例 : 単体的集合

例 : ^{単体的集合}

alg-d

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2021 年 5 月 22 日

普遍随伴が現れる例としてここでは単体的集合を扱う．またここでは Cat^{を小圏全体} と関手がなす圏とする．また0∈N^とする．

定義. [n] := {0,1,· · · , n}として，通常の順序で順序集合，即ち圏とみなす．このとき {[n]| n∈N} ⊂ Ob(Cat)が定める充満部分圏を単体圏(simplex category)といい∆で 表す．(従って∆の射とは順序を保つ写像である．)

定義. 関手∆^op _→Setを単体的集合(simplicial set)という．また単体的集合の間の射と は自然変換のこととする．故に∆b が単体的集合の圏である^*1．

X ∈ ∆b とするとき，k ∈ N^{に対して通常}X_k := X([k])と書く．∆ⁿ := y([n]) ∈ ∆b を standard n-simplexという．つまりk ∈ N^に対して∆ⁿ_k = Hom_∆([k],[n])である．また Kan拡張の一般論により，任意の単体的集合X は∆ⁿの余極限で書ける．(即ちある関手 T: J → ∆が存在してX ∼= colim(y◦T) ∼= colim

j∈J ∆^{nj となる．ここで}nj は[nj] = T j となるように取った．)

n∈N^{に対して位相空間}F([n])⊂R^{n+1 を次により定める．}

F([n]) :={⟨x₀,· · · , x_n⟩ ∈[0,1]ⁿ⁺¹ |x₀ +· · ·+x_n= 1} (例)

x0

F([0])

x0

x₁

F([1]) x1

x₂

x₀ F([2])

*1この圏をsSet,Set_∆などの記号で表すことが多い．

次に∆の射^*2α: [m]→[n]に対してF α: F([m])→F([n])を次により定める．

F α(x₀,· · · , x_m) :=D X

i∈α⁻¹(0)

x_i,· · · , X

i∈α⁻¹(n)

x_i E

(例) α: [2]→[1]

α(0) := 0 α(1) := 1 α(2) := 1

F α: F([2])→F([1])

x1

x2

x₀

F α

このときF は関手F: ∆_→Topになることが容易に分かるから普遍随伴y^†F ⊣F^†yが 得られる．|−|:=y^†F: ∆b _→Topを幾何学的実現，Sing := F^†y: Top→∆b をsingular functorと呼ぶ．

∆b

∆ ^Top

y

F

|−|

Sing

yが忠実充満だから|∆ⁿ| ∼=F([n])である．また左随伴は余極限と交換するから，単体的集 合X を上記のように X ∼= colim

j∈J ∆^nj と書けばその幾何学的実現は|X| ∼= colim

j∈J F([nj]) となる．(つまり|X|^はF([n])を貼り合わせることで得られる位相空間である．)

次に ∆ _⊂ Cat が充満部分圏だったから，これの包含関手を F: ∆ _→ Cat とすれば 普遍随伴y^†F ⊣ F^†y が得られる．τ₁ := y^†F と書き，X ∈ ∆b に対してτ₁(X)をX の fundamental categoryと呼ぶ．またN :=F^†y: Cat→∆b をnerve functorという．

∆b

∆ Cat

y

F τ1

N

*2このPDF^では圏∆^{の射をギリシャ文字}α, β^{などで表し，逆に}b∆^の射をf, gなどで表すことにする．

これらの随伴は普遍随伴の具体例の中でも特に重要なものであり，これらの随伴を通して 単体的集合，位相空間，圏の3つには様々な関係がある．以下ではその一部を紹介して，

最後にquasi-categoryを定義しよう．

0≤i≤nに対して∆の射δⁿ_i : [n−1]→[n]とσ_iⁿ: [n+ 1]→[n]を以下により定める．

δⁿ_i(x) :=

x (0≤x < i) x+ 1 (i≤x≤n−1) σⁿ_i(x) :=

x (0≤x ≤i) x−1 (i < x≤n+ 1) [n−1] [n]

n−1

n ...

... i+ 1

i i

i−1 i−1

... ...

0 0

δ_iⁿ

[n+ 1] [n]

n+ 1 .. n

. ...

i+ 2

i+ 1 i+ 1

i i

... ...

0 0

σ_iⁿ

この記号を使うと∆は次のような圏である．

[0] [1] [2] · · ·

δ¹₀ σ⁰₀ δ¹₁

δ²₀ σ¹₀ δ²₁ σ¹₁ δ²₂

δ³₀

... ...

δ³₃

これらは次のような性質を持つ．

命題 1. ∆の任意の射はδ_iⁿ, σ_iⁿの合成で表せる．

命題 2. 以下の等式が成り立つ．

δ_jⁿ⁺¹◦δⁿ_i =δ_iⁿ⁺¹◦δⁿ_j−1 (i < j) σ_jⁿ◦σⁿ⁺¹_i =σ_iⁿ◦σ_j+1ⁿ⁺¹ (i ≤j)

σ_jⁿ◦δⁿ⁺¹_i =





δ_iⁿ◦σⁿ_j−1⁻¹ (i < j) id_[n] (i=j, j+ 1) δ_iⁿ₋₁◦σⁿ⁻¹_j (i > j + 1)

X を単体的集合とするときdⁿ_i :=X(δ_iⁿ)，sⁿ_i :=X(σⁿ_i)と書く．命題2により dⁿ_i ◦dⁿ⁺¹_j =dⁿ_j−1◦dⁿ⁺¹_i (i < j)

sⁿ⁺¹_i ◦sⁿ_j =sⁿ⁺¹_j+1 ◦sⁿ_i (i ≤j) dⁿ⁺¹_i ◦sⁿ_j =





sⁿ_j−⁻₁¹◦dⁿ_i (i < j) idX_n (i=j, j+ 1) sⁿ_j⁻¹◦dⁿ_i−1 (i > j + 1) が成り立つ．

X, Y を単体的集合とする．各 k ∈ N ^に対して Xk ⊂ Yk であり，その包含写像 f_k: X_k →Y_k が射f: X →Y を与えるとき，X をY の部分集合といいX ⊂Y と書く．

X を単体的集合，n ∈ N^としてA ⊂ X_nとすると，A を含む最小の部分集合Y ⊂ X が存在する．このY をAで生成されるXの部分集合という．またAで生成されるX の 部分集合がX ^{自身となるとき，}X^はA^{で生成されるという．}

命題 3. A⊂Xnで生成されるX ^{の部分集合を}Y ^{とするとき} Yk ={Xα(a)|a ∈A, α: [k]→[n]} となる．

証明. Zk :={Xα(a)|a∈A, α: [k]→[n]}と書く．これは単体的集合Z を定める．

...

) β: [k]→[l]を∆の射とする．z ∈Z_lに対してXβ(z)∈Z_k である．

...

) 定義よりある a ∈ A とα: [l] → [n]が存在して z = Xα(a)と書ける．こ のとき Xβ(z) = Xβ(Xα(a)) = X(α◦β)(a)となり α◦β: [k] → [n] だから Xβ(z)∈Zkである．

従って写像Zβ: Zl →ZkをZβ :=Xβ|Z_l で定義することができる．X: ∆^op _→Set が関手だからZ: ∆^op _→Setも関手であり，従ってZ は単体的集合である．

定義から明らかに包含写像Zk → Xkは自然だから，Z ⊂ X は部分集合でありA ⊂ Zn

となる．故にY の最小性よりY ⊂Z である．

後はZ ⊂Y を示せばよい．そこでz ∈Z_kを取る．あるa∈ Aとα: [k] →[n]が存在

してz =Xα(a)と書ける．包含写像Yk →Xkが自然だから次の図式が可換である．

Yk Xk

Y_n X_n

⊂

Xα Y α

⊂

a∈A ⊂YnだからXα(a)∈Ykでなければならない．故にZk ⊂Ykが分かる．

命題 4. X がA⊂Xnで生成されているとき，射f: X →Y はfn(a) (a ∈A)で決定さ れる．即ち，f, g: X → Y が「任意のa ∈ A に対してf_n(a) = g_n(a)」を満たすならば f =gである．

証明. f, g: X → Y が，任意のa ∈ Aに対してf_n(a) = g_n(a)を満たすとする．任意の k ∈N^，x ∈ Xkに対してfk(x) = gk(x)を示せばよい．まずX がAで生成されている から，命題3^よりあるa∈A^とα: [k]→[n]^{が存在して}x =Xα(a)^{と書ける．このとき} 次の図式が可換である．

Xk Yk

X_n Y_n

f_k

Y α Xα

f_n

Xk Yk

X_n Y_n

g_k

Y α Xα

gn

従って f_k(x) = f_k(Xα(a)) = Y α(f_n(a)) = Y α(g_n(a)) = g_k(Xα(a)) = g_k(x) であ る．

例 5. ∆ⁿは{id_[n]} ⊂∆ⁿ_n = Hom_∆([n],[n])で生成される．

証明. X ⊂∆ⁿを{id_[n]} ⊂∆ⁿ_nで生成された部分集合とする．命題3より Xk ={Xα(id_[n])|α: [k]→[n]}= Hom_∆([k],[n]) = ∆ⁿ_k である．

定義. 0≤k≤nとする．

(1) {δ_kⁿ} ⊂∆ⁿ_n−1^{で生成される}∆^{n の部分集合を}∂k∆^{nと書く．}

(2) {δ_iⁿ |0 ≤ i ≤ n} ⊂ ∆ⁿ_n−1 で生成される∆ⁿの部分集合を∂∆ⁿ と書きsimplicial n-sphereという．

(3) {δ_iⁿ | 0≤ i≤ n, i̸= k} ⊂ ∆ⁿ_n−1で生成される∆ⁿ の部分集合をhornといい，記 号でΛ^n,k と書く．0 < k < nのときのΛ^n,k をinner hornといい，k = 0, nのと きのΛ^n,kをouter hornという．

以下，包含Λ^n,k ⊂∆ⁿが与える射をincで表す．

命題 6. |∂∆ⁿ| ∼=Sⁿ (n次元球面) 証明. 略．

定義. X ∈∆bがKan複体(Kan complex)

⇐⇒0≤k≤nとするとき，任意の射f: Λ^n,k →Xに対してある射h: ∆ⁿ →Xが存在 して次が可換となる．

Λ^n,k X

∆ⁿ

f

inc h

定理 7. S ∈Topに対してSing(S)はKan複体である．

証明. f: Λ^n,k →Sing(S)を取る．随伴によりfe: |Λ^n,k| →S を得る．このとき次の図式 を可換にするeh^{が存在する．}

|Λ^n,k| S

|∆ⁿ| e

f

|inc|

e^h

故に再び随伴により可換図式

Λ^n,k Sing(S)

∆ⁿ

f

inc

h

を得る．

C を圏とするときKan拡張の一般論よりN(C)はN(C)_n ∼= HomCat([n], C)で与え られる．つまりN(C)_nの元は圏Cにおける図式

a0 f0

−→ a1 f1

−→ · · ·−−−→^fn−2 an−1 fn−1

−−−→an

と同一視できる．この同一視をしたとき，dⁿ_i, sⁿ_i は dⁿ_i(a₀ −→ · · ·^f0 −−−→^fn−1 a_n)

=









a₁ −→ · · ·^f1 −−−→^fn−1 a_n (i= 0) a0

f0

−→ · · · −−−→^fi−2 ai−1

fi◦fi−1

−−−−−→ai+1 fi+1

−−−→ · · ·−−−→^fn−1 an (0< i < n) a0

f0

−→ · · · −−−→^fn−2 an−1 (i=n) sⁿ_i(a0

f0

−→ · · ·−−−→^fn−1 an)

=a0 f₀

−→ · · · −−−→^fi−1 ai

−→id ai f_i

−→ · · ·−−−→^fn−1 an

で与えられる．特にN(C)0 ∼= Ob(C)^，N(C)1 ∼= Mor(C)^{であり，また}d¹₀(f) = cod(f)^， d¹₁(f) = dom(f)，d²₁(a −→^f b−→^g c) = (a−−→^g◦f c)，s⁰₀(a) = id_aとなる．

以上を踏まえて，一般の単体的集合X に対しても以下のような記法を使うことにする．

まずx ∈X1 に対してx0 :=d¹₀(x)^，x1 :=d¹₁(x)^とすればx0, x1 ∈X0である．このとき x: x₁ →x₀ と書き表すことにする．

今度はx∈X2としてx0 :=d²₀(x)，x1 :=d₁²(x)，x2 :=d²₂(x)とするとx0, x1, x2 ∈X1

である．よってx00 := (x0)0等を考えることができるが，命題2により x₀₀ =d¹₀(d²₀(x)) =d¹₀(d²₁(x)) =x₁₀

x₀₁ =d¹₁(d²₀(x)) =d¹₀(d²₂(x)) =x₂₀ x₁₁ =d¹₁(d²₁(x)) =d¹₁(d²₂(x)) =x₂₁

となるからa :=x11，b:=x01，c:=x00 と置けばx0: b→c，x1:a →c，x2: a→bで ある．この状況を

a c

b

x1

x2 x0

x

と書き表すことにする．

u: a→bとする．即ちu∈X1でa :=d¹₁(u)，b:=d¹₀(u)である．x :=s¹₀(u)と置く．

このとき命題2により

x0 =d²₀(x) =d²₀(s¹₀(u)) =u x1 =d²₁(x) =d²₁(s¹₀(u)) =u

x2 =d²₂(x) =d²₂(s₀¹(u)) =s⁰₀(d¹₁(u)) =s⁰₀(a)

であるから，上記の記法で表せば次のようになる．

a b

a

u

s⁰₀(a) u

s¹₀(u)

同様にしてs¹₁(u)については次のようになる．

a b

b

u

u s⁰₀(b)

s¹₁(u)

次にx∈X3 としたときに，同様の記法を使えば4つのx0, x1, x2, x3 ∈X2があり，命 題2により

x00 =d²₀(d³₀(x)) =d²₀(d³₁(x)) =x10

x01 =d²₁(d³₀(x)) =d²₀(d³₂(x)) =x20

x02 =d²₂(d³₀(x)) =d²₀(d³₃(x)) =x30

x11 =d²₁(d³₁(x)) =d²₁(d³₂(x)) =x21

x12 =d²₂(d³₁(x)) =d²₁(d³₃(x)) =x31

x22 =d²₂(d³₂(x)) =d²₂(d³₃(x)) =x32

となるから

d

a c

b

x31

x₂₂ x₀₂

x21

x01

x00

x₃ x2

x₀

のようになっている(注: 奥の三角形はx₁)．

f: Λ^2,0 →X を射とする．Λ^2,0 は{δ²₁, δ₂²}で生成されているから，f はx1 :=f1(δ₁²)，

x2 :=f1(δ²₂)で定まる．またf が自然変換だから Λ^2,0₁ X1

Λ^2,0₀ X0 f1

d¹₁

−◦δ₁¹

f0

が可換である．命題2よりδ²₂◦δ₁¹ =δ₁²◦δ₁¹ だから

d¹₁(x1) =d¹₁◦f1(δ²₁) =f0(δ₁²◦δ¹₁) =f0(δ₂²◦δ¹₁) =d¹₁◦f1(δ₂²) =d¹₁(x2) となる．つまり次のような状況である．

a c

b

x₁

x2

逆にx₁, x₂ ∈X₁ が

a c

b

x1

x₂

となっていれば，射f: Λ^2,0 → X をf1(δ₁²) := x1，f1(δ²₂) := x2 により定義することが できる．つまり，射Λ^2,0 →X ^は

a c

b

x1

x2

と同一視することができる．同様にして，射f: Λ^2,1 →X，g: Λ^2,2 →X はそれぞれ

a c

b

f1(δ₂²) f1(δ₀²)

a c

b

g1(δ²₁)

g1(δ²₀)

と同一視できる．

0 ≤i < j ≤nに対して射γ_ijⁿ: [1] →[n]をγ_ijⁿ(0) :=i，γ_ijⁿ(1) :=j により定める．ま たγ_iⁿ :=γ_i,i+1ⁿ と書く．

補題 8. 圏C に対して射f: ∆ⁿ→N(C)はf1(γ₀ⁿ),· · · , f1(γ_nⁿ₋₁)により決定される．

証明. 米田の補題によりf ∈N(C)nとみなしたときの図式を a0

p0

−→a1 p1

−→ · · ·−−−→^pn−2 an−1 pn−1

−−−→ an

とする．米田の補題の証明(即ち，図式 Homb^∆(∆¹, N(C)) N(C)₁

Homb^∆(∆ⁿ, N(C)) N(C)n

∼

N(C)(γⁿ_i)

−◦y(γ_iⁿ)

∼

f◦y(γ_iⁿ) (a_i −→^pi a_i+1)

f (f に対応する図式) の可換性)よりf₁(γ_iⁿ) =p_i が分かる．つまりf はf₁(γ₀ⁿ),· · · , f₁(γ_nⁿ₋₁)により決定され る．

補題 9. 0< k < nとする．射f: Λ^n,k → N(C)はf1(γ₀ⁿ),· · · , f1(γ_nⁿ₋₁)により決定さ れる．

証明. 0≤l ≤n，l ≠ k に対してf^l := (∆^{n−1 y(δ}

n l)

−−−→Λ^{n,k f}−→N(C))とすれば，f はf^l によって決定される．

...

) 命題4よりf はf(δⁿ_i) (0 ≤ i≤ n，i ̸= k)で決定される．ここで米田の補題の 同型の自然性(「米田の補題」のPDFを参照) より

Homb^∆(∆ⁿ,Λ^n,k) Λ^n,k_n

Homb^∆(∆ⁿ, N(C)) N(C)n

∼

fn

f◦−

∼

y(δ_iⁿ) δ_iⁿ

f^l fn(δ_iⁿ)

∼

fn

f◦−

∼

は可換である．故にf はf^lで決定されることが分かる．

そこでf^l∈N(C)_n−1とみなしたときの図式を a^l₀ ^p

l

−→0 a^l₁ ^p

l

−→ · · ·1 −−−→^pln−3 a^l_n−2 ^p

l n−2

−−−→ a^l_n−1

とすれば，f はp^l_i (0≤l ≤n，l ̸=k，0 ≤i≤ n−2)により決定されることになる．補 題8^の証明をf^l: ∆ⁿ⁻¹ →N(C)^{に適用すると}

p^l_i=f₁^l(γ_iⁿ⁻¹) =f₁(δ_lⁿ◦γ_iⁿ⁻¹) =





f1(γ_iⁿ) (i < l−1) f₁(γ_lⁿ_−1,l+1) (i=l−1) f1(γ_i+1ⁿ ) (i > l−1)

[1] [n−1] [n]

n−1

n ...

... l+ 1

l l

l−1 l−1

1 ... ...

0 0 0

δ_lⁿ γ_l−1,lⁿ⁻¹

が分かる．故に

f1(γ₁ⁿ) =p⁰₀ f1(γ₂ⁿ) =p⁰₁ =p¹₁

...

f₁(γ_kⁿ) =p_k−1⁰ =· · ·=p^k_k−1⁻¹ f₁(γ_k+1ⁿ ) =p_k⁰ =· · ·=p^k_k⁻¹

f₁(γ_k+2ⁿ ) =p⁰_k+1 =· · ·=p^k_k+1⁻¹ =p^k+1_k+1 ...

f1(γ_nⁿ₋₂) =p_n⁰₋₃ =· · ·=p^k_n⁻₋¹₃ =p^k+1_n−3 =· · ·=pⁿ_n⁻₋³₃

f1(γ_nⁿ₋₁) =p_n⁰₋₂ =· · ·=p^k−1_n−2 =p^k+1_n−2 =· · ·=pⁿ⁻³_n−2 =pⁿ⁻²_n−2 となる．同様にして

f1(γ₀ⁿ) =p²₀ =p³₀ =· · ·=p^k₀⁻¹ =p^k+1₀ =· · ·=pⁿ₀ f1(γ₁ⁿ) =p³₁ =· · ·=p₁^k−1 =p^k+1₁ =· · ·=pⁿ₁

...

f₁(γ_kⁿ₋₃) =p^k_k−⁻₃¹ =p^k+1_k−3 =· · ·=pⁿ_k−3 f1(γ_kⁿ₋₂) =p_k^k+1₋₂ =· · ·=pⁿ_k−2

f1(γ_kⁿ₋₁) =p_k^k+1₋₁ =· · ·=pⁿ_k−1 ...

f1(γ_nⁿ₋₃) =p_nⁿ₋⁻¹₃ =pⁿ_n−3 f1(γ_nⁿ₋₂) =pⁿ_n−2

であり，また

f1(γ₀₂ⁿ ) =p¹₀, · · · , f1(γ_kⁿ_−2,k) =p^k_k⁻₋¹₂, f1(γ_k,k+2ⁿ ) =p^k+1_k , · · · , f1(γ_nⁿ_−2,n) =pⁿ_n⁻₋¹₂ となる．即ちf は

f1(γ₀ⁿ), · · · , f1(γ_nⁿ₋₁), f1(γ₀₂ⁿ), · · · , f1(γ_kⁿ_−2,k), f1(γ_k,k+2ⁿ ), · · ·, f1(γ_nⁿ_−2,n) で決定される．ここで0≤j ≤n−3に対してνj: [2]→[n−1]を

νj(0) :=j, νj(1) :=j+ 1, νj(2) :=j + 2 で定義すると，再び米田の補題の証明(即ち図式

Homb^∆(∆², N(C)) N(C)2

Homb^∆(∆ⁿ⁻¹, N(C)) N(C)_n−1

∼

N(C)(νj)

−◦y(νj)

∼

f^l◦y(ν_j) (a^l_j ^p

l

−→j a^l_j+1 ^p

l

−−−→j+1 a^l_j+2)

f^l (f^lに対応する図式)

∼

N(C)(νj)

−◦y(νj)

∼

が可換であること)よりf₂^l(νj) = (a^l_j ^p

l

−→j a^l_j+1 ^p

l

−−−→j+1 a^l_j+2)が分かる．故に図式

∆ⁿ₁⁻¹ N(C)₁

∆ⁿ₂⁻¹ N(C)2 f₁^l

N(C)(δ²₁)

−◦δ₁²

f₂^l

γ_j,j+2ⁿ⁻¹ (a^l_j ^p

l j+1◦p^l_j

−−−−−→a^l_j+2)

νj (a^l_j ^p

l

−→j a^l_j+1 ^p

l

−−−→j+1 a^l_j+2)

f₁^l

N(C)(δ₁²)

−◦δ²₁

f₂^l

の可換性からf₁^l(γ_j,j+2ⁿ⁻¹ ) =p^l_j+1◦p^l_j となる．従って0≤i≤k−2に対しては f1(γ_i,i+2ⁿ ) =f1(δⁿ_n◦γ_i,i+2ⁿ⁻¹ ) =f₁ⁿ(γ_i,i+2ⁿ⁻¹ ) =pⁿ_i+1◦pⁿ_i =f1(γ_i+1ⁿ )◦f1(γ_iⁿ)

[1] [n−1] [n]

n n−1 n−1

... ...

i+ 2 i+ 2 i+ 1 i+ 1

i i

1 ... ...

0 0 0

δ_nⁿ γ_i,i+2ⁿ⁻¹

であり，k ≤i≤n−2に対しては

f1(γ_i,i+2ⁿ ) =f1(δ₀ⁿ◦γ_iⁿ₋⁻_1,i+1¹ ) =f₁⁰(γ_iⁿ₋⁻_1,i+1¹ ) =p⁰_i ◦p⁰_i−1 =f1(γ_i+1ⁿ )◦f1(γ_iⁿ)

[1] [n−1] [n]

n n−1

...

... i+ 2 i+ 1 i+ 1

i i

i−1

1 ...

... 1

0 0 0

δ₀ⁿ γⁿ⁻¹_i−1,i+1

であるから，結局f はf₁(γ₀ⁿ), · · · , f₁(γ_n−1ⁿ )のみで決定されることが分かった．

定理 10. X ∈∆b がある圏CによりX ∼=N(C)と書ける

⇐⇒0< k < nとするとき，任意の射f: Λ^n,k →Xに対してある射h: ∆ⁿ →Xが一意 に存在して次が可換となる．

Λ^n,k X

∆ⁿ

f

inc h

証明. (=⇒) ^任意の f: Λ^n,k → N(C)^を取る．γ_iⁿ ∈ Λ^n,k₁ ^だからpi := f1(γi) ∈ N(C)1

と定めると，これは図式

•−→ • → · · · → •^p0 −−−→ •^pn−1

を与えるから，N(C)n の対象を定める．これを米田の補題によりh: ∆ⁿ → N(C)とみ なす．このとき

Λ^n,k N(C)

∆ⁿ

f

inc

h

は可換である．

...

) 補題9より，0≤ i≤ n−1に対してf₁(γ_iⁿ) = h₁(γ_iⁿ)を示せばよいがそれはh の定義から明らか．

hの一意性を示すため

Λ^n,k N(C)

∆ⁿ

f

inc

h^′

が可換であるとする．このとき h^′₁(γ_iⁿ) = f1(γ_iⁿ) = h1(γ_iⁿ) である．故に補題 9 より h=h^′ となることが分かる．

(⇐=) 圏C を以下のように定義する．

• Ob(C) :=X₀，Mor(C) :=X₁．

• f ∈X1 に対してdom(f) :=d¹₁(f)∈X0，cod(f) :=d¹₀(f)∈X0 と定める．

• a−→^f b−→^g c^に対してg◦f: a →c^{を定めたい．その為に}k: Λ^2,1 →S^を k1(δ₀²) :=g∈X1, k1(δ₂²) :=f ∈X1

により定める．つまりkは

a c

b

f g

で定まる射である．仮定によりek: ∆² →X が一意に存在して

Λ^2,1 X

∆²

k

inc e^k

が可換となる．このとき米田の補題により ek: ∆² → X をek ∈ X2 とみなして g◦f :=d²₁(ek)と定める．つまり次のような状況になる．

a c

b

g◦f f ek g

• a∈X0に対してida :=s⁰₀(a)∈X1 と定める．命題2により

dom(id_a) =d¹₁◦s⁰₀(a) =a, cod(id_a) =d¹₀◦s⁰₀(a) =a である．

以上の定義によりC は圏となる．

...

) まず恒等射について示す．f ∈X1に対してx:=s¹₁(f)^{と置けば，}a:= dom(f)^， b:= cod(f)としたとき

d²₀(x) =d²₀(s¹₁(f)) =s⁰₀(d¹₀(f)) =s⁰₀(b) = idb

d²₁(x) =d²₁(s¹₁(f)) = id(f) =f d²₂(x) =d²₂(s¹₁(f)) = id(f) =f である．

a b

b

f

f idb

x

即ち

Λ^2,1 X

∆²

inc x

が可換となり，合成の定義よりid◦f =f となる．同様にしてf ◦id =f も分かるの でidは恒等射の条件を満たす．

後は結合律を示せばよい．a −→^f b −→^g c −→^h d とする．h◦gを定める x0 ∈ X2 と

(h◦g)◦f を定めるx₂ ∈X₂ を取ると次のようになる．

d

a c

b

f g

(h◦g)◦f

h◦g h

x2

x0

同様にg◦f を定めるx3 ∈X2 とh◦(g◦f)を定めるx1 ∈ X2を取ると次のように なる．

d

a c

b

g◦f

f g

h◦(g◦f)

h

x₃ x₁

このときx0, x1, x3 を組み合わせると d

a c

b

g◦f

f g

h◦(g◦f)

h◦g h

x3

x0

(∗)

を得る(^注: 三角錐の中身と，手前左の三角形の部分が空いている．また奥の三角形 はx₁)．つまりこれは射k: Λ^3,2 →X であって

• k₂(δ₀³) :=x₀ ∈X₂．

• k2(δ₁³) :=x1 ∈X2．

• k2(δ₃³) :=x3 ∈X2．