数 決定 ル ール の 間 に は相 互 依 存 関 係 が あ るの で あ る。

生産 量 決 定 ル ール の最 後 の2つ の項 は,在 庫量 の調 整 過 程 を あ らわ してい 、 る。 当 期 末 の在 庫 量(lt.1)が 少 な くて,そ の46.4%(0.4641,..1)が153.0

を 下 まわ る と きに は,そ の不 足 分 を 生産 し,在 庫 量 を 増 や す こ とに な る。 逆, の ば あ い に は,生 産 量 を 減 ら して,在 庫 量 を 削減 す るの で あ る。 こ の よ うな 在 庫量 の 調 整過 程 は,過 去 の販 売 予 測 の 誤 差 を 吸収 す る役 割 を果 して い る と 理 解 され る。

つ ぎに,要 員 数 決 定 ル ール[7]を み よ う。 このル ール も生 産量 決 定 ル ール と同様 な か た ち を して お り,そ の 意 味す る と ころ はほ ぼ 同 じで あ る。 こ こで は,変 数 の測 定 尺 度 を 統 一 す るた め に,必 要 が あれ ば 係 数 の値 を生 産 性定 数 で 修正 しなが ら,要 員 数 決 定 ル ール ゐ各 項 の係 数 の値 を,生 産 量 決 定 ル ール に お け るそ れ に対 応 す る項 の係 数 の値 と比 較 す る こ とが 重 要 で あ る。

まず,要 員数 の決 定 に あ た って も,将 来 の各 期 の販 売 予 測量 を考 慮 に入 れ るが,そ れ に付 与 され る ウエ イ トの 大 き さは,生 産 量 決 定 ル ゐル に おけ るそ れ よ りも,か な り小 さい 。 生産 量 決 定 ル ール にお け るそ の ウエ イ トの総 計 は

￠DHolt,etal・,1960,0プ)・oi彦 ・,PP・96‑97・

56 商 学 討 究 第25巻 第4号

0.821で あ る が,要 員 数 決 定 ル ー ル に お け る そ れ は,生 産 性 定 数(C4==5.67) で 修 正 して,0.256(=0.0452×5.67)に す ぎ な い 。 他 方,要 員 数 決 定 ル ー ル に お け る 各 期 の 販 売 予 測 量 に 付 与 され る ウエ イ トの 減 少 傾 向 は,生 産 量 決 定 ル ー ル の ば あ い ほ ど顕 著 で は な い 。 した が っ て,要 員 数 の 決 定 は,生 産 量 の 決 定 よ り も,長 期 的 な 視 野 に た っ て 行 な わ れ る と い え る 。

つ ぎ に,要 員 数 決 定 ル ー ル の 第2の 項 は,当 期 の 要 員 数 の 大 き さ が,次 期 の要 員 数 の 決 定 に 大 き な 影 響 を お よぼ す こ と を 示 して い る 。 こ の ウエ イ トの 大 き さ0.742は,生 産 量 決 定 ル ・一ル の そ れ に 対 応 す る 修 正 され た ウ エ イ ト 0・176(==・1.005÷5.67)よ り もか な り大 き い 。

最 後 の2つ の 項 は,生 産 量 決 定 ル ー ル と 同 様 に,在 庫 量 の 調 整 過 程 で あ る 。 要 員 数 の 決 定 に 期 末 在 庫 量 が お よぼ す 影 響 は,生 産 量 決 定 に お け る そ の ウ エ イ ト0・464に 比 べ る と,わ ず か に,0.0567(‑O.010x5。67)に す ぎな

い 。

さて,以 上 の よ うな係 数 の 値 の比 較 は,こ の2つ の決 定 ル ール,し たが っ て また既 述 の3つ の純 粋 案 の 性 格 を示 唆 して い る。 す なわ ち,要 員 数 の決 定 は,現 有 要 員数 を 重 視 して,長 期 的 な需 要 を考 慮 して行 なわ れ る。短 期的 な 需 要 量 の変 動 が要 員 数 決 定 に お よぼ す影 響 は小 さい。 か くて,要 員 とい うも の は企 業 の長 期 的 資 源 で あ り,要 員数 の 変更 は,比 較 的 長期 的 な 需要 変動 に 対 処 す るた めに 行 な わ れ る もの で あ る とい え よ う。

これ に た い して,生 産 量 は,比 較 的 近 い将 来 の需 要 の大 き さや 在 庫量 の変 動 を 重 視 して きめ られ る。 した が っ て,残 業 ・遊 休 時 間 は,企 業 の短 期 的 資 源 で あ り,残 業 ・遊 休 時 間 の変 動 とい う方 法 は,短 期 的 な需 要 変 動 や 販 売 予 測 誤 差 か らもた らされ る掩乱 を 吸収 す るた め に 利 用 され る もの で あ る とい え よ う。 そ して,在 庫量 の増 減 とい う方 法 は,需 要 の一 時的 で 過 度 に大 きい 変 動 を 吸 収 ず るた め に用 い られ る もの と思 わ れ る。

線 型 決 定 ル ー ル に お け る各 項 の 係 数 の 値 は,コ ス ト関 数 の 定 数Ciの 値 か ら き ま る もの で あ るか ら,上 述 の よ うな 決 定 ル ー ル の 性 格 は,コ ス ト構 造 を 反 映 した もの で あ る。 つ ま り,一 般 に,従 業 員 の 雇 入 ・解 雇 コ ス トは,残

/

総合生産計画モデルの発展

甜

業 ・遊 休 コ ス トや 在 庫 関 連 コ ス トよ り も割 高 で あ る こ とを 反 映 して い る 。 コ ス ト構 造 が こ の 塗 料 工 場 と異 な る企 業 で は,2つ の 決 定 ル ー ル の 対 応 す る 各

(22)

項 の係 数 の値 の 相導 は,そ れ ほ ど顕 著 で 駕 い こ ともあ り うる。

4.フ ィ ー ドバ ッ ク 型 決 定 ル ー ル

線 型 決 定 ル ール に お け る上 述 の在 庫 調 整 項 は,過 去 の 行動 の結 果 と して, 理 想 的 在 庫 水 準 と実績 在庫 水準 との 間に ギ ャ ップが あ るな らば,在 庫 水 準 を そ め理 想 水 準 に近 づ け る よ うに,つ ぎの行 動 を 調 整 す る過 程 を あ らわ して い' る。 この よ うに,生 起 した行 動 の結 果 を フ ィー ドバ ック して,そ の将 来 の 結 果 を 目標 水 準 な い し理 想 水準 に 近 づ け る よ うに つ ぎ の 行 動 を 調 整す る 決 定

(23)

を,フ ィー ドバ ヅ ク型 決 定 と い う。 線 型 決 定 ル ー ル は,そ の 一 部 に こ の よ う な 在 庫 調 整 の た め の フ ィ ー ドバ ッ ク ・シ ス テ ム を も つ ば か りで な い 。そ の 全

(24)

体 を フ ィー ドバ ッ ク型 ル ー ル に 書 く こ と が で き る の で あ る 。 こ こで は,上 述 の 塗 料 工 場 の 数 値 例 を 参 考 に して,線 型 決 定 ル ー ル を フ ィー ドバ ッ ク 型 ル ー

ノ

ル に 変 形 して み よ う。

まず,欄 数[3コ に た い す る最 適解 を決 定 す る線 型 決 定 ル ール を 一 般 的に あ らわ せば,つ ぎの よ うに な る。

じキぞ  

Pe一 Σa,S。+hiW .̲1+h2‑h31t̲1[8コ

γ 篇̀

じキグ ユ

Wt=Σ わ。5』+ん4ワ7̀.1+ん5‑k61t‑1

プ=̀ [9]

⑫ た と え ば,リ ー が 研 究 し た 企 業 の 例 を 参 照W・B・Lee,oP・cit・,p・99・

⑳ 生 産 計 画 に 関 連 し て フ ィ ー ド バ ッ ク 機 構 を 説 明 し た も の と し て は,た と え ば, つ ぎ を 参 照.松 田 正 一,洲 之 内 治 男,杉 山 昌 平rORの た め の 基 礎 数 学3』,丸 善,昭 和46年,265‑270ペ ー ジ.

⑭ 線 型 決 定 ル ー ル が フ ィ ー ドバ ッ ク 型 ル ー ル に 書 き あ ら わ せ る こ と は,バ ウ マ ン や ジ ョ ー ン ズ に よ れ ば,ヤ ン ス に よ っ て 示 さ れ た と い わ れ て い る.J・v.Yance, MarshallianElementsintheCαrnegieTechRules.Unpublishedmimeographed

paper,M.1.T.E.H.Bowman,"ConsistencyandOptimalityinManage‑

rialDecisionMaking,"Managementscience,Jan.,1963,P.314.c二H,Jbnes,

̀̀?arametricProductionPlanning

・"Managementscience・Jul・ ・1967・P・845・

し か し,ヤ ソ ス の 論 文 が 入 手 で き ず,ま た ヤ ソ ス が ど の よ う に し て 展 開 し た か を 紹 介 し て い る 論 文 も 見 つ か ら な か っ た の で,こ こ で は,ジ ョ ー ン ズ の 研 究 に 示 唆 を え て,わ れ わ れ が 独 自 に 展 開 し て み た.

58商 学 討 究 第25巻 第4号

(2のt

こ こで,塗 料 工 場 の 数値 例 に お い て,

ホキア ユ む グ  

、 Σ αr,Σb,,h1,h2,ks,h4,hs,h6>O,[10]

r=tr=t

[8]の 右 辺 の 変 数Wt.1,[g]の 右 辺 の 変 数S。 とllt‑1を,そ れ ぞ れ,そ の 左 辺 の 変 数 と 同 一 の 測 定 尺 度 の 変 数 に か え る と と も に,そ れ に 対 応 し て 係 i数h1,br,h6を 生 産 性 定 数c4で 修 正 す る 。hl'=k・/c4,b,'・=br×c4,h6'・ ・k6

×C4と す れ ば,つ ぎ の[11],[12]を え る 。

る キ グ   

P̀=Σa,Sr+h1'P(Wt̲1)+h2‑hsJt̲1[11]

γ=̀

ごキゲ ユ

Wt=:Σ わノW(Sr)+h4VVt̲ユ+ん5‑h6'W(Jlt‑1)[12ユ

γ 瓢 ε

こ こ で ,)[11]に お け るP(ẁ‑t)は,Wt..1の 大 き さ の 要 員 数 の も と で 達 成 で き る 最 適 生 産 量 を さ し て お り,P(JV,̲1)=・CWt‑.1で あ る 。 そ し て,[12]

に お け るw(s.)とw(lt‑、)は,そ れ ぞ れ,s。 と1,‑1の 大 き さ の 生 産 量 を 達 成 す る た め に 必 要 な 最 適 要 員 数 を さ し て お り,珂(S。)…Sr/C4,W(lt..1)=

1,‑1/C,で あ る 。"

(26)

つ ぎ に,塗 料 工 場 の 数 値 例 に お い て, 0≦h1'≦1,0≦k4≦1[13]

で あ る の で,

αs=1‑‑kユ',0≦ α≦1'[14]

β盟1‑h4,0≦ β≦1[15]

と お き ∫

昨 ぐ驚 島)+与(告 一の[・6]

w・*…,ぐ 罫 争(Sr))督(療 四(・ ・‑1))[17]

㈲,OO[10],[13]は,こ れ ま で に 報 告 さ れ て い る 線 型 決 定 ル ー ル の す べ て の 数 値 例 に お い て 成 立 し て い る(ホ ル ト らh':あ げ て い る2つ の 数 値 例,且olt,etal・,

1960,0p・cit・,PP・61,108,109,お よ び リ ー の 事 例 研 究,Lee,oφ ・cit.,PP・89, 99・).し か し,[10コ,[13]が あ ら ゆ る ば あ い に 成 立 す る こ と を 数 学 的 に 証 明 す る

こ と は で き な か っ た.た だ,要 員 数 決 定 ル ー ル[12]に つ い て は,0<Σb・,0<h4

<1,0〈k6が 成 立 す る こ と を 証 明 で き る.後 掲 の[数 学 注]の ㈹ を 参 照.

総 合生産計画 モデルの発展 ⁹

15

と す れ ば,[11コ,[12コ は つ ぎ の よ う に 書 け る 。 P、 ・・crPt*+(1一 α)P(Wt.一 、),0≦ α≦1・[18]

17V̀==βW,*+(1一 β)Ẁ̲1,0≦ β≦1 、[19コ

[16]の 右 辺 の 第1項 は,将 来 期 間 の 各 期 の 販 売 予 測 量 に 適 当 な ウ エ イ ト

ひ トぞ   ユ く  ラ

を 付 与 して 加 え た も の で あ り,と くに,Σ α。一α の と き に は,販 売 予 測 量 の

プ ニニご

加 重 平 均 で あ る。 そ れ は,将 来 期 間 の 需 要 に 対 処 す る た め の 彦期 の 準 理 想 的 生 産 量 を 意 味 す る 。 そ して,そ の 準 理 想 的 生 産 量 に 第2項 の 在 庫 調 整 量 を 加 え たP̀*は,t期 の 理 想 的 生 産 量 に 相 当 す る とい え よ う。 同 様 に して,[17]

に お い て,呪*は,≠ 期 の 理 想 的 要 員 数 に 相 当 す る と 考 え る こ とが で き よ う。 した が っ て,生 産 量 決 定 ル ー ル[18]は,t期 の 生 産 量 が,t期 の 理 想 的 生 産 量 と(t‑1)期 の 要 員 数 の も とで の 最 適 生 産 量 と の 加 重 平 均 と して 求 め られ る こ と を 示 して い る。 要 員 数 決 定 ル ー ル[19]の 意 味 も 同 様 で あ る 。 そ して,[18],[19コ を 書 き改 め れ ば,つ ぎ の よ うな よ り標 準 的 な フ ィー ドバ ッ ク型 ル ・一ル を え る 。

P・ ・==P(Wt.一・)+α(Pt*一 一P(W・.・)),0≦ α≦1[20]

vat=:vvt̲1+β(Wt*一 一一Wt‑・1),0≦ β≦1[21]

こ の よ うに して,線 型 決 定 ル ー ル を フ ィー ドバ ッ ク型 ル ール に 書 き な お す こ と に よ っ て,そ の 現 実 的 意 味 を さ らに よ く理 解 す る こ とが で き る 。 た とえ ば,[21]に 示 さ れ る よ うに,t期 の 最 適 要 員 数 は,(t‑1)期 の 要 員 数 を フ ー ドバ ッ ク して ∫期 の 理 想 的 要 員 数 と比 較 し,そ の 理 想 水 準 に 近 づ け る よ う に き め られ る の で あ る。

も

重 要 な こ とは,ζ の よ うな フ ィー ドバ ック型 の決 定 行 動 は,現 実 の経 営者 の行 動 に もみ られ る こ とで あ る。 そ のた め に,APP問 題 の解 を 求 め る決 定

㈲2次 コ ス ト関 数[3コ に お い て,塗 料 工 場 の 事 例 に 示 さ れ る よ う に,多 く の ば あ い,Cg=Cl2・Oと さ れ る.こ の と き に は,線 型 決 定 ル ー ル[8],[9コ あ る い は [11],[12]に お い て,Σar+hl/G4=1,ΣbrC4+k4=1,あ る い は,Σar=α,Z]br'

デ ア ヘ プ ゲ

==β が 成 立 す る こ と を 証 明 で き る .後 掲 の[数 学 注]の(B)を 参 照.ち な み に,塗 料 工 場 の 線 型 決 定 ル ー ル[6],[7コ に お い て は,'Zar+hl/C4=・O・821+1・005/5・67

=0.821+O.177=・O.998,Σb。C4+k4=O・0452×5.67+O.742=O.256+0.742=O.998.

60 商 学 討 究 第25巻 第4号

ル ー ル が フ ィー ドバ ッ ク型 ル ール の か た ち に 書 け る こ と は,ヒ ュ ー リス テ ィ ッ ク ・ア プ ロ 「 チ を と る 後 述 の パ ウ マ ソや ジ ョー ン ズ の 研 究 に 大 き な 影 響 を お よ ぼ す こ とに な る の で あ る 。 フ ィー ドバ ッ ク型 決 定 ル ー ル に お け る若 干 の 係 数 の 意 味 や 理 想 的 要 員 数 の 概 念 な ど に つ い て は,の ち に ジ ョ ー ン ズ の 方 法

を 検 討 す る と き に,さ らに 説 明 を 加 え る で あ ろ う。

5.LDRの 有 効 性

ホ ル トらの 研 究 の 意 義 は,数 学 的 な 決 定 モ デ ル を 展 開 した ば か りで な く, そ の 方 法 を 現 実 の 企 業 の デ ー タに 適 用 して そ の 有 効 性 を 示 して い る こ とに あ'

(28)

る 。 研 究 対 象 と な っ た 塗 料 工 場 が,デ ー タ を え た の と 同 一 の 期 間 に お い て, も しLDRの 方 法 に よ っ て 決 定 を 行 な っ て い た な らば,APPコ ス トを 約8

%低 減 で き た で あ ろ う こ とが 示 さ れ て い る。 そ して,現 実 の 決 定 に よ っ て 発 生 した コ ス トと,LDRに よ っ て 決 定 を 行 な っ て い た な らば 発 生 した で あ ろ う コ ス トを 成 分 に わ け て 比 べ る と,LDRの 利 用 に よ る コ ス ト低 減 は,も っ ぱ ら正 規 賃 金 コ ス トとバ ッ ク オ ー ダ ・コ ス トの 低 減 に よ っ て い る 。 残 業 コ ス トと在 庫 保 管 コ ス トは 逆 に 増 加 して い る。 か くて,重 要 な こ と は,最 適 な APP決 定 は,純 粋 案 的 な 単 純 な 思 い つ き に よ る方 法 に よ っ て で は な くて, 種 々 の 方 法 を 組 み 合 わ せ る こ とに よ っ て 達 成 され る も の で あ る とい う こ と で

く の

あ る。 こ の こ と は,他 の 事 例 研 究 に よ っ て も示 され て い る 。 6.LDRの 利 点 と 限 界

LDRは,定 式 化 さ れ た 数 学 的 な コ ス ト ・モ デ ル に た い して は 数 学 的 最 適 解 を 保 証 す る とい う強 み を も っ て い る 。 そ して,コ ス ト関 数 の 推 定 や 決 定 ル ール の 導 出 に は や や 手 数 が か か るが ,ひ とた び 決 定 ル ー ル が 求 め られ る と, そ れ に よ っ て ル ー チ ン に,簡 単 に,決 定 を な す こ とが で き る と い う実 施 上 の 利 点 もあ る。

しか しな が ら,そ の 数 学 的 最 適 解 を え る た め に は,問 題 モ デ ル を,1本 の 1次 制 約 条 件 式 の も とで の2次 の コ ス ト関 数 の 最 小 化 とい うか た ち に あ らわ

Ci8,Holt,etal.,1960,0p.cit.,pp.16‑・25.

、㈲ た と え ば,W.BLee,op.cit.,p.104.

総合生産計画モデルの発展61

さねば な らな い。 そ こで,LDRの 大 きな限 界 と しては つ ぎの2点 が あ げ ら

(30)t・

れ て い る。

第1に,現 実 のAPPコ ス ト関数 は2次 関 数 に よって よ く近似 で きな い こ とが あ る。 そ の ときに ば,2次 関数 に よっ て無 理 に近 似 して 最適 解 を 求 め て も,そ の解 は 現 実 の問 題 に た い して は十 分 に 有 効 な解 とは な らな い。

第2に,LDRの 方 法 で は,要 員 数 に つ い ての方 針 制 約 や 資本 や 物 的設 備 の制 約 な どの種 々の制 約 条 件 を十 分 に考 慮 に 入 れ る こ とが で きな い。 制 約条 ・ 件 式 の数 を 増 す と数学 的 最適 解 の導 出が 困 難 に な って くる。

要 す るに,LDRの 方 法 で は,現 実 の 問題 状 況 を十 分 に考 慮 に 入 れ る こ と が で きな い お そ れが あ る ので あ る。 そ こで,次 節 以下 で のべ る種 々の ヒ ュー リス テ ィックな方 法が 展 開 され て きた の で あ る。 それ らの方 法 の共 通 の特 徴 は,現 実 的 な問 題 モ デ ル の 構 築 を重 視 し,現 実 の問 題 に た い して,数 学 的 一 最 適解 で あ る保 証 は な いが,有 効 で満 足 な解 を提 供 しよ うとす る と こ ろに あ

る。(未 完)

(49.12.28)

[数 学注](A)

上 掲 の2次 コス ト関数[3]に た いす る次 期 の最 適要 員数Wloを 決 定 す る 線 型 決 定 ル ール:

Wlo'=Σb。S。+h4Wo+h5‑h610[A1]

r=1

に お い て,

0〈

の

7'=1

が 成 立 す る こ とを 証 明す る。

ホル トらが 展 開 して い る よ うに,最 適 要 員 数WiOは,つ ぎの連 立方 程 式 を

㈹BuffaandTaubert,1972,ψ.cit・,P・226・v・Jtitiskeltiinen,̀̀AGoalPro‑

grammingModelofAggregateProduc七ionPlanning,"Sωedish/ournalq/

Economics,VoL71,No.2,1969,p,15.S.M.Lee,GoalProgrammin8/b7 1)ecision!望nalysis,Auerbach,1972,p.163.

、

62 商 学 討 究 第25巻 第4号

解 く こ と に よ6て 求 め る こ と が で き る(Holt,eta1・ ・1960・oP・cit・ ・PP・94‑

101)。

(C19‑C21λi+C172i2)W、+C17(1‑Ri‑1)VV2 の

=[1十Cg(1・ 一 λi)コ(Σ2i'一 ユ5。) r=1

+[C・5+C・ ・(1・一一・R・)]VVo‑・ ・+C8一 舞

1ま λ、・ づ一 ・・2[A3コ

こ こ に,ろ,払1,2は,補 助 方 程 式

C172‑2‑C21λ 一1十C22‑C21λ 十Cl7え2=・O〔A4]

の 根 で あ り,い ず れ も 実 数 か,ま た は 互 い に 共 役 な 複 素 数 で あ り,し か も, 0<擁1<1,i‑1,2[A5コ

で あ る 。

そ し て,

Clo≡Cl‑・'C6 C14≡2C8C4‑C12 q5≡2c2/c14 c16≡2(;sc42/c"

C17≡C8C15/C7

[A6]

cl8≡(csci6/c7)一(c"/2C,) C19≡2Cl5+C16+3C17+C18

C20≡C15+3Ci7+C18

C21≡C15+4C17+C18

C22≡ ≡C16十2C18十2C15十6C17

([A6]は 後 述 の[数 学注 コ ⑧ で も利 用 す るtiめ に,[数 学 注]㈹ に 黙 い て は不 要 な もの も含 ん で い る。)

[A3]をW1veつ い て解 き,[Alコ の各 係 数 と対 照す る と,

か ÷[A7]

ノ

瓦 万 鵜 万 輪 万

〒弓=砺梶馬=D

総合生産計再モデルの発展

21z2

+(1一 λ・〉(1一 λ・){C!・+C・7+C・8+C・ ・(2一 え・‑Z〜}]

み 一C・7(・ill‑R2)(1胴Z・ え・)+C・(R・ 嗣 え・)

λ1Z2(1‑Rl)(1一 λ2) λtλ2

C・ ・(2・ 一""R・)[C

、5+C、6

篤 一C1?熟 ご2){C・5+q・(1一 λ・)(1‑rえ ・)}

c17(λi‑22){C

8C、4(1一 λ、)(1・ 一 一,λ2)』

Ks==

C14λ1λ2(1一 え1)(1‑22)

‑C1●(1一 噂RIえ2)}

017(21一 λ2)

瑞 瓢

λ122

/

[A8]

[A9]

〔A10コ

[A11]L [A12]

[Al3]

[A14]

[A15]

Ri,i=1,2が 実 数 の ば あ い も 複 素 数 の ば あ い も,[A5コ の 性 質 か ら, (1‑・ λ1)(1‑‑R2)>0[A16]

2一 λ1‑・・Z2>0[A17]

1一 λ122>0[A18]

他 方 に お い て,コ ス ト.関 数 の 性 質 か ら, 0≦Cg,C、8,0<Cあ ブ=14,…,17 か く て

B。 。

・oく

D㍉ 黒δ・

・<Z≦Lh、<1

D・

・〈勢 一 ん・'(証 明 終)

63

64 商 学 討 究 第25巻 第4号

[数 学 注](B)

上 掲 の2次 コ ス ト関 数[3]に お い て,Cg=Cl2=Oの と き に は,次 期 の 最 適 生 産 量Ploと

Plo'・=Σa,Sr+k1We+k2‑‑h310[B1]

?。=1 の

Wlo=='Σb。S。+h4W,。+hs‑h6Jo,[B2]

r==1

に お い て,

Σar十hl/C4==1,[B3コ r=1・L

むロ ロ

C4Σb,+h4=1一[B4]

r=1

が 成 立 す る こ と を 証 明 す る 。

は じ め に,[B4]が 成 立 す る こ と を 証 明 し よ う 。

ホ ル ト ら が 展 開 し て い る よ う に(Holt,et.al.,1960,0p.cit.,PP.94‑97・),

目 的 関 数[3]に た い す る 最 適 要 員 数 は,つ ぎ の 式 か ら 求 め る こ と が で き る 。

fWtO^m72e

臣:

卿

κ 騙

=、K‑t

(1+cg)5、+(c、5+c、7)wo+c8‑(c、 。/c,,)‑1b

‑c・s・+(1+c・)s・‑c・ ・vv・ 一(c・ ・/c・4)

‑CgS2+(1+Cg)S3‑(C、 。/C、4)

‑Cgs3十(1十Cg)s4‑(CiO/c")

‑CgSi .、+(1+Cg)Si‑(C、o/C、4)

︑0

17C.

7●ーユれ CC.

一

    qらq.

一

 ユ ユqららら・

一一

〇217・ のる る CCCC

一一

917    CCC

一 ●●●●^t

. ●

雛.C.

一

17C

0

C22‑C21

●

■ ●

0

C17

● ●

● ● ■

[B5コ

[B6]