CM 周期の代数的整数論への応用の紹介

(1)

CM

周期の代数的整数論への応用の紹介

加塩朋和^*

2021

^年

3

^月

10

^日〜

12

^日プロジェクト研究集会

2020

*E-mail: kashio [email protected]

加塩朋和東京理科大学 CM周期と代数的整数論 14:50–15:30, 2021年3月12日 1 / 15

(2)

歴史

(CM)

周期記号

:

G. Shimura, Automorphic forms and periods of abelian varieties, J.

Math. Soc. Japan 31 (1979), 561–592.

絶対

CM

周期記号

:

H. Yoshida, On absolute CM-periods, Proc. Symposia Pure Math.

66, Part 1 (1999), 221–278.

p

^進絶対

CM

^周期記号

:

K-, H. Yoshida, On p-adic absolute CM-periods. I, Amer. J. Math.

130 (2008), no. 6, 1629–1685.

[CM

周期

: p

進周期

] (

比

):

K-, Fermat curves and a reﬁnement of the reciprocity law on cyclotomic units. J. Reine Angew. Math. 741 (2018), 255-273.

K-, On a common reﬁnement of Stark units and Gross-Stark units, preprint (arXiv:1706.03198).

(3)

CM

周期

(CM = complex multiplication =

虚数乗法

)

円周率

π = 2 Z

₁

0

√ 1

1 − x

²

dx = 3.1415 . . . R

₁

√1−x²

dx = R

_dx

y

on y

²

= 1 − x

²

⇔ x

²

+ y

²

= 1.

レムニスケート周率

ϖ = 2 Z

₁

0

√ 1

1 − x

⁴

dx = 2.6220 . . . R

₁

√1−x⁴

dx = R

_dx

y

on y

²

= 1 − x

⁴

(X,Y)=(^2y+2

x2 ,^4y+4

x3 )

99K E : Y

²

= X

³

+ 4X.

End(E) 3 [ϕ: (X, Y ) 7→ ( − X, √

− 1Y )],

ϕ

²

= [ − 1 : (X, Y ) 7→ (X, − Y )], ϕ

⁴

= id ⇒ End(E) ∼ = Z [i].

虚数乗法をもつ

E:

^楕円曲線

/ Q , i.e., End(E) ⊗

_Z

Q = K:

^虚二次体

⇒ π

⁻¹

Z

γ

dx

y =: p

_K

(id, id):

志村五郎氏の周期記号

(

の特別な場合

), Well-deﬁned only up to Q

^×

( ∵

^モデル

E/ Q ,

閉路

γ

の取り方

).

(4)

CM

周期と整数論

Theorem 1

f (z):

^保型形式

,

^重さ

k,

^{フーリエ係数}

∈ Q , τ ∈ K:

^虚二次体

, Im(τ ) > 0.

⇒ f (τ ) ∈ Q · p

K

(id, id)

^k

.

一般化

K: CM

^体

(

^{総実代数体}

K

⁺ ^{上の虚二次拡大体}

)

^に対し

“K

の虚数乗法をもつアーベル多様体の周期積分

”

で

,

“K

⁺ 上の

Hilbert

保型形式の

CM

点

∈ K

での値

”

や

“K

の代数的

Hekce

指標の

L

関数の臨界値

”

の超越数部分が表せる

.

(5)

CM

周期（一般の場合）

A/ Q : n

^{次元アーベル多様体}

s.t. End(A) ⊗

Z

Q ∼ = K: 2n

^次

CM

^体

.

⇒ H

⁰

(A, Ω

¹_A

) (

正則

1

形式全体

) ↶ End(A) ⊗

_Z

Q = K

∼ = L

σ∈Ξ

σ: n

個の

1

次元表現

σ ∈ Hom

_Q

(K, C )

の直和

, Ξ ⊂ Hom

_Q

(K, C): A

^の

CM

^型

, Hom(K, C) = {σ, σ | σ ∈ Ξ}.

A( C ) := C

ⁿ

/L ←[

^∀

CM

^型

Ξ, L := { (ξ(z))

_ξ_∈_Ξ

| z ∈ O

K

} . p

K

(σ, Ξ) := π

⁻¹

Z

γ

ω

σ

(

^∀

CM

^型

Ξ,

^∀

σ ∈ Ξ), K ↷

^σ

ω

σ

∈ H

⁰

(A, Ω

¹_A

), γ: A(C)

^の閉路

. p

_K

(σ, Ξ) =: Y

ξ∈Ξ

p

_K

(σ, ξ) s.t. p

_K

(σ, ξ)p

_K

(σ, ξ) = 1

と

“

分解

”

できる

: σ, τ ∈ Hom

_Q

(K, C ) ⇒

^∃

Ξ

i

3 σ s.t. X

i

n

i

Ξ

i

:= X

i

X

ξ∈Ξi

n

i

ξ = τ − τ

⇒ p

K

(σ, τ ) := Y

i

p

K

(σ, Ξ

i

)

ⁿⁱ²

(∵

^{志村の単項関係式}

).

Well-deﬁned up to Q

^×

.

※

CM

周期

⇐ H

_dR¹

(A) × H

₁^B

(A( C )) → C , (ω, γ) 7→ R

γ

ω.

(6)

Theorem 2 (Chowla-Selberg

公式) モジュラー判別式

: ∆(z) = q

Y

∞ n=1

(1 − q

ⁿ

)

²⁴

, q = e

^2πiz

,

^重さ

12. K:

^虚二次体

, χ =

⁻_∗^d

, L(s, χ) = P

n

χ(n)n

⁻^s

. (CSF) exp

12hL

^′

(0, χ) L(0, χ)

= (2π)

^12h

Y

a∈ClK

| ∆(a) |

²

.

∆(a) := N (a)

¹²

∆(

^ω_ω¹

2

)ω

₂⁻¹²

if a = Z ω

₁

⊕ Z ω

₂

, Im(ω

₁

/ω

₂

) > 0.

解析的類数公式

L(0, χ) =

^2h_w

. Lerch

の公式

L

^′

(0, χ) = P

_d

a=1

χ(a) log(Γ(

^a_d

)) − L(0, χ) log d.

Corollary 3

πp

_K

(id, id)

²

≡ Y

d a=1

Γ(

^a_d

)

^wχ(a)^2h

mod Q

^×

.

(7)

Corollary 3

πp

K

(id, id)

²

≡ Y

d a=1

Γ(

^a_d

)

^wχ(a)^2h

mod Q

^×

.

Example 4 (K = Q (i), h = 1, d = 4, χ : ( Z /4 Z )

^×

→ {± 1 } ) π

¹²

p

_Q_(i)

(id, id) ≡

Y

4 a=1

Γ(

^a₄

)

^χ(a)

= Γ(

¹₄

) Γ(

³₄

) .

c.f. p

_K

(id, id)

^虚二次体

≡ π

⁻¹

Z

γ

dx y

K=Q(i) y²=1−x⁴

≡ π

⁻¹

· 2 Z

₁

0

√ 1

1 − x

⁴

dx

= π

⁻¹

· ϖ =

^π

−1 2 Γ

(

¹4

)

2Γ

(

³₄

) .

虚二次体

⇒ CM

体

, Γ

関数

⇒ ???

吉田敬之氏の絶対周期記号

(

予想

)

(8)

吉田予想

Deﬁnition 5 (Barnes

の多重

Γ

関数)

Γ(x, (ω

₁

, . . . , ω

_r

)) (x, ω

_i

> 0) := exp



 d ds

X

m1,...,mr≥0

(x + m

₁

ω

₁

+ · · · + m

_r

ω

_r

)

⁻^s

s=0



 .

Example 6 Γ(x, (1)) = exp

d ds

P

m≥0

(x + m)

⁻^s

s=0

_Lerch

=

^Γ(x)^√_2π

. Conjecture 7 (

絶対

CM

周期記号

)

∀

K, σ, τ , p

K

(σ, τ ) ≡ Y

Γ(x, ω)

^a

× Y

b

^c

mod Q

^× ^の形

.

※

x, ω

i

, b, c ∈ K e

⁺

, a ∈ Q

^は明示的

, “

^{新谷基本領域}

”

^{の取り方による}

.

(9)

Example 8 (

円分体の場合

(

アーベル体

⇒

多重じゃない

Γ)) F

n

: x

ⁿ

+ y

ⁿ

= 1 J (F

n

)

^の成分は

Q(ζ

m

) (m | n)

^{の虚数乗法を持つ}

.

R

∃γ

x

^r⁻¹

y

^s⁻ⁿ

dx = B (

_n^r

,

_n^s

) =

^Γ(

r n)Γ(_n^s)

Γ(^r+s_n )

(0 < r, s, r + s < n).

Example 9

C

:

y²

=

⁷⁺^√₂⁴¹x⁶

+ (

−

10

−

2

√

41)x

⁵

+ 10x

⁴

+

⁴¹⁺₂^√⁴¹x³

+ (3

−

2

√

41)x

²

+

⁷⁻^√₂⁴¹x

+ 1,

C^′

:

y²

=

⁷⁻^√₂⁴¹x⁶

+ (

−

10 + 2

√

41)x

⁵

+ 10x

⁴

+

⁴¹⁻₂^√⁴¹x³

+ (3 + 2

√

41)x

²

+

⁷⁺^√₂⁴¹x+ 1.

J(C), J(C^′

)

はK

=

Q(√

2

√

5

−

26)

の虚数乗法を持つ. (※Q^上non-abelian) ωid

:=

^2dx_y

+

⁽

√5−1)xdx

y (C 上),ω^′_id

:=

^2dx_y

+

⁽

√5−1)xdx

y (C^′ 上).

π

⁻¹

R

γ

ω

_id

R

γ^′

ω

^′_id

; Y

20個の(x1,x2)

Γ

₂

(x

₁

+

³⁻₂^√⁵

x

₂

, (1,

³⁻₂^√⁵

))

× (

^√⁵₂⁻¹

)

¹⁹

√5+42 123 (√

5+13)

√

−8√

5+20+(√ 5+15)

√

2√ 5−26

6560

.

(₄₁¹,₄₁⁵),(₄₁²,¹⁰₄₁),(₄₁⁴,²⁰₄₁),(₄₁⁵,²⁵₄₁),(₄₁⁸,⁴⁰₄₁),(₄₁⁹,₄₁⁴),(¹⁰₄₁,₄₁⁹),(¹⁶₄₁,³⁹₄₁),(¹⁸₄₁,₄₁⁸),(²⁰₄₁,¹⁸₄₁), (²¹₄₁,²³₄₁),(²³₄₁,³³₄₁),(²⁵₄₁,₄₁²),(³¹₄₁,³²₄₁),(³²₄₁,³⁷₄₁),(³³₄₁,₄₁¹),(³⁶₄₁,¹⁶₄₁),(³⁷₄₁,²¹₄₁),(³⁹₄₁,³¹₄₁),(⁴⁰₄₁,³⁶₄₁).

(10)

応用と問題

数値例

&

精密化

Bouyer-Streng, Examples of CM curves of genus two defined over the reflex field, LMS J. Comput. Math., 18 (2015), no. 1, 507–538.

“

代数的数部分

”=?, “

相互法則

(

明示的な

Galois

群の作用

)”?.

Stark

予想

K-, On the algebraicity of some products of special values of Barnes’

multiple gamma function. Amer. J. Math. 140 (2018), no. 3, 617–651.

吉田予想

⇒ Stark

単数

exp(ζ

^′

(0, τ )) ∈ Q : e.g., Ex. 8 ⇒ cos(

^a_n

) ∈ Q .

精密化

:

単数性

?, ∈ ???, Rubin’s Integral reﬁnement version?

Kronecker

極限公式の拡張

Yoshida, Absolute CM-periods, Math. Surv. Monogr. 106(2003), Chap.V.

E(z, s) := ∑

(m,n)̸=(0,0)

y^s

|mz+n|^2s

(KLF)

= π

s−1+ 2π(γ−log(2√y|∆(z)|¹²¹)) +O(s−1)

. log |∆(z)|

^KLF

⇔ E(z, s) ⇒ ζ

K

(s), L(s, χ), Γ(

^a_d

) CSF.

(11)

(12)

応用と問題

(

続

)

Yoshida, Absolute CM-periods · · · , p63–

“geometric proof”: F

_n

: x

ⁿ

+ y

ⁿ

= 1 (Ex. 8) ⇒ p

_Q_(ζ

dK)

⇒ p

_Q₍^√₋_d

K)

.

“direct(?)”: Q (ζ

_d_K

) ⊃ Q ( √

− d) F

_d_K

⇔ E with CM by Q ( √

− d

_K

) R

γ dx

y の

“

^変数変換

”.

e.g.,

E : y

²

= x

³

− 595x − 5586, End(E) ∼ = Z [ √

− 7]

(CSF) πp

_Q₍^√₋₇₎

(id, id)

²

≡ Q

₇

a=1

Γ(

^a₇

)

^χ(a)²

=

^Γ(

1

7)Γ(²₇)Γ(⁴₇) Γ(³₇)Γ(⁵₇)Γ(⁶₇)

⇒ R

γ

√ dx

x³−595x−5586

;

^Γ(¹⁷^)Γ(_π²⁷^)Γ(⁴⁷⁾

= B(

¹₇

,

²₇

) = R

₁

0

t

⁻⁶⁷

(1 − t)

⁻⁵⁷

. Q ( √

− 5), h

_Q(^√₋₅₎

= 2 ⇒ R

γ

√

dx x³+√⁴

5x²−(5+3√ 5)x+√⁴

5(5+√ 5)

; qR

₁

0

t

⁻¹⁹²⁰

(1 − t)

⁻¹¹²⁰

R

₁

0

t

⁻¹⁷²⁰

(1 − t)

⁻¹⁴²⁰

.

(13)

p

進類似

· · · de Rham

の同型

⇒ p

進

Hodge

の比較同型

CM

周期

: H

_dR¹

(A) × H

₁^B

(A) → C , (ω

_σ

, γ) 7→ π · p

_K

(σ, Ξ).

⇐ H

_dR¹

(A) ⊗

_Q

C ∼ = H

_B¹

(A) ⊗ C & H

₁^B

(A) × H

_B¹

(A) → Q .

H

_dR¹

(A) ⊗

_Q

B

dR

∼ = H

_p,et¹

(A) ⊗

_Qp

B

dR

, H

_B¹

(A) ⊗ Q

p

∼ = H

_p,et¹

(A).

⇒ p

進周期

: H

_dR¹

(A) × H

₁^B

(A) → B

_dR

, (ω

_σ

, γ) 7→ π

_p

· p

_K,p

(σ, Ξ).

Theorem 10 (Coleman

の公式

on abs.Frob. ↷ F

_n

/ F

p

(p ∤ 2n))

G(

_n^a

) = Γ

^関数・

p

^進周期

CM

周期

:=

Γ(_n^a)

√2π

π

1 2−⟨_n^a⟩

p

Q

(b,n)=1

p

_Q_(ζ_n_),p

(id, σ

_b

)

¹²^−⟨^abⁿ^⟩

π

¹²^−⟨ⁿ^a^⟩

Q

(b,n)=1

p

_Q_(ζ_n₎

(id, σ

b

)

¹²^−⟨^abⁿ^⟩

.

[abs.Frob. ↷ H

_cris¹

(F

n

/ F

p

)] ; p

¹²^−⟨^aⁿ^⟩

G( h

^pa_n

i )

Φ

_cris

G(

^a_n

) ≡ Γ

p

( h

^pa_n

i ) mod µ

_∞

.

(14)

円分体

⇒

^一般の

CM

体

Conjecture 11

K-, On a common reﬁnement of Stark units and Gross-Stark units (arXiv:1706.03198)

Theorem 12

Cnj. 11 ⇒ rank 1 abel Gross-Stark

予想

(

解決

), Stark

単数の相互法則

Example 13

Thm 10: G(

_n^a

) :=

Γ(^a_n)

√2π

π

1 2−⟨^a_n⟩

p

Q

(b,n)=1

p

_Q_(ζ_n_),p

(id, σ

_b

)

¹²^−⟨^abⁿ^⟩

π

¹²^−⟨^aⁿ^⟩

Q

(b,n)=1

p

_Q_(ζ_n₎

(id, σ

b

)

¹²^−⟨^abⁿ^⟩

,

⇒ p

¹²^−⟨ⁿ^a^⟩

G( h

^pa_n

i )

Φ

_cris

G(

_n^a

) ≡ Γ

_p

( h

^pa_n

i ) mod µ

_∞

. G(

_n^a

)G(

ⁿ⁻_n^a

) =

^Γ(

a n)

√2π Γ(ⁿ⁻_n^a)

√2π

=

_{2 sin(}¹a

nπ)

∈ Q

^Thm.10

↶ Φ

cris

|

_Q

p

; Frob.

at p.

(15)

応用・問題

数値例

⇒ Bouyer-Streng, Examples of CM curves . . . ω

_i

= P

a

⁽ⁱ⁾n

t

^{n dt}_t

∈ H

_cris¹

, Φ

_cris

(ω

₀

) = αω

₁

⇒ α = lim

nk a(0)

nk

→0

pσ

_p

(a

⁽⁰⁾nk

) a

⁽¹⁾pnk

.

e.g., E : y

²

= 1 − x

⁴

, ω =

^dx_y

= P

( − 1)

ⁿ⁻⁴¹

−1

n−21 4

p ≡ 1 mod 4 ⇒ α = lim

k→∞

p( − 1)

^pk⁴⁻¹

−1

pk−12 4

( − 1)

^pk

+1−1 4

−1 2 pk+1−1

4

= p · Γ

p

(

³₄

) Γ

_p

(

¹₄

)Γ

_p

(

¹₄

) .

精密化

Coleman

の公式の

“1

の冪根部分

”

の復元

.

p

^{進周期そのもの}

? c.f.

^吉田予想

· · · CM

^周期

v.s.

^{多重ガンマ関数}

.