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体積 を求める場合 も面積 の ときと同様 に,「細 か く切 って寄せ集める」が原則です

体積 の問題 は大 きく分 けて2通_{りに分かれ ます}.

それは「回転体Jと 「非回転体」です 「非回転体」

とは 「円柱 のナナメ切 りJに代表 され るような立体 で,どの方向か ら切 っても体積 を求めることがで き ますが,… 切 る方向は限定 され ます つ まり,回転軸 に垂直な断面 を考 えるのです

で は,下図の斜線部分 を ″軸 の まわ りに回転 し てで きる立体 の体積 は どうや って求め るので しょ

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回転体の体積 を求めるためには,まず回転軸に垂 な面で切ってから寄せ集める,  と考えます

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赤阪正純(httpソフ

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この円板の体積π_{/(■)}2グ″を

集 めれ ば よいので,

y=π∫ b{/(″

)}2α″ となるのです

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細かく切った「短冊」1枚 _(縦ノ^(″),横 α″の長 方形)を回転させると,薄い円板ができます

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″ 注 「回転 してで きた立体 を切 る」 とい うよ り も_,「回転す る前 に切 って,それ を回す」 とい うイ メージです

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″軸 とで囲 まれた部分 を回転 した体積

y軸とで囲まれた部分 を回転 した体積

例 題  υ=―^″2+2″ と ″軸で囲 まれた部 分について,次の体積 を求め よ

(1)″ 軸の周 りに回転 させてで きる立体 (2)υ 軸の周 りに回転 させてできる立体

考え方

図の斜線部分 を回転 させ るわ けです.回転 軸 に垂直 な面 で切 って 考 えよう.  

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スゴヽ 、¹

それでは具体例 で計算のコツを学ぼ う

■at評 ―

赤阪正純(httpンフ

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0

(1)

図の斜線部を回転さ せてできる微小区間の 体積は

例 題  円 ″2+υ2=25と _{円上 の 点(3,4)}

にお ける接線,および ″軸 で囲 まれた部分 を ″ 軸 の周 りに回転 させ てで きる立体 を求 め よ

考え方   先 ほ ど の 例 題 か らもわ か る よ うに,体 積 の計算 はかな リメ ン ドウな の で,少

しで も ラ ク に計 算 す る よ うに工 夫 しよ う

例 えば,今回の場合^, 図 の斜 線 部 分 を 回転 さ せ るわ けで す が,細^か

く分 割 して 足 す よ りも

「全体 か ら抜 く」 とい う 発想 が よいで し ょう

求 め る体 積 は,大線 の 円錐 か ら図 の 点線 部

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︲５一

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(2) 体積 は

図 の斜線 部 を回転 させ てで きる微 小 区間 の

π_(″22̲″12)×α″

よって,″ =1± _71‑υ

″1=1‑Vl― υ,  ^■2=1+71‑υ ^より,

よ って,

①  直線

^3″

体積 は

分 を抜 いた もの にな り ます

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前動が大のあ、ヽ_7t ドしすり諄^f―ヽ｀に

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ヽヽます^r/

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[25″一:″^3]:

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{25(5‑3)一 : (53 ̲33)}

=半 π

■

特 に,直線 を回転 させた立体の体積 を求めると きは,積分計算す るのではな く,図形の形 (今 回の場合 は 「円錐」)から体積 を計算す るのが

=4π ^×

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