Microsoft PowerPoint - 画像工学2007-5印刷用

(1)

Autumn 2007

Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Prof.M.Nakajima KEIO Univ. YagamiYagami

06

NOVE

MBER

NOVE

MBER

画像工学

2007

年度版

教室

：

14

14 -

-

202

Autumn 2007

画

像

工

学

画

像

工

学

慶応義塾大学理工学部

教授

慶応義塾大学理工学部

教授

中

島真人

中

島真人

5

5 2007年度版

Imaging Science and Technology

(2)

Autumn 2007

§

3.

3. 画像

画像

のスペクトラム

3-1. 画像のフーリエ変換と空間周波数の概念

3-2. 簡単な図形のフーリエ変換

3-3. フーリエ変換の重要な性質

3-4. ＭＴＦと画像の評価

今週と来週は、あまり面白くない

．

耐えてください

！

でも、後の講義を理解するために，重要です．

ANIMATION

ν

（Hz：回／秒）

ξ，η

（line/mm：本／mm）

ξ，η

（line/mm：本／mm）

f ( t )，g ( t ) ．．．

f ( x , y )，g ( x , y ) ．．．

§

3-

3 -1.

1. 画像のフーリエ変換と空間周波数の概念

画像のフーリエ変換と

空間周波数の概念

ω＝2πν

(rad)

角空間周波数

u ＝2π

ξ (rad)

v ＝2π

η (rad)

u ＝2π

ξ (rad)

v ＝2π

η (rad)

空間周波数

周波数

信号の形

時間空間上

画像空間軸上

角周波数

(3)

Autumn 2007

t

T

0 時間軸上での波形

周波数軸上の波形

ω

0 ω

0 -ω

₀

0

0 T

1 =

ν

（Hz：回／秒）

ω

：角周波数

（

ω

=

2 πν

）

ANIMATION

0

0 =

2πν

ω

0 ( )

t

a

sin

t

f

=

ω

₀

( )

f

( )

t

e

dt

F

ω

∞

−

ω

0

t

∞

−

∫

=

Autumn 2007

画像空間での周波数（空間周波数）

Spatial Frequency

．．．

T

_x

( )

x

T

2 sin

ux

sin

y

,

x

f

x

π

=

u：

角空間周波数

x

y

ANIMATION

f (x,y)

+ ∞

－ ∞

(4)

Autumn 2007

T

_x

，T

_y

：周期

ξ，η

：空間周波数

u，v

：角空間周波数

(

)

_⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

y

T

2 ,

x

T

2 sin

vy

,

ux

sin

)

y

,

x

(

f

y

x

π

T

_y

y

x

T

u

=

2 πξ

=

2 π

y

T

v

=

2 πη

=

2 π

画像を回転してみよう・・・

ANIMATION

T

_x

T

_x

，T

_y

：周期

ξ，η

：空間周波数

u，v

：角空間周波数

(

)

_⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

y

T

2 ,

x

T

2 sin

vy

,

ux

sin

)

y

,

x

(

f

y

x

π

T

_y

y

x

T

u

=

2 πξ

=

2 π

y

T

v

=

2 πη

=

2 π

画像を回転してみよう・・・

T

_x

空間周波数

単位長さ当たりの

濃淡変動の回数

単位長さ当たりの

濃淡変動の回数

ただし、方向性がある！

(5)

Autumn 2007

ペン画例

画

像

は

，‘

縞

の

合

成

’と

も言

え

るの

で

は

・・

・

頭

を柔

らか

く

頭

を柔

らか

く

！

Autumn 2007

これより・・・

画像を定量的に取り扱っていくために必要な

数学的知識を身につけていただく！

(6)

Autumn 2007

0 t

δ ( t )

∞

0 t

δ ( t )

∞

（

1

1 ）デルタ関数：

）デルタ関数：

δ

(

t

)

，

δ

(

x

,

y

)

δ ( t )

FT

1 ∫

−

∞

δ

(

t

)

dt

= 1

0 t

δ ( t )

∞

FT

0

1 ω

F [

δ

( t ) ]

ANIMATION

§3-2. 簡単な図形のフーリエ変換形

§

3-

3 -2.

2. 簡単な図形のフーリエ変換形

［時間関数の場合］

∫

−

∞

−

_{= 1}

)

(

t

e

j

ω

t

dt

δ

［画像の場合］

δ

( x , y )

1 FT

・画像工学的には、

大きさ１pixel、明るさ１の点

とする．

・数学的には、大きさ∞小、明るさ∞大の光の点．

FT

：２次元のデルタ関数

δ

( x , y )

∫ ∫

−

∞

−

δ

(

x

,

y

)

dxdy

= 1

x

y

1 1 pixel

(

)

∫ ∫

−

∞

+

−

∞

−

(

x

,

y

)

e

dxdy

= 1

vy

ux

j

δ

x

δ

( x , y )

y

F [

δ

( x , y ) ] = 1 or constant.

v

u

(7)

Autumn 2007

( )

t

sin

t

sinc

=

ジンク関数：

ANIMATION

（

2

2 ）

）

rect

関数：

rect

(

t

)

，

rect

(

x

,

y

)

［時間関数の場合］

0 t

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

a

t

rect

₁

a

(

ω

)

_ω

ω

sin

a

sinc

a

dt

e

a

t

rect

_⎟

j

t

=

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

∞

−

∫

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

a

t

rect

( )

ω

sin

a

sinc

a

=

FT

0 ω

a sinc ( aω )

Autumn 2007

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

b

y

,

a

x

rect

ANIMATION

［画像の場合］

x

y

b

1 a

(

)

₍

₎

bv

,

au

sinc

ab

dxdy

e

b

v

,

a

u

rect

⎟

j

ux

vy

=

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

+

∞

−

∞

−

∫ ∫

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

b

y

,

a

x

rect

ab

sinc

(

au

,

bv

)

FT

x

y

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

b

y

a

x

rect

,

sinc

(

au ,

by

)

v

u

(8)

Autumn 2007

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

b

y

,

a

x

rect

［画像の場合］

x

y

b

1 a

(

)

₍

₎

bv

,

au

sinc

ab

dxdy

e

b

v

,

a

u

rect

⎟

j

ux

vy

=

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

+

∞

−

∞

−

∫ ∫

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

b

y

,

a

x

rect

ab

sinc

(

au

,

bv

)

FT

x

y

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

b

y

a

x

rect

,

sinc

(

au ,

by

)

v

u

元画像

_{スペクトラム}

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

b

y

,

a

x

rect

［画像の場合］

x

y

b

1 a

(

)

₍

₎

bv

,

au

sinc

ab

dxdy

e

b

v

,

a

u

rect

⎟

j

ux

vy

=

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

+

∞

−

∞

−

∫ ∫

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

b

y

,

a

x

rect

ab

sinc

(

au

,

bv

)

FT

x

y

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

b

y

a

x

rect

,

sinc

(

au ,

by

)

v

u

元画像

_{スペクトラム}

ちょっと一言・・・

その

Fourier 変換たる（振幅）スペクトラム F ( u , v ) は，

普通

complex

そこで，以降，本講義で図示されるスペクトラムは，

全て‘パワー・スペクトラム’| F ( u , v ) |

2 _{であると思って}

いただきたい．

因みに，原点対象図形の（振幅）スペクトラム F ( u , v ) は、

Real である． (non-negative ではない )

すなわち，図に描けない！

画像 f ( x , y ) は，普通 real & non-negative

(9)

Autumn 2007

Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Prof.M.Nakajima KEIO Univ. YagamiYagami ANIMATION

（

3 ₃

）

circle

_circle

関数：

circle

(

r

)

x

y

1 r

２次元特有の関数

（ 1次元では、

rect

関数に同じ）

(

)

(

)

ρ

a

J

dxdy

e

a

r

circle

_⎟

j

ux

vy

₌

0 ⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

+

∞

−

∞

−

∫ ∫

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

a

r

circle

( )

ρ

a

J

₀

FT

2

2 y

x

r

=

+

ρ

=

u

2 +

v

2 ここで、

、

Autumn 2007

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

a

r

circle

( )

ρ

a

J

0 FT

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 ( )

x

J

₀

x

u

v

FT

x

y

1 a

ANIMATION

(10)

Autumn 2007

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

a

r

circle

( )

ρ

a

J

₀

FT

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 ( )

x

J

0 x

u

v

FT

x

y

1 a

u

v

FT

x

y

1 a

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

a

r

circle

( )

ρ

a

J

0 FT

u

v

FT

x

y

1 a

FT

x

y

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

a

r

circle

a

v

u

(11)

Autumn 2007

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

a

r

circle

( )

ρ

a

J

₀

FT

u

v

FT

x

y

1 a

FT

x

y

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

a

r

circle

v

u

a

ANIMATION Autumn 2007

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

a

r

circle

( )

ρ

a

J

0 FT

u

v

FT

x

y

1 a

FT

x

y

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

a

r

circle

v

u

‘モアレ縞’が出ている

！

ANIMATION

‘モアレ縞’とは何か？

ちょっと，コメント・・・

(12)

Autumn 2007

Autumn 2007 Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Prof.M.Nakajima KEIO Univ. YagamiYagami

ちょっと，コメント・・・

ピッチの近い縞が浅い角度で重なると，

元画像にはない‘新たな縞模様’が

見えてしまう現象を，‘モアレ現象’という．

デジタル画像は，

モアレ縞を取り除くのが，

けっこう難しい！

例えば，

ディスプレイの画素ピッチと

表示画像の縞模様の間で

モアレ縞が発生する．

ちょっと，コメント・・・

(13)

Autumn 2007

（

4 ₄

）

gauss

_gauss

関数：

at

2 e

−

at

2 e

−

［時間関数の場合］

x

2 at

e

−

a

t

j

at

2

2 e

a

1 dt

e

ω

−

∞

−

₌

∫

2 at

e

−

a

2 e

a

1 −

ω

FT

ガウス関数は、

フーリエ変換してもガウス関数

とな

る．

FT

ω

a

2

e

a

1 −

ω

ANIMATION Autumn 2007

x

2 at

e

−

FT

ω

a

2

e

a

1 −

ω

2 at

e

−

a

2 e

a

1 −

ω

FT

x

ω

2 at

e

−

FT

a

2

e

a

1 −

ω

ANIMATION

(14)

Autumn 2007

［画像の場合］

(

_ax

2 _by

2 )

e

−

+

y

x

v

u

FT

(

)

(

)

⎟

_⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

−

+

−

∞

−

∞

−

+

−

₌

∫ ∫

b

v

a

u

vy

ux

j

by

ax

2 2 2 2

e

ab

1 dxdy

e

)

by

ax

(

2 2

e

−

+

b

)

v

a

u

(

2 2

e

ab

1 −

+

FT

ANIMATION

［画像の場合］

(

_ax

2 _by

2 )

e

−

+

y

x

v

u

FT

)

by

ax

(

2 2

e

−

+

b

)

v

a

u

(

2 2

e

ab

1 −

+

FT

x

y

v

u

(15)

Autumn 2007

［画像の場合］

(

_ax

2 _by

2 )

e

−

+

y

x

v

u

FT

)

by

ax

(

2 2

e

−

+

b

)

v

a

u

(

2 2

e

ab

1 −

+

FT

x

y

v

u

Autumn 2007

（

5 ₅

）

_comb

comb

関数：

［時間関数の場合］

( )

t

comb

_p

FT

( )

t

comb

p

x

y

p

1 v

u

( )

p

ω

comb

p

1/p

(

ω

)

ω

p

pcomb

dt

e

p

t

comb

_⎟⎟

j

t

=

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

∞

−

∫

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

p

t

comb

p

comb

( )

p

ω

FT

Comb

関数も、フーリエ変換しても

_comb

comb

関数である．

ANIMATION

( )

_∑

∞

(

)

−∞

=

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

i

p

t

ip

p

t

comb

t

comb

δ

(16)

Autumn 2007

FT

［画像の場合］

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

q

y

,

p

x

comb

1 p

q

p q

1 / p

1 / q

(

)

₍

₎

qv

,

pu

pqcomb

dxdy

e

q

y

,

p

x

comb

j

ux

vy

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

∞

−

∞

−

∫ ∫

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

q

y

,

p

x

comb

pq

comb

(

pu

,

qv

)

FT

(

pu

,

qv

)

comb

pq

ANIMATION

y

・・・・・・・・・・・・

p

q

x

v

u

・

・・

・

・・

・

・・

・

・・

・

・・

・

・・

1/p

1/q

［画像の場合］

FT

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

q

y

,

p

x

comb

1 p

q

p q

1 / p

1 / q

pq

comb

(

pu

,

qv

)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

q

y

,

p

x

comb

pq

comb

(

pu

,

qv

)

FT

(17)

Autumn 2007

(

)

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

q

y

,

p

x

comb

y

,

x

f

FT

F

(

u

,

v

)

⊗

pq

comb

(

pu

,

qv

)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

q

y

,

p

x

comb

( )

x

,

y

f

・・・・・・・・・・・・

・・・

・・・・・・

・・・

・・

・・・・・・・・

・・

・・・

・・・・・・

・・・

・・・・・・・・・・・・

x

画像のサンプリング

については，また後で

じっくり学びます

！

画像のサンプリング

については，また後で

じっくり学びます

！

Autumn 2007

t

y

t

a

FT

v

u

ω

a

1

ANIMATION

（

6

6 ）

）

双曲

関数：

t

a

ω

a

1 dt

e

t

a

−

j

t

=

∞

−

∫

t

a

ω

a

1 FT

双曲

関数も、フーリエ変換しても

双曲

関数である．

［時間関数の場合］

(18)

Autumn 2007

［画像の場合］

r

a

₂

y

x

r

=

+

ここで、

y

x

2

2 v

u

+

=

ρ

u

v

ρ

a

1 (

)

ρ

a

1 dxdy

e

r

a

−

j

ux

+

vy

₌

∞

−

∞

−

∫ ∫

r

a

ρ

a

1 FT

FT

ANIMATION

［画像の場合］

r

a

2

2 y

x

r

=

+

ここで、

y

x

2

2 v

u

+

=

ρ

u

v

ρ

a

1 FT

r

a

ρ

a

1 FT

FT

y

x

v

u

(19)

Autumn 2007

（

7

7 ）

）

正弦波

関数：

sin

ω

₀

t

、

cos

ω

₀

t

x

y

t

0 cos

ω

FT

(

ω

0 ) (

δ

ω

0 )

δ

−

+

u

ω

₀

-ω

₀

(

0 )

(

0 )

t

j

0 t

e

dt

cos

ω

−

ω

=

δ

ω

−

ω

+

δ

ω

+

ω

∞

−

∫

t

cos

ω

₀

δ

(

ω

−

ω

0 ) (

+

δ

ω

+

ω

0 )

FT

ただし、画像では、負は生じない．

［時間関数の場合］

Autumn 2007

ただし、画像では、負は生じない．

x

y

t

0 cos

ω

FT

(

ω

0 ) (

δ

ω

0 )

δ

−

+

u

ω

0

-ω

₀

(

0 )

(

0 )

t

j

0 t

e

dt

cos

ω

−

ω

=

δ

ω

−

ω

+

δ

ω

+

ω

∞

−

∫

t

cos

ω

0 δ

(

ω

−

ω

0 ) (

+

δ

ω

+

ω

0 )

FT

（

7

7 ）

）

正弦波

関数：

sin

ω

₀

t

、

cos

ω

₀

t

［時間関数の場合］

x

y

c

t

+

0 cos

ω

FT

u

(

ω

) (

δ

ω

)

δ

( )

ω

δ

−

0 +

+

0 +

c

ω

₀

-ω

0

直流分

(20)

Autumn 2007

v

u

［画像の場合］

x

y

T

x0

T

_y0

FT

v

0 u

0

2 0 2 0

v

u

+

(

)

[

]

(

)

dxdy

e

c

y

v

,

x

u

cos

₀

−

j

u

0

x

+

v

0

y

∞

−

∞

−

∫ ∫

+

(

u

x

,

v

y

)

c

cos

₀

+

(

u

−

u

0 ,

v

−

v

0 )

+

(

u

+

u

0 ,

v

+

v

0 )

=

δ

FT

(

u

−

u

0 ,

v

−

v

0 )

+

δ

(

u

+

u

0 ,

v

+

v

0 )

δ

(

x

,

y

)

cos

ω

0 ω

0 T

_x0

= 2

π

/ u

₀

T

_y0

= 2

π

/v

₀

ANIMATION

「画像工学」

2007年度

第

5 回講義おわり

今日は、ここまで・・・

Microsoft PowerPoint - 画像工学2007-5印刷用

06

06

NOVE

MBER

NOVE

MBER

画像工学

画像工学

2007

2007

年度版

年度版

教室

教室

：

：

14

14

-

-

202

202

画

像

工

学

画

像

工

学

慶応義塾大学理工学部

教授

慶応義塾大学理工学部

教授

中

島 真 人

中

島 真 人

5

5

2007年度版

Imaging Science and Technology

§

§

3.

3.

画像

画像

のスペクトラム

のスペクトラム

3-1. 画像のフーリエ変換と空間周波数の概念

3-2. 簡単な図形のフーリエ変換

3-3. フーリエ変換の重要な性質

3-4. ＭＴＦと画像の評価

今週と来週は、あまり面白くない

今週と来週は、あまり面白くない

．

．

耐えてください

耐えてください

！

！

でも、後の講義を理解するために，重要です．

でも、後の講義を理解するために，重要です．

ν

（Hz：回／秒）

ξ，η

（line/mm：本／mm）

ξ，η

（line/mm：本／mm）

f ( t )，g ( t ) ．．．

f ( x , y )，g ( x , y ) ．．．

§

§

3-

3

-1.

1.

画像のフーリエ変換と空間周波数の概念

島真人

島真人

₀

₀