双極モーターの回転運動に見られる長周期構造

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(1)双極モータ一の回転運動に見られる長周期構造平島由美子 ". A I刀 ng Peho Ⅲc. 山本郁夫 ". ぬⅠe in Ⅲe Mo. S 廿 uc. o ど山e. 廿on. Bipol 打Ⅰ Motor. YumikoHI 軸sHIMAA*,IkuoY 蛆皿 ;MoTo** Abstract The bipoI旺 motor,consist ng ofape Ⅱ n ㎝lentma ニ. Ⅰeld,is 工. Ⅰ. a simple mechanicalinstrumentforthe. ⅠⅠ letrot アltingln 打losciIIa廿ng ma 妊. 里e Ⅰ. 十ニ. c. demons 比ation ofchaos and 丘equency. cki g｝henomenon（n‖］onlinear‥eterministic《ystem In》his‖rticle『e〉eport》he ・. existence@of@a@long@period@@structure@in@the@motion,@the@most@interesting@phenomenon produced@by@our@model@of@a@bipolar@motor. 1. はじめにニュ一トン力学系と同じように決定論的方程式に従うシステムでも，極めて複雑で不規則な振る舞いを示すことがある。この挙動を「カオス非線形項を含む場合に起こる現象であ. でみられる普遍的な現象である。. 「. ヵ. を受けて近年，単純な力学系に潜む. これまで我々は. (Chaos)」と呼ぶ。「カオス」は，系の方程式が. り，世の中のほとんどの系は非線形であるため広く自然界. オス」は非常に簡単な物理系においても不可避であり，これ. 複雑な振る舞い. る実験的に調べる. 試みがなされている。. Ⅲ. "",. ，非線形力学系の運動にみられる様々な特性を演示する目的で，双極モーター. を試作しその動作特性を. 調べてきた。その結果，簡単な装置であるにもかかわらず，非線形力学. 系の特徴であるカオス的振舞いや振動数ロッキンバことがわかった。・。，. equenWloc㎞ ng). (丘. といった現象が現れる. " 。". 今回，装置の軸受け部を大幅に改良することで静的摩擦力を極力小さくすることが可能となり. その結果，今まで以上に動作特性の結果と数値計算に 26 解析の結果との間に定量的な一致が見られた。さらにその回転運動に興味深い長周期的な微細構造が観察できたので合わせて報告する。. 2. 実験双極モーターとは. ，一対のコイルを向き合わせたへルムホルツコイルの中央に，固定軸のまわ. りに自由に回転できる永久磁石を置いた装置のことである。. ，半径45mm のロットに市販のエナメル線を 350 回巻いたコイルを一対向き合わせてへんムホルツコイルとし回転磁石としては帝土類ネオジム磁石 (直径 15mm, 今回使用した実験装置では. 厚さ 6mm,. 磁気モーメントノ. " 理科教育講座 "" 工学部知能物理工学科. ヰ. 0 855A.m2) ・. を用いた 0 ここまでは前回報告した装置と全く同じ.

(2) 62. 平島由美子・山本郁夫. るが，今回，回転磁石の軸受けを大幅に. であ. 改良した点が. もかからない市販の模型用ローラーベアリンバ. 静的な (速度に依存しない図 1. ). 異なる。今までは，工作が簡単で費用. 1 つる磁石の下部に取り付け使用していたので. ，. 摩擦の効果が無視できない結果となってしまった。そのため仝回は，. のようにネオジム磁石を真鏑製の枠. ( 直径. 22mm,. 本の先端が尖った軸で挟んで自由に回転できるように. 厚み 3.5mm). にはめ込み，それを上下 2. 改良した。実際，軸を調節することにより. 磁石が弱い地球磁場に反応して回転できる程度に静的摩擦効果を抑えることが可能になった。. 回. 転部分の慣性モーメントは， Ⅱ 5A4XW0Kgg.m2 である。ヘルムホルツコイルに流す電流は，正弦波発振器からの信号をバイポーラ電源によって電流僧嘱したものを用いた。これによってコイルに交流磁場が発生しその振動数と振幅の範囲に応じて磁石の動きが周期的あるいはカオス的になるのが. 一ル素子. ( 旭化成. (株 ). 製 HW-300A). 観察できる。. 磁石の回転角タの測定には，ホ. を用いた。ホール素子はコイル面と垂直になるように置. き， sinタに比例する出力電圧を得られるようにした。. ホール素子からの出力電圧とコイルに加. えた交流電圧は，㌦ wPassFilter を通してから A/D 変換したものをパソコンに. FFT アナライザ (SIGNAS カノープス. (株 )). 取り込み， 2ch. でデータの解析を行った。. ，アクリル板イ. ヘルムホル、ソコ. 磁石. Ⅰ. レ. ル素子. 図 1 ( ホール素子の. 装置の概略図. 実際の位置は磁石の向こう側である ). 3. 実験結果測定は今までと同様に，ヘルムホルソコイル中を流れる交流電流の振幅を固定して振動数を変える方法でデータをとった。測定範囲は，交流磁場の振動数が 0 ∼ 24Hz, 振幅は 0 4 ∼ 1.lgmT で・. あ. る。. 3, 1 図2. カオス的振舞いと振動数ロッキンバ現象は，交流磁場の振幅を 1.lgmT に固定して振動数んを 24Hz から下げていったときの磁石の. 回転角の時間変化をあらわしたものである。 (振動数ん，の値は，表1 を参照のこと。) ここで，横軸は時間 f を交流磁場の周期乃" で規格化してある。. @ ト｜.

(3) 63. 双極モータ一の回転運動に見られる長周期構造. えた. と. ば， (a) 一 (d) では，交流磁場の. 振動数に同期して周期的な動きをしていた磁右が， (e) で. ヵ. (a). オス的な振舞いをするとうに. なるのがわかる。そして (f) になると再び. (b. Ⅰ. 同期して周期的な回転運動を始める。このよ (c). うに回転磁石の運動には，交流磁場の振動数に応、じて周期的，. ヵ. オス的な振舞いがあ. る振. (d). 動数幅をもって現れることがわかる。さらにここで横軸に交流磁場の変ィヒであ. る. (e). cos の f をとって，図2 と同じデータの磁石の. 回転角の時間変化を描いてみると Parameth 。. Plot図 3 が得られる。これはひわりるリサー、ジ. (） f. 百 Ⅰ の Ⅰ. ュ図と呼ばれるもので，これによって回転磁. (Q). 石の運動が周期的であるのかそれとも非同期的であるのか，また同期している場合，交流. (h. 磁場との振動数の比はどうなっているのかがより一層はっきりと. 吾党. Ⅰ. み取ることができる。） C. (e), (h), (j), (1). 図 3 において磁石は，. では交流磁場に同期しておらず非周期的な運動. なしており， (a), (d), ㈲. 場の振動数に対してⅠ. :. 1, また (b), (c),. ㈲，及び (9), (k) では，各々 2. 0. 1/2),. 1 : 2. ). Ⅱ. では交流磁. : 1. (k). (つま. の比で同期して周期的な） l. 運動をしていることがわかる。. （. このように，元々異なる固有振動数を持つ 2. つの振動子が影響しあ. ぅ. 0. 結果，完全にその. るいは引き込み. (什equency. locking), 同期. (en 廿㎡nment). 2. 3. 4. 図2. 磁石の回転角の時間変化. あ. などと呼ばれ自然界に広く見られるものである。 ".". 有名なホイヘンスの時計や蛍の集団発光，動物の生理リズムが地球の自転周期であに等しくなるサーカディアンリズム. 等が何としてあ. 異なる振動子がお互いに歩み寄って同期する響を受けずに相手を引き込む. 5. Ⅱぽ. リズムが自発的に揃ってしまう現象は，振動数ロッキンバ. Ⅰ. げられる。. " 相互同期 ". この同期現象には. る. たとえば，. 24 時間周期. ，固有振動数の. と，一方の周期現象が全く他方から. 影. " 強制同期 " とがあるが，今回取り上げた双極モーターは後者の例. た. と考えられる 0 ま. (d) が (e) の状態に移る前には，. その後 4 : 1 の周期運動 48. : 1 の周期運動づ. l の周期運動が. Ⅰ Ⅰ. 見られ，㈲の2 : 1 の周期運動は，. オス的振舞いを経て. (9) の状態へと変化. していった。このような現象は，カオス力学系に特徴的なもので，周期倍化として知られている。次に同期している場合の回転磁石の応答の時間パターンをもうる. 少し詳しく調べた結果を述べ. 。それには応答をストロボ的に観察する，つまりある決まった時間間隔で応答を観察する方法.

(4) 巳. 平島由美子・. 表. Ⅰ. 図3. m. 本郁夫. (a)∼㈲のん，「， F の値. ん。田め. F. 14.00. 0 0t7. E 0 ， 24. (b). 11.70. 0 ． 020. 0 35. (c). 11.40. 0 021. 0 37. (d). 10.00 5.72 4.06 3.82. 0 ． 024. 0 48. 0 ． 041 0 ． 058. 1.46 2.90. 0 ． 062. 3.27. (a). (e) ）f （. (g). ・. ・. ・. ・. ・. (h). 2.79. 0 ． 085. 6.13. （. ）. 2.24. 0 106. 9.51. U）. 2.13. 0 ． 1 ⅠⅠ. 10.52. 1.62. 0 146. 1.38. 0 ・Ⅰ 7 Ⅰ. 18.19 25.06. (k) ） 7、 1. (d). (g). ・. ・. (b). (c). (e). (0. ）. 作 Ⅰ. 磁石の回転運動のリサージュ. 図. ⅠⅠ. ｜｜. 図3.

(5) 65. 双極モータ一の回転運動に見られる長周期構造. が効果的である。その方法とは，ある決まった時間間隔でストロボを. 焚いて写真を撮るように位. 相空間での運動の軌跡を求めて図にしたポアンカレ断面 (Poincaresec 廿on) やリターンマップ (re杣 mmap) 図 4 (A). を作成することである。. (C). ∼. 各々 (b), (d), (9) のリターンマップを示す。これは，交流磁場の 1. に，. 周期間隔で回転磁石の sin タの値を拾い上げ， sin タ，と sin ",の関係をプロットしたもので sin ワ. タの値が 1 周期後にどのように写像されるかを表したものである。. 2. 2. -. -. 2. 玉. 宙. ま. ⅠⅠ O 20. O2 0 ⅠⅠ. O2 申. ⅠⅠ. 4. イ. イム. ・2. 0. 2. 4. 4. -2. 0. 2. p4. 4. 目 n0n. (B) (d) の状態. (A) (b) の状態図4. -2. 0 対 n6. %On. 2. 4. Ⅰ. (0) (9) の状態. リターンマップ。. 横軸に n 周期目の sin タ，をとり，縦軸に %+1 周期目の sin " をとる。 (b) の状態では，交流ヲ. 1/2) の比で同期しているため，外湯が 1 周期変化する間に磁石の回転運動は半周期しか変化しない。そのため， sin タの値は 2 つの値を交互にとり 2 点のプロッ. 磁場に対して. ト. となる。. 磁石もまた. 1. 2 : 1 ( つまり 1 :. (d) の状態では. 1 : 1. の引き込みモードで. 回転するため，そのsin タの値は常に. (9) の状態では. 1. 1. ，ちょうど外湯が 1 周期変化する間に回転. つの値を取ることになりプロットは 1 点となる。. :2 の引き込みモードで，外湯が 1 周期変化する間に磁石の運動は. 分変化する。そのため (d) と同様に. 1. 点となるが，この場合は回転磁石の. 2. 2. 周期. 周期ごとのプロット. になっているのでその違いに注意したい。したがって，これを外湯の 1/2 周期間隔でプロットしても 1. 点で変わらず. ，さらに1/4 周期間隔でプロットすれば 2 点となり. 1 : 2. で同期していること. が確かめられる。図5. は，回転磁石の運動の状態図である。磁石の回転運動が，交流磁場の振幅 B と振動数んに. 対して同期する領域は白抜きで，. ヵ. オス的振舞いを見せる領域は網掛けで描いてある。図中の数. 字は，交流磁場の振動数に対する回転磁石の運動の振動数比を示している。ここで図 5 (A). は，. 交流磁場の振動数を 24Hz から徐々に下げっていった場合に得られた状態図であり，図5 (B). は，. 逆に振動数を OHz から徐々に上げていった場合に得られた状態図である。これらの状態図から，. 値は，振動数を小さくしていく場合 (A) と大きくしていく場合 (B) で異なり，いわゆる履歴現象が見られることもわかる。. 運動のパターンが移り変わるときの交流磁場の振動数の.

(6) 66. 平島由美子・ m 本郁夫. nⅠO Ⅰ．0. ⅠⅠ. 2. Ⅰ 三. Ⅰ 三田. の. 05 ・. 0.0. O.O. O. 2. 4. 6. 8. 10. Ⅰ. 6. 0. 2. Ⅰ. O. Ⅰ. 2. foeⅠ (HZ). f㏄ [Hz). (A). 8. (B) よ，。を増加させる場合. 尤" を減じる場合. 図5. 状態図. 3. 2 長周期的微細構造次に交流磁場の笏周期間隔で拾い上げた回転磁石の. sin g の値が，どのように変化してい. リターンマップを見ていくことにする。横軸に % 周期目の sin<g" をとり，縦軸にn+ 佛. 3, 4, ") 周期目の sin. タ. く. (勿，1,. か 2,. 肪をとる。. (A), (B) は，各々 (b), (d) の状態での佛周期後のリターンマップを描いたものである。 (b) の状態では 1 : 1/2 の引き込みモードで，交流磁場が2 周期変化すると回転磁石の運動図6. は 1 周期分変化する。つまり交流磁場が. れ. +2 周期目になったとき smn6". の値は元に戻って smn<P,. に等しくなり，交流磁場が移 +3 周期目になると sin 丘邨の値は sin タ ", に等しくなる。よってプロ、ソト. は 2 周期ごとに 2 点の配置が交互に変化することになる。. (d) の場合は 1 : 1 で同期している. ため，交流磁場と回転磁石の運動の振動数は一致している。このため交流磁場がプロットは. 1. 移. +1 周期目になる sin. タ. ", の値で元に戻って sin ヲ，に等しくなる。よって. 点で変化がないことになる。. ところが， (d) の 1 点に見えるプロットを拡大して描いてみると図造を持つことが今回はじめて. 観察された。. 図6. (B) では，. 1. 7. となり，さらに微細な構. 点に見えていたプロットだが. ，拡大. してみるとさらに小さな 11 点から構成されていることがわかる。これは次のように考えると説. 明がっく。.

(7) 67. 双極モータ一の回転運動に見られる長周期構造. 4. 4. の亡の. 2. O. 2. r+ 文. Ⅰ● 亡. O. の亡. -2. 0. ・. 2. イ. イ. -4. -2. 0 s. 2. -2. 4. 4. 2. 4. 2. 4. 2. 4. $n@on. On. Ⅰ. 0. 4. 4. 2 0. 2 0. ヮあ Ⅰ. の. の. Ⅰ ろせ. -2. -2. 4. 4. イ. -2. 0. 2. -4. 4. -2. Sln田. sln 缶 4. 4. 2 O. 2 0. の. 0. であⅠ. であⅠ. -2. -2. -4. 4 -4. -2. 0. 2. -2. 4. 4. ・. 0 s ㎞Ⅰ. s ㎞田. (A). 0. (b) の状態図 6 仰周期後のリターンマップ. (B) (佛，1,. (d) の状態 2, 3). 交流磁場のⅠ周期ごとに取り上げた sin 斤の値は一定の値をとるのではなくあ. ，微妙な違いでは. るが明らかに 11 周期ごとに変化している。そのため 11 点のプロットとなっている。そして，. 交流磁場が 11 周期目になると， sin ", の値は元に戻って smn タ " に等しくなり，リターンマップサ. 並ぶことになる。つまり (d) の k 態では，交流磁場の振動数に対して回転磁石の運動の振動数が 1 : 1 の比で同期して滑らかに回転しているように見えるが， 1 周期の間上の nl 点は一直線にに回転磁石が進む. 刀. 回転角度が微妙に違っていると考えられる。 27r 付近に Hl 通りの値があり，. そ. る。交流磁場の周期間隔でとった Sin の値の変化をバラフにしたのが，図8 である。これを見る. れが順番に規則正しく皿周期で変動すると考えられるのであヲ. と， sin ウの値が小さな変化ではあるが明らかに規則的に Hl 周期で変動していることがわかる。. Hl周期という長周期的な. つまり 1 : 1 の引き込みモードと考えられていたものが，実は. っのである。. 構造を持.

(8) 68. 平島由美子・山本郁夫. ・. ，黄. ・Ⅱ t‥@. か. ‥. 持ヰ. "，韓" ・・. ・. ぉ. 3.36. 3.38. 3.40. 3.42. 3.44. 磯Ⅰ ，".@ "'.:".""@ な", ヨ. :. 伺臆・. ，お. ㌧壱 Ⅰ市. P ：宕俺. Ⅰ. 偲佗㏄㏄㏄. "" f@.... せ宵ふ・が・フトワよん*" ソ. 運ゑ. 手隠. 3.36. ・. 3.38. 3.40. %r構 n. 佃伯㏄㏄㏄. ，盟納む. れ，印. 抵呼・. Ⅰ 幸吏との. 趙": "，ぉ出午で， ". 偲 3. 42. 吏. rr+よ Pの. @ 丑申. % 五や八. 3.42. ・. ;. ま華表，. 患ハ. 笘. 3.の. 宙鱗: 2 4・. 偲 3.. 7. 9. ㏄. 1. ｜. (d) の状態での smn みの時間変化. ⅡⅠ Ⅰ1 ・. ㏄. ク Ⅰク. 図大拡. フツマン. 1.1. 3.3. 偲タ. 3 6. 3.. 2 4，. S. の. 状. 軋. 3. d. 7. 図. ・㌍. 3.36. 3.36. 25. 8. 3. ら八. 韓目. 3.偲. 3.㌍. 図. ㏄ 3. % 商. 6. 3.3. 3. 偲 4 ，2. ㏄ 3. 檎 sl. 3. ㏄. 3. ㏄. 6 ・ 3 偲佗の㏄㏄ 3. や売たの. 寸. 却. 3,44. 目㎡転. 時. ・・・・・. 3.42.

(9) 69. 双極モータ一の回転運動に見られる長周期構造. 実験結果を把握するために Hl 周期のリターンマップのモデルめのドット. で示したのは，各点の誤差. (● 形 ). と確かに実験結果に. ( ばらつき ). 図 9 を作成してみた。各点を大き. を考えてのことである。これを見る. Hl 周期の長周期構造が存在する 26 である。. 苦. め. ⅠⅠ㌧. / 十. 仁田. の. オ，考. Ⅰ" 宙十 Ⅰ. め. 卸㎡下. 駅㎡茄. 千卜 Ⅰ. 邱亡. 十七. ◆屈の. め. の. Ⅸ. おⅡ㎞. 鱗茄. り十白宙. め. 古色. め. S 図. 9. ㎡茄. 造が，. Sinon. (d) の状態でのリターンマップモデル図. この興味深い長周期的微細構造は，. ダ (爪音，. 3, 5, 7, 9, 11). (d) の状態においては他にも Hl 周期になる前に 12 周期構. 11 周期の後に 2 周期構造と 1 周期構造のものも見ることができた。ただし 2 周期の場合. はその順番に規則性がある場合とない場合とがあった。また，このような長周期構造の見られる振動数範囲は， 12 周期， Hl 周期構造はごく狭い範囲に限られているのに. 対して，. 2. 構造は比較的広い範囲で観察された。この結果から， m2 周期， 11 周期構造に比べて構造の方が起こりやすいということがわかる。これは引き込みのパターンの. 周期， 1 周期 2. 周期，1 周期. 特徴に，「ファーリ. 一の樹 (F打ey 比ee) 」の関係が成り立っていることを示すのかもしれない。 " ファーリ一の樹の.

(10) 70. 平島由美子・ m 本郁夫. 中では，上に位置する引き込みのモード方が起こりやすいため，今の場合12 周期構造 + Ⅱ周期構造 +2 周期構造づ 1 周期構造の順に起こりやすくなっており，さらにその勢力範囲も大きくなっていくといく特徴があると考えられる。引き込みの振動数比の勢力範囲をグラフにすると階段. ，これがよく知られている「悪魔の階段 (deⅦ，ss 仮 rcase) 」である。. のように変化しており. 興味深い長周期的微細構造は観察された。たとえば， (a) の状態では，. た他の状態においてもこの. 8 周期構造，. 7. ま. 周期構造が観察された。. 4. 数値解との比較 4,. 「. 運動方程式. 交流磁場ムcos 田中で回転する磁石の回転角タが従う運動方程式は，. 70+ e+ ア. みsmn0cos の/. 円. ヰ. 0 ，. (Ⅰ ). となる。 1'" ここでⅠは磁石を含む回転部分の慣性モーメント，パは回転磁石の磁気双極子モ一メント， B とのはそれぞれ交流磁場の振幅とため減衰は速度に比例する摩擦に. よ. 角振動数を表す。. また. ァ. は減衰係数を表し簡単の. るものと仮定する。ここで (1) 式を無次元化するために，. 1/ のを時間単位にとり. ，ダヰ与，. (2). 0@+@re@+@FS℡ 0@cos@/@=@0@ ，. (3). Ⅱヰコ二. wf. の Ⅰ. とおくと，. が得られる。. 4. 2. 数値計算によるリサージュ図. 式 (3) は， sin6 の項があるために非線形の 2 次微分方程式となっている。. ここでは数式処理. ソフト Ma 伍 ematIca を使用して数値計算しその振舞いを調べた。数値計算の結果も実験結果と同. 様にパラメーターを連続的に変化させることにより，周期的な振舞いとカオス的振舞いが交互に. 10 に，数値計算によるリサージュ図を示す。 r の値は実験結果の図 3 に対応するパラメーター r の値 (表 1) と全く同じ値である。ここで r の値を見積もるために減. あ. る幅をもって現れた。. 図. 衰係数ァの大きさを知る必要があるが，これは低い振動数で回転させ，そこに現れる回転の減衰からァ乃，1.49s-Iと見積もった。これらの数値解と実験結果とのの値 (表. 1). 上ヒ. と比較するとⅠの値は. 較を次に述べる。実験結果の図. (d) においては完全に. 3. に対 G するパラメーター F. 一致しており. ，一番かけ離れた値とな. った (k) においても約 1.4倍程度の違いで数値計算は実験結果と半定量的に一致することが分かった。また，今までの回転部分の軸受けにローラーベアリンバ. 一つを用いていた装置では， F の. 大きな領域で速度に比例しない静的摩擦効果が無視できず，その影響が主に回転運動の時間的な遅れとして現れ. ，そこに数値計算との不一致が見られる結果となっていた。しかし今回の軸受. け部を大幅に改良した. 装置においては，静的摩擦力を極力小さくすることが可能となりダの大き. な領域でもリサージュ図の形の一致が. 良く. ，今まで以上に動作特性の実験結果と数値計算による.

(11) 71. 双極モータ一の回転運動に見られる長周期構造. (d)F>0.48. Ⅰ. 解析の結果との間に定量的な一致が見られた。. fⅠ Fく 3.7 Ⅰ. 5. まとめ非線形力学系の運動を演示する目的で，双極モーターを組み立てその動作特性を調べてきた。今回新たに軸受けを改良したことで，今までは (g)F-4.5. 上に理論と定量的に一致する実験結果を得るこ. ㈹F ヰ 2.9 Ⅰ. とができた。また，今まで観察できなかったき込みモードでの. 引. 興味深い長周期的微細構造を. 見ることができた。. (1) 双極モータ. 今後はこれまで無視してきた一が完全な双極子でないこと，. (k)F-Z6.0. (2) ヘルムホル. ッコイルの作る磁場が完全に均一でないこと，. (3) 地球磁場の影響があること等も考慮しこれらの影響がどれほど効いてくるのかも実験によって確かめてみたい。また，長周期構造についてさらに詳細に調べ，理論的にも考察してい図 0 Ⅰ. 数値計算によるリサージュ. 図. く. 必要があると考えている。. 参考文献 [ ] Ⅰ. T 花をみtタ o 接グ勿0 o だA Sa佛ク. M.J.Balllco and M .L.Sawley: c 几 005. .J,phys.58 1990. [2J K.Yoshikawa,N.oyama,M.Sho ヵ篠壊佛 icalsが屋笏. Ⅰ. Ⅱ. [5]. and S.N ka ぬ : "USSe0Ⅰ asah ゴ. :Rh ノ坊ぴ切S カクれ竹㏄れ0 れ， Ⅰれガ0% ナ切り西笏. [4] I.Ymamoto,Y.Hirashima. ピ. Ⅰを. 6%0. れ. S%Ⅰめれ0 れ 0Ⅰ は % Ⅰ 笏せ. Ⅰ. 棚. t5 zc ナ. 58.. [3] P.Berge,Y.Pomeau and C.Wdal: 在吐. サ. 「カオスの中の. せれ. 竹. eosctAA4%0. Ⅰ. 俺. aSt 笏タ加乃 o 移 h れしのⅠ. f" Am.J.Phys.59 (1991). Ⅰ. 37.. 秩序」産業図書， (1992). ㎝ d M.K ぬgawa: "S 佛タせ虜Ⅰ 笏 0 ク4S%㌃Ⅰ tWo00/ cJ し aos a 竹 d pJ hase ocん Ⅰ. Ⅰ. 了. チ. し. Ⅰ. Ⅰ 正ヶ. 9. 仮 using abtPola ァ笏oto グ，㌔ i.Rep.YokohmlaNat.Univ.Sect.1.44. (1997). 山本郁夫 : 「双極モータ一によるカオスと周波数ロッキンバの. 実験」，物理教育 45 (1997). 320. [6] 蔵本由紀 : 「同期と非同期」，数理科学. N0.408 (1997). [7] P.Bak : 「悪魔の階段」，パリティ 2-8 (1987) 2. [8] 吉川研一 : 「非線形科学」学会出版センタⅠ (1992). 5. 79..

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