12 略解 :2 次元離散ランダムウォークとラグランジュ / オイラー表現

(1)

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計算科学☆演習 II

樋口さぶろお^*1 配布: 2012-07-11 Wed^更新: Time-stamp: ”2012-07-13 Fri 17:34 JST hig”

12 ^略解 :2 次元離散ランダムウォークとラグランジュ / ^オイラー表現

12.1 ^略解 :2 ^項推定

1.

標本平均は ₁₀₀²⁰

= 0.2.

標本分散は ₁₀₀¹⁰⁰₋₁¹₅

(1 −

¹₅

) = 0.162.

2. 1.96 × √

0.162/100 = 0.080.

よって

95%

信頼区間は

0.20 ± 0.08.

2.58 × √

0.162/100 = 0.079.

^よって

99%

^{信頼区間は}

0.20 ± 0.10.

12.2 ^略解 :2 次元ランダムウォークのラグランジュ表現オイラー表現 1. int x[4][2]; int u[21][21];

2. int x[][2]={ {-3,2},{4,9},{6,-1},{7,2} };

u

についてはオフセットを

10

^{とすればいい}

.

u[-3+10][2+10]=1;u[9+10][2+10]=1;u[6+10][-1+10]=1;u[7+10][2+10]=1;

それ以外の

u

は

zero.

, http://hig3.net(講義のページもここからたどれます), ^へや:1

号館5^階502.

(2)

13 2 ^{次元連続値疑似乱数}

今週の目標

講義

•

^確率変数

X, Y

が独立かどうか判定できる

.

•

^周辺分布

p

X

(x), p

Y

(y)

が求められる

.

演習

• X, Y

が独立なとき

, p

XY

(x, y)

に従う疑似乱数が書ける

.

• X, Y

が独立でなくても

,

できるときには

,

変数変換で

p

_XY

(x, y)

に従う疑似乱数が書ける

.

13.1 quiz: ^周辺分布

2

^{変数の確率密度関数}

p

XY

(x, y) =

{

1

24

(1 + xy

²

) (0 ≤ x < 2, 0 ≤ y < 3)

0 (

他

)

を考える

.

周辺分布の確率密度関数

p

_X

(x), p

_Y

(y)

を求めよう

.

13.2 quiz: ^独立性

独立な確率変数

X, Y

の確率密度関数を

,

それぞれ

p

_X

(x) × p

_Y

(y)

の形に書こう

. 1.

p

_XY

(x, y) = {

1

18

xy

²

(0 ≤ x < 2, 0 ≤ y < 3)

0 (

他

)

2. p

XY

(x, y) =

 

 

 

 



1

12

(0 ≤ x < 1, 0 ≤ y < 1)

2

12

(1 ≤ x < 2, 0 ≤ y < 1)

3

12

(0 ≤ x < 1, 1 ≤ y < 2)

6

12

(1 ≤ x < 2, 1 ≤ y < 2) 0 (

他

)

3. p

XY

(x, y) =

 



 

1

3

x (0 ≤ x < 2, 0 ≤ y < 1)

1

6

x (0 ≤ x < 2, 1 ≤ y < 2)

0 (

^他

)

(3)

2 次元の確率分布

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

x

pHxL

1

次元の確率密度関数

p(x)

とサンプル分布

0

5

10 x

0 5

10

y 0.00

0.05 0.10

pHx,yL

0 2 4 6 8 10 12

x

y

2

次元の確率密度関数

p(x, y)

とサンプル分布

0 1 2 3 4

x

y

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

x

y

X, Y

が独立でない例

,

独立である例

3

(4)

-2 -1 0 1 2 -2

-1 0 1 2

x

y

-2 -1 0 1 2

x

y

円板内の一様分布の失敗例

,

成功例

getrandom2d ^の書き方 ( ポインタ使用 )

ソースコード1 getrandom2d

1 # i n c l u d e < s t d i o . h >

2 # i n c l u d e < s t d l i b . h >

3

4 d o u b l e g e t u n i f o r m ();

5

6 /* ^{新型}g e t r a n d o m */

7 v o i d g e t r a n d o m 2 d ( d o u b l e * x );

8

9 int m a i n (){

10 int n , n m a x ;

11 int s e e d ;

12 d o u b l e x [ 2 ] ; / * x , y */

13

14 s c a n f ("% d " ,& s e e d );

15 s c a n f ("% d " ,& n m a x );

16

17 s r a n d ( s e e d );

18 for ( n =0; n < n m a x ; n + + ) { 19 g e t r a n d o m 2 d ( x );

20 p r i n t f ( " % . 7 f , % . 7 f \ n " , x [0] , x [ 1 ] ) ;

21 }

22 r e t u r n 0;

23 } 24

25 /** この関数の中で必要な回数 だけ 26 d o u b l e g e t u n i f o r m () ^{を呼び}, 27 * x に乱数をセットする */

28

29 v o i d g e t r a n d o m 2 d ( d o u b l e * x ){

30 /*^{今までの}

31 d o u b l e g e t r a n d o m ( d o u b l e u ) 32 みたいなやつ x2 */

33 * x =2* g e t u n i f o r m () -1;

34 *( x + 1 ) = 3 * g e t u n i f o r m ();

35 r e t u r n ;

36 } 37

38 /** [0 ,1) 一様疑似乱数を返す */

39 d o u b l e g e t u n i f o r m (){

40 r e t u r n r a n d ( ) / ( R A N D _ M A X + 1 . 0 ) ; 41 }

(5)

getrandom2d ^の書き方 ( 配列のみ使用 )

ソースコード2 getrandom2d

1 # i n c l u d e < s t d i o . h >

2 # i n c l u d e < s t d l i b . h >

3

4 d o u b l e g e t u n i f o r m ();

5

6 /* ^{新型}g e t r a n d o m */

7 v o i d g e t r a n d o m 2 d ( d o u b l e * x );

8

9 int m a i n (){

10 int n , n m a x ;

11 int s e e d ;

12 d o u b l e x [ 2 ] ; / * x , y */

13

14 s c a n f ("% d " ,& s e e d );

15 s c a n f ("% d " ,& n m a x );

16

17 s r a n d ( s e e d );

18 for ( n =0; n < n m a x ; n + + ) { 19 g e t r a n d o m 2 d ( x );

20 p r i n t f ( " % . 7 f , % . 7 f \ n " , x [0] , x [ 1 ] ) ;

21 }

22 r e t u r n 0;

23 } 24

25 /** この関数の中で必要な回数 だけ 26 d o u b l e g e t u n i f o r m () ^{を呼び}, 27 * x に乱数をセットする */

28

29 v o i d g e t r a n d o m 2 d ( d o u b l e x [ ] ) { 30 /*^{今までの}

31 d o u b l e g e t r a n d o m ( d o u b l e u ) 32 みたいなやつ x2 */

33 x [ 0 ] = 2 * g e t u n i f o r m () -1;

34 x [ 1 ] = 3 * g e t u n i f o r m ();

35 r e t u r n ;

36 } 37

38 /** [0 ,1) 一様疑似乱数を返す */

39 d o u b l e g e t u n i f o r m (){

40 r e t u r n r a n d ( ) / ( R A N D _ M A X + 1 . 0 ) ; 41 }

演習の自由参加レポートやります !

p103=sim5.

^演習の

100

^{ピーナツに加えて}

1

^解法最大

5

^ピーナツ

,

^{複数解法最大}

10

^ピーナツ

.

できればもう

1

レポート

5,10

ピーナツくらい出題したい…

演習のプチテスト前補講 ( ^自由参加 ) ^やります !

2012-07-13

^金

4.

^{演習に続けて}

1-609

^{で作業できます}

. TA

のアドバイス受けられます

.

演習の夏のプチテストやります !

2012-07-20

金

3.

初夏と同じのり

(

個人戦

). 35

ピーナツ

.

出題計画

(2012-07-13,18

に修正するかも

)

•

^区間推定

(L11,L12)

• 2

次元離散ランダムウォーク

(L12)

• 2

次元の連続値疑似乱数

(L13)

5

(6)

いままで通り

R

ドライブにファイルを提出です

. Mahara

にページを作れという問題はありません

.

R

をつかって何をせよ

,

という問題はあります

.

何を求めよ

,

何のグラフを作れ

,

だけじゃなくて

,

ふだんの課題と同程度の

,

メニューの何を使って

,

くらいの指示は書きます

.

講義のレポート R02 のお知らせ

平常点

10

ピーナツのうち

(6–9

ピーナツ

).

演習の夏のプチテストまで

. http://www.a.

math.ryukoku.ac.jp/~hig/course/compsci2_2012/report

ファイナルトライアル出題計画 2012-07-18

^に修正

,

^{確定の予定}

.

外部記憶ペーパー使用可

(

作成

10

分

).

•

^逆関数法

(

の基本的なやつ

.

演習の初夏のプチテストの再出題

)

•

^逆関数法

(

の区間ごと定義の難しめのやつ

.

演習の初夏のプチテストの再出題

)

•

連続値確率変数の期待値

,

母平均

,

母分散

,

母標準偏差

•

^正規分布

•

^{中心極限定理}

• (

サンプルを与えられたときの

)

区間推定

• 2

次元の確率分布と周辺分布

• 2

次元の確率分布の独立性

• 2

次元の疑似乱数の生成

(

独立な場合

)

• 2

^{次元の疑似乱数の生成}

(

変数変換すると独立な場合

)

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12 略解 :2 次元離散ランダムウォークとラグランジュ / オイラー 表現

計算科学☆演習 II