転位の応力場について

(1)

転位の応力場について

(2)

１．等方弾性体における構成方程式 まず、フ−リエ変換および逆フ−リエ変換を、関数 f r のフ−リエ変換を( ) F k( )として、 3 1 ( ) ( ) exp( ) ( ) ( ) exp( ) (2 ) F f i V d f F i d π = − =

∫

r k k r kr k r k kr r にて定義しよう。関係式として、デルタ関数はフ−リエ変換にて 1 exp( i )d ( ) V

∫

r −kr r=δ k と表現できる。なぜなら、デルタ関数の定義から、 ( )F k =δ( )k と置くと、 ( ) ( ) exp( ) ₃ 1 (2 ) d f δ i π =

_∫

= k k r k kr であり、 f( )r =1であるので、 ( ) F( ) 1 f( ) exp( i )d 1 exp( i )d V V δ = =

∫

− =

∫

− r r k k r kr r kr r となるからである。ちなみに、この関係を用いて、 3 3 3 3 1 ( ) ( ) exp( ) 1 ( ) exp( ) exp( ) (2 ) 1 1 ( ) exp{ ( ) } (2 ) 1 ( ) exp{ ( ) } (2 ) ( ) ( ) ( ) (2 ) F f i d V d F i i V F i d V d F i d V d F F π π π δ π = − = − = − ⎡ ⎤ = _⎢ − _⎥ ⎣ ⎦ = − =

∫

∫ ∫

∫

r r k' r k' k' r k' k r kr r k' k' k'r kr r k' k' k r k' r k' k' k' k r r k' k' k' k k d d となっていることがわかる。さて、原子の変位場と eigen 歪場をそれぞれu r( )およびe rT_kl( )とし、そのフーリエ表現を 3 3 ( ) ( ) exp( ) (2 ) ( ) ( ) exp( ) (2 ) T T kl kl d i d e e i π π = =

∫

k k k u r U k kr k r k kr と定義する。これより拘束歪の変動量δec( )r =ec( )r −ecはその定義から、

(3)

3 1 1 ( ) { ( ) ( )}exp( ) 2 2 c k l kl l k k l l k u u d e i k U k U r r δ (2 ) i π ⎛∂ ∂ ⎞ = _⎜ + _⎟= + ∂ ∂ ⎝ ⎠

∫

k k r k k kr にて与えられる。また、弾性歪エネルギ−は、 0 1 1 1 2 2 1 1 ( )( ) 2 2 1 1 { ( )}{ ( )} 2 2 A A A T str ij ij ij ij ij ij c c T c c T A A A

ijkl kl kl kl ij ij ij ijkl kl ij ijkl kl ij

c T c c T c ijkl kl kl kl ij ij ij ijkl kl E e d e d e d V V V C e e e e e e d C e e d C e e d V V V C e e e e e e d C e V V σ σ σ δ δ δ δ = + − = + − + − + − = − − − − +

∫

r r r r r r r r r r r r 1

∫

r r

(

)(

)

1 1 1 1 ( )( ) ( ) 2 2 1 1 2 1 1 2 A A A T ij ijkl kl ij T c T c T c c c c

ijkl ij ij kl kl ijkl kl kl ij ijkl ij kl

A A A T ijkl kl ij ijkl kl ij T T T T T ijkl ij ij kl kl ijkl kl e d C e e d V C e e e e d C e e e d C e e d V V V C e e d C e e d V V C e e e e d C e V V δ δ δ − = − − − − + + − = − − − −

∫

r r r r r r r r r r r r r r r r

(

)

(

)(

)

(

)

1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 T c c c kl ij ijkl ij kl A A A T ijkl kl ij ijkl kl ij T T T T T T c c c

ijkl ij ij kl kl ijkl kl kl ij ijkl ij kl

A A A T ijkl kl ij ijkl kl ij e e d C e e d V C e e d C e e d V V C e e e e C e e e d C e e d V V V C e e d C e e d V V δ δ δ δ δ + + − = − − − − + + −

∫

r r r r r r r r r r r r r r r r δ にて与えられるので、平均拘束歪については、力の釣り合い条件から、 1 ( ) 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 ( ) c c T str ijkl kl kl kl c ij c c T

ijkl kl ijkl kl ijkl kl

c T ijkl kl ijkl kl c T ijkl kl ijkl kl c T ijkl kl kl c T kl kl E C e e e d e V C e d C e d C e d V V V C e d C e d V V C e C e d V C e e d V e e d e V δ δ ∂ = + − = ∂ + − − = − = ⎛ ₋ ⎞₌ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∴ = =

∫

r r r r r r r r r r r r r r r r r r = r ( ) T kl r が成立している。つまり、平均の拘束歪 c kl e は、eigen 歪の平均値に等しい。 次に平衡方程式を定義しよう。ただし弾性率は定数と仮定する。

(4)

, ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 0 c T c T kl kl kl kl ij j ijkl ijkl j j j j e e e e C C r r r r δ δ σ = _⎨⎪⎧∂ −∂ ⎫_⎬⎪= ∴ _⎨⎪⎧∂ −∂ ⎪⎫_⎬ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ r r r r = これより、平衡方程式のフーリエ表現 3 3 3 ( ) ( ) 0 1 { ( ) ( )}exp( ) ( ) exp( ) 0 2 (2 ) 1 { ( ) ( )} ( ) exp( ) 0 2 (2 1 2 c T kl kl ijkl j j T ijkl j l k k l j kl T ijkl j l k k l ijkl j kl ijkl e e C r r d d C k k U k U i ik e i d C k k U k U iC k e i C k δ π π π ⎧_∂ _∂ ⎫ ⎪ ₋ ⎪₌ ⎨ _∂ _∂ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎧₋ ₊ ₋ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ ⎡₋ ₊ ₋ ⎤ ₌ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ −

∫

k k k r r k k k k kr k kr k k k k kr (2 ) ) = { ( ) ( )} ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 2 T j l k k l ijkl j kl ijkl j l k ijkl j k l T ijkl j kl k U k U iC k e C k k U C k k U iC k e + − = + = − k k k k k k を得る。ここで、両辺の ij を pq に、また右辺の kl を mn に変える。両辺の ij を pq に変え る理由は、虚数 i と添え字の i が紛らわしいからである。また右辺の kl を mn に変える理由 は、本来、拘束歪(k U k_k _l( )に関係する部分)と固有歪(η_klQ(k に関係する部分)は常に同じ方) 向を向く必要はないからである。したがって、前者の添え字はそのままに、また後者の添 え字を mn に変える。また j (もしくは )方向は、平衡方程式にて応力を微分する方向であ り、これは両辺とも共通しているので、ij を pq に変える際には両辺の全てを同時に変えな くてはならない。したがって、平衡方程式のフーリエ表現は、 i ( ) ( ) ( ) 2 pqkl q l k pqkl q k l T pqmn q mn C k k U C k k U iC k e + = − k k k にて与えられる。さらに、弾性定数の対称性から、Cpqklk k Uq l k( )k =Cpqklk k Uq k l( )k であるの で、最終的に、 ( ) T ( ) pqkl q k l pqmn q mn C k k U k = −iC k e k が得られる。ここで、 1 ( ) pl pqkl q k G− k =C k k n k を定義すると、U kl( )は、 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T pqkl q k l pqmn q mn T l pl pqmn q m C k k U iC k e U iG C k e = − ∴ = − k k k k となるので、

(5)

3 3 1 ( ) { ( ) ( )}exp( ) 2 (2 ) 1 { ( ) ( ) } ( ) exp( ) 2 ( c kl l k k l T pk q l pl q k pqmn mn d e i k U k U i d G k k G k k C e i δ π 2 )π = + = +

∫

k k k r k k kr k k k k kr より、拘束歪は、 3 3 ( ) ( ) 1 { ( ) ( ) } ( ) exp( ) 2 ( 1 ( ) { ( ) ( ) } ( ) exp( ) 2 ( c c c kl kl kl c T kl pk q l pl q k pqmn mn T T kl pk q l pl q k pqmn mn e e e d e G k k G k k C e i d e n n n n C e i δ π 2 ) 2 )π = + = + + = + Ω + Ω

∫

k k r r k k k k kr k r n n k kr と計算できることがわかる。ここで、 2 ( ) ( ) pl pl G k Ω = n k であり、 2 2 ( ) ( ) pl ( ) pl q k q k pl q k G k k k n n n n k Ω = n = Ω k n の関係を用いた。また等方体の場合、 2 2 6 2 { ( 2 ) ( ) } ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 ) pl p l pl p l pl pl p l pl k k k k G k k n n δ λ µ λ µ δ λ µ λ µ λ µ µ λ µ µ δ λ µ λ µ λ µ µ + − + + − + = = + + + − + Ω = + k n n n である。応力についてはフックの法則から

{

}

3 3 ( ) { ( ) ( )} 1 ( ) { ( ) ( ) } ( ) exp( ) ( ) 2 ( 1 { ( ) ( ) } ( ) exp( ) ( ) ( ) 2 (2 c T ij ijkl kl kl T T ijkl kl pk q l pl q k pqmn mn kl T T ijkl pk q l pl q k pqmn mn ijkl kl kl C e e d C e n n n n C e i e d C n n n n C e i C e e σ π π = − ⎡ ⎤ = _⎢ + Ω + Ω − _⎥ ⎣ ⎦ = Ω + Ω − −

∫

k k r r r k r n n k kr k n n k kr r 2 ) ) T T r r と計算される。また弾性歪e r_kl( )は

{

}

3 3 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) { ( ) ( ) } ( ) exp( ) ( ) 2 ( 1 { ( ) ( ) } ( ) exp( ) ( ) ( ) 2 ( c T kl kl kl T T kl pk q l pl q k pqmn mn kl T T pk q l pl q k pqmn mn kl kl e e e d e n n n n C e i d n n n n C e i e e π π = − = + Ω + Ω − = Ω + Ω − −

∫

k k r r r k r n n k kr k n n k kr r 2 ) 2 ) T T e r r である。変位場は、

(6)

( ) ( ) exp( ) ₃ ( ) ( ) exp( ) ₃ (2 ) (2 ) T l l pl pqmn q mn d d u U i iG C k e i π π =

_∫

= −

_∫

k k k k r k kr k k kr である。以上から、弾性歪エネルギ−は、 1 ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) ( 2 str ijkl ij kl T c T T c T ijkl ij ij ij kl kl kl T T c T T c ijkl ij ij ij kl kl kl T T T ijkl ij ij kl E C e e d V C e e e e e e d V C e e e e e e d V C e e e V δ δ δ δ = ⎡ ⎤ ⎡ = _⎣ + − _{⎦ ⎣} + − ⎡ ⎤ ⎡ = _⎣ − − _{⎦ ⎣} − − ⎡ ⎤ = _⎣ − _⎦

∫

r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ⎤⎦ ⎤⎦ ) ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 T kl c T T c c ijkl ij kl kl ijkl ij kl e d C e e e d C e e d V δ V δ ⎡ − ⎤ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − _⎣ _⎦_⎣ − _⎦ + _⎣ _{⎦ ⎣} _⎦

∫

r r r r r r r r r r r δ r r と計算される。ここで、 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T c T T T c str ijkl ij ij ij ijkl ij ij ij ij T kl E C e e e C e e e e δ δ ∂ _{= −} _⎡ ₊ ₋ _⎤₌ _⎡ ₋ ₋ _{= −} ⎣ ⎦ ⎣ ∂ r r r r r r r ⎤⎦ σ r である。 ２．らせん転位の変位場 らせん転位の eigen 歪場は、 23 32 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 T T e r =e r = bδ r H −r にて表現できる（付録参照）。ここで、H はステップ関数で、 1 1 1 1 ( ) 1, ( 0) ( ) 0, ( 0) H r r H r r − = < − = > である。eigen 歪場のフーリエ変換は、

(7)

{

11 2 3

}{

2

}{

3

}

23 23 2 1 2 1 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 1 1 ( ) ( ) exp( ) 1 1 ( ) ( ) exp( ) 2 ( ) ( ) exp{ ( )} 2

( ) exp( ) ( ) exp( ) exp( ) 2 ( ) 2 T T r r r r r r e e i d V b r H r i d V b r H r i k r k r k r dr dr dr V b H r ik r dr r ik r dr ik r dr V b L LL k V ik δ δ δ δ = − = − − = − − + + = − − − − = = −

∫

∫ ∫ ∫

∫

r r k r kr r kr r 3 3 1 ( ) 1 2 k b ik δ − と計算できる。ここで、δ関数のフーリエ表現 1 exp( ) ( ) r ikr dr k L

∫

− =δ と、ステップ関数の空間微分がδ関数に等しいとして、以下の関係式を用いた。 1 ( ) ( ) exp( ) 1 ( ) ( ) exp( ) exp( ) 2 2 1 ( ) exp( ) 2 1 1 ( ) exp( ) 1 1 ( ) exp( ) r k k k r r F k r ikr dr L dk dk r F k ikr ikr dk H r ikr ik H r ikr dr ik L H r ikr dr L ik δ δ π π π = − = = = = = − − − = −

∫

以上から、らせん転位による変位場は、

(8)

{

}

{

}

{

}

3 3 3 3 23 23 3 32 32 3 3 23 23 3 23 2323 3 23 33 3223 2 23 ( ) ( ) ( ) exp( ) (2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) exp( ) (2 ) 2 ( ) ( ) exp( ) (2 ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ex T p pqmn q mn T T p pq q p pq q T p pq q T T d u iG C k e i d i G C k e G C k e i d i G C k e i i G C k e G C k e π π π = − = − + = − = − +

∫

k k k k r k k kr k k k k k kr k k k kr k k k k ₃ 2 2 2 3 3 3 3 2 4 4 1 2 2 2 3 3 3 2 3 4 4 3 1 1 p( ) (2 ) ( ) ( 2 ) ( ) 1 ( ) 2 exp( ) ( 2 ) ( 2 ) 2 (2 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) exp( ) ( 2 ) ( 2 ) (2 ) ( 2 d i k k k k k d i k k b i k k ik k k k k k k d b k k k k k b π λ µ _µ λ µ λ µ _µ δ 3 i λ µ µ λ µ µ π λ µ λ µ λ µ _δ λ µ λ µ π λ ⎧ ⎫ ⎧− + + − + ⎫ = − _⎨ + _{⎬ ⎨}− + + ⎩ ⎭ ⎩ ⎧− + + − + ⎫ = _⎨ + _⎬ + + ⎩ ⎭ = +

∫

k k k k kr k kr k kr ⎬ ⎭ 2 2 2 2 3 3 4 3 1 2 2 3 2 3 3 2 3 4 3 1 1 2 3 1 1 2 2 3 3 2 2 2 3 1 1 2 3 2 2 2 1 1 2 ( 2 ) 2( ) ( ) exp( ) ) (2 ( ) ( ) exp( ) ( ) exp( ) 2 (2 ) ( 2 ) (2 ) ( ) exp{ ( )} ( ) (2 ) ( k k k k d k i k k k k k b d b d k i k i k k k k k d b k i k r k r k r k k k k k b k k k λ µ λ µ _δ µ π λ µ δ δ π λ µ π δ π ⎧ + − + ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ + = − + = + + + + = +

∫

k k k k k kr k k kr kr k ) 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 exp{ ( )} ) (2 ) 2 tan tan (2 ) 2 dk dk i k r k r r r b b r r π π π π − − + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟}= _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫

k と計算される。ここで、積分の公式、 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 exp{ ( )} log( ) 1 exp{ ( )} 2 tan exp{ ( )} ( ) 1 exp{ ( )} l ( ) 2 i k r k r dk dk r r k k k r i k r k r dk dk k k k r k k r r i k r k r dk dk k k r r k i k r k r dk dk k k π π π π − + = − + + ⎛ ⎞ + = _{⎜ ⎟} + _{⎝ ⎠} + = − + + + = − +

∫

k k k k 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 og(r r ) r r r r π + − + を用いた。また、

(9)

{

}

{

}

2 2 3 2 23 23 3 32 3223 2 22 2323 3 23 3 2 2 3 2 2 2 3 4 4 ( ) ( ) ( ) exp( ) (2 ) 2 ( ) ( ) exp( ) (2 ) 2 ( ) ( ) ( ) exp( ) (2 ) ( ) ( 2 ) ( ) 2 ( 2 ) ( 2 ) T p pqmn q mn T p pq q T d u iG C k e i d i G C k e i d i G C k G C k e i k k k k i k k k k π π π λ µ _µ λ µ λ µ _µ λ µ µ λ µ µ = − = − = − + − + + − + = − + + +

∫

k k k k r k k kr k k k kr k k k k kr

{

}

{

}

3 3 1 1 1 3 1 23 23 3 31 3223 2 21 2323 3 23 3 3 ( ) 1 exp( ) 2 ( 0 ( ) ( ) ( ) exp( ) (2 ) 2 ( ) ( ) exp( ) (2 ) 2 ( ) ( ) ( ) exp( ) (2 ) ( ) 2 T p pqmn q mn T p pq q T k d b i ik d u iG C k e i d i G C k e i d i G C k G C k e i k k i δ 2 )π π π π λ µ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ − ⎨ ⎬ ⎨ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ = = − = − = − + − + = −

∫

k k k k k kr k r k k kr k k k kr k k k k kr ⎬ 1 2 1 3 2 3 4 4 3 1 ( ) ( ) 1 exp( ) ( 2 ) ( 2 ) 2 (2 ) 0 k k k d k k b i k k ik δ λ µ µ µ λ µ µ λ µ µ π ⎧ ⎫ ⎧ ₊− + ⎫ ₋ ⎨ ₊ ₊ ⎬ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ =

∫

k k kr である。 ３．刃状転位の変位場 刃状転位の eigen 歪場は、 21 12 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 T T e r =e r = bδ r H −r にて与えられる（付録参照）。このフーリエ変換は、らせん転位の場合と同様に、 21 21 2 1 3 1 1 ( ) ( ) exp( ) 1 1 ( ) ( ) exp( ) 2 ( ) 1 2 T T e e i d V b r H r i d V k b ik δ δ = − = − − = −

∫

r r k r kr r kr r となる。これより、刃状転位による変位場は、

(10)

{

}

{

}

{

}

1 1 3 1 12 12 1 21 21 3 1 12 12 3 21 2112 1 12 11 1212 2 12 ( ) ( ) ( ) exp( ) (2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) exp( ) (2 ) 2 ( ) ( ) exp( ) (2 ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ex T p pqmn q mn T T p pq q p pq q T p pq q T T d u iG C k e i d i G C k e G C k e i d i G C k e i i G C k e G C k e π π π = − = − + = − = − +

∫

k k k k r k k kr k k k k k kr k k k kr k k k k ₃ 2 2 3 2 1 1 1 2 4 4 1 2 2 2 1 1 1 2 3 4 4 3 1 1 p( ) (2 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) 1 2 e ( 2 ) ( 2 ) 2 (2 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) exp( ) ( 2 ) ( 2 ) (2 ) ( 2 d i k k k k k d i k k b i k k ik k k k k k k d b k i k k k k b π δ λ µ _µ λ µ λ µ _µ λ µ µ λ µ µ π λ µ λ µ λ µ _δ λ µ λ µ π λ ⎧ ⎫ ⎧− + + − + ⎫ = − _⎨ + _{⎬ ⎨}− + + ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎧− + + − + ⎫ = _⎨ + _⎬ + + ⎩ ⎭ = +

∫

k k k k kr k kr k kr 3 xp( ) ⎬ 2 2 2 2 1 3 4 3 1 2 1 2 3 3 2 3 4 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 2 2 2 3 1 1 2 3 1 2 ( 2 ) 2( ) ( ) exp( ) ) (2 ) ( ) ( ) exp( ) ( ) exp( ) (2 ) ( 2 ) (2 ) ( ) exp{ ( )} ( ) (2 ) 2 ( ) ( 2 ) k k k k d k i k k k d b k k d b k i k i k k k k d b k i k r k r k r k k k k k k b λ µ λ µ _δ µ π λ µ δ δ π λ µ π δ π λ µ λ µ ⎧ + − + ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ + = − + = + + + + + − +

∫

k k k k k kr k k kr kr k 3 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 3 1 2 3 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 ( ) exp{ ( )} ( ) (2 ) 2 ( ) exp{ ( )} exp{ ( )} ( ) (2 ) ( 2 ) ( ) (2 2 ( ) 2 tan (2 ) ( 2 ) (2 ) d k i k r k r k r k k k k d b k k d b i k r k r i k r k r k k k k k r r r b b r r r δ π λ µ 2 ) π λ µ π λ µ π π π λ µ π − + + + + + = + − + + + + ⎛ ⎞ + = _{⎜ ⎟}+ + + ⎝ ⎠

∫

k k k k k k 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2( ) tan 2 4 ( 2 ) 1 tan 2 4 (1 ) r r r b b r r r r r r b b r r r λ µ π π λ µ π π ν − − ⎛ ⎞ + = _{⎜ ⎟}+ + + ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟}+ − + ⎝ ⎠

(11)

{

}

{

}

2 2 3 2 12 12 3 12 1212 2 12 22 2112 1 12 3 2 2 1 2 2 2 4 ( ) ( ) ( ) exp( ) (2 ) 2 ( ) ( ) exp( ) (2 ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) exp( ) (2 ) ( ) ( 2 ) ( ) 2 ( 2 ) ( 2 T p pqmn q mn T p pq q T T d u iG C k e i d i G C k e i d i G C k e G C k e i k k k k i k k π π π λ µ _µ λ µ λ µ λ µ µ λ = − = − = − + − + + − + = − + + +

∫

k k k k r k k kr k k k kr k k k k k kr 3 1 4 3 1 2 2 2 2 2 3 4 4 3 2 2 2 2 1 3 4 3 1 3 2 ( ) 1 exp( ) ) 2 ( ) ( 2 ) ( ) ( ) exp( ) ( 2 ) ( 2 ) (2 ) ( 2 ) 2( ) ( ) exp( ) ( 2 ) (2 ) 1 ( ) exp( k d k b i k ik k k k d b k i k k k k k k b d k i k k b k i k δ µ µ µ π λ µ λ µ λ µ _δ λ µ λ µ π λ µ λ µ _δ λ µ π δ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ − ⎨ ⎬ ⎨ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎧− + + − + ⎫ = _⎨ + _⎬ + + ⎩ ⎭ ⎧ + − + ⎫ = _⎨ _⎬ + _⎩ _⎭ =

∫

k k k k kr k kr k kr k (2 ) ⎬ 2 2 3 3 4 3 3 1 1 2 2 3 3 2 2 2 3 1 2 3 2 2 3 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 3 1 2 3 1 1 2 2 2 2 1 2 2 ( ) ) ( ) exp( ) (2 ) ( 2 ) (2 ) 1 ( ) exp{ ( )} ( ) (2 ) 2 ( ) ( ) exp{ ( )} ( 2 ) ( ) (2 ) 1 exp{ ( )} ( ) k d b d k i k d b k i k r k r k r k k k k b d k i k r k r k r k k k b i k r k r k k λ µ _δ π λ µ π δ π λ µ _δ λ µ π + − + = + + + + + − + + + + + = + +

∫

k k k k k k r kr k k 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 ( ) exp{ ( )} (2 ) ( 2 ) ( ) (2 ) 2 ( ) 1 1 log( ) log( ) (2 ) ( 2 ) (2 ) 2 1 1 log( ) log( ) 4 4 (1 ) 2 8 k d b d i k r k r k k r b b r r r r r r r b b r r r r r r b λ µ 2 π λ µ π λ µ π π π π λ µ π π π ν π + − + + + ⎧ ⎫ + = − + − _⎨− + − _⎬ + _⎩ + _⎭ ⎧ ⎫ = − + − _⎨− + − _⎬ − _⎩ + _⎭ =

∫

k

∫

k k k 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 log( ) 1 4 (1 ) r b r r r r ν ν π ν − ⎛ ⎞ ₊ ₊ ⎜ ₋ ⎟ ₋ ₊ ⎝ ⎠ および 3( ) 3( ) ( ) exp( ) 3 0 (2 ) T p pqmn j mn d u iG C k e i π = −

∫

= k k r k k kr にて与えられる。またラーメの定数とポアソン比の関係は、 2( ) λ ν λ µ = + より、 2( ) 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2( ) λ µ λ µ λ λ λ µ ν λ µ λ µ λ µ + ₌ ₌ ₌ ₌ + + ₋ ₋ − + + + である。

(12)

らせん転位の変位場が得られたので、これを微分することによって応力場は以下のように計算される。まず変位場をまとめると、 1 2 1 2 3 1 ( ) ( ) 0 ( ) tan 2 u u r b u r π − = = ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ r r r である。これより、 3 2 2 2 2 2 2 1 ₂ 1 1 1 3 1 2 2 2 2 ₂ 1 1 2 1 3 1 1 1 2 2 2 1 2 3 1 2 3 3 1 2 2 1 1 1 2 2 1 0 u b r b r r _r r r r u b b r r _r r r r r u u u u u u u r r r r r r r π π π π ⎛ ⎞ ∂ ₌ ₋ _{= −} ⎜ ⎟ ∂ _{⎛ ⎞ ⎝} _⎠ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ∂ ₌ ₌ ⎜ ⎟ ∂ _{⎛ ⎞ ⎝ ⎠} + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ₌ ∂ ₌ ∂ ₌ ∂ ₌ ∂ ₌ ∂ ₌ ₌ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 r となり、拘束歪変動量は、 3 1 2 11 22 33 1 2 3 1 2 12 21 2 1 3 1 2 13 31 2 2 2 2 3 1 1 2 1 2 3 2 1 23 32 2 2 3 2 1 2 0, 0, 0 1 0 2 1 1 2 2 2 4 1 1 2 2 2 c c c c c c c c c u u u e e e r r r u u e e r r u u b r b e e r r r r r r u u b r e e r r r r δ δ δ δ δ δ δ π π δ δ π 2 r ∂ ∂ ∂ = = = = = = ∂ ∂ ∂ ⎛∂ ∂ ⎞ = = _⎜ + _⎟= ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎛∂ ∂ ⎞ ⎛ ⎞ = = _⎜ + _⎟= _⎜− _⎟= − ∂ ∂ _⎝ + _⎠ + ⎝ ⎠ ⎛∂ ∂ ⎞ ⎛ ⎞ = = _⎜ + _⎟= _⎜ ∂ ∂ _⎝ + ⎝ ⎠ 1 2 2 1 2 4 r b r r π = ⎟ ₊ ⎠ と計算される。ここで、らせん転位の eigen 歪場 ₂₃( ) ₃₂( ) 1 ( )₂ ( ₁) 2 T T e r =e r = bδ r H − の空間平均r は、 1 2 3 1 2 23 23 2 1 1 2 1 1 2 2 3 1 ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) 2 1 1 ( ) ( ) 2 1 1 2 2 2 T T r r r r r e e d V b r H r dr dr dr V b H r dr r dr dr V L b b L V L δ δ = = − = − = =

∫

∫ ∫ ∫

∫

r r r r 3 3 r であるので、L→ ∞において T _→ _{となる。したがって、平均の拘束歪} c_{は０とおい}

(13)

て良い。したがって、拘束歪は、 11 22 33 12 21 2 13 31 2 2 1 2 1 23 32 2 2 1 2 0 4 4 c c c c c c c c c e e e e e r b e e r r r b e e r r π π = = = = = = = − + = = + と表現される。これより応力場は、 11 11 1111 11 11 1122 22 22 1133 33 33 22 22 2211 11 11 2222 22 22 2233 33 33 33 33 3311 11 11 3322 22 22 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c T c T c T c T kl kl kl c T c T c T c T kl kl kl c T c T c T kl kl kl C e e C e e C e e C e e C e e C e e C e e C e e C e e C e e C e e σ σ σ = − = − + − + − = − = − + − + − = − = − + − 3333 33 33 12 12 1212 12 12 1221 21 21 13 13 1313 13 13 1331 31 31 13 13 23 23 2323 23 23 2332 32 32 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 c T c T c T c T kl kl kl c T c T c T c T kl kl kl c T c T c T kl kl kl C e e C e e C e e C e e C e e C e e C e e e e C e e C e e C e e σ σ µ σ µ 0 0 = = 0 + − = = − = − + − = = − = − + − = − = − = − + − = (e₂₃c −e₂₃T ) にて与えられるので、先の拘束歪式を代入して、らせん転位の応力場は、 11 22 33 12 2 13 13 13 13 13 2 2 13 1 2 1 23 23 23 23 23 2 2 23 1 2 0 2 ( ) 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 2 c T c T T c T c T T r b e e e e e r r r b e e e e e r r σ σ σ σ µ σ µ µ µ π µ σ µ µ µ µ π = = = = = − = − = − − + = − = − = − + µ と計算される。 ５．刃状転位の応力場 刃状転位の変位場が得られたので、これを微分することによって応力場は以下のように計算される。まず変位場をまとめると、 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 3 ( ) tan 2 4 (1 ) 2 1 ( ) log( ) 8 1 4 (1 ) ( ) 0 r r r b b u r r r r b b u r r r r u π π ν ν π ν π ν − ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟}+ − + ⎝ ⎠ − = + + − − = r r r + である。これより、

(14)

2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ₂ 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 ₂ 1 1 2 1 2 1 ( ) 2 ( 1 2 4 (1 ) ( ) 2 4 (1 ) ( 1 ( ) 2 1 1 2 4 (1 ) ( ) 2 1 u b r b r r r r r b r b r r r r _r r r r r r r r r u b b r r r r r b r r _r r r r r r r π π ν π π ν π π ν π ⎛ ⎞ ∂ ₌ ₋ ₊ + − _{= −} ₊ ⎜ ⎟ ∂ _{⎛ ⎞ ⎝} _⎠ − + + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ∂ ₌ ₊ + − ₌ ⎜ ⎟ ∂ _{⎛ ⎞ ⎝ ⎠} − + + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 1 ) ) − − + 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 3 3 3 1 2 3 3 1 2 3 ( ) 4 (1 ) ( ) 2 1 4 1 2 (1 ) ( ) 2 1 4 1 2 (1 ) ( ) 0 r r r b r r u b r b r r r r r r r u b r b r r r r r r r u u u u u r r r r r π ν ν π ν π ν ν π ν π ν − + − + ∂ ₌ − ₋ ∂ − + − + ∂ ₌ − ₊ ∂ − + − + ∂ ∂ ∂ ∂ ₌ ∂ ₌ ₌ ₌ ₌ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ となり、拘束歪の変動量は、 2 2 1 2 2 2 1 11 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 22 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 12 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 ( ) 2 4 (1 ) ( ) 2 1 4 1 2 (1 ) ( ) 1 2 ( ) 1 2 1 2 2 4 (1 ) ( ) 4 1 c c c u b r b r r r e r r r r r u b r b r r e r r r r r u u e r r r r r r r b b b r r r r r δ π π ν ν δ π ν π ν δ ν π π ν π ν ∂ − = = − + ∂ + − + ∂ − = = + ∂ − + − + ⎛∂ ∂ ⎞ = _⎜ + _⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ − − = + + + − + − 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 13 2 (1 ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 2 2 2 2 4 (1 ) ( ) ( 3 ) 1 8 1 8 (1 ) ( ) ( ) 4 (1 ) ( ) c r r b r r r r r r r r r b b r r r r r r r r b b r r r r r r r b r r e e π ν ν π ν π ν π ν π ν π ν δ δ ⎡ ₋ ⎤ ⎢ ₊ ₋ ₊ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎛ − ⎞ − − ⎤ = _⎢ _⎜ + _⎟ + _⎥ − + − + ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ − ⎛ ⎞ = _⎜ _⎟ + − + − + ⎝ ⎠ − = − + = ₂₃ ₃₁ ₃₂ ₃₃ 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 11 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 0 ( ) 2 1 2 4 (1 ) ( ) 4 1 2 (1 ) ( ) ( ) 2(1 ) 2 1 4 1 4 1 4 (1 ) ( ) 4 ( c c c c c c e e e r r r r r r r b b b b e e r r r r r r r r r r r r r b b b b r r r r r r δ δ δ ν δ δ π π ν π ν π ν ν ν π ν π ν π ν π = = = = − − + = − + + + + − + − + − + − − − = − + + + − + − + − + 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 ) ( ) ( ) 4 3 4 1 4 (1 ) ( ) 2 1 2 1 r r r r r r r r b b r r r r r b r r ν ν π ν π ν ν π ν − + + − = + − + − + − = − + と計算される。ここで、刃状転位の eigen 歪場eT( )r =eT( )r = 1bδ( )r H(− の空間平均は、 r)

(15)

1 2 3 1 2 21 21 2 1 1 2 1 1 2 2 3 1 ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) 2 1 1 ( ) ( ) 2 1 1 2 2 2 T T r r r r r e e d V b r H r dr dr dr V b H r dr r dr dr V L b b L V L δ δ = = − = − = =

∫

∫ ∫ ∫

∫

r r r r 3 3 r であるので、L→ ∞において e₂₁T( )r →0となる。したがって、平均の拘束歪e_ijcは０とおいて良い。したがって、拘束歪は、 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 11 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 12 ( ) ( ) ( ) 2 4 (1 ) ( ) 2 2 2 ( ) 2 1 ( ) 4 1 2 (1 ) ( ) 2 2 2 ( ) 4 (1 c c c r r r r r r r r b b b b e r r r r r r r r r r r r b b b b e r r r r r r r r b e λ µ π π ν π π λ µ ν µ π ν π ν π λ µ π λ µ π − + − = − + = − + + − + + + + − + = + = − + − + − + + + + + = 1 2 r r λ µ 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 13 23 31 32 33 2 2 11 22 2 2 2 2 1 2 1 2 ( ) ) ( ) 0 2 1 2 1 2 c c c c c c c r r r r r e e e e e r r b b e e r r r r ν ν µ π ν π λ µ − − + = = = = = − + = = − − + + + と表現される。なおここで、 1 1 1 1 2( 2 1 2 1 1 2( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2( ) 2 2( ) 2 1 2( ) 1 2( ) 2( ) 1 2( ) 2 1 2( ) ) 2 λ µ λ λ λ µ ν λ µ λ µ λ µ λ µ λ ν λ µ λ λ µ λ ν λ µ λ λ λ µ λ ν λ µ λ λ λ ν λ µ λ λ µ λ µ µ µ + = = = = + − ₋ ₋ + + + + − − ₌ + ₌ − + ₌ − − ₋ + − + + + = = = − ₋ + − + + である。これより応力場は、

(16)

) 11 11 1111 11 11 1122 22 22 1133 33 33 11 22 11 22 11 22 22 2211 11 11 2222 22 22 2233 33 33 22 11 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( c T c T c T c T kl kl kl c c c c c c T c T c T c T kl kl kl c c C e e C e e C e e C e e e e e e e C e e C e e C e e C e e e e e σ λ µ λ λ µ σ λ µ λ λ = − = − + − + − = + + = + + = − = − + − + − = + + = 11 22 22 33 33 3311 11 11 3322 22 22 3333 33 33 11 22 12 12 1212 12 12 1221 21 21 12 12 13 23 ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 0 c c c c T c T c T c T c c kl kl kl c T c T c T c T kl kl kl e e C e e C e e C e e C e e e e C e e C e e C e e e e µ σ λ σ µ σ σ + + = − = − + − + − = + = − = − + − = − = = にて与えられるので、先の拘束歪式を代入して、刃状転位の応力場は、 2 2 33 11 22 2 2 2 1 2 1 2 ( ) 2 1 c c b r b r e e r r r r2 λµ µν σ λ π λ µ π ν = + = − = − + + − + 11 11 22 11 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 ( ) 2 ( ) 2 1 2 4 (1 ) ( ( ) (1 ) 1 1 2 (1 ) ( ( 1 2 (1 ) c c c e e e r r r r r b b b r r r r r r r r r r b b b r r r r r r r r r r b b r r σ λ µ µν _µ π ν π π ν µν µ ν µ π ν π ν π ν µ µ π ν π ν = + + ⎧ − ⎫ = − + _⎨− + _⎬ − + _⎩ + − + _⎭ − − = − − + − + − + − + − = − + − + − 1 1 ) ) r 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ) ( ) 2 ( ) ( ) (3 ) 2 (1 ) ( ) 2 (1 ) ( ) r r r r r r r r r r r b b r r r r µ µ π ν π ν + ⎧ + − − ⎫ + = − _⎨ _⎬= − − _⎩ + _⎭ − + 22 11 22 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 ( ) 2 (2 1) 2 1 4 1 2 (1 ) ( 2 (2 1) 2 1 2 1 (1 ) ( ) 2 1 2 1 2 (1 ) ( c c c e e e r r b b b r r r r r r r r r r b b b r r r r r r r r r b b r r r σ λ µ µν _µ ν π ν π ν π ν µ ν µ ν µ π ν π ν π ν µ µ π ν π ν = + + ⎧ − ⎫ = − + _⎨ + _⎬ − + _⎩ − + − + _⎭ − = − + + − + − + − + = − + − + − 1 2 ) r r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ) ( ) 2 ( ) 2 (1 ) ( ) 2 (1 ) ( ) r r r r r r r r r b b r r r r µ µ π ν π ν + ⎧− + + ⎫ − = _⎨ _⎬= − _⎩ + _⎭ − + 2 2 1 1 2 12 12 12 12 12 2 2 2 12 1 2 ( ) 2 ( ) 2 2 2 2 (1 ) ( ) c T c T b r r r e e e e e r r µ T σ µ µ µ π ν − = − = − = − − + µ と計算される。 「付録：転位における eigen 歪の一般的表記」 転位が走った２次元領域をSとしよう。Sは曲がっていても良い。この曲面Sのエッジに転 位が存在し、このエッジが転位線Lである。転位線Lに沿う単位ベクトルをνとし（方向は どちらでも良い）、バーガース回路を、右ネジが進む方向がν方向に一致するように取る。

(17)

ない。起点側の面をS-とし、終点側の面をS+とする（なお便宜的にS-およびS+と記している だけでいずれも座標的にはS面である）。S+面上の終点をS-面上の起点に対して相対的にずら したベクトルをバーガースベクトルbと定義する。つまり、b=(S+面上の終点)−(S-面上の起 点)である。またS+面からS-面に向けて垂直に立てたベクトルをnとする（したがってnはバ ーガース回路に沿ってS面を垂直に貫く単位ベクトルとなる）。νとbが直交する場合が刃状 転位で、平行な場合がらせん転位である。この転位のeigen変形勾配 * ji β は、 * ( ) ( ) ji b ni j β x = − δ S−r ) にて与えられる。 (δ S−r は１次元デルタ関数で、S−rは任意の点の S 面からの距離である。つまり、 r * ji β は点 r が S 面上に存在する場合にのみ値を持つ。これより転位による eigen 歪は、 * * 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 T ij ij ji j i i j e r = β +β = − b n +bn δ S−r ) にて定義される。 具体的にすべり面が平面である１本の転位について考えて見よう。まず、x 軸を書く。 次に x 軸の負の数直線部分を全て含むように平面 S 面を置く。この面がすべり面である。 続いて x 軸の原点からこの S 面に垂直に y 軸を置く。座標は右手系を用いるので、x 軸を y 軸側に回転させたときに右ネジの進む方向に z 軸を取る。これより S 面は x-z 平面(x<0)と なり、転位線は z 軸になるのでνを z 軸の正の方向にしよう。したがって、先の定義から となり、また (0, 1, 0) = − n δ(S−r)=δ( )y H(−x と置くことが出来る。以上で転位の空間的配置は全て決定されたが、まだ刃状転位からせん転位かは設定していない。この転位が刃状転位であるならば、のいずれかであり、らせん転位ならばのいずれかである。成分内のは転位がすべる方向に対応している。例として、およびの場合について eigen 歪を書き下して見よう。 ( b, 0, 0) = ± b b=(0, 0,±b) ± b=( , 0, 0)b (0, 0, )b = b の刃状転位では、 ( , 0, 0)b = b 12 21 2 1 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 T ij j i i j j i i j T T e b n b n b n b n y H x e e b n b n y H x b y H δ δ δ δ = − + − = − + − = = − + − = − r S r r r ) x と表される。他のe r_ijT( )は０である。同様に、b=(0, 0, )b のらせん転位では、 23 32 3 2 2 3 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 T ij j i i j j i i j T T e b n b n b n b n y H x e e b n b n y H r b y H x δ δ δ δ = − + − = − + − = = − + − = − r S r r r ) と表される。この場合も他のe xijT( )は０である。