「立方体を平面で切ったときの切り口」の指導（中1）に取り入れる

(1)

「立方体を平面で切ったときの切り口」の指導（中1）に取り入れる操作・実験・コンピュータシミュレーションの効果の比較

佐藤瑛一＊稲生耕一＊＊飯島康男＊

（1995年10月13日受理）

AComparative Study on Effects between Manipulation・Experiment and Computer−simulaton Adopted in the Finding and Explaining of Section Faces of a Cube．

Eiichi SATo， Koichi INo， Yasuo ImMA （Received October 13，1995）

1．はじめに

中学校1年の「空間図形」の単元の中の「立方体を平面で切ったときの切り口の形」は，ふつう1，

2時間で取り扱われているが，少していねいに指導しようとすると，その何倍もの時間がかかる。なぜ，その形しかできないか等の「なぜ」を考えはじめると思いのほか難しくなるからである。また，

切り口はどんな形になる場合があるかを試行錯誤的に考えさせてみるだけでは，数学の指導としては物足りない。これを何のために指導しているのかわからない。

稲生もそう思っていた一人で，既に研究記録「立方体の切断」注1もある。しかし，その記録を佐藤や飯島が教材研究の立場から読んでみると，何となく実践計画を立て，実践し，記録を残してい

るだけに止まっているように見えてならなかった。

この題材の取り扱いについての実践的研究には，稲生の外にも多くの方が手がけられてはいるが，

どれも同様な感を与える。この題材の研究にはかなり多方面の研究が必要であるからかも知れない。

そこで3人でこの題材の取り扱いについての研究をやり直すことにした。できるだけ研究の視点を明らかにし，できるだけ比較研究によって結論を出してみようとした。

佐藤，飯島は研究計画を立てたり，教材・教具の工夫や授業計画や事前・事後の評価計画の上の注文を出した。稲生はそれに基づいて指導案の素案等を出し，3人で討議しては修正を繰り返した。

実際の授業は稲生が行い，メインの授業についてだけ佐藤・飯島が参観し，記録を取った。また，事前・事後のデータなども稲生が第一次資料を提出した。得られた結果はすべて討議の結果としての

ものである。

＊茨城大学教育学部（〒310 茨城県水戸市文京2丁目1−1）

＊＊新治郡出島村立北中学校（〒300−02茨城県新治郡出島村下軽部1232）

(2)

2．研究のねらい

立方体を平面で切ったときの切り口の形を中学1年生に考えさせるのに，ごく簡単な場合だけを考えるのであれば，見取図で足りるが，少し複雑な場合について考えさせるには何らかの教具を利用

したり実験を行ったりすることが必要になるので，どんな教具や実験が効果的であるかを明らかに

したい。

3．研究の方法

上の教具の工夫や実験として考えられるものの中で，効果的であると考えられるものに，切り口の形についての指導の一部に

（1）具体物による操作・実験を取り入れる。

（2）コンピュータシミュレーションを取り入れる。

がある。いずれも一長一短があると思われるが，それらがそれぞれどんな面で効果があるのか，またなぜ効果があるのかを，この条件だけを変えた2つのクラスで実際に授業を行って調べた。

4．研究の内容

4−1先行研究

（1）稲生の研究「立方体の切断」1）

立方体の見取図が正しくかけなかったり，立方体の断面図を見取図にかくとき，切り足りなくて切断面が立体の中に入ってしまう等不完全な解答が必ず出てくるという生徒の実態がある。そこでまず，見取図を丁寧にかくことを心がけさせ，切断面の決定については実際に具体物を切ること，教具を用いて切断の擬似体験をさせること，平面の決定条件をきちんとおさえることを指導の重点と

している。実際の指導においては，立方体の上面の隣合う2辺の中点を通る平面で切断したときの切り口の形をできるだけ多く考えさせることで導入している。生徒の予想の中には切り足りないものが出てくるので，透明な立方体に輪ゴムをかけて切断面を確認させ，どこが不完全なのか検討させたり，正しいものにはなぜそれでいいのか考えさせたりしている。

また，切断面の形は切り取られる立方体の面の数によって決まることに生徒が気付かなかったことの理由として，本授業の目的が明確でなかったことが挙げられており，平面図形の形は辺の数によって決まることを導入時に強調する修正案が示されている。また，立方体の面と切断面との交線がどこにできるか1つずつ丁寧に調べていくこと，空間概念を養う上からも立体としてのみ立方体を見るのではなく，3次元空間の中の立体として考えていけるようにすることも大事なことである。さらに，適切な図，正しい図を表現できるようにすること，特に，切り足りない不完全な形を完全な形へと生徒自身が気付いて修正していけるための手立てを考えておくこと，既習事項である空間図

(3)

形の位置関係を活用して理由を説明できるようにすることも必要である。

（2）石田茂氏の研究「空間概念の指導」2）

立方体の切断面にはいろいろな種類の形ができるが，これを統合的にとらえさせようとしている。

立方体を，その1頂点を共有する3辺上の各点を通る平面で切ったときの切り口は三角形になるが，

辺上の点のいくつかをその延長線上に移動させたときの切断面の形も考えさせている。このとき，辺上を移動させ，さらにその延長線上まで移動して考えるとはどういうことなのか，その意味が生徒に理解されないと発展的に考えることにはならない。ここで，3次元の座標空間的なものを用いて切

り口の見取図をかくようにしていることは，空間概念を養う上から1つの有効な方法と考える。

切り口の形に関しては，立方体の形をした寒天やじゃがいもを用いてその切断面をつくり，スタンプで押させて形を観察し，それを見取図上で考えさせるようにしている。これらのことは平面であることの確認にもなっている。見取図の上だけで考えさせるのは難しいと思われるので，このように具体物と結び付けて考えさせたり，操作することを取り入れたりすることは大切である。

空間概念については，空間に直線や平面がイメージとして浮かんでくること，それらの位置関係をイメージ化できることとしている。また，3次元空間の中に立方体を置き，それについての考察を通して，空間概念の形成を図っていくことが強調されている。

（3）コンピュータシミュレーションを利用した指導 K社の場合

3点を通る平面がただ1つに決まることを確認させた後に，立方体の辺上に3点を取ってできる平面でその平面を切ったとき，どのような切り口ができるか考察させている。このとき切断の方法と

して，切断箇所の固定か自分で3点を決めるかのいずれかを生徒が選択できるようにしてある。さらに，その立方体を回転させて切断面がいろいろな角度から見られるようにもしてあるが，切り口の形の確認に効果的であるかどうか，立方体を平面で切断しているという意識が生徒に明確になるか

どうかが問題である。

また，サブメニューとして，立方体を切断したときの見取図を見せ，その切断でできる立体の展開図を考えさせる問題も入っている。これをコピーすることで立方体の切断の模型作りにも利用できるようにもしてあり，展開図の学習との結び付きを考えている。

B社の場合

立方体を，3頂点を通る平面，1つの面の対角線を含む平面，隣合う2辺の中点を通る平面のそれぞれで切断した場合の切り口の形を考えさせ，次にそれと平行な平面で切ったときの形を考えさせている。このとき，画面には切断の見取図と切り口の実際の形の両方が表示されるようにしている。

しかし，生徒がこの2つを念頭で結び付けるとき，論理的に思考する必要もあり，かえって分かりずらくなっている面もある。また，いくつかの切断に関し，切り口の周りと展開図との関係をとらえさせるため，切り口の周りの線を含んだまま立方体を展開していくようすが観察できるようにもしている。切断面の図形を見取図にかくことと，それを展開図に示すこととを結び付けようとしてい

る。

(4)

（4）中学校指導書数学編3）

「第3節各領域の内容，B図形，第1学年，空間図形の切断，投影及び展開」の項において，次のように述べている。

「空間図形の考察に当って，その目的に応じて空間図形を切断したり，投影したり，展開したりする具体的な操作を取り入れることは，空間図形についての理解を深めるとともに，空間図形に対する見方やとらえ方を一層豊かにすることになる。その際場面に応じて，ある事柄の成り立つ理由を考えることによって，論理的に考察する基礎を培うよう配慮する必要がある。」

つまり，立方体の切断の学習では，空間における直線や平面の位置関係などの既習事項を活用し，

切り口の形についてそのような図形になる理由を考えたり，説明したりできることの必要性が強調されている。しかしそのためには，いろいろな切断の場合の結果を知り，そのようになる理由を何を基に説明すればよいかを生徒に意識させるための方策を考える必要がある。

（5）中学校数学指導資料「空間図形の指導」4｝

昭和52年の改訂学習指導要領は，「図形指導の改善」として空間図形に関する内容について，従前から取り扱われていた「空間における直線や平面の位置関係」に加えて，「平面図形の運動による空間図形の構成」と「空間図形の切断，投影及び展開」を新しく指導内容として定め，空間概念の育成を目指した指導がより重点的に行われるようにしたとしている。

空間図形の指導に関して「第2節図形指導の目標，3空間についての認識」で，空間の認識とは，

生徒がどんなことができるようになることかについて述べている。その1つとして「イ空間図形の図表現（ア）空間図形の概形や内部のしくみを示す図がかけること，（イ）空間図形を投影や切断によってとらえ，それを表現すること」を挙げ，「立体図形の見取図をかくこと，内部のおおよそのしくみを示す図がかけることが望ましい」としている。さらに「空間図形の全体構造をとらえる一つの手段は，それを視覚でとらえることが可能な二次元平面におとし，それらの合成によってそれらの全容を把握することである。そして，この目的達成のための数学的な手法の一つが，投影・切断という操作であるといえよう。」といっている。この指導でのねらいは，空間図形についての概念や性質の理解を深め，適切に図表現したり正しく作図したりする能力とこれらの知識や技能を活用す

る態度の育成といえる。

そして指導例の1つとして，立方体の辺や面の位置関係を考察し，それらをもとに空間図形としての直線や平面の位置関係へと発展させ（立方体の観察），考察の対象を立方体に限定して切断等の操作的な活動をするという指導計画に基づく事例を示している。この指導例では，油粘土で立方体をつくり，その立方体を一つの面の対角線を含む平面で切断するという条件のもとで，切り口の形を予想し，粘土を実際に切断し，測定によって確かめを行い，第2時で切り口が長方形になる切り方・

同大同形の二つの立体にする切り方を調べている。この指導では立方体や立体図形についての考察に当たっての見方・考え方に重点を置きたいとしているが，長さや角度などの測定による確かめが中心で論理的な扱いは強調していない。

（6）中学校数学指導資料「学習指導と評価の改善と工夫」5）

「第6節つまずきを生かし内容の習熟や維持を図る指導2学習指導と評価の実際」に関して，立

(5)

方体の切断についての指導を事例に用いている。立方体の切断でよく見られるつまずき，勘違い，不完全な理解のような間違いに対して，具体物を切ったり，コンピュータシミュレーションを見せるだけではこのつまずきを生かすことにはならないので，これらに加え，空間における直線や平面の位置関係についての既習事項と結び付けることで，論理的な思考の基礎を培い，空間図形に対する見方を育てたいとしている。そして，切る平面の方向を変えたり，通る3点を決めたりすると切り口にどんな形ができるか切断面を予想し，実際に切ることやシミュレーションによって予想を確認したり，既習事項を根拠にして演繹的に思考して予想の誤りや正しいことを説明することを通して，「空間図形は感覚だけでとらえようとすると間違えやすいが，このように学んだことを使って論理的に考えていくと，よく見えるようになる」ことを分からせる指導展開をしている。ここでシミュレーションを見せたことの効果，既習事項と結び付けるとき教師の援助が必要なこと，論理的に考えて理解できると生徒は充足感を味わうことなどについて述べている。

具体的操作と論理的思考の両方を並行的に行うことには我々の立場からも同感である。

4−2 この題材の取り扱いの歴史とねらい

（1）現行の「空間図形」の指導

① 昭和52年，平成元年の学習指導要領の時代

空間図形の指導内容の中で，「立方体をいろいろな平面で切ったときの切り口の形」について中学校数学で取り上げるようになったのは，昭和52年の学習指導要領からである。

第1学年図形

ω 図形をいろいろな操作を通して考察し，空間図形について理解を深める。

ア．空間における直線や平面の位置関係イ．平面図形の運動による空間図形の構成ウ．空間図形の切断投影及び展開

これらは，平成元年の中学校学習指導要領でも，（2）として，そのまま述べられている。「空間図形の切断」等が指導内容として取り入れられた経緯については，「空間図形の指導」注2に次のよう

に述べられている。

「第1学年の図形指導については，図形についての操作的な活動や直観的な取り扱いを中心とし，平面図形や空間図形の基本的な性質や構成についての理解をねらいとして，次のような内容に精選・

集約した。

ア．図形をいろいろな操作を通して考察し，空間図形についての理解を深める。

（イ（作図），ウ（計量）については省略）

空間図形に関する内容としては，従前から扱われていた「空間における直線や平面の位置関係に加えて，「平面図形の運動による空間図形の構成」及び「空間図形の切断，投影及び展開」を新

しく定め，空間概念の育成を目指した指導がより重点的に行われるようにした。」

② 昭和43年の学習指導要領の時代

昭和43年中学校学習指導要領では，第1学年図形に，上の（1）アに当たる

(6)

（1）図形をいろいろな観点から考察し，図形についての理解を深める。

ア直線と直線，平面と平面および直線と平面の位置関係

はあるが，「空間図形の切断」もその「投影」も「展開」もない。投影図が技術・家庭科との関連により全面的に削除されたためである。当時は，位相的性質を取り扱うことが一つの新しいねらいで，立体図形については第3学年で，「多面体の頂点，辺および面の間の関係」（オイラーの定理）

が取り扱われたりした。

② 戦後の「空間図形」の指導

①昭和22年，26年の学習指導要領の時代

いわゆる「生活単元学習」時代には，図形の「計量」や「投影図」などが強調された。例えば，

昭和26年度に使用された教科書（D社）の中3では図1の7− 14図のような切り口が取り扱われている。これは，投影図から実際の切り口の形を求める問題であるので，切り口の形の辺が立画面で基線に平行になる場合である。なお，問題3（図1の7−15図）は，頂点の平画面上の影となる点を決定するのに，考える要素がたくさんあってよい問題である。

L 7−13図は，六角ボルトの見取図と側面図である。平面図をかけ。（ねじの部分は，

はぶいてかいてみ。）

7−・14図

7−13図

2．7−14図の投影図は，四角柱を平画面に垂直な平面で切ったところを示して

いる。

この切り口の実際の形をかけ。

3．7−15図の投影図は角すいである。これに矢の方向から光があたったとき，この立体の影の形をかけ。

7−15図図1 昭和26年度使用教科書（D社，中3）より

(7)

② 昭和33年の学習指導要領の時代

昭和40年度に使用された教科書（C社）では，昭和22年，26年と同様に，立体の断面図を投影図によって考えさせているので，図2の8−47図のように簡単な場合だけが扱われている。（投影図はかなり体系的に扱っている。）

右の図は，四角すいの投影図において，底面に平行な平面で，

高さの半分のところで切ったときの，切り口の投影図をかく方法を示したものである。

問2．上の方法をいえ。

（例）

X

）

r■@、

̀ ヂ 9

A ・

8−47図

Y

図2 昭和40年度使用教科書（C社）より

（3）戦前・戦中の「空間図形」の指導一昭和17年の教授要目一

投影図や立体図形の切断が取り扱われるようになったのは，数学教育再構成運動の機運が高まり，改造運動の精神をも取り入れた，昭和17年の教授要目からである。

第1学年第二類第4学年第二類

図形の書き方（平面上の基本作図，簡単な投影図，種々の曲線）

投影図及び透視図形図形の切断

立体図形の平面による切り口を調べることは，1年と4年とで扱われているが，いずれの場合も投影図を学習した後，それを利用して調べるものである。また，切断面を作図する最終的なねらいは円錐曲線についての考察であり，1年でも立方体の切断そのものは扱わず，円錐や円柱の切断が扱われている。注3例えば，問題4にはかなりめんどうな作業が必要であるが，それらの作業によって円錐の母線と側面との関係や，空間における直線と平面の交点，それらの集まりとしての切り口の形などについての理解を深めることができる。

2．ニツノ三角形ABC， DEFガァツテ，三ツノ直線AD， BE， CF ハ同一ノ鮎0デソレゾレニ等分

サレル。

b

0！

！

C

∠

(8)

上ノ図ハ三角形ABCト鮎0トノ投影図デアル。

三角形DEFノ投影図ヲ書キコメ。

3．右ハ直圓錐ヲ底面二垂直ナ平面デ切ツタ圓デァル。コノ切ロノ線ノ投影図ヲ書ケ。

4．右ハ直圓錐ノ投影図デ直線sハ立書面ノ上ニアル。sヲ通ツテ立豊面二垂直ナ平面ト直圓錐トノ交線ノ平面図ヲ書ケ。

5．前間ノ直圓錐ノ側面ヲ展開スルト，平面ニ

ヨル切ロノ線ハドンナ曲線ニナルカ。

図3 昭和18年度使用「中等数1（二類）」（文部省，中学校用）より

なお，昭和20年度に使用された高等女学校の文部省「中等数学三」には，「立体の表現」（中学校用の二類）に相当の「投影図」の章に続いて「断面図」の章が置かれ，中学校用では取り扱っていない四角柱の切断を詳しく取り扱っている。

（4）「立方体の切断」を取り扱うねらい

立方体の切断そのものが中1で取り扱われるようになったのは昭和52年の指導要領以来のことに過ぎないが，それに近いことは既に昭和18年に使用された「中等数学1」（二類）で取り扱われていた。しかし，投影図の指導に中心が置かれ，それとの関連で立体図形の切断が取り扱われた。

空間図形としての線分や平面の投影図をある程度きちんと取り扱おうとすると，かなり論理的な扱いが必要になる。とすると，最近の「第1学年では具体的・直観的な取り扱いを行い，第2学年以降の論証指導への橋渡し的な意味合いを持たせる」という方針に合わなくなってしまうが，ある程度に論証的な内容を取り入れる方がこの題材を生かすことになる。

4−3既習事項との関連

（1）立方体の切断の指導と関連深い既習事項

立方体の切断の指導と関連深い既習事項としては次のものが挙げられる。

小2 ・箱の形の観察，作成

小4 ・立方体，直方体などの見取図や展開図

(9)

小6 中1

・直線や平面の平行や垂直

・角柱，角錐の表わし方，作り方

・見取図，展開図，正面から見た図または真上から見た図のよみ方，かき方

・直線や平面の位置関係

・同じ直線上にない3点を通る平面がただ1つ決まること。

・平行な2平面に第3の平面が交わってできる2つの交線は平行であること。

② 既習事項の生かし方

① 3点を通る平面で切る意味

K社小2下では工作用紙（方眼のついた厚紙）や，ヒゴとねんど玉で箱やさいころを作った後，

さいころを8個重ねて大きなさいころを作ること（図2）を扱っている。

これは例えば，「3点A，P， Eを通る平面で切断する」（図4）意味がわかりにくい時に生かすことができよう。大きなさいころ（図5）を，PQを通る平面でまっすぐ下へ切り下して行って半分に分けることは，「3点P，Q， Rを通る平面で切る」ことであると言い換えることができる。平面は同じ直線上にない3点でただ1つ決まるからである。平面は交わる2直線PQ， QRによって決まるからでもある。

A

D P

E R F

C A

G E

P

1 1

1 、 o 量

1 ， P ！か一

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L 一

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メ＿＿＿＿」匡＿＿ノ騨曽

ノ

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R

A

D ^P

R

P C

R F

図4 図5 図6

それらのことが明らかになると，rP， A， Rを通る平面で切る」場合には，まず図5の半分の直方体（図6）で考えさせ（切り口は△PARになる），更に切り進めればどうなるか（のこぎりの通る平面である△PAR上の線分AOが延長されて，やがてGを通る）を考えさせることもでき，あえてのこぎりで木片を切ってみる等の具体的操作は不要となるかも知れない。

②3点P，Q， R1を通る平面の決定

例えば，3点P，Q， R1を通る平面で切る場合（図7），図8のようにPQを通ってまっすぐ下へ切り下ろす場合は問題ないが，QQ がQR，にずれたときP はどこまでずれるかが問題である。

(10)

A

D ^P

ER

C

G

A

E

D ^P

F

C

G

A

E

Rl

D ^P

F

C

G

図7 図8 図9

「切り口は台形になる」と，何となく直観的に答える者が多いと思われるので，底面との交わりはなぜRlGになるかを考えさせ，「直線と平面の位置関係」で学習したことから， Eを通ってQPに平行な直線は，Eを通ってQ P に平行な直線つまりRiGになることを明らかにさせたい。

4−4教材教具の工夫

一つの平面による立方体の切り口の形を予想したり確かめたりするのに，実際に切断する具体物を何種類か考えると共に，コンピュータシミュレーションの利用も考えた。

ω コンピュータシミュレーションとその活用方法

各教科書会社から市販されているソフトを何本か当たってみて，本研究ではK社のものを使用することにした。選んだ理由としては次のことである。

①切断箇所の一部（切り口となる多角形の一つの辺）の固定化ができることと，自分で3点を決めてからそれらを通る切断面について調べることができること。（図10）

② 立方体を上下左右の方向に回転させることができることから，切断面をいろいろな角度から観察できること。（図11）

図10 ^図11

立方体を回転させていろいろな角度から見てみます。

臼キーを押しなさい。

(11)

コンピュータの台数，活用方法としては次のようにすることが望ましいと考えたが，ほぽその通りにすることができた。

①1グループ4，5名とし，各グループにノート型パソコン1台とシミュレーションソフトを配

布する。

② 最初からシミュレーションを見てしまうのでなく，まず予想した切り口を見取り図に書き入れてから考えさせる。

② 教具とその活用方法

具体物利用の学級では①角材，②ボール紙の立方体，③輪ゴムと立方体の木の枠，④水の入る透明な立方体をそれぞれ用意した。

①立方体の角材（5組）

1辺が10cm程度の立方体の角材。それをのこぎりで切断する。

② ボール紙の立方体

ボール紙で1辺が5cmの立方体の展開図をつくり（のりしろはつくらない），周りをテープでとめたもの。それをカッターで切断する。

③ 輪ゴムと立方体の木の枠（10組）

幅が5mm程度の角材で，1辺が5cmの立方体を枠だけ作ったもの。輪ゴムが引っかかるように木の枠に切り込みをいれておく。そのまわりに輪ゴムをかけて切断面との交線を作る。

④水の入る透明な立方体（5組）

1辺が10cm程度に作った透明なアクリル製の立方体。水が入るように1つの面に1円玉程度の大きさの穴を開けておく。水の量を調節し立方体を傾けて，水面で求める切り口を作る。

（3）予想したこと表1

長所短所シミュレ

[ション

・いろいろな角度からの断面図を知ることがﾅきる。・回転させて同じ図形をいろいろな角度から

ｩることができるので興味がもてる。・いろいろな場合について手軽に調べられる。

・切り口を斜めから見ることになるので（真ｳ面からみている場合でも確認はできないﾌで）場合によっては全く別の図形にみえﾄしまい，切り口の実形を確認することがﾅきない。

角材・実際に切ることで切断面を確認できる。・切るのに時間がかかる。・うまく平面にならない場合がある。

ボール紙ﾆ立方体

・平面で切るという操作に近い体験ができる。・線が引けても，線の通りに切るのが難しい。・平面になるかどうかの確認は切ってみるま

ﾅできない。

輪ゴムとﾘの枠

・手軽に交線を確認することができる。・切り口が平面かどうかの確認をしないと，

ﾋじれていても一つの平面とみてしまう。

水と透明ﾈ立方体

・平面と平面との交線が確認できる。・切り口は自ずから平面になるのでその確認

ﾍ必要ない。

・中に入れる水の量の調節が難しい・切断面を意図する形にするのが難しい。

(12)

4−5 3次元座標の考えを用いての作図

X

Z

図12

Y

作図方法（図12）

3点P，Q， Rが与えられている。

①PQNRSとなる直線を引いてY軸との

交点をSとする。

② SRの延長線とX軸の交点をTとすると TとQを通る直線を引く。

③ SとPを通る直線を引く。

④ 交点同士を結んで，切断面の交線の作図ができる。

座標平面に当たる3つの平面を利用して切断面を書き入れることを「座標の考え」を使ったかき方と呼ぶことにする。

5．実践指導による実証

5−1事前調査とその結果

（1）事前テスト（平成7年2月3日コンピュータクラス34名具体物クラス34名）

［問題1］次の立方体を平面できると，どのような切り口の図形になるだろうか。見取り図に必要な直線を書き入れよう。また，その図形の説明を枠の中に書こう。

［問1］点Aを通って底面に平行な平面を書きなさい。どんな平面になるか説明しなさい。

［調査結果］

正答数（正答率）

誤答数（誤答率）

誤答例平行が意識されていない生徒点Aと底辺の2点を結んでいる問題の意味が理解されていない無答（無答率）

合計

コンピュ 16（48％）

9（26％）

7 2 0

9（26％）

具体物 18（53％）

13（38％）

5 1 7

3（9％）

34 （100％）34（100％）

（以下同様）

(13)

［問2］2点A，Bを通って底面に垂直な平面をかきなさい。どんな平面になるか説明しなさい。

B

［調査結果］

正答数誤答数誤答例

答計無合

コンピュ 22（65）

7（20）

先の線でなく手前の線に交わる 6 三角形 1 長方形の底辺が閉じていない 0 5（15）

34（100）

具体物 23（68）

7（20）

0 2 5

4（12）

34（100）

［問3］頂点Aと底面の直径BCを通る平面を書きなさい。どんな平面になるか説明しなさい。

A

B

［調査結果］

正答数無答合計

コンピュ 22（65）

12（35）

34（100）

具体物 21（62）

13（38）

34（100）

［問題2］次の直方体において，3つの点A，B， Cを通る平面で切ると，その切り口はどのような図形になるだろうか。見取り図に切り口の図形を書きなさい。右の枠の中に説明を書きなさい。

誤

B

：；● 一一曽，，，， ■ 響響響 r 9 ■ ， ■

．・．

C ^4cm

［調査結果］

正答数誤答数

誤答例ゆがんだ五角形

ABCを結び辺ABと対辺が平行な台形を書く

4cm ABCを結んで三角形を書く ABCを通るが辺ABと対辺が平行でない

BCを通る四角形無答

合計

コンピュ 0 19（56）

1

49臼 1

1 1 15（44）

34（100）

具体物 0 24（71）

0

10りー

3 1 10（29）

34（100）

(14)

［考察］

①垂直に切断する場合は，側面の辺と平行であることを意識すれば比較的容易に作図できそうだが，その交線が底面との垂直を意識してかかれたものであるかどうかはこの調査だけでは明確でない。一方，底面に対して平行に切断する場合と垂直に切断する場合では幾分違いが見られそうだが，さらに明らかにするためには条件をそろえて調査しなければ確かなことはいえな

い。

② ［問題2］で，多少歪んではいるが，五角形を作図した生徒が1名いた。これは底面に対して縦の線（垂直の線）を横切っているので正答に近いものと考えた。また，辺ABと平行で点Cを通る直線を書いた生徒はそれぞれ4名と1名いた。これらも今後の授業では大切な考えである。

（2）前提テスト（平成7年2月4日実施，コンピュータ32名具体物32名）

［問題1］上の平面がABCD，下の平面がEFGHである立方体を書きなさい。

D C［調査結果］コンピュ A 正答数 30（94）

立方体 17 直方体（のようにみえる） 13 作図できない 2（6）

G

E 合計 32（100）

l

B−F

上で書いた立方体について次の間に答えなさい。

（問1）辺ABと平行な面を書きなさい。

［調査結果］

正答数 2面書く誤答数

誤答例 1面のみ辺を書く辺ABを含む面無答

合計

（問2）面EFGHと垂直な辺に○を付けなさい。

［調査結果］

正答数誤答数

誤答例平行な辺に垂直な面に頂点に無答

合計

コンピュ 3（9）

20（62）

9 10 1

9（28）

32（100）

コンピュ 21（66）

8（25）

2 0 6

3（9）

32（100）

具体物 26（81）

14 12

6（19）

32（100）

具体物 4（12）

19（59）

10

6 3 9（28）

32（100）

具体物 20（62）

9（28）

5 2 2 3（9）

32（100）

(15)

（問3）面AEHDと平行な面に色をぬりなさい。

［調査結果］

正答数誤答数

誤答例面AEHDに垂直な面にその他

無答合計

［問題2］次の立体の見取り図を書きなさい。

① 正三角すい［調査結果］

正答数誤答数

誤答例三角錐四角錐展開図投影図円錐投影図その他無答

合計 ② 正五角柱［調査結果］

正答数誤答数

誤答例三角柱展開図

底面として正五角形 2つを書き線で結ぶ投影図

五角錐無答

合計

［考察］

①

コンピュ 23（72）

2（6）

1 1 4（12）

3（9）

32（100）

11（34）

9 2 0 0 0 0 17（54）

32（100）

5（16）

3 0

2 0 0 26（81）

32（100）

具体物 25（78）

1（3）

1 0

5（16）

1（3）

32（100）

具体物 0 32（100）

0 0 9 8 6 9

0 32（100）

具体物 O l1（34）

2 4

3 1 1 21（66）

32（100）

「正確な立方体の作図」のために技術科で指導している「キャビネット図」の書き方を指導した。これは立体の一つの面を実物と同じ形に書き，奥行きの線を水平線に対して45度傾けて，

長さを実際の長さの1／2の割合で書き表す。さらに，数学の約束として記号のつけ方に付いて

(16)

も指導した。

② 見取り図と展開図，投影図の意味の区別がつかない生徒が多いので，小学校からの系統性をおさえ，用語について指導した。

5−2 「空間図形の切断」の指導案

（1）空間図形の目標

① 身の回りにある空間図形に関心を持ち，直線と平面，平面と平面の位置関係について調べたり，立方体を切断したりして空間図形の特徴を進んでとらえようとする。（関心・意欲・態度）

② 平面の図形で学習したことを基にして，平行，垂直，距離の概念を空間の図形まで拡張し，切断や投影によって空間図形の特徴を平面図形でとらえることができる。（数学的な考え方）

③ 直線と平面，平面と平面の位置関係を記号を使って表すことができる。また，多面体や回転体を見取り図や展開図に表すことができる。（表現・処理）

④ 空間における直線や平面の位置関係等空間図形の特徴がいえる。（知識・理解）

（2）指導計画（14時間扱い）

第1次空間図形の基礎・・…6時間第2次立体とその調べ方・… 6時間

まとめ

（3）各時間の指導第1時直方体の切断く目標〉

○ 立方体を平面で切断したときできる図形を，いろいろな方法で調べようとする。（関心・意欲・態度）

○ 切断面の図形が決定される理由を位置関係等から述べることができる。（数学的考え方）

○ 空間図形の位置関係等から直方体の切断面の形を書き込むことができる。（表現・処理）

○ 既習事項を使って，直方体の切断面の形を述べることができる。（知識・理解）

〈展開〉

第1時第2時第3時第4時第5時第6時第3次

直方体の切断立方体の切断切断面の作図多面体と展開動かしてできる図形立体の投影

……… ^Q時間

期待される学習活動と内容準備・資料教師の働きかけと評価

1．学習問題を知る。・具体的場面から問題設定をしてい

問題提示物 ^く。

次のような直方体がある。

下図のようにP，A， Eを通る平面で切断し三角柱を作るつもりで，のこぎりで切り出したところ

(17)

期待される学習活動と内容準備・資料教師の働きかけと評価 P，A， Rを通る面になってしまった。このま

ﾜ切り進めていくと切り口はどんな形になるだ

?､かいろいろな方法で調べてみよう。

@ D P

欣1… ・一・層 B一

CG

A

@ E

Q．（1）

@（結）

@（解）

@（2）

@ ア．

@ イ

@ ウ

@ エ．

@（3）

@（4）

R，し合う。

S．5．ろうか。

QR1

R F

竭閧解ｷる

@ 各自結果，解決の見通しを立てる

@ 四角形ができそうだ

@ 長方形や正方形，平行四辺形等

@ 直方体を切断する

@ 透明な直方体で実験する

@ 木の枠でできた直方体の周囲に輪ゴムを

@ まわし平面を作る

@ 見取り図に作図する

@ どの方法で調べるかは各自が決めグループ

@に分かれて調べてみる。

@ 具体物を切って調べるグループ

@ 透明な容器に水を入れて調べる

@ グループ

@ 立方体に輪ゴムを回して調べる

@ グループ

@ 見取り図に交線を引いて調べる

@ どのように実験し，その結果がどうであっ

@たかノートにまとめる。

@・見取り図に表す。

@・長方形や平行四辺形ができる。

@ 結果，わかったことについてグループ毎に

@話し合う。

@グループの代表者から発表があり，全体で話

@実験の結果からわかったことを発表する。

@最初に作ろうとした三角柱の側面が長方形にﾈる理由は。

@平行四辺形になる理由は。

@本時の学習でわかったことをまとめる。・交線は平面上にできること。・平行な2つの平面に1つの平面が交わるときそ

ﾌ交線は平行になる。・既習事項を基にして見取り図の中に切断面を

lえることができる。

@問題を解く。

@右の立方体を3点P，Q， Rを通る平面で切断ﾊしたとき，切り口の形はどんな図形になるだ

@ P

@ ：

@ ．し一一一曽・・

@ R3 R3 Rく

実験用具 vリント

sPシートnHP

?ﾌ物

vリント

・見通しを十分に立てさせ，自分で竄ﾁてみたい方法を考えさせるようﾉしたい。

E調べる方法が決まらない生徒には

｢ろいろな方法で試してみることを阜ｾする。・具体物としてはボール紙で作った

ｧ方体をカッター等で切断させる。・透明な容器と水を用意し，調べさ

ｹる。・木の枠でできた立方体の周囲に輪ゴムを回して考えさせるものを用意

ｷる。

E特に具体物で考えて結果を得た生 kにはそれで終了でなく，見取り図ﾉ表したり，その中でその図形がで

ｫる理由を考えさせる。・結果だけでなく，どうしてその形

ｪできたのかその理由も考えるよう阜ｾする。・結果だけでなく，平行や垂直等か

逅}形ができる理由を考えさせる。・3次元空間で調べるより，2次元

間（ノート）で考えた方が考えや

ｷいことに気づかせたい。・空間の図形として，平面の平行，

rｼ等から明らかになったことをまﾆめる。

E次時に扱う問題を考えさせることﾉよって，本時とのつながりを持たｹる。・平行な交線がどこになるのか押さ

ｦさせる。・P，Q，R1の場合は長方形， P，Q，R2の場合は平行四辺形，P，Q，R3の場

№ﾍ菱形，P，Q，R4の場合は五角形ﾆなることを見取り図等から判断さｹる。

(18)

第2時立方体の切断具体物を使った操作活動の授業く目標〉

○ 立方体の切断面を予測したり，調べたりする等の活動を意欲的に行うことができる。（関心・

意欲・態度）

○ 切断面の図形が決定される理由を既習事項と結びつけて述べることができる（数学的考え

方）

○ 立方体の見取り図に切断面を，位置関係等から書き込むことができる。（表現・処理）

○ 立体の切断面は，切った平面の数によって決定されることがわかる。（知識・理解）

〈展開〉

期待される学習活動と内容 1．前時の復習をする。

2．学習問題を把握する。

準備・資料

・提示物

教師の働きかけと評価

・前時に学習したことを見取り図を基にして復習する。

駿為

瑚鶏輔断よと面．つえの

秤焔ﾆ篇

通る馬口ぞをな，りれ

颪諭擬

q図恥ろ恥ない

櫨趨

伽の凌かq 畑驚賢

方口R動立り，れ臥題右，まれし問きそ但

Q

Rl°

P

Rr

R・R、 R，，R，，

（1）問題をよんでわからないところを質問する。

ア．3点を通る平面で切断するとはどんな意味か。

イ．Rを動かして切り口を考えるとはどんな意味か。

3．各自立方体を平面で切断することを考える。

3点を通る平面で切断した切り口を見取り

（1）

図に書き，

その図形の名称を書く。

まず点Rl， R2， R3について考える。

次にR4， R5ではどうなるか予想させる。

（2）各自で考えた結果をグループで検討する。

㈲はっきりしないものについては，具体物による実験等で確かめ，そこで得たことを見取り図に表す。

調べる方法毎にグループ活動する。活動しながら，図形が決定する理由を話し合う。

4．グループ活動する中ででてきた問題点や調べて分かったことなどを発表する。

5．次時の学習内容をきく。

見取り図に書く方法を学習する。

・前時の学習から「3点によって平面が決定すること」がわかっているので，見取り図に交線を書き入れることであることをおさえる。

・点P，Qを固定し， Rの点の取り方を変えながら，3点で決まる平面を見取り図に書き入れることをおさえる。

蛛@灘雛詠親

馬現次にさにピ表し Rに認ず図確まりて取い

癒鑑

゜物黙潔

K露

合，等にや同を助場合合うい場場よでああめなるるる面に本か

難゜㌘ζ・麟

羅鱗

灘囎繋

ンpジトト

甜π

具紙

る体をで体で

用ル

ント

ブリ

(19)

第2時立方体の切断コンピュータを利用した指導く本時の目標〉

○ 立方体の切断面を予測したり，調べたりする等の活動を意欲的に行うことができる。（関心・意欲・態度）

○ 切断面の図形が決定される理由を既習事項と結びつけて述べることができる（数学的な考え方）

○ 立方体の見取り図に切断面を，位置関係等から書き込むことができる。（表現・処理）

○ 立体の切断面は，切った平面の数によって決定されることがわかる。（知識・理解）

〈展開〉

期待される学習活動と内容準備・資料教師の働きかけと評価

1．前時の復習をする。コンピュータ

P台

・前時に学習したシミュレーションﾅ視聴させる。

2．学習問題を把握する。スクリーン

問題@右の立方体は3点P，Q， R1を通る平面で切断したとｫ，切り口の形はどんな図形になるだろうか。

Pp ： ql°

R6と R5， R4， RlをR2， R3，また，それぞれ動かしていろいろな切り口を考えてみよう。

Aし，P， Q， R1， R2， R4はそれぞれ中点とする。

@R2

q・R、R5 R・

（1）問題をよんでわからないところを質問す・前時の学習から「3点によって平面

る。

A，3点を通る平面で切断するとはどんな意

が決定すること」がわかっているのﾅ，見取り図に交線を書き入れるこ

味か。とであることをおさえる。

E点P，Qを固定し， Rの点の取りイ．Rを動かして切り口を考えるとはどんな方を変えながら，3点で決まる平面

意味か。を見取り図に書き入れることをおさ

える。

3．各自立方体を平面で切断することを考える。

ﾖ3点を通る平面で切断した切り口を見取り

@図に書き，その図形の名称を書く。

@ まず点Rl， R2， R3について考える。

プリント・個人差があるので，まずRrR3にﾂいて自力で考え見取り図に表現さｹる。この3つについて確認し次に次にR4， R5ではどうなるか予想させる。 R4， R5を取り上げる。・交線の数によって図形が決定するこ

と，平行な交線を取ることをおさえる。

②各自で考えた結果をグループで検討する。・切り口の図形の決定の理由を話し

№､ことで問題意識を持たせたい。

・解決にミスがある場合にはその理由を考えさせる。

・切り口の図形は平面でない場合や交線がねじれの位置にある場合伺一平面には交線がi本ある場合等を切り口を具体物で確かめるように助言す

・コンピュータシミュレーションに

（3）はっきりしないものについては，コンピ

@ュータを使って確かめ，見取り図に表す。 NEC98ノート

よって立方体の切断面を視聴し，

闌福ﾌ形をプリントに表すことで自切

グループ毎に役割分担し活動する。活動し 9台己評価させる。

ながら図形の決定の理由を話し合う。・調べる時間は十分にとりたい。

4．グループ活動する中ででてきた問題点や調べ

て分かったことなどを発表する。・学習してわかったことやまだよく墲ｩらないことなどを発表させた

5．次時の学習内容をきく。 ^い。

見取り図に書く方法を学習する。

(20)

第3時切り口の作図く本時の目標〉

○ 見取り図の中に，切断面を意欲的に作図することができる。（関心・意欲・態度）

○ 交線が引ける理由を垂直や平行等の位置関係から筋立てて説明できる。（数学的な考え方）

○ 見取り図に切断面の交線を垂直や平行等の位置関係から作図することができる。（表現・処理）

○ 作図に必要な基本的な概念を述べることができる。（知識・理解）

〈展開〉

期待される学習活動と内容 L 全体で比較検討する。

｛1）代表者の考えを聞く。

誤答例を取り上げる。

・きり足らない図形・ねじれの位置にある面等

② 三角形から六角形まで出来ることからわかることをまとめる。

ア

正三角形ウ

台形オ

イ

二等辺三角形工

六角形

五角形わかったこと

・切塑面の図形は切2た平面の数によって決まる。

・正二角形，二等辺二角形，台形，六角形，五角形ができる。

・七角形はできない。

㈲作図の方法を3次元座標を使ってまとめる。

Z

Y

X 2．練習問題を解く

問題立方体において，次の線分を通って切断した場合切り口の形はどんな図形になるか。

準備・資料

OHP模造紙に書いた生徒の切断図

掲示物

プリント

教師の働きかけと評価

・誤答例を取り上げ，平面の決定条件について再度確認する。

（1）一直線上にない3点を通れば平面が決まる。

（2）一直線と1点を通れば平面が決まる。

・具体的な操作活動と結び付けた形で図形の決定の理由を考えさせた

い。

・図形が決定される理由を平行・垂直等を基にして説明させる。

・交線がいくつあるのかによって図形が決定されることをおさえる。

・まとめは生徒の言葉でしていきたい。その中で，左の3点についてはおさえたい。

・空間図形の形質を使って作図する方法をできるだけ生徒側から発表するようにさせたい。しかし，でない場合には座標平面で作図する方法を知らせる。