τ 函数の正則性 量子化された Weyl 群双有理作用における

1

量子化された Weyl _{群双有理作用における} τ _{函数の正則性}

黒木玄

2011

7

15

目 次

1 Weyl群双有理作用の量子化 1

1.1 対称化可能一般Cartan行列とWeyl群 . . . . 2

1.2 Weyl群双有理作用の量子化の構成 . . . . 3

1.2.1 Kac-Moody代数の下三角部分の場合 . . . . 3

1.2.2 量子展開環の下三角部分の場合 . . . . 4

2 量子 τ 函数とその正則性 6 2.1 量子τ 函数の定義 . . . . 7

2.2 量子τ 函数の正則性予想 . . . . 7

2.3 量子τ 函数の単項式表示と表現論への帰着 . . . . 7

2.4 任意の対称化可能Kac-Moody代数の場合の予想の証明 . . . . 9

2.5 有限型の量子展開環の場合の予想の証明 . . . . 9

3 古典の場合との比較 10 3.1 Weyl群作用の比較 . . . . 10

3.2 τ 函数の正則性の証明法の比較 . . . . 11

1 Weyl _{群双有理作用の量子化}

量子展開環を扱う場合には基礎体は F =C(q) であるとし, Kac-Moody 代数を扱う場 合には基礎体を F =C であると仮定する. この節の内容は本質的に筆者の論文 [1] に含 まれている. ただしWeyl群作用が τ_i たちを含む斜体に拡張されている点だけは新しい.

∗2011年7月12日: 作成. 「Weyl群双有理作用の量子化」「量子 τ 函数とその正則性」の二つの節を 書いた. このノートは未発表の最新結果を含むので取り扱い注意! 筆者が知る限りにおいて, Painlev´e系 の τ 函数が統一的にかなり満足できる形で量子化されたのはこのノートが初めてだと思う. このノートは

「τ函数はパラメーター変数の正準共役変数のexponentialである」という立場でτ 函数を量子化している.

2011年7月13日: 「古典の場合との比較」の節を追加. 2011年7月14日午前: たくさんの細かい誤り を修正した. 2011年7月14日午後: 「量子τ 函数の定義」の節を追加して,それに伴う修正をほどこし た. 2011年7月15日: 少しだけ加筆修正.

2 1. Weyl群双有理作用の量子化

この節で構成されるWeyl群作用は Noumi-Yamada [4] で構成されたWeyl群双有理作用 の量子化になっている.

1.1

Cartan

Weyl

A = [a_ij]_i,j∈I は対称化可能一般 Cartan 行列であるとする. すなわち A は整数を成分

に持つ行列であり, 以下が成立していると仮定する:

• a_ii= 2 でかつi6=j ならば a_ij 50.

• a_ij = 0 と a_ji= 0 は同値である.

• ある正の整数たち d_i (i∈I)で d_ia_ij =d_ja_ji を満たすものが存在する.

このノートでは添字集合 I は有限集合であると仮定しておく.

記号α^∨_i (i∈I)から生成される自由Z加群をQ^∨と表わし,記号Λi (i∈I)から生成され る自由Z加群をP と表わす. さらにそのあいだの内積h, i:Q^∨×P →Zをhα^∨_i,Λ_ji=δ_ij によって定める. α_j = P

i∈Ia_ijΛ_i (右辺は有限和)とおく. このとき hα_i^∨, α_ji = a_ij が成 立している. α_i^∨, αi, Λi のそれぞれを simple coroot, simple root, fundamental weight と 呼ぶ.

生成元s_i (i∈I)と以下の基本関係式で定義される群を W =W(A)と書き, Weyl 群と 呼ぶ:

• i6=j かつa_ija_ji = 0 ならば s_is_j =s_js_i,

• i6=j かつa_ija_ji = 1 ならば s_is_js_i =s_js_is_j,

• i6=j かつa_ija_ji = 2 ならば s_is_js_is_j =s_js_is_js_i,

• i6=j かつa_ija_ji = 3 ならば s_is_js_is_js_is_j =s_js_is_js_is_js_i,

• s²_i = 1.

最後の関係式s²_i = 1より,任意のw∈W に対してw=s_i1s_i2· · ·s_ilを満たすi₁, i₂, . . . , i_l∈ I が存在することがわかる. そのような最小の lを`(w)と書き,wの長さと呼ぶ. l =`(w) のとき si1si2. . . sil を wの簡約表示 (reduced exppression) と呼ぶ.

W は Q^∨ と P に次のように作用する:

s_i(h) = h− hh, α_iiα^∨_i (h∈Q^∨), s_i(µ) =µ− hα^∨_i, µiα_i (µ∈P).

たとえば

s_i(α_j^∨) =α^∨_j −a_jiα^∨_i, s_i(Λ_j) = Λ_j −δ_ijα_j =

(−Λ_i+P

k6=i(−a_ki)Λ_k (i=j),

Λj (i6=j).

この作用は内積 h, i を不変に保つ:

hw(h), w(µ)i=hh, µi (w∈W, h∈Q^∨, µ ∈P).

1.2. Weyl群双有理作用の量子化の構成 3

1.2 Weyl

1.2.1 Kac-Moody代数の下三角部分の場合

F=C 上の代数 U₁⁻ を生成元 f_i (i∈I) と次の基本関係式で定義する:

ad(f_i)^1−aij(f_j) = 0 (i6=j).

この関係式を Serre 関係式と呼ぶ. ここで ad(f_i)(x) = [f_i, x] =f_ix−xf_i とおいた. U₁⁻ は GCMA= [aij]に対応するKac-Moody代数の三角部分の普遍展開環に等しい. U₁⁻ の 下の添え字の 1は q = 1 の場合を扱っていることを意味している. q が genericな量子展 開環の場合については後で説明する.

Ae1 は U₁⁻ の剰余代数でOre整域になるものであるとし,fi の Ae1 での像も同じ記号 fi

で表わすことにする. もしも GCM A = [a_ij] が有限型またはアフィン型ならば U₁⁻ 自体 がOre整域になり, その剰余整域もすべてOre整域になる([1]).

生成元 α^∨_i, τ_i^±1 (i∈I) と以下の基本関係式で定義される F 上の代数を D1 と表わす:

α^∨_iα^∨_j =α_j^∨α^∨_i, τ_iτ_j =τ_jτ_i, τ_iα_j^∨τ_i⁻¹ =α^∨_j +δ_ij, τ_iτ_i⁻¹ =τ_i⁻¹τ_i = 1.

h=h⊗ZF=h⊗ZCとおく. S(h)⊂D1 とみなせる. µ∈P に対して τ^µ =Y

i∈I

τ_i^hα∨i,µi ∈D₁ とおく. このとき次が成立している:

τ^µhτ^−µ =h+hh, µi (h∈h, µ∈P).

D₁ はh 上の差分作用素環である. Weyl群W のQ^∨,P への作用はそのあいだの内積を保 つので, W は差分作用素環 D₁ に代数自己同型として自然に作用する. すなわち w∈W の D₁ への作用を we と書くと

˜

s_i(h) = h− hh, α_iiα^∨_i (h∈h, i∈I), w(τe ^µ) = τ^w(µ) (µ∈P, w∈W).

h∈h たちをパラメーター変数と呼び, we を w∈W のパラメーター変数と τ 変数への作 用と呼ぶことにする.

以上で定義した二つの代数 Ae₁ と D₁ のテンソル積代数を A₁ と表わす:

A₁ =Ae₁⊗D₁.

a∈ Ae₁, b∈ D₁ のそれぞれと a⊗1,1⊗b∈ A₁ を同一視することによって, Ae₁ と D₁ は A₁ の部分代数とみなされる. A₁ の中で Ae₁ の元と D₁ の元は互いに可換である.

Ae₁ はOre整域であると仮定したので, A₁ もOre整域になる. A₁ の分数斜体を K₁ と 表わすことにする.

上で定義した W の D₁ への代数自己同型としての作用をAe₁ 上に自明に拡張すること によって w∈W の A1 への代数自己同型としての作用we を定める:

e

w(h) =w(h), w(τe ^µ) =τ^w(µ)e , w(fe _i) = f_i (w∈W, h∈Q^∨, µ∈P, i∈I).

4 1. Weyl群双有理作用の量子化

このWeyl群作用は分数斜体 K₁ への作用を誘導する. w∈ W に対して we の A₁ への作 用のK1 への拡張も同じ記号 we で表わす.

一般に斜体の元 f, g に対して ad(f)(g) =f g−gf とおくとき, f のべき f^γ による g

の conjugation について形式的に次が成立している:

f^γgf^−γ = X∞

k=0

µγ k

¶

ad(f)^k(g)f^−k =g+γ[f, g]f⁻¹+γ(γ−1)

2 [f,[f, g]]f⁻² +· · · . γ が正の整数のときこの公式は γ に関する帰納法によって証明される. 十分大きなk に対 して ad(f)^k(g) = 0 となるならば, この公式を用いて任意の γ に対して斜体の元 f^γgf^−γ を定義できる. Serre関係式より f_i^γfjf_i^−γ ∈ K1 は well-defined である.

γ ∈h,µ∈P のとき形式的に次が成立している:

f_i^γτ^µf_i^−γ =f_i^γf_i^{−(γ+hγ,µi)}τ^µ=f_i^−hγ,µiτ^µ. この式によって f_i^γτ^µf_i^−γ ∈ K₁ を定義する.

実は γ ∈h のとき Ad(f_i^γ)(x) =f_i^γxf_i^−γ によってK₁ の代数自己同型Ad(f_i^γ) が定義で きる. Serre関係式から導かれるVerma関係式を用いると次の定理が証明される.

定理 1.1. Weyl群 W の生成元 si の斜体 K1 への作用を si(x) = Ad(f_i^α∨i)◦s˜i(x) によっ て定めることによって, W の斜体 K₁ への代数自己同型としての作用を定めることができ る. 作用の具体的な公式は次の通り:

s_i(α_j^∨) =s_i(α^∨_j) =α^∨_j −a_jiα^∨_i, s_i(τ_j) =





 f_i

Q

k6=iτ_k^−aki

τ_i (i=j), τ_j (i6=j), s_i(f_j) =f_i^α∨if_jf_i^−α∨i =

−aij

X

k=0

µα^∨_i k

¶

ad(f_i)^k(f_j)f_i⁻¹

=f_j+α^∨_i[f_i, f_j]f_i⁻¹+ α^∨_i(α^∨_i −1)

2 [f_i,[f_i, f_j]]f_i⁻²+· · · .

この定理の τi を除いた部分は [1]で証明されている. τi を含む場合への拡張は易しい.

1.2.2 量子展開環の下三角部分の場合

q があちこちに登場すること以外はほとんどKac-Moody代数の下三角部分の場合と同 様にして量子展開環の下三角部分にWeyl群双有理作用の量子化を構成できる.

いつものように非負の整数 k に対して, q 数, q 階乗,q 二項係数を次のように定める:

[x]_q = q^x−q^−x

q−q⁻¹ , [k]_q! = [1]_q[2]_q· · ·[k]_q,

·x k

¸

q

= [x]q[x−1]q· · ·[x−k+ 1]q

[k]_q! .

さらに q_i =q^di とおく.

F=C(q) 上の代数 U_q⁻ を生成元 fi (i∈I) と次の基本関係式で定義する:

1−aXij

ν=0

(−1)^k

·1−a_ij ν

¸

qi

f_i^νfjf_i^1−aij−ν = 0 (i6=j).

1.2. Weyl群双有理作用の量子化の構成 5

この関係式を q-Serre 関係式と呼ぶ. U_q⁻ はGCM A= [a_ij] に対応する量子展開環の下三 角部分に等しい. Aeq は U_q⁻ の剰余代数でOre整域になるものであるとし, fi の Aeq での 像も同じ記号 f_i で表わすことにする. もしもGCM A= [a_ij] が有限型またはアフィン型 ならば U_q⁻ 自体がOre整域になり, その剰余整域もすべてOre整域になる([1]).

生成元q^±α∨i,τ_i^±1 (i∈I) と以下の基本関係式で定義される F上の代数を Dq と表わす:

q^α∨iq^α∨j =q^α∨jq^α∨i, τ_iτ_j =τ_jτ_i, τ_iq^α∨jτ_i⁻¹ =q^α∨j+δij =q^δijq^α∨j, q^α∨iq^−α∨i =q^−α∨iq^α∨i = 1, τiτ⁻¹ =τ_i⁻¹τi = 1.

h∈Q^∨, µ∈P に対して q^h =Y

i∈I

(q^α∨i)^hh,Λii ∈D_q, τ^µ =Y

i∈I

τ_i^hα∨i,µi ∈D_q とおく. 特に τ^Λi =τ_i である. このとき次が成立している:

τ^µq^hτ^−µ =q^h+hh,µi =q^hh,µiq^h (h∈Q^∨, µ ∈P).

D_q はq^α∨i たちで生成されるLaurent 多項式環上のq 差分作用素環である. Weyl群 W の Q^∨, P への作用はそのあいだの内積を保つので, W は代数 D_q に代数自己同型として自 然に作用する. すなわち w∈W の D_q への作用を we と書くと,

e

w(q^h) = q^w(h), w(τe ^µ) =τ^w(µ) (h∈Q^∨, µ∈P, w ∈W).

q^h (h∈Q^∨)をパラメーター変数と呼び, we を w∈W のパラメーター変数と τ 変数への と呼ぶことにする.

以上で定義した二つの代数 Ae_q と D_q のテンソル積代数を A_q と表わす:

A_q =Ae_q⊗D_q.

a∈ Ae_q, b ∈D_q のそれぞれと a⊗1,1⊗b ∈ A_q を同一視することによって, Ae_q と D_q は A_q の部分代数とみなされる. A_q の中でAe_q の元と D_q の元は互いに可換である.

Ae_q はOre整域になると仮定したので, A_q もOre整域になる. A_q の分数斜体を K_q と 表わすことにする.

上で定義した W の D_q への代数自己同型としての作用をAe_q 上に自明に拡張すること によって w∈W の A_q への代数自己同型としての作用we を定める:

e

w(q^h) =q^w(h), w(τe ^µ) = τ^w(µ)e , w(fe _i) =f_i (w∈W, h∈Q^∨, µ∈P, i∈I).

このWeyl群作用は分数斜体K_q への作用を誘導する. w∈ W に対して we の A_q への作 用のK_q への拡張も同じ記号 we で表わす.

i6=j のとき,k = 0,1,2, . . . に対して帰納的に ad_q(f_i)^k(f_j)を次のように定める:

ad_q(f_i)⁰(f_j) = f_j, ad_q(f_i)^k+1(f_j) =f_iad_q(f_i)^k(f_j)−q_i^aij+2kad_q(f_i)^k(f_j)f_i.

ここで hα^∨_i , αj +kαii = aij + 2k に注意せよ. (この adq は量子展開環 Uq における coproduct ∆(f_i) = f_i ⊗1 +k_i⊗f_i に関する adjoint action に一致している.) このとき q-Serre 関係式は ad_q(f_i)^1−aij(f_j) = 0 と同値である.

6 2. 量子 τ 函数とその正則性 さらに i6=j のとき次が形式的に成立することを示せる:

f_i^γf_jf_i^−γ =

−aXij

k=0

q^(k+a_i ^ij)(γ−k)

·γ k

¸

qi

ad_q(f_i)^k(f_j)f_i^−k

=q_i^aijγf_j +q_i^{(1+aij)(γ−1)}[γ]_qiad_q(f_i)(f_j)f_i⁻¹ +q_i^{(2+aij)(γ−2)}[γ]_qi[γ−1]_qi

[2]_qi ad_q(f_i)²(f_j)f_i⁻²+· · · .

γ が正の整数のときこの公式は γ に関する帰納法で証明される. 和が −aij までなのは q-Serre 関係式よりad_q(f_i)^1−aij(f_j) = 0が成立しているからである. q-Serre関係式はq を q⁻¹ の移す変換で不変なのでこの公式の右辺で q を q⁻¹ に置き換えた公式も成立してい る. この公式を用いて f_i^γfjf_i^−γ ∈ Kq を定義する. さらに γ ∈Q^∨ のときこの公式の右辺 は K_q の元として well-defined であることにも注意せよ.

γ ∈Q^∨, µ∈P のとき, Kac-Moody代数の場合と同様に f_i^γτ^µf_i^−γ =f_i^γf_i^{−(γ+hγ,µi)}τ^µ=f_i^−hγ,µiτ^µ によって f_i^γτ^µf_i^−γ ∈ K₁ を定義しておく.

実は γ ∈Q^∨ のとき Ad(f_i^γ)(x) =f_i^γxf_i^−γ によってK1 の代数自己同型 Ad(f_i^γ) が定義 できる. q-Serre関係式から導かれるVerma関係式を用いると次の定理が証明される.

定理 1.2. Weyl群 W の生成元 s_i の斜体 K_q への作用を s_i(x) = Ad(f_i^α∨i)◦s˜_i(x) によっ て定めることによって, W の斜体 Kq への代数自己同型としての作用を定めることができ る. 作用の具体的な公式は次の通り:

s_i(q^α∨j) = q^{α∨j−ajiα∨i}, s_i(τ_j) =





 fi

Q

k6=iτ_k^−aki

τ_i (i=j), τ_j (i6=j),

s_i(f_j) =









−aij

X

k=0

q_i^{(k+aij)(α∨i−k)}

·α^∨_i k

¸

qi

ad_q(f_i)^k(f_j)f_i^−k (i6=j),

fi (i=j).

たとえば a_ij =−1のとき

si(fj) =q_i^−α∨ifj + [α^∨_i]qi(fifj −q_i⁻¹fjfi)f_i⁻¹ =q^α_i^∨ifj + [α_i^∨]qi(fifj −qifjfi)f_i⁻¹.

この定理の τ_i を除いた部分は [1]で証明されている. τ_i を含む場合への拡張は易しい.

2 量子 τ 函数とその正則性

以下,A はA1 または Aq を表わし, Kは A の分数斜体K1 または Kq を表わすとする.

2.1. 量子τ 函数の定義 7

2.1

τ

W eyl 群に関する一般論より, Weyl群 W におけるfundamental weight Λ_j の安定部分 群 W_Λj = {w ∈ W | w(Λ_j) = Λ_j} は s_j 以外の s_i たちで生成される W の部分群に等 しい.

前節で斜体 K=K₁,K_q へのWeyl群作用を構成した. τ_j へのWeyl 群の作用について s_i(τ_j) = τ_j (i6=j)が成立している. よって任意の w∈ W_Λj に対して w(τ_j) =τ_j となる.

これよりw, w⁰ ∈W に対してw(Λ_j) = w⁰(Λ_j) ならばw(τ_j) = w⁰(τ_j)が成立する. さらに 任意の µ∈P に対して

w(µ) = X

j∈I

hα^∨_j, µiw(Λ_j), w(τ^µ) = Y

j∈I

w(τ_j)^hα∨j,µi (w∈W)

であるから, w, w⁰ ∈W に対して w(µ) = w⁰(µ) ならば w(τ^µ) = w⁰(τ^µ) が成立する.

P⁺ =L

i∈ZZ₌₀Λ_i とおき,P⁺ の元をdominant integral weightと呼ぶ. さらにintegral Tits cone T ⊂P を

T =W P⁺={w(µ)|w∈W, µ∈P⁺}

と定める. P⁺ は T への W への作用に関する基本領域になっている. ν ∈T に対して量 子 τ 函数τν を

τ_ν =τ_w(µ) =w(τ^µ) (ν =w(µ)∈T, w ∈W, µ ∈P⁺)

と定める. 量子 τ 函数は Tits cone T 上の斜体 K = K₁,K_q に値を持つ函数 T → K, ν 7→τ_ν であると考えることもできる.

2.2

τ

次が筆者が定式化した量子 τ 函数の正則性予想である.

予想 2.1 (量子 τ 函数の正則性予想). 任意の µ ∈ P⁺, w ∈ W に対して量子 τ 函数 τ_w(µ) =w(τ^µ) は A =A₁,A_q に含まれる. すなわち µ∈ P⁺, w∈ W のとき量子 τ 函数 τ_w(µ) = w(τ^µ) はKac-Moodyの場合には fi, α^∨_i , τ_i^±1 たちの非可換多項式になり, 量子展 開環の場合には f_i, q^±α∨i,τ_i^±1 たちの非可換多項式になる.

この予想は Noumi-Yamada [4] の Theorem 1.3 の量子版になっている.

Kac-Moodyの場合には任意の対称化可能GCMについて量子 τ 函数の正則性予想を証

明し,量子展開環の場合には有限型の場合に予想を証明する.

2.3

τ

次の式によって K=K₁,K_q の元 φ_w(µ)を定義する:

w(τ^µ) = φ_w(µ)τ^w(µ) (w∈W, µ ∈P).

この φw(µ)は τi たちを含まない. (φw(µ) は fi, α^∨_i たちもしくは fi, q^α∨i たちで生成され るK=K₁,K_q の部分斜体に含まれる.) 量子 τ 函数の正則性予想は µ∈P⁺ のとき φ_w(µ) が A=A₁,A_q に含まれることと同値である.

8 2. 量子 τ 函数とその正則性 以下,µ∈P⁺,w∈W であるとし,w=s_il· · ·s_i2s_i1 は w の簡約表示であると仮定する.

Weyl群の元 w ∈ W のパラメーター変数と τ 変数への作用を we と書くことにしたの であった. 量子 τ 函数の正則性予想はwe⁻¹(φ_w(µ))が A =A₁,A_q に含まれることと同値 である. その we⁻¹(φ_w(µ))は次のように表わされる:

e

w⁻¹(φw(µ)) =f_i^−γ_l ^l· · ·f_i^−γ₂ ²f_i^−γ₁ ¹f_i^γ₁^1+hγ1,µif_i^γ₂^2+hγ2,µi· · ·f_i^γ_l^l+hγl,µi

ここで w_k =s_ik· · ·s_i2s_i1,γ_k =w⁻¹_k−1(α^∨_ik) =s_i1s_i2· · ·s_ik−1(α^∨_ik)とおいた. 量子 τ 函数の正 則性予想は µ∈P⁺ のときこの we⁻¹(φ_w(µ))が A=A₁,A_q に含まれることと同値である.

さらにこの条件は任意の λ∈P⁺ に対して

f_i^−hγ_l ^l,λ+ρi· · ·f_i^−hγ₂ ^2,λ+ρif_i^−hγ₁ ^1,λ+ρif_i^hγ₁^1,λ+µ+ρif_i^hγ₂^2,λ+µ+ρi· · ·f_i^hγ_l^l,λ+µ+ρi

=f^−hα

∨il,wl−1(λ+ρ)i

il · · ·f^−hα

∨

i2,w1(λ+ρ)i

i2 f^−hα

∨ i1,λ+ρi i1

×f^hα

∨i1,λ+µ+ρi

i1 f^hα

∨i2,w1(λ+µ+ρ)i

i2 · · ·f^hα

∨il,wl−1(λ+µ+ρ)i il

が f_i たちの多項式になることと同値である(実際には少し議論が必要).

ここで F_w(λ) を

F_w(λ) =f^hα

∨il,wl−1(λ+ρ)i

il · · ·f_i^hα₂ ^{∨i2,w1(λ+ρ)i}f_i^hα₁ ^∨i1,λ+ρi

と定義し, fi を fi に移す反代数自己同型を使えば, 上の条件は Fw(λ+µ)Fw(λ)⁻¹ が fi

たちの多項式になることと同値であることがわかる. (F_w(λ)は w の簡約表示の取り方に よらずに定まることが知られている. w の異なる簡約表示に対する F_w(λ) の右辺が等し いという等式はVerma関係式と呼ばれている.)

よって λ, µ∈P⁺ のときU₁⁻ と U_q⁻ の中でF_w(λ+µ) がF_w(λ) で左から割り切れるこ とを示せば量子 τ 函数の正則性予想が証明されたことになる.

w∈W と λ∈P に対して w◦λ=w(λ+ρ)−ρ とおく.

以下 U はKac-Moody 代数の普遍展開環 U₁ または量子展開環 U_q であるとし, ∆ はそ の余積であるとする. (U_q では ∆(f_i) =f_i⊗1 +k_i⊗f_i であるとする.) U⁻ は U₁⁻ または U_q⁻ であるとする.

λ ∈P に対して M(λ) は最高ウェイトλ を持つU 上のVerma 加群を表わし,µ∈P⁺ に対して L(λ)は最高ウェイト λ を持つ可積分既約表現を表わすものとする. M(λ) の最 高ウェイトベクトルをvλ と書き,L(λ) の最高ウェイトベクトルを uµ と書く.

このときv_λ⊗u_µ は M(λ)⊗L(µ) の最高ウェイトベクトルになり, 最高ウェイトλ+µ

を持つ Verma部分加群を生成する.

一般にλ ∈P⁺のときFw(λ)vλ ∈M(λ)は最高ウェイトw◦λを持つM(λ)のVerma部分 加群を生成する. 以下そのVerma部分加群とM(w◦λ)を同一視する: M(w◦λ)⊂M(λ), v_w◦λ = F_w(λ)v_λ. このとき M(λ) の元を a ∈ U⁻ によって av_λ と一意的に表わすと, avλ ∈M(w◦λ)と a が U− の中で Fw(λ) で左から割り切れることは同値になる.

さらに µ ∈ P⁺ を取ると, ∆(F_w(λ+µ))v_λ ⊗u_µ は最高ウェイト w◦(λ+µ) を持つ M(λ+µ)⊂M(λ)⊗L(µ) のVerma 部分加群を生成する.

そして ∆(Fw(λ+µ))vλ⊗uµ は(Fw(λ+µ)vλ)⊗uµ+· · ·の形をしている. よってもしも

∆(F_w(λ+µ))v_λ⊗u_µ∈M(w◦λ)⊗L(µ)

2.4. 任意の対称化可能Kac-Moody代数の場合の予想の証明 9

ならば F_w(λ+µ) は F_w(λ) で左から割り切れることになる.

これは表現論の専門家たちにはよく知られている translation principle の帰結である.

もしも M(w◦λ)⊗L(µ) がその U 部分加群 pr_ν(M(w◦λ)⊗L(µ)) たちの直和に分解 し, T_λ+µ^λ (M(w◦λ))を

T_λ+µ^λ (M(w◦λ)) = pr_λ+µ(M(w◦λ)⊗L(µ))⊂M(w◦λ)⊗L(µ) と定めるとき,

T_λ+µ^λ (M(w◦λ))⊂T_λ+µ^λ (M(λ)), T_λ+µ^λ (M(λ))∼=M(λ+µ),

T_λ+µ^λ (M(w◦λ))∼=M(w◦(λ+µ))

が成立しているならば, T_λ+µ^λ (M(λ)) は vλ ⊗uµ から生成され, ∆(Fw(λ +µ))vλ ⊗uµ ∈ T_λ+µ^λ (M(λ))はウェイトw◦(λ+µ)のsingular vectorであり,M(w◦(λ+µ))からM(λ+µ) へのU 準同型が定数倍を除いて一意的であることより,

∆(Fw(λ+µ))vλ⊗uµ∈T_λ+µ^λ (M(w◦λ))⊂M(w◦λ)⊗L(µ) となることがわかり, τ 函数の正則性予想が証明される.

2.4

Kac-Moody

U が Kac-Moody 代数の普遍展開環の場合には τ 函数の正則性予想の証明に必要な

translation principle に関する結果が Kac-Wakimoto [3] Lemma 1で(より一般の場合が) 証明されている. したがって任意の対称化可能Kac-Moody 代数の場合にはτ 函数の正則 性予想は成立している.

定理 2.2. 対称化可能な Kac-Moody 代数の任意の場合に τ 函数の正則性予想は成立す る.

2.5

U が量子展開環の場合には有限型に限れば τ 函数の正則性予想の証明に必要なtrans- lation principleに関する結果がJoseph [2] 8.4.10 で証明されている. したがって任意の有 限型量子展開環の場合には τ 函数の正則性予想は成立している.

特に任意の正の整数 N に対する A_N 型の場合に量子展開環の下三角部分において τ 函数の正則性予想は成立している. AN 型の量子展開環の下三角部分の n → ∞ での

inductive limit を経由して A_∞ 型の場合にもτ 函数の正則性予想が成立していることが

わかる. そしてA_∞ 型の場合の n 簡約によってA⁽¹⁾_n−1 型の場合にも τ 函数の正則性予想 が成立していることがわかる.

定理 2.3. 量子展開環の場合には有限型と A_∞ 型と A⁽¹⁾_n−1 型の場合には τ 函数の正則性 予想は成立する.