不連続点を稠密にもつような実関数の 微分可能点の集合について

不連続点を稠密にもつような実関数の 微分可能点の集合について

藤田 博司

2006

10

1

このノートで主に証明したいのは次のことだ.

定理

.

f : R → R

R

f

R

すでにノート

[2]

「ほとんどいたるところ」はルベーグ測度の意味で零集合を除けばという意味 だが, これをベールの性質の意味で疎集合を除くという形に変えることはで きないことが,この定理で示されることになる.

1 ディオファントス近似と微分可能性の関係

証明に移る前に, 証明の動機づけと問題全体の意義を理解する助けになる と思われる考察を述べる. お急ぎの方は次の節へ飛んでください.

一般に, 実関数の不連続点の集合は

R

F _σ

R

F σ

[3]

R

たくさんの連続点を持つ不連続関数の具体例として,しばしば次の関数が引 き合いに出される. 実数

x

(qx ∈ Z

q)

q

f 1 (x) = q

¹

x

f 1 (x) = 0

この関数

f ₁

x

f 1

x

不連続だからもちろん微分不可能. また,

x

¯¯

¯¯ x − p q

¯¯ ¯¯ < 1 q ²

をみたす既約分数

p/q

p/q

x

¯¯ ¯¯ f 1 (p/q) − f 1 (x) p/q − x

¯¯ ¯¯ = 1

| qx − p | > q

lim sup

y

x

¯¯ ¯¯ f 1 (y) − f 1 (x) y − x

¯¯ ¯¯ = + ∞

f 1

x

ところが, 2よりほんの少しでも大きな指数については,同様の近似分数が 無数に存在するとは限らない. 詳しくいえば,

²

¯¯ ¯¯ x − p q

¯¯ ¯¯ < 1 q ^2+²

をみたす既約分数

p/q

x

²

x

f 2+² (x) = q

^(2+²) , x

f 2+² (x) = 0

f _2+²

f 1

f 1

f 2+²

f _2+²

(x) = 0 a.e. x

それでも,

f 2+²

(ベールの第一類集合)

“ほとん

x

r

¯¯ ¯¯ x − p q

¯¯ ¯¯ < 1 q ^r

をみたす既約分数

p/q

L

L =

\

r=1

\

m=1

[

q=m

[

p

µ p

q − 1 q ^r , p

q + 1 q ^r

¶

\ Q

と表されるから, 稠密な

G _δ

f ₁

f _2+²

x

q

^r

f ₁

リウーヴィル数とルベーグ測度やベールの類との関連について, 興味のあ る読者は文献

[1]

以上の議論から,有理数のところでだけゼロでない値をとる関数の微分可 能点の分布の具合を考えることが,無理数のディオファントス近似を考える ことに密接に関連していることがうかがわれるであろう. ノート

[2]

f 2+²

2 定理の証明

実関数

f : R → R

R

(0, 1)

f

0 < f (x) < 1

実数の集合

X

f

osc(f, X) = sup { | f (x) − f (y) | : x, y ∈ X }

で定義される量

osc(f, X )

a

f

f

a

osc(f, a) = lim

h

0 osc(f, (a − h, a + h)).

あきらかに,

f

a

osc(f, a) = 0

実数の集合

A, C, D

f

f

f

A = { a ∈ R : osc(f, a) > 0 } ; C = { a ∈ R : osc(f, a) = 0 } ; D = { a ∈ R : lim

x

a (f (x) − f (a))/(x − a) exists } .

A

F σ

C

G δ

D

D ⊂ C

A

C

補題

.

I

I ∩ A

I ∩ C

(そして一方だけが)

ここで,

I ∩ A

I

C ˜

I ∩ C

I

A ˜

A

C ˜

A ∪ C ˜

A ∩ C

A ∩ C ˜

さて, ˜

A ∩ C

A ∩ D

A

C ˜

C ˜ ∩ D

仮定により,

f

A

R

A ∩ C ˜

C ˜

a n

{ a n : n ∈ ω }

C ˜

{ a _n : n ∈ ω }

C ˜

m

{ a m : n ≥ m }

C ˜

各

a _n

f

f

a _n

osc(f, a _n )

a n

2

ⁱ osc(f, a n )

m

n

G _i,m

G i,m = [

n

m

µ

a n − osc(f, a n )

2 ⁱ⁺¹ , a n + osc(f, a n ) 2 ⁱ⁺¹

¶ .

あきらかに,

G _i,m ∩ C ˜

C ˜

G i = \

m

ω

G i,m

は

C ˜

G δ

T

i

ω G i

C ˜

G δ

あとは,

T

i

ω G i

D

T

i

ω G i ∩ C

f

そこで,

T

i

ω G i ∩ C

x

G i

i

n _i

n 0 < n 1 < n 2 < · · · ,

| a _n

− x | < 2

⁽ⁱ⁺¹⁾ osc(f, a _n

)

となるようにとれる. 先に述べた

f

osc(f, a n

) ≤ 1

i

a _n

x

x

f

f (a n

)

f (x)

いっぽう, osc(f, a

n

) > 0

a n

f

a _n

| y i − a n

| < | a n

− x | ² i + 1

| f (y i ) − f (a n

) | > 1

3 osc(f, a n

)

y _i

h i = y i − a n

(a n

− x) ² , k i = y i − a n

a n

− x

とおく. すると,

i → ∞

h i → 0

k i → 0

さて,

i

a _n

y _i

x

f

x

δ i :

δ i = ¯¯

¯¯ f (y _i ) − f (x)

y i − x − f (a n

) − f (x) a n

− x

¯¯ ¯¯

は,

i → ∞

f

x

T

i

ω G _i

D

D

以下は,

δ i

δ i = ¯¯

¯¯ f (y _i )

y i − x − f (a n

)

a n

− x + (y i − a n

)f (x) (y i − x)(a n

− x)

¯¯ ¯¯

= ¯¯

¯¯ f (y _i ) − f (a _n

) a n

− x − h _i

k i + 1 (f (y _i ) − f (x)) ¯¯

¯¯

≥ ¯¯

¯¯ f (y _i ) − f (a _n

) a n

− x

¯¯ ¯¯ − ¯¯

¯¯ h _i

k i + 1 (f (y _i ) − f (x)) ¯¯

¯¯

最後の式の第二項は

i → ∞

n i

と

y i

| f (y i ) − f (a n

) |

| a _n

− x | >

1

3 osc(f, a n

)

2

⁽ⁱ⁺¹⁾ osc(f, a _n

) = 2 ⁱ⁺¹ 3

i → ∞

δ _i → + ∞

参考文献

[1] John B. Oxtoby, Measure and Category, Springer-Verlag.

[2]

Web

¹

[3]

Web

1

http://www.math.sci.ehime-u.ac.jp/%7Efujita/