実験屋のための実践的核反応論

実験屋のための実践的核反応論

東大CNS 下浦 享

はじめに

(目標)

「核反応で、何をどうやれば何がどの程度わかるか?」についてのセンス を磨き、実験提案や実験解析に実践的に生かせるようになろう

(素朴な疑問)

• 核反応モデルの背後にある基本的考え方、予言能力、限界は？

• 計算コード(ECIS, DWUCK, ...)は結局何を計算しているのか？

• 手計算で何がわかり、計算コードの出力から何を読み取るのか？

• その他(受講者からの疑問を歓迎する) (内容)

初日(2コマ)は、主に青色の部分について、非相対論的な散乱の量子論の 解説を中心にする

(資料)

プレゼンテーションに加えて、実際の計算のための公式、コードの使い方、

advance level の公式などのメモを提供する

Menu

• おさらい

• Distortion

• 核子あたり 100 MeV 以上の陽子衝突を除いて、平面波ボルン近似の criterion は満たさない

• 別の近似方法：Eikonal 近似

• 相互作用領域で、どれくらい波が歪んでいるのか？

• 歪んだ波を用いた近似は？ (DWBA)

• 非弾性散乱と B(Oλ)

• Isovector と Isoscalar

• Bernstein’s Prescription

• 核応答

• 集団性、相関

• Spectroscopic Factor について

• ANCとSpectroscopic factor

• DWBAコードの使い方、注意点

おさらい

a+A → (b+B) 反応

この反応を含む、a+Aで入射する核反応を記述する波動関数は、漸近形が 以下の条件を満たさなければならない

• すべての開いたチャンネルには、原点から外向きに広がる波がある

• 入射チャンネルだけに入射平面波がある

• 入射平面波以外に内向きの波はない

• 閉じたチャンネルの振幅は0である これらの条件を満たす波動関数

( )

( ) ( ) ( ) ^{( )}

B b

A a

k k r f

r ik r

k

φ φ φ

π φ

φ φ ϕ

β

β βα α β β

β β β α

α α α

=

>

+ +

→ Ψ

∑

+

2body exp ,

2 1

,

2 / 3 )

(

r r r r

(

α

^,

β

) ^{: Scattering Amplitude}

βα

k k

f r r

おさらい

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) _{( )} ( )

α α

α α

α α

α α

α α

α α

α

α α α

α α

α

α α

α α

ε µ ε

ϕ π

ϕ ξ

φ ξ φ

ξ φ ε ξ

φ ξ ξ

φ ε ξ

φ ξ

ξ µ ξ

ξ ξ ξ

ξ

ξ ξ ξ

ξ

2

wave Plane

Incoming

:

2 exp

, 1

] [

at of

function eigen

an :

,

;

] [

2 ,

,

, , ,

,

;

, ,

2 2 2

/ 3

2 2

E k

r k i r

k

r H

r k h

h

r r

T r

h

r V r

T r

h E

H

V H

r h h

h H

A a

tot

tot A

A a

a

A A A A

A A A a

a a a

a a a

A a

A a

A a

A a

A A a

a

h r r r r

r r r

h r r

r

r r

r

r

+ +

=

⋅

=

∞

→

= Φ

=

=

∞

→

∇

−

=

→

+

= Ψ

= Ψ

+

= +

+

=

a A

α α

µ

α

p k r r = h

;

2体の重心系 (a+A=αチャンネル) のハミルトニアン、固有関数

(a+A) → b+B 反応： b+B チャンネルのハミルトニアン

^おさらい

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ^{( ) ( )}

( ) ( ) ( ) ^{( ) ( )}

] [

at functions eigen

:

exp , 2

1

and ,

;

] [

2 ,

,

, , ,

,

, ,

, ,

2 / 3

2 2

∞

→

= Φ

= Φ

=

=

∞

→

∇

−

=

→

+

=

+

= +

+

=

+ +

=

β

β α

βα β

β β β

β β β

β β

β β

β β

β

β β β

β β

β

β β

β β

α α

ξ φ ξ π φ

ξ φ ξ φ ϕ

ξ φ ε ξ

φ ξ ξ

φ ε ξ

φ ξ

ξ µ ξ

ξ ξ ξ

ξ

ξ ξ ξ

ξ

ξ ξ ξ

ξ

r

k k r f

r ik r

k

h h

r r

T r

h

r V r

T r

h

V H

r h h

h

r h h

h H

B B b

b sc

B B b

b

B B B B

B B B b

b b b

b b b

B b

B b B

b

B b B

B b

b

A a

A A a

a

r

r r r r

h r r

r

r r

r

r r

β β α

α

ε ε µ

ε µ

ε 2 2

2 2 2

2

k k

E

_tot

=

_a

+

_A

+ h =

_b

+

_B

+ h

B

b

β β

µ

β

p k r r = h

;

おさらい

Lippmann-Schwinger Equation

境界条件を含んだ積分方程式

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ^E ( ) ^E

S

E i V

H E E

E

i E H

E i

E i V

H E E

E

V H

V T

h h

H

E E

E H

A a

) ( )

(

) ( )

(

) ( )

(

) ( )

(

1 1

+

−

−

−

+ +

+ +

Ψ Ψ

=

− Ψ + −

Φ

= Ψ

+ Φ

= −

+ Ψ + −

Φ

= Ψ

+

= +

+ +

=

Ψ

= Ψ

α β

βα

α α α

α α

α

α α α

α α

α α

α α

α α

η η

η

η

内向き球面波をもつ解

散乱行列(S行列)：

平面波 Φ_β が見出される確率振幅

外向き球面波をもつ解

T 行列、微分断面積、散乱振幅

おさらい

( ) ( ) ^{( )} ( )

( ) ^{( )} ( )

( )

( ) ^{( )}

β βα

(

α β

)

β α

βα

β α

βα α

β β

βα

α α

α α α

α α β

β β β

α α

α α

β β

β β

β β β β

α βα

µ π

σ

ξ ξ

ξ

ξ ξ

ξ

k k

T k

k f

k k

v f v d

d

r k r

V r

k

r k r

V r

k k

k T

r r

h r

r

r r

r r L r

r r

r L r r

r r r

r

2 , ,

, Form Prior

:

, , ,

, ,

, Form Post

:

, ,

, ,

, , ,

2 2

2 )

(

) (

−

= Ω =

Φ Ψ

=

Ψ Φ

=

−

+

平面波

T行列が計算できれば、微分断面積が計算できる

おさらい

平面波ボルン近似 (PWBA)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ^{( )} ( )

( ) ^{( )} ( )

Form Prior

:

, , ,

, , Form Post

:

, , ,

, , ,

...

, , ,

, ,

...

, , ,

, ,

) (

) (

α α

α α

α α

α β

β β β

α α

α α

β β

β β

β β β

β α

βα

β β

β β

β β

β β

α α

α α

α α

α α

ξ ξ

ξ

ξ ξ

ξ ξ ξ

ξ ξ

r k

r V r

k

r k

r V r

k k

k T

r k

r k

r k

r k

r r r

r r

r r r

r r r

r

r r r L

r

r r r L

r

Φ Φ

≈

Φ Φ

≈

+ Φ

= Ψ

+ Φ

= Ψ

−

+ 外向き球面波

内向き球面波

平面波ボルン近似 (PWBA)

^おさらい

( ) ( ^{( )} ) ^{( ) ( )}

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

−

≈ j qR

R a qR

qR qa j

R k V

k

T

₀

2 2 1

2 3

0

exp 2

' 2

, π

αα

r r

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ^{( )} ( ^{( )} )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

^{r dt V}

( )

^a

⁽

^{t aR}

^{) [ (}

^{Vr R}

⁾

^a

^]

V

dr r dV R

r r V

qR j

R qR qR a

j R qR

qR a j

qa q

R Y k V

k T

a q

Y qR R j

q V Y r V qr j dr r k

k T

r

l l l T

l l

l l

l l

T l

l

/ exp

1 exp 4

2 2

Form Tassie

:

4 4

2 exp '

,

] 0 [

2 2

' 1 ,

0 2

2 2

0 2 1

0 2 4

1 2

2

2 2 0

3 2 2 0

'

2 0 3 0

0 2

' 2

−

≈ +

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

−

=

−

=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

×

−

≈

→

≈

≈

∫

∫

∞

−

−

=

π β

π β

π β π

α α

α α

r ) r

) r )

r 弾性散乱

非弾性散乱

100 1000 10000 100000 1000000 10000000

0 5 10 15 20

Full (W-S) W-S Eikonal

1 10 100 1000 10000 100000

0 5 10 15 20

Square Well Full (W-S) W-S

弾性散乱の平面波ボルン近似 ( ) ^{r V} [ ( ^{r iW R} ) ^a ]

V 1 exp /

0 0

− +

− +

=

MeV 240

68 amu 4 64

fm 65 . 0

fm 5

MeV 0

MeV 10

0 0

=

⋅

=

=

=

=

=

Tin

a R W V

µ

MeV 240

68 amu 4 64

fm 65 . 0

fm 5

MeV 40

MeV 100

0 0

=

⋅

=

=

=

=

=

Tin

a R W V

0.7 µ

Distortion, Eikonal, DWBA

Born近似のCriterion:

( ¹ ) ^{( )}

⁰

¹

0

2 2 0

2

− ≈ = <<

−

^∞

∫

rel ikr

v R V k

R dr V

r V

k e h h

h µ µ

ほとんどみたされない！

fm MeV

3 40

~

; fm MeV

200 60

~ −

₀

×

_proj

×

rel

V R A

h v

相互作用領域の波動関数は平面波とかなり違う

( ) ( r r L )

r L

r , , , ,

^{( )}

, , ,

)

( α α α β β β β

α⁺

k r ξ Ψ

⁻

k r ξ

Ψ

PWBA は、吸収の効果

（別のチャンネルへの flux ） をとりこめない

MeV) 0

2 (for

1.4 fm

~

2 fm

p p

A A W~

mfp W

µ

= h

のよりよい近似は？

弾性・非弾性散乱

( ) ( ) ^{( )} ( )

( ) ^{( )} ( )

( )

( ) ^{( )}

2 '

(

'

)

2 '

'

2 ' '

' '

) (

' '

) (

'

) ( )

( '

' '

'

2 , ,

,

of component Fourier

: Form Prior

:

, , ,

, , ,

of component Fourier

: Form Post

:

, , , ,

, , ,

α α

α α α

α α α

α α

α α α

α α

α α

α α α

α α α

α

α α

α α

α α

α α α

µ π

σ

ξ ξ

ξ

ξ ξ

ξ

k k

T k

k f

k k

v f v d

d

V r k r

V r

k

V r

k r

V r

k k

k T

r r

h r

r

r r

r r L r

r r

r L r r

r r r

r

−

= Ω =

Ψ Φ

Ψ

=

Ψ Ψ

Φ

=

−

−

+ +

相対座標、内部座標、相互作用演算子が共通

T行列は、VΨの Fourier 成分で表現される

弾性・非弾性散乱の Eikonal近似 (Glauber 模型)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ^{( )} ( ) ( )

( ) ^{( )}

( ) ( ) ( )

( )

⎭ ⎬

⎫

⎩ ⎨

⎧ ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

∂

≈ ∂ Ψ

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

≈ Ψ

=

∂ +

− ∂

⇒

⋅

= Ψ

⋅

≈

⋅

−

=

<<

−

>>

≈

=

=

=

=

+ +

=

∫

∫

∞

− + ⋅

∞

− +

+

r z k i

z

z b V v dz

i e z

v i V

z b V v dz

r i k

z Vf k f

i r

f r k

b q r

q k

k q

V k k

k

r k k

r k r

T r

k k r

k r

T

h h

r V r

T h

H

ξ ξ ϕ

ξ φ

ξ µ ϕ

ε µ µ ε

µ

µ ϕ ϕ

µ ϕ ϕ

ξ φ ε ξ

φ ξ ξ

φ ε ξ

φ ξ

ξ ξ

α α

α

α α

α α

α

α α

α α

α α

α α α α

α

α α α

α α α

α α α

α

α α α

α α α

α

exp ' , ' ,

, ' , '

exp ,

0 ,

,

;

; 2 approx.

adiabatic 2 :

2

2 ,

,

; 2 ,

,

;

,

) (

) (

2 )

(

'

2 2 '

2 ' 2 2

2

' ' 2

' 2 '

' 2

2

' ' '

r h h

r h

r r

r h r r

r r r

r r r r

h h

h

r r r h

r r r r

r h r r

r r

r r

平面波 内部波動関数

(＊)

( ) ( ) ^{( )} ( ) ^{( )} ( ) [ ( ) ]

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) [ ¹ ( ) ] ( ) ^{: Black Disk}

: Elastic

, 2 1

function shift

Phase

: ,

1 , ,

function Profile

: ,

exp ,

, 1

2 exp

0 0 1

0 0 '

' 2

' 2

' 3

θ θ θ

ξ φ ξ ξ

π φ

ξ ξ

χ

ξ χ

ξ

ξ φ ξ ξ

π φ

α α

αα

α ξ α α

α α

α

α ξ α α

α α

R k iR J

b qb

J db b ik

f

b qb

J db i b

T v

z b V v dz

b

b i

b

b b

q i b

i d T v

→ Γ

−

=

Γ

−

=

= −

= Γ

Γ

−

⋅

=

∫

∫

∫

∫

∞

∞

∞

∞

−

h

v h

r

r r

r r r

h

弾性・非弾性散乱の Eikonal近似 (Glauber 模型)

•相互作用の無限次のべきを含んでいる

•核子ー核子散乱の積み重ねでも記述が可能

•分解反応へも応用される 軸対称相互作用なら

Profile function の2次元フーリエ変換 (普通のベッセル関数)

弾性散乱の Eikonal近似(例) (Profile function)

0.359 fm 39 . 6

MeV 240

68amu 4 64

1

=

=

=

⋅

=

β µ

- in

k T

fm 65 . 0

fm 5

MeV 40

MeV 100

0 0

=

=

=

=

a R W

V

虚ポテンシャルによる吸収効果 実ポテンシャルによる位相の変化

弾性散乱の Eikonal近似(例) (Glauber 模型)

Black: Eikonal Blue : Exact

(Exact) mb

1431 (Eikonal),

mb 1359

(Exact) mb

1431 (Eikonal),

mb 1491

(Exact) mb

2861 (Eikonal),

mb 2849

=

=

=

R el tot

σ σ σ

0.359 fm 39 . 6

MeV 240

68amu 4 64

1

=

=

=

⋅

=

β µ

- in

k T

fm

65 . 0

fm 5

MeV 40

MeV 100

0 0

=

=

=

=

a R W

V

θ(deg)

弾性散乱が光学ポテンシャルで記述できるなら

( ) ( r r L )

r L

r , , , ,

^{( )}

, , ,

)

( α α α β β β β

α⁺

k r ξ Ψ

⁻

k r ξ

Ψ ^{の近似として}

• 弾性散乱チャネルの波動関数、散乱振幅はポテンシャル問題 を解けばよい。

• a+A → b+B 反応を記述するΨの主要成分が弾性散乱だとする

と、Ψの近似として、ポテンシャル問題の解を用いればよさ そう。

• Ψを、 ( 平面波＋球面波 ) ではなく、 ( 弾性散乱による散乱波 )+

( 球面波 ) と書き直す。 ( 弾性散乱による散乱波 ) を、歪曲波と呼 ぶ。

• DWBA の計算コードなどでは、歪曲波を多重極展開して求め

るが、エネルギーの高い反応では、部分波の角運動量が大き くなり、見通しがよくない。 kb~(l+1/2)

• 以後、 Eikonal 近似で得られた波動関数を用いた記述を試みる。

角運動量表示による厳密なものは教科書 (Satchler, 河合・吉田

など ) を参照のこと

歪曲波（ Eikonal 近似）

0.359

MeV/c 39

. 6

MeV 240

68amu 4 64

=

=

=

⋅

=

β µ

k T_in

fm

65 . 0

fm 5

MeV 40

MeV 100

0 0

=

=

=

=

a R W

V

( ) ^{r V} [ ( ^{r iW R} ) ^a ]

V 1 exp /

0 0

− +

− +

=

) (+

χ

α

^V ( ) ^{r χ}

_α⁽⁺⁾

ρ(fm)

ｚ(fm)

ρ(fm)

ｚ(fm)

歪曲波を用いた表式 ^{相互作用の繰り込み}

（光学ポテンシャル）

( )

( ) ( ) _{( )} ^{( )}

( ) ( ) _{( )} ^{U ( ) r}

i U

T r E

k r

r i U

U T

r E k

r

V U

H V

H V

T h

h H

E H

A a

r r r

r

r r r

r

) ( )

(

) ( )

(

) ( )

(

, 1 , 1

ˆ

−

−

+ +

+ +

− +

+ −

=

+ +

+ −

=

+ +

= +

= +

+ +

=

Ψ

= Ψ

α α α

α α

α α

α α α

α α

α α

α α

α α

α α

α α

α

η χ ϕ

χ

η χ ϕ

χ

^{外向き歪曲波}

内向き歪曲波

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ^{( )} ( ) ^{( )}

Form Prior

:

, ˆ ,

, , , Form Post

:

, , , ˆ ,

, ,

) ( )

(

) ( )

(

α α

α α

α α β

β β β

α α α α

β β β β

β β β

α βα

ξ φ χ

ξ ξ

ξ ξ

ξ φ χ

α β

r k r

V r

k

r k r

V r

k k

k T

r r L r

r r

r L r r

r r r

r

+

−

+

−

Ψ

=

Ψ

=

正確な表式

歪曲波ボルン近似(DWBA)

( ) ( ) ^{( )}

( ^{, , , , , ,} )

^{( )}

( ) ^{, , ( ) ... ...}

) (

) ( )

(

+

= Ψ

+

= Ψ

−

−

+ +

β β β β β

β β

β β

α α α α α

α α α α

ξ φ χ

ξ

ξ φ χ

ξ

r k r

k

r k r

k

r r r L

r

r r r L

r

( ) ( ) ^{( ) ( )} ( ) ^{( )}

( ) ^{( ) ( )} ( ) ^{( )} ( )

^{( )}

( ) ( )

( )

( ^, ) ( ) ( ^{ˆ , ,} ) ( ) ^{: Form Factor}

) or (

,

, ,

Form Prior

:

, ˆ ,

, Form Post

:

, ˆ ,

, ,

) ( )

(

) ( )

(

) ( )

(

ξαβ

α α αβ

β α γ β

β β

γ α βα

α α α

β γ α

βα β

β β

α α α α α

α α α β

β β β β

α α α α α

β β

β β

β β β β

β α βα

ξ φ ξ

ξ φ

β α

γ χ

χ

ξ φ χ

ξ ξ

φ χ

ξ φ χ

ξ ξ

φ χ

r r V r

r F

r k r

r F

r k

r k r

V r

k

r k r

V r

k k

k T

r r r

r

r r r

r r r

r r r

r r

r r r

r r r

r

=

=

≡

=

≈

+

−

+

−

+

−

歪曲波と形状因子を計算すればよい

歪曲波をつくる光学ポテンシャル

現象論的ポテンシャル (B-G, CH89, etc.) Folding 模型 (JLM, etc.)

Alpha particle at 140-400 MeV: U ~ 130 – 60 MeV, W ~ 25 – 40 MeV

Proton at 50-200 MeV : U ~ 50 – a few MeV, W ~ 10 – 20 MeV (see JLM)

非弾性散乱の形状因子

( ) ( )

^{( )}

^{( )} ( )

( )^γ_α

( )

_α

( ) ( ) ( )

_{γ α ξ}

α

α γ α

α α α

α α

α α α

ξ φ

ξ ξ

φ

χ χ

ˆ ,

, ,

,

' '

) ( '

' )

( ' '

'

r V r

F

r k

r F

r k

k k

T

r r

r r r

r r r

r

=

=

^{− +}

相対座標、内部座標、相互作用演算子が共通

巨視的模型

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ^⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + Ω

= Ω

=

−

=

≈

∑

m

m m

Y R

R R

R r U

R r U

r V

R r U

R r U

l

l l

r r

r

r r

* 0

0 '

1

, ,

ˆ ,

, ,

α

ξ

_{α α}

γ

α α

非弾性散乱（振動模型の形状因子）

表面振動

１フォノン励起の形状因子

( ) ( ) ( )

( ) ( )

{

m

}

m m

m

m

m m m

m m R

R

a a

dr Y R r R dU

dR Y R r R dU

r V

− +

=

− + +

=

Ω

−

=

Ω

=

∑

∑

, 0 *

0

* 0

) 1 (

2 1

, , ,

ˆ

0

l l

l l

l

l l

l l l

l r

β α

α α

γ

ξ

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) _⎟⎟ ( ) ( ) ^Ω

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

= +

+ Ω

=

=

−

=

* 1

0 0

*

*

0 *

*

* '

0 '

0

, 1

| 2

, 1

| 2

m R

R A

A A

A Tas

m R

R A

A A

A

dR Y R r dU R

r M R

I m M

I r

F

dR Y R r dU M R

I m M

I r

F

l l

l l l

l l r

l l r

β β

α α

α α

T行列は、βR に比例する: 断面積の大きさ⇔(βR)

²

非弾性散乱（回転模型の形状因子）

軸対称変形

( ) ( )

( ) ( { } ) ( ) { }

( ) ^' ( ^, ) ( ) ^'

4 , 1

ˆ

' ˆ ,

,

' 1

'

0 0

* 0 0

* 0 0 0

Ω Ω

=

Ω

=

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + Ω

= Ω

=

∫

∑

∑

l l

l l l

r r

Y R r U d

r V

Y r

V R

r U

Y R

R R

α π

α

α

λ

λ

λ λ λ

W-S 形状因子のメモ (前回配布）を参照

偶遇核回転励起（ 0 -> I ）の形状因子

( ) ( { } ) ( ) ^Ω

= +

² ₀ ^*

'

ˆ ,

1 2

8

m I

I

r Y

I V r

F

_{α α}

_r π α

_λ

奇核など K 量子数をもつ場合

( ) ( ) ( { } ) ( ) ^Ω

= +

² ₀ ^*

'

ˆ ,

1 2

' 8

|

0 I K V r Y

_m

K K r

F

_{l l}

l l

r

λ

α

α

π α

非弾性散乱（微視的アプローチ）

遷移密度からスタート

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ∑∫∏ ( )

∫

∫ ∑∫∏

∑∫

∑

Ψ Ψ

−

=

=

Ψ Ψ

−

=

Ψ

− Ψ

=

Ψ Ψ

=

Ψ Ψ

=

+

+

→

i

a b i

j

j tr

tr i

a b i

j

j i

a i

b i

A a

i A

b

A a

A b

b a

r r

r d r

r r

f r d

r r

r d r

f r d

r r

r f r d

r r

r r

f r

r r

r r

r F

r r

r M

r r

r

r r

r r

r

r r

r

L r r

r r

L r r

r

L r r

r L r

r r

3 3

3

3 3

3

3 3

2 1 2

1

2 1 2

1

, ,

, ,

, ,

, , , ,

, ,

δ ρ

ρ

δ

δ

非弾性散乱（微視的アプローチ）

Transition Density Transition Potential

=形状因子 F

Transition density に対する Collective model

Tassie model

Compression mode

非弾性散乱（運動量表示）

( ) ( )

^{( )}

^{( )} ( )

( ) ( ) ( ) ^{q q V q}

D q d

r k

r F

r k

k k

T

aN tr

r r

r

r r r

r r r

r

~ ~

, ,

,

3

) ( '

' )

( ' '

'

∫

=

=

^{− +}

ρ

χ

χ

_{α α α}^γ_{α α α}

α α

α α

相互作用に密度依存がない Folding 模型のフーリエ変換

( )

³

^' ( ) ^' ( ^' )

'

r d r r V r r

F

^{α α}

r = ∫ ^ρ

_tr

r

_aN

r − r

( ) ^q ( ) ( ) ^{q V q}

F ~ r ~

_tr

r ~

_aN

r

'_α

ρ

α

=

^{→ ｔρ近似}

歪曲波のフーリエ変換

( ) ( ) ( )

(

'

^* ) ^{: Plane , wave , limit}

3

) ( '

) (

' 3

q k

k

r k

r k

e r d q

D

^{iq r}

r r r

r r r r

r

^{r r}

−

−

→

= ∫

^{− ⋅ − +}

α α

α α

α α

δ

χ

χ

非弾性散乱（歪曲波の効果）

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

_⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡−

=

∫

∫

∞

−

−

∞

− +

' ' , '

exp ,

,

' , '

exp ,

,

' ' '

' '

' '

) (

' ) (

α α

α α α

α α

α α

α

α α α

α α

α α

α

ϕ χ

ϕ χ

z z

z b U v dz

r i k r

k

z b U v dz

r i k r

k

r h

r r r r

r h

r r r r

Eikonal 近似による歪曲波で D(q) を評価してみよう

( ) ( ) [ ( ) ]

( ) ( )

( )

[ ]

( ) ( ) [ ( ) ]

( )

^{α α}

[ ( ( )

_α

) ]

α α α

α α α

α α

α α α

α α

α α

π π

χ π χ

r b k

k b i

r k

k i

z b U v dz

i r

k k

r i k r

k v v

Γ

−

⋅ −

= −

⋅ Γ

= −

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

⋅

≈ −

≈

∫

−^∞∞ +

−

1 2 1

exp 2

exp

' , '

2 exp , exp

,

*

scattering forward

&

if

3 ' 3

'

3 ) '

( '

) (

'

'

r r r r

r r

r h

r r r r

r r r

z

_α

// k

_α

b

_α

b

_α’

z

_α’

// k

_α’

(b,z)

z によらない！

ポテンシャルの通過距離は あまりかわらない

非弾性散乱（歪曲波の効果）

Eikonal 近似による歪曲波で D(q) を評価してみよう

( ) ( )

( )

( )

( ) ( ( ) ) ^{( ( ) )}

( )

( )

( )

( ) ^{q bdb J} ( ( ^{q q} ) ^b ) ( ( ) ^b )

q q q

b b

q k

k J

q bdb k

k

q k

k q

D

Γ

−

− −

−

−

=

Γ

−

−

− −

− −

−

−

≈

⊥

⊥

∫

∫

2 1 2 1

0 2 0

0 //

0 3

' 2 0

' //

' 3

r r r

r r r

r r r r

r r

r r v r

π δ

δ

π δ

δ

α α α

α α α

Distortion の効果 (q=q

₀

にピーク )

～ k

_α’

を z 軸とした弾性散乱の散乱振幅