Strong and weak (1, 3) homotopies on knot projections
伊藤 昇
(早稲田大学高等研究所)瀧村 祐介
(早稲田大学大学院教育学研究科)谷山 公規
(早稲田大学教育学部)概 要
球面上のknot projection における、射影されたReidemeister moveを用い てstrong(1, 3), weak(1, 3) という局所変形を考え、この局所変形で２つの
knot projectionsが移り合うための条件をいくつか得た。
Definition 1.
球面上の
knot projectionにおいて、射影された
RI, RIIIを次のように定義する。
⇔ ⇔
R I R III
RIII
の外側のつながりかたで、さらに細かく
strong RIII , weak RIIIを定義する。
〜
strong RIII〜 weak RIII
これらは、向きを付けて考えると、次のようにも定義することが出来る。
〜 〜
strong RIII weak RIII
これらと、RI を組み合わせて、strong(1, 3), weak(1, 3) を次のように定義する。
〜 〜
〜 〜
strong (1,3) weak (1,3)
Theorem 1.
knot projectionP
において、P の
trivializing number (定義は[1]を参照) を
tr(P)と表すことにする。
(1) RI
において、tr(P
)は不変である。(Hanaki[1], [2])
(2) weak RIII
において、tr(P
)は不変である。
(3) strong RIII
において、tr(P
)は不変か
±2変化する。
Corollary 1.
weak(1, 3)
において、tr(P
)は不変である。
Theorem 1
を証明するために、次の
Theorem 2を
[1], [2]より引用する。
Theorem 2. (Hanaki [1], [2])
tr(P) = min { P
のコード図において、cross chords がなくなるまでコードを抜き
とる数
}cross chords
Proof of Theorem 1.
(2) weak RIII
において、コード図がどのように変化するかを調べることにより、証
明することが出来る。
a
c b
a
b c
a
c b
d
e f d
e
f
d e
f
P1 P2
〜 〜
P1 P2
Theorem 2
より、cross chords がなくなるまでコードを抜きとる際、点線の部分に
ついて
P1,P2に対し、同じように抜き取り、実線部分では
P1で
{b}または
{c}のコー ドを抜きとるならば、P
2では
{e}のコードを抜きとればよい。P
1で
{a, b}, {a, c}ま たは
{b, c}のコードをを抜きとるならば、P
2では
{d, e}, {f, e}または
{d, f}のコー ドをそれぞれ対応して抜きとればよい。P
1で
{a, b, c}のコードをを抜きとるならば、
P2
では
{d, e, f}のコードを抜きとればよい。
よって、weak RIII において、tr(P
)は不変である。
(3) strong RIII
においても、同様にコード図の変化を調べることにより、証明するこ
とが出来る。
a
b c
a
b c a
b
c
d
e f
d f e
d
e f
P P
〜 〜
1 2 P1 P2
strong RIII
において、tr(P
)が不変、±
2変化する例としては、次のようなものが
ある。
strong RIII〜
tr = 0 tr = 2
tr = 2 tr = 2
strong RIII〜
Theorem 3.
knot projectionsP1 , P2
が
weak(1, 3)で移り合う
=⇒ P1と
P2の図式を
postive化 して得られる
knotsは同じ。
positive ⇒
Proof of Theorem 3.
weak(1, 3)
を
positive化すると、knot diagram における
RI, RIIIによる変形に置き 換えられることから、証明出来る。
〜 〜
weak (1,3)
〜 〜
weak (1,3)
positive⇒
Definition 2.
P
のコード図において、コードの交点が全て横断的な二重点になるようにする。この とき、コードの最小交点数を
X(P)と表す。
X(P) = 10 P
Theorem 4.
(1) RI
において、X(P
)は不変である。
(2) weak RIII
において、X(P
)は
± 1変化する。
(3) strong RIII
において、X(P
)は
±3変化する。
Corollary 2.
strong(1, 3)
において、X(P
)は
mod 3で不変である。
Proof of Theorem 4.
それぞれ、コード図の変化を調べることにより、証明することが出来る。
(2)
a
c b
a
b c
a
c b
d
e f d
e
f
d e
f
P1 P2
〜 〜
P1 P2
(3)
a
b c
a
b c a
b
c
d
e f
d f e
d
e f
P P
〜 〜
1 2 P1 P2
Definition 3.
strong(1, 3)
を、さらに細かく次のように定義する。
1a 1b
3a 3b
Lemma 1.
P
が図の
(a), (b), (c), (d)のいずれも含まず、P が
P′と
strong(1, 3)で移り合うな
らば、P から
P′へ
1a, 3aのみで移り合う列が存在する。
Theorem 5.
P
が図の
(a), (b), (c), (d)のいずれも含まず、P が
P′と
strong(1, 3)で移り合うな らば、P
′は
Pに
(e), (f)を
connected sumしたものである。
(a) (b) (c) (d) (e) (f)
7
交点までの、prime で
reducedな
knot projectionを表にした。図中に書かれてい る数字は、X(P
)の値である。w で結ばれているのは
weak(1, 3)で、s で結ばれてい
るのは
strong(1, 3)で移り合うことを示している。
tr=0
tr=2
tr=4
tr=6
w
w w
s
s s
s
71
2
3
5 4
6
7
7
7
7 7
7
7
1 2
1 1
2 3
6
6 6
5 4 5
s s
0
3 4 7 8 11
10 12
14 15
18
21
11
10
11 A
B
C
w w
s
w s
12
11
14
w w
w
s w
7
7 7 31
w : weak(1, 3) s : strong(1, 3)
[3]
では、次の２つの
knot projectionは
RI, RIIIでは移り合わないことが示されて いる。
RI, RIII 〜
参考文献
[1] R.Hanaki, Pseudo diagrams of knots, links and spatial graphs, Osaka J, Math. 47 (2010), no. 3, 863 – 883.
[2] R.Hanaki,Trivializing number of knots, J. Math. Soc. Japan, to appear, pdf file available at http://mathsoc.jp/publication/JMSJ/pdf/JMSJ6511.pdf
[3] T. J. Hagge and J. T. Yazinski,On the necessity of Reidemeister move 2 for simplifying immersed planar curves,arXiv: 0812.1241.
