数値的な特徴にもとづく囲碁局面の解析

数値的な特徴にもとづく囲碁局面の解析

木戸間周平前田典男

東京電機大学大学院理工学研究科

中村克彦

東京電機大学理工学部情報システム工学科

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概要強い囲碁を実現するために各種のパタン認識を含む静的な局面解析を高速に行うことが 重要である.この報告では，パタンマッチングによらずに数値的な特徴にもとづいた局面解析 を行うための， 2 次元ピット演算によって表され計算される特徴によって死活を判定する方 式，および電荷モデルにもとづくグループおよびその強度の判定方式について述べる.

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Nakamura

College

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Science

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nd Engineering

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Tokyo Denki University

Abstract

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Key words:

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analysis

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,

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1

まえがき

コンビュータ囲碁においてはゲーム木の探索空聞 がきわめて大きいため，チェスで成功した主に先読 み探索に依存する方式ではなく，局面の静的な解析 およびパタン認識にもとづく着手決定方式が必要で ある.コンヒュータに比べて人聞は盤面上の石の空 間的な配置パタンを認識する能力がはるかに優れて おり，これがコンピュータ囲碁の能力に関連してい ることは，これまでにも多くの人から指摘されてき ている.したがって，各種のパタン認識を高速に行 うような局面の静的解析がもっとも重要なテーマで ある. この報告では，数値的な特徴にもとづいた次のよ うな囲碁局面の解析および川タン認識の方式につい て述べる.

-決定的な死活判定境界が明確な石のグループ に対する数値的な特徴による死活判定. ・グループおよびその強度の判定:石の密度が低 い場合の石のグループに対する，電荷モデルに もとづく数値(ポテンシヤル値)にもとづいた グループの判別とその強度の推定. 数値的な特徴は 2 次元ピット配列に対するピット演 算，および整数の 2 次元配列上の整数の演算によっ て表現され高速に計算される. 静的解析の各種のアプローチのなかで，パタン マッチングは代表的な手法であり，多くの囲碁プロ グラムに採用されている.しかし，直接的な 2 次元 パタンマッチングには，一般に次のような問題点の ために処理のコストが大きい. -死活に関する規則を表すために膨大な数のパタ ンが必要になる. -一般に登録された多数のハタンと局面上のすべ ての部分との間の適合性を走査しながら調べな くてはならない. -パタンがもっ回転および左右に関する対称性を 高速化のために利用することが難しい. われわれの目標は，数値的な特徴によるパタン認 識によってこれらの問題を解決し，これまでパタン マッチングを必要とすると考えられていた囲碁局面 上のパタン認識を数値的な特徴にもとづいて行える ようにすることである. グループの死活に関係する数値的特徴としては， ダメ数を始めとするさまざまな種類のものがある. 田島ら [5] は ， n一次ダメと呼ばれる特徴にもとづき， 手抜き可能回数 (PON) と呼ばれる評価値によって グループの強度を判定する方式を示している.また， 多くの囲碁プログラムで石のグループとその強度の 推定のために石の周囲への影響力を示すために電位 モデルなどにもとづく数値が用いられている.

2

グループと 2 次元ビット演算

ブロックとは互いに隣接している l つ以上の同 じ色の石の極大集合である.空領域とは互いに接続 している i つ以上の空点の極大集合である.グルー 表 1: ピット配列上の定数と演算

演算

￨

記号

￨

形式

|意味

定数 1

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すべて l φ

_?

_{すべて O}

口

?

盤の端点 l ピット

A •

p

•?

上 シフト

A

•

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下 < -左

A

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p

--+ 右

A

p

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ピット毎 A 八 B 'P

xp

•?

AND

論理演算

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PXP

•?

OR

A $ B

PXP

•?

EOR

その他

8+T

QxQ

•

Q 行列加算

I

A

I

?•

Z

l の個数 m.αx(8) Q

•

Z

最大値 プは非形式的には「動的に接続された(相手によっ て切られない)同色の石のブロックの極大集合であ る J と定義されるプロックが相互にコスミの関係 によって接続されている場合のように，静的に容易 に識別できる場合もあるが，一般には静的な判定は 不確定性をともない，厳密な判定は動的な判定を必 要とする.閉領域 (closed region) とは，あるグルー プに固まれた点(相手の石が占めるかまたは空点) の集合である.閉領域が相手の石だけで占められる ことはないので，閉領域はかならず空点を含む. われわれは囲碁局面を 2 次元ピット配列によって 表し，特徴を表現するために集合 P

=

{O

, l} nxへ

および Q

=

znxn(z は整数の集合)の上で定義さ れた表 l で示された定数および演算を用いる.ここ で，通常は 11

=

19 であり ， 'PC Q である.さらに， ピ 7 トまたは整数の配列 A の各要素を A[i ， j] によっ て表すと各演算は次のように表される. 定数定数 1 および φ は，すべての l 三 i ， j ~

n

に対して ，

l[i

,

j

]

=

1

alldφ [i， j]

=

0 によって定義

される.定数口は次の式によって定義される. t i n u r--frEEEt 、 企= 咽， d

口

i

f

i

=

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,

i

=

n

-1

,

j

=

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01'j

=

n

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1

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e

シフト シフト演算はビァト配列を 4 方向の一つに i ピットだけシフトさせる.行または列の端のピッ トは消去され，反対側の端に O が追加される.左シ

フト演算 1 は次のように定義される.

• 6 . J

A[i+

l

,

j]

.

.

.

O :S i 三 n-2 .'1[i ， j]~

<

10

.

.

.

i=n-l

1， .4 ↑および A .~も同様に定義される.

論理演算 論理演算はピット配列に対する nxn 個 の論理演算を含む.演算 AND の定義を次に示す.

(.'1 八 B)[i， j] 全 A[i ，

j

]

^

B[i,

J

]

.

その他の演算 整数の配列 S と T に対する行列加 算演算 5+T は次で定義される.

(

5

+

T)[i

,

j] 全 S[i， j

]

+

T[i

,

j

]

式を簡単にするため，上シフト X ↑などの単項 演算は最大の優先順位をもち，また論理演算は算術 演算(+)より高い優先川即亨をもつものとする.さら に AND (八)は OR (v) と排他的論理和(ゅ)より 高い優先順序をもつものとする.白黒の石の集合を 表すピット配列 X ， Y に対して，その補集合，拡大， 外側の点の集合，ダメの集合，隣接点の集合，およ び一点についての最大隣接数を求める演算が次のよ うに定義できる.

•

X 全 xω1

八 ー+守ー ・ Ihicken(X) 三 Xv

X

V

X

vX

•

vX

•

•

e;dCl>-iel>(X) 全 X

$.

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(

X

)

•

1仇l>ty(X， Y) 全 exteriel>(X)

$. Y 八ー+

・ #α djαcenLt o(X) 三 IX 八 ::<.I+IX 八 X ↓| •

Tl!αx_nez刊b01>(X) 全 mαx(X 八 X ↑+

ー+ X 八 X ↓ +X 八 X+X 八 X ↓) これらの演算の例を図 l に示す.図 1 (乱)の局面 は二つのピット配列 X (b) と Y (c) によって表され るー #αdjα cenUo(X) の値は 2 ，

#adjacenUo(Y)

の値は 4 である X 中の要素の最大隣接数 ηwx_ne'ighbor(X) は 1 ， Y 中の要素の最大隣接数 mα x_nei!1 hbor (Y) は 3 である.

(

a) 局面の例

(

b

)

X

田町l

_{v i}

i

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(

X

)

(

f

)

libety(X

,

Y)

図 1: 拡張演算の例 2 次元ピット配列は，コンビュータ内ではピット 列の 1 次元配列によって表すことができる.また， 2 次元ピット演算はコンビュータ固有のビット列に 対する論理演算命令を用いることによって高速に処 理できる.

3

オイラーの公式にもとづく目の

数の推定

われわれはすでにグループがもっ自の個数の推定 に平面グラフに対するオイラーの公式を応用できる ことを示した [3]. ここではピット演算によってこの 方式に必要な数値が容易に求められることを示す. 連結した平面グラフにおいて，辺に囲まれた領域 (または最小ループ)の個数 N は，辺の個数日およ び頂点の偶数 k からオイラーの公式 N= η -k+l によって与えられる.この公式を自の個数の推定に 応用するため，石を頂点に，石の聞のリンクと呼ば れる接続関係を辺とみなす.リンクは二つの石が隣

••

・+・・+

・

0

・・+

00

・+十・

O I T

-図 2 ・二つの目をもっグループ 接しているか，または次のコスミの関係である.

空語

.。

.+

_0・

.0

_0・

十・

したがって，グループ G のリンクの個数#link(G) は次の式で与えられる.

#link(G)

:全 #c岬 a.ccnLto(G) 十

一+ー+ ~ー←ー IG 八 (G↓八 (G vG ↓ )vG↓八 (GvG ↓ ))1

これで求まる最小ループには閉ループ gg が含ま

れるので，この個数 1 八ー+ ー+

#closed_loop(

G) 三 IG八 G 八G ↓八 G↓| を全体の最小ループ。数から差し引く必要がある.グ ループ G の開ループ数は次の式で与えられる.

#open_loop(G) 全 #link(G) 一 IGI

#closed_loop( G)

+

1

図 2 の黒のグループは 15 個のリンク( 5 個はコ スミ形).

1

3 個の石. 1 個の閉ループをもつので， 開ループの個数は 15

-1

:

3

-1

+

1

=

2 となる. 盤面の辺や隅においては，図 3 のように盤の端に ある石と仮想的な石( e a.rth と呼ぶ)との聞にリン クがあるとみなして閉ループ数を求める.連結して いる複数の端の石があるときにも eal' th とのリンク はーっとするため，まず端の石を表すピット配列を X ← G 八日によって変数 X に置く.変数 #link に加える仮想的なリンク数は次式で与えられる. ー+

#vertual_link(X) =

IXI 一 IX 八 X ↓|一 IX 八 xl 図 3 のグループは仮想リンク 3 を含む 9 個のリン クと ea.rth を含め 8 個の石をもつので，閉ループの 個数は N=9-8+1 ニ 2 となる. この方式は閉ループの個数を判定するため，欠け 目を誤って目と判定したり，大きな領域を一つの目

岸E

図 3: 隅のグ Jレープの自の数の推定 と数えてしまうなどの問題点がある.このうち，欠 け目は局所的なパタンとして識別できる.また，敵 石のグループを含む大きな開 jレーフ'については，次 節で述べる方法や攻め合いの解析法 [4] による死活 判定を必要とする.

4

閉領域をもっグループの死活

閉領域を含むグ jレープの決定的な死活の判定にお いては，閉領域の形状とその中にある相手の石の配 置が問題になる.グループとそれが含む閉領域を二 つのピット配列 W と R によって表すとき，開領域 の形状を識別するための特徴には，大きさ IRI. 領 域中の各点間の隣接数 #αcljαcent(R). 一点につい ての最大隣接数 mαx-neiflh

b

0

1

'

(

R) などがある.こ れらによって曲り四日，自動車( 5 目) .花六固など と呼ばれている形状を含む大きさが 7 目以下の形状 を識別できる.また，辺や隅にある閉領域は，特徴 に領域中の端点の個数を加えることによって識別で きる. グループの死活を. L: 無条件活， D: 無条件死， S: セキ(活). K: コウなどの記号で表し，これらを 組み合わせて. LD: 先手無条件活き・後手死，な どを表す.他の記号の組み合わせ LS ，

SD

,

LK

,

KD

,

SK.

KS も同様に定義される. 図 4 の 4 種類の閉領域は空領域の隣接数と最大隣 接数の二つの属性によって識別できる.すなわち， 各バタン (a) ，

(b)

,

(c)

, (cりに対して二つの属性値 はそれぞ、れ 4 と 2 ， 4 と 3 ， 5 と :3 ， 4 と 4 をもっ. 図 5 は大きさ 6 の代表的な閉領域の形を空領域 を囲む石を省略して示している.これらは，閑領域 の隣接数，最大隣接数および端の点数から識別され る.隅の領域 (e) は端の点を 4 個含むことで識別さ れる.この隅の形は，これを含むグループが外ダメ をもたないときコウになってしまうことがあるので，

d

i

S

1

3

帯当

_指2

(a)

L

(

b

)

L

(じ)

LD

図 4: 大きさ 5 の閉領域

十

十件十土ト

m

(a)

L

(

b

)

L

(

c

)

LD

( cり L 図 5: 大きさ 6 の主な閉領域 同様の形 (d) とは区別が必要である. 表 2 は図 4 (c) の形の閉領域に 2 または 3 個の 敵石が含まれる場合の代表的な配置が五つの属性に よって識別できることを示している.ここで .B で 表される敵石中の隣接数は #αdjacenUo(B). 敵石 の(一石当たりの)最大ダメ数は， ー今 111α叫 B 八 E ↑ +B 八 E ↓ +B八 E+B 八 E ↓)

,

グループの外部ダメ数は

I

l

ie

l

.

t

y

(

W)

I 一 IE ^l 批 7.ty(

v

V

)

I

で表される ここで . {'V は閉領域 (R) を囲む(白) 石の配置を表している.配置 (b) と (c) は区別され ないが，両方とも無条件死 D であるため，問題はな い記号“は，死活がこの属性に無関係であるこ とを意味している. (d) と (h) の二つの配置は，自 のグループが l つ以上の外部ダメをもっときオシツ プシの活きであるが，それ以外の場合はセキとなる.

5

電荷モデルによるグループの判

別とその強度の推定

コンヒュータ囲碁研究の初めから，石の影響力を数 値化して表す様々な方法が用いられてきた.

Z

o

b

r

i

s

t

[7] は白石が正の，黒石が負の特定の電圧をもっとい う電位分布のモデルを用いて盤面の解析を行った. 同様の方式は吉川の G R.EAT [8] や S-.J.Yan と S-c.

m

悶

ω

(

d

)

LD

は土

(

e

)

L

01"

LK

Hsu の Positio帥l-.Judegemellt

System [

9

]

など，多

くの囲碁プログラムで実際に用いられている.

5

.

1

電荷モデルと電位

われわれは盤上の石が電荷をもっとみなし，それ によって決定される各点電位で石の影響力を表す. 与えられた局面に対して各点の電位は以下のように 定義される. 1.各自石および黒石は周辺の点にこの石からの市 街地距離 d (d 主 1) の逆数 l/d で求められる電 位を与える. 2. 各点の電位はそれぞれ周辺にある同色の石から の電位の和である.白および黒の電位は色別に 計算される. 3. 辺および隅にある石は，盤外の対称的な位置に 鏡像をもっと仮定して電位が計算される.この 補正により辺および隅では一つ一つの石の影響 が大きくなり，結果として辺および隅の各点は 中央に比べ高い電位をもつことになる. 上の性質 l および 2 により電位分布は，その計算に おいである石を加えたときその石による影響分のみ を加えれば良いという意味の線型性をもっ.このた め電位の計算にかかるコストは少なくてすむ.これ に対し，田島ら [5] の n一次ダメのような敵石の影響 力を考慮した計算は一般に非線型である.

表 2: 大きさ 5 の敵石を含む閉領域をもっグループの死活 隣領域

(

.

a

)

-H

H

i

f

f

-

1

.

1

+

•

t

先

.ー』 一 r

•

敵石数

2

2

2

2

.)

₂

_{1 1 ・っ3} d -3 隣接数 l i 1 。 。 。

2

l 敵石の全ダメ数

2

3

・9J ・つ3

2

2

2

2

敵石の最大ダメ数 l

2

2

2

2

3

2

2

外部ダメ数

>

1 。

>

₁ 。 死活

LD

D

D

L LS

D

D

L

L

S

電荷モデルをコンビュータ上で実装するために以 下に示す制限を設けている. l 各石の影響範囲に限界を設け，この影響のおよ ぶ最大の距離を dmω とする.各石が最大距離 dmax を越えた点に与える電位は O とする.図 6 に dm 仰二 7 の場合の電位分布の例を示す. 2. 鏡像は第 4 線までに置かれた石に対してつくら れる(図 7)

.

情処:u臨' I~ ・111 富田 制(1 ・

'

UI鹿町貰園_{己曽E・ IIiII.・ 間I・} B 匝' 11111 週

車

町， 11降車，n臨調11111. U1IrJClIl 出司 [1 四回 1111聡fl¥ll :111._{m・ 1](・} 11[1 W.,.El :1[1 1111 1](1 1111

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1~1I 1[1 ..fll[1

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1111 I.fllll _語' .ヨ 国l'iI ー 図 6: 電位の分布 ílIt荷モデルによる電位分布は次のような性質を もっ. ・自または黒石で固まれた領域の各点の電位は領 践の大きさや敵石に関係なく約 4 となる. -隅の石は図 7 のように 3 つの鏡像をもつため， 間の空点は一般に高い篭位をもっ.いわゆる 一----'t 叶』』 41E411 → 114 ， --h ←一 h_「 --h 将司間 v-一九 mm'J -l 寸』 341 屑相関越 EEAEE 」噌 261 --d 崎、一 i ---一 ・ 4寸 11411 司 11411 --一一 lAll 斗 Ilo---『 -a l ム lt ム 11ahll --ha 沼 F 141?414SN 時

T

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tLlILI---ll

-gL 『

SLlil

-俊一3 銘岩

一盤内明域

運動盤内の黒石

ー酬の仮想領域

⑫黒石崎像

図 7 ・鏡像 三々の位置に石が置かれると隅の 9 個の点は約 l の電位をもっ.

5

.

2

電位によるグループ半Ij別 盤上の点 (x ， y) の黒石による電位を B(x ， y) ， 白 石による電位を W(x ， y) とする.電位分布にもとづ いて次のように黒(白についても同様)のグループ を判別する. L 与えられた局面のすべての黒石が占める点およ ぴ空点 (x ， y) に対して，その点がグループ候補 点となるかどうかを以下のようにして判別する. ここで V1 ， 1I 2 は判別に用いる閥イ直である. (a)B(.1・ y) さ V1.

B(;c

, y)

-

Hl(;l:， y) 三 02 を共 に満たすならば点(山 ， y) は黒石のグループ候

術点である. (b) 点 (a: ， y) に黒石があれば点 (:c，y) は黒石のグ lレープ候補点である. :2.上記のようにして求めたグ Jレープ候補点の集 合から，石のブロックと同様の定義にしたがっ て候補点のブロックを抽出する.こうしてでき た各候補点ブロック中の黒石の集合が黒石のグ ループとなっている. :3. これだけではコスミで接続されたグループが判 別されないことがあるので，このようなグルー プを一つのグループにまとめる. 多くの例から， Vl

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1. 0 ，内= 0.7 と決定した (例)図 8 は実際のプロ棋士のゲームの局面(1 996 年の本因坊戦[10])である. 図 9 に上の方法で判別 したグループを示す. ここで薄く色がついた部分が 黒のグループ候補点，濃く色がつけられた部分ボ自 のグループ候補点を表している.この図は，中村[4] が攻め合いグラフを構成する際に入手で判別したグ Jレープを正しく認識していることを示している. 図 8: 局面の例(1 996 本因坊戦 [10])

5

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3

電位によるグループ強度の推定

グループの強度とは，そのグループの活きやす さ，すなわち二限ができる可能性の度合いである. グループが活きるためには目となる候補点がある程 度含まれる必要がある.これを考慮して，黒(白)の 図 9: グループの判別 グループの強度はグループ候補点(空点)について の以下のような規則によって推定される l.黒による約 4 の電位をもっ点は目とみなせる. 2. 黒と自の電位の差が大きい空点を含むグループ ほど強度は高い. 3. 黒と自の電位の差がある程度以上の空点を多く 含むグループほど強度は高い. 実際の強度の推定のための具体的な規則の細部につ いては現在検討中である.

6

むすび

この報告では，数値的な特徴を用いて 2 次元パ タンマッチングによらずに聞碁局面上のパタンを認 識するための方法について述べた.ここで述べた方 式は，いずれも数値的特徴にもとづく判別・認識で あるため，これらに一般のパタン認識・学習の方式 が採用できると考Iえられる.現在，これらの方式を P l'olog および C 言語によって詰め碁プログラムに おいて実装し，実際的な評価を行っている.さらに， 次の課題の検討を進めている. ・ 実際の囲碁プログラムへの応用. - 定石データベースや候補手の摘出規則の表現な どこれまで主にパタンマッチングにもとづいて いた分野へのピット演算の適用.

-グループおよび死活判別(グループの強度の推 定)のための規則の自動生成.

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