代数学 III  演習問題 ３

2015.10.20

代数学 III ^{演習問題 ３}

3.1. K は可換環とし、f (X) = ∑

i

a

X

∈ K[X] は多項式とする。K - 代数 u : K → E と α ∈ E に対し、f の α での値 f (α) を f (α) :=

∑

i

u(a

)α

∈ E により定義する。また、 ξ := X (mod f ) ∈ K [X]/(f ) とおく。

(1) ϕ : K[X]/(f ) → E を K- 代数準同型とする。任意の g ∈ K[X] に 対し g(ϕ(ξ)) = ϕ(g(ξ)) である（従つて特に f (ϕ(ξ)) = 0 が成り立つ）

事を確かめよ。

(2) 写像

Hom

(K[X]/(f), E) → { α ∈ E | f (α) = 0 } ϕ 7→ ϕ(ξ)

は全単射である事を示せ。

3.2. K は体とし、 L はその拡大とする。 f ∈ K[X] は定数でない多項 式とする。このとき、 K- 代数 L ⊗

(K[X]/(f )) が体であるためには f が L 上既約である事が必要十分である事を示せ。

3.3. K は体、E はその拡大、f ∈ K [X] は既約多項式とする。α ∈ E が f の根であるとき、それを K に添加して得られる拡大 K(α) と

K [X]/(f ) とは（K の拡大として）同型である事を示せ。 （従つて特に

f の任意の二つの根 α, β に対し K(α) ≃ K(β) である。）

3.4. p を素数とし、 ω を 1 の原始 3 乗根とする。 Q の二つの拡大 Q ( √

p) と Q (ω √

p) の合成 (L, u, v) を三つ構成せよ。それらのうちどれとどれ

が（合成として）同型であり、どれとどれが同型でないか判定せよ。

3.5. K は体とし、Ω, Ω

は K の拡大とする。E, F は Ω の部分拡大で あり、少なくとも一方は K 上有限次と仮定する。

(1) E と F とが K 上線型無関連であるためには E ⊗

F が体である事 が必要十分である事を証明せよ。

(2) E と F とが K 上線型無関連ならば、任意の K-準同型 u : E → Ω

と v : F → Ω

に対し u(E) ∩ v(F ) = K である事を証明せよ。

3.6. K は体、 E, F, Ω はその拡大で、 E と F は Ω の部分拡大である とする。さらに F は或る既約多項式 f ∈ K[X] に対する K[X]/(f ) と

（ K の拡大として）同型であると仮定する。

(1) [F : K] = 2 かつ [E : K] が奇数ならば E と F とは K 上線型無関 連である事証明せよ。

(2) [F : K] = 3 かつ [E : K ] が 3 の倍数でなければ E と F とは K 上 線型無関連である事証明せよ。

1

2

テンソル積の復習 . K は可換環とする。二つの K- 加群 M, N に対し、

それらの テンソル積 M ⊗

N が定義される（ cf. 代数学 II ）．これは K - 加群であり、次の性質で特徴付けられる：

(1) K- 双線型写像 β : M × N → M ⊗

N ; (m, n) 7→ m ⊗ n があり、

(2) 任意の K- 双線型写像 b : M × N → L に対し b = ϕ ◦ β を満たす K - 加群準同型 ϕ : M ⊗

N → L が唯一つ存在する。

さらに M ⊗

N は以下の性質を持つ：

(3) M ⊗

N は K- 加群として m ⊗ n (m ∈ M , n ∈ N ) の形の元たちに より生成され（従つて集合として

有限和

∑

k

(m

⊗ n

) k

∈ K, m

∈ M, n

∈ N, の形の元たちから成り）、次の関係式を持つ：

(m + m

) ⊗ n = m ⊗ n + m

⊗ n, m ⊗ (n + n

) = m ⊗ n + m ⊗ n

, (km) ⊗ n = m ⊗ (kn) = k(m ⊗ n).

(4) 次の標準的な同型がある：

M ⊗

N ≃ N ⊗

M, (L ⊗

M ) ⊗

N ≃ L ⊗

(M ⊗

N ), K ⊗

M ≃ M, (L ⊕ M ) ⊗

N ≃ (L ⊗

N ) ⊕ (M ⊗

N ).

(5) さらに M が可換 K- 代数の構造を持てば M ⊗

N は自然な M - 加 群の構造を持ち、 N も可換 K- 代数の構造を持てば M ⊗

N は自然な K - 及び M - 及び N - 代数の構造を持つ。

3.7. K は可換環とし、 L は可換 K- 代数する。次の自然な同型がある 事を説明せよ。

(1) L- 加群として L ⊗

K

≃ L

. (n は自然数。 )

(2) L-代数として L ⊗

K[X] ≃ L[X]. (K[X], L[X] は多項式環。）

(3) f ∈ K [X] とするとき、 L- 代数として L ⊗

(K[X]/(f)) ≃ L[X]/(f ).

（右辺の f は K- 代数の構造射 K → L が引き起こす写像 K[X] → L[X]

による f の像である。）

3.8. K は可換環とする。 M, N はそれぞれ階数が m, n の自由 K-加群 とする。このとき M ⊗

N は階数 mn の自由加群である事を証明せよ。

3.9. K は可換環とする。 K - 代数としての自然な同型がある事を示せ。

(1) K[X] ⊗

K[X] ≃ K[X, Y ].

(2) f, g ∈ K[X] とするとき、

(K[X]/(f)) ⊗

(K[X]/(g)) ≃ K[X, Y ]/(f (X), g(Y )).