【論 文
1
UOC ：624．
131，
55 ：624．
15：624．
042．
7 日本 建 築 学 会 構造 系 論文 報 告 集 第 377 号・
昭 和 62 年 7 月地
震
に
よ る
各
基 礎
の
動
き
の
相
違 を
考慮
し た
細 長
い
平 面
形
を
有
す る
建
築物
の
応 答
に
関
す る
基 礎 的 研 究
正 会 員 正 会 員須
朝
藤 福
山
秀
＝ ＊＿
＊ ＊ t §1．
序 細 長い平 面 形 を有 する建 築 物の地 震 応答には， 架 構の 変形 特 性が長 辺 方 向 と短 辺 方 向で異な ること，一
様な強 制 地 動を想 定で き な い場 合がある こと， 建 物と 地 盤の相 互作 用 効 果な どの広 範な問題が含まれ てお り， これに関 連 する研 究 も 多い。
こ れ らの研 究 を 大 別す れば，1
）簡 便な振 動モデル に よ り，
こ の種の建 築 物の地 震 応 答の一
般的 特 性の把 握を目 的とする もの1｝−
3） ， 2 ）実大建築物 の応 答を，
主と して数 値 計 算 的 方 法によ り求め，
その性 質につ い て述べ る もの4）−
7 ），
3） 地 震 観測 な どの 実 測 的 方 法を中心に，
そ の特 性の解 明 を試み るもの8］”
1°） ， の お よそ 3と おりに分 けることができる。
し か し な が ら，一
貫し た手 法で，
基 礎研究，
実 測， お よ び そ れに基づ く実 大 構 造 物の地 震 時 挙 動の解析へ と発 展し た研 究の 例は極 めて 少なく，Duke
ほか11），
大 網】2｝，
山 原ほ か13） な ど の わ ずか な例が知られ て は いるもの の， その実 挙動につ い て， 定 量 的な結 論 を得る ま で に は至っ て いない。 その原 因とし て，
こ の種の実 大 構 造 物 を取り扱え る実践的な手 法が確 立さ れ て い ない こと が挙 げら れ る。
本論の 目的は，
、
上記 1）であるが， 汎 用マ ト リッ ク ス法に基づ く本論の 解 析 手 法は，
2）お よび3）の解 析に直接利用し，
この 種の建 築 物の実 挙 動 解 析へ 応用 する こと を 前 提 と して い る。
上 記 1）で述べ た簡 便なモデルに よ り細長い平 面形を 有する建 築 物の地震応答の一
般 的 特 性 を 把 握 し よ う と す る試み は， 古くは， 1950 年代よ り始ま りコ4 ）・
15）N
在に至 るまで3， 数 多 く行わ れ てい る。
解 析に使用 す る モ デルは，
初 期の研 究 を 除いて， 並 行に並べ た2
質点を床 板の ば ね で連 結し た モ デ ル 似 後 並列 2質 点モ デ ルと呼ぶ。
）を 建 築 物の 上部 構 造と して用い る例が多い1 ｝−
3 ）。
とこ ろが こ の並 列2
質点モデル に どの程 度こ の種の建 築 物の骨 組 の特 性が集 約 され てい る か を 詳 細に検 討 し た例は な く，
し たがっ て並 列 2質 点モ デル に よ る解析 結果を，
すべ て その ま まこ の種の建 築 物の一
般 的特 性と考え ることに は，
疑問が ある。 そ こで，
本 論で は，
細 長い平 面形 を有 する建築物の地 震 応 答を求め る数 値解析手法 を示し その 精度を検討す る と ともに，
解 析に用いる簡便な モ デ ルの 妥 当 性 を確認 し，
そ の結 果に基づ き，
曲 げ・
せ ん断 変 形 を考 慮 し た床 板で連結さ れ た並 列 3質 点モ デル を用い て， その応答の基 礎 的な特 性 を検 討し た。
§2．
数値解析の方法とその精 度 細 長い平 面 形 を有する建築 物の応 答 解析を行う時，Fig．
1お よびFig．
2に示 す よ うに，一
様で ない強 制 地 動が構 造 系に作用 す る場合につ い ても考 慮する こと が必 要で ある。
この効 果 を 厳 密に考える な らば， 架構 全体をFig
．
1 Parとllel rows of lamped−
masses connected by horizontalsprings subjected to spat由11y variant exciting ground motion
・
噛 東 京 電 機 大 学 教 授・
工博 ＊ ＊東 京 電 機 大 学 助 手・
工修 （昭 和 61 年 11 月 10 日原 稿 受 理 ）0
Fig
．
2 P・・all・1・・w・ ・fl・ P・d−
m・ ・se・c… e・t・dbyh ・ ・i… t・lsprings subjected to spatially variant exciting ground motio 皿
’
構成し ている各平面骨組の粘性抵抗と復元力は，
ロ ッキ ング・
スウェ イを含む相 対速度お よ び相 対変位に基づ き『
計 算で き る が，
床 板に よる粘 性 抵 抗と復 元 力は絶 対 速 度 お よ び絶 対 変 位に基づ き計 算 すること が必 要である。
竹 山16），
中村ほ か171は こ の ことに着 目し た応 答 解 析 方 法を そ れ ぞ れ 示 して い る が，
前 者ではこ の 効果が構 造 系の応 答に及ぼ す影 響を応答量 全体に対して区 別す ること がで きず，
かつ 構 造 物の ロ ッキング・
ス ウェ イが取り扱え な い た め， 後 者で は周波数応答 法 を 用いて い る た め，
いず れ も実大構造物の弾塑性応答を求め ら れ ない。 そ こ で， 本論では次の よ うに数廼解析を用い た。
筆者ら は，
すで に本 法を 用 い た数 値 計 算 例につ い て は発 表 し て い る がIS） ， 数式の誘 導の詳細につ いて は述べ ていない の で， 以 下に示す。
は じ めに基 本 仮 定 を， （1
） 架構全体を構成 して い る各平 面 骨 組の粘 性抵抗 と復元 力は，
そ れ ぞ れ相対速度お よ び相対変位に 比例する。
（2
） 各平面骨組を連結す る床板の粘 性 抵 抗と復 元 力 は絶 対 速 度お よび絶対変位を基 準に計算する。
（3） 振 動 系の減 衰性は その剛性に比例す る。 と し，Fig．1
お よ びFig．2
に示す ご と く記 号 を 定 めれ ば，
各平面骨組と床板よ り組み立て ら れ た構 造 系の振 動 方 程 式は，
［MT］剛十［CT
］｛創十［KI
］鰯‘
一
［MT ］博。｝一
［Cs
］IV
，1
−
［Ks］iy
。ト・
…
∵…
（1） と な る。
こ こ に，
［MT ］：基 礎の ロッ キング変位に対 応す る回 転 慣性の項 を 含む構 造 系 全 体の 質量マ ト リッ クス，
［CT
］：基 礎の ロ ッ キング・
ス ウェ イ を考慮 し た 構 造系全 体の減 衰係数 マ ト リッ クス，
［K
，］：同様な構造系全体の 剛性マ ト リッ ク ス，
［Cs
］：床板の減衰係数マ ト リッ グス，
［Ks
］：床 板 の剛 性マ ト リッ クス，
馴 ：基 礎の ロ ッキ ング・
ス ウェ イ を考 慮し た構 造 系の相 対 応 答ベ ク トル，1
裾 ：地動ベ ク トル （ただ し，
基 礎の ロ ッ キング変位に対応す る項は 0要 素とな る。〉で あ る。 こ こで，
各 平 面 骨 組と床 板と そ れ か ら組み立て ら れ る構 造系全 体と の間に は， すで に 知ら れてい る よ うに，
［K．
］十［Ks
］＝ ［K
，ユ な る関係が あ り，
比例剛性型の減衰を仮 定す れば， ［CE
］十［Cs
］； ［CT
］，
と す ること ができ る。
ただ し，［KF
］は基 礎のロ ッ．
キン グ・
スウェ イ を考 慮 した各 平 面 骨 組の剛性マ トリッ ク スを，
［CF
］は同 様 な 各 平 面 骨 組の減 衰 係 数マ トリックス を示 す。
また，
［K
。］＝ ［Ks
］＝
［。K、］0
［FK 、］SYM ．
0
。
［sKn ］ ［sK 、、］・
0 ［ ，K
。、］ ［sKt2 ｝SYM ．
曾
●
o
，
［sKmi ］ ［sKmi ］・
・
［＄K
况 皿］ ［Cr
］＝ ［K
τ］［γ］ ［γ］＝
［M 。］＝
コ
MYS
γ0
0・
・
0 ル．
n ［Ml ］ 0 ［M2 ］SYM ．
■
0
ひ
0 ［mza］ レK
‘］：基 礎の ロ ッキング・
スウェ イ を考 慮 した第i
列 目架 構の剛性マ ト リック ス ［sK ω］：第i
列 目架構に影 響 を及ぼす床 板の 剛 性マ ト リックス （通 常は，
基 礎の ロッキングに関 与 す る項は 0要 素と なっ て い る が，
基 礎ばり の ね じれ剛性が無 視で き な い時は， そ の
煩
を用い る。） ［γ〕：粘 性 抵 抗 係 数マ トリック ス ［mi］：第 i列 目架 構の 質 量マ トリッ ク ス （ただし，
基 礎の ロ ッキング変 位に対 応す る項は回転 慣 性と なっ て い る。） と書ける。
（1＞式の右 辺に は，
地 動の加速 度・
速度・
変 位 が 地 盤・
構 造 系の応 答に及ぼす影 響 を示 す項が存在 す る。
し たがっ て （1） 式 をそのま ま解 く場 合に は，
こ れ ら3種 類の同時 観 測 記 録 を入手する こ と が必 要で ある が， 以下に示す ご とく振 動 方 程 式を書き直せば，
地 動の 加 速 度 記 録の み に基づき応 答 計 算 を行 うこと がで き る。 時 刻 tn≦t≦tt．1の 区 間におい て，
状 態 変 化の線 形性 を仮 定し，
剛性の変化する復元 力項の み増 分 表 示す る と （1）式は，
［MT ］團配
．
1＋［c7 ］團
勘＋1＋［K，］紺擁
． ，−
lylD
十｛PI，＝一
［MT ］IV
。｝k＋一 ［Cs
］｝シ。lk
＋1−
［Ks
］（iyelh
＋1−
lyolD
・
………・
……・
・
（2
＞IP
｝κ：時刻 tkに お け る復元 力ベ ク トル と な る。
ここでNewmark
の β 法 （β＝
1／4の場 合 ）を用い ると，
1
甑．t＝
1dllk
＋At ／2・
（iv
｝it．t＋1
酬∂’
1Ylh
＋1＝
lyla
十 ∠」tlシ1
，十 ∠L t2／2・
1
抄｝h・
・
・
・
・
…
（3 ）一
91
−一
十△t： ／4
・
（｝シ｝ ＋1−
1
雪1
，）［
である か ら，
（3
） 式の関 係を （2）式の1
酬，
1
褊 の項 へ 代入し，
同 時に， 時 刻 tit≦t≦tk．1 の区 間1
に おける地 盤・
構造系の応 答 加 速 度 増 分ベ ク トルIAI
を，
1
甑．
1＝
1
擁＋圄 で定義して，
（3
）式を，
l
lgl
産＋
1＝ ｛雪｝ ，十△tIVIh
十 ∠ t／2・
IAI
lyl
＋1＝ly
｝，十△tlge
，十 ∠Lt2
／2・
1
竚｝陀・
・
・
・
・
…
（4
） 十At2
／4・
IA
｝ と書き か えて，
（2）式の左 辺に代入 して整頓す れば，
ffmr
］十 ∠L
君／2・
［C
日十 ∠Lt
「 ／4・
［κτ］冠i
∠1
｝＝一
［11ZT］llValk
＋1十lyN
−
［C
，］1
｛91
陀十Atl
抄尉一
［KT
］kl∠Ltldrl
，十 △t212・
1
営us
−
［Cs
］ll
雪P｝，＋At
／2・
（ly
。｝k．1＋IY
。L
）｝一 …・
・
（a ）一
［Ks
］f
∠」tl
雪ol，十At2
／4。
（lyol
．．
，十1
雪olh）1
…』
・
（b
）−
IP
｝パ・
・
∵・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（5 ） と な る。 （5
）式は，
LI
iAl
に関 する連 立 1次 方程 式であ る か ら，
これ を毎 時刻解くことにより，
地 盤・
構 造 系の応 答 を求め ること ができ る。
また，構 造系が塑性状 態になっ た場 合は，
その状 況に合わ せ， 逐 次， 剛性マ ト リッ クス ［K
，］kを書き か え計 算を行っ てい る。
こ こ に，
（a ）行の 項は 地動 速 度が地 盤・
構 造 系の応 答に及ぼ す影 響を，
．
（b
）行の項は地 動 変 位の それ を示し てい る。 ま た，
部 材 応 力の算 定 法は以 下の どお りであ る。
各平 面 骨 組の層せ ん断 力は， ［FKs ］｛副q
副 ：第i
列 目 平 面 骨 組の変位ベ ク ト’ル ）な るサ ブ マ トリッ クスと変位ベ ク ト ル の積を計 算し，
これを 上 層か ら下 層へ と加えて行く操 作を各 平 面 骨 組ご とに繰り返し行うことによ り求め られ る。L 一
方，
床板の部材応 力は，
［Ks
］tllylit
． 、＋1y
。｝ti，1−
lgL
−
｛y 。威＋ tlsP ｝h ＝ ［Ks
］tllyin ．r 副魔＋Ati
雪，1
， 十 ∠LtS〆4・
（1
抄，｝，う ，十｛雪o｝k）e
，十tlsP｝k［
Ks
］‘：第i
行目の床 板の剛性 々 ト リックス・
（床 板の部 材 剛 性マ ト リック スを解 析で取り扱う自 由度の み に縮合 し たもの）1
】
1
剛尾 刊 ＋1
尉犀．
一 酬κ一
＠。賊 ：第，
i行目の床 板の絶 対 変 位ベ ク トル の増 分【
AsP
｝ic：第i
行 目の床 板の時 刻tk
に おける復 元 力ベ ク トル・
を計 算し，
各 床 板ご とに，
左端より右 端，
あ るいは その 逆に順 次 加えて求め ること がで き る。次に
，
数 値 計算の 精度につ い て述べ る。
（5 ）式か ら も 明 らかな よ うに， 本 法では計 算を行う際に地 動の加 速 度 と速 度 が 必 要であるが，・
実 際に は， 加 速 度 記 録の み準 備し，
これ とβ 法で積分 して求めた速 度を用い ている。 ま た， 基 本 振 動 方 程 式に存 在 して い た地 動の変 位は，
最 終 的な数 値 解法式に は表れて い ない。
し かしその式展 開 の過 程か ら も 明 らかなごと く， 上 述の加 速 度と速 度をβ一 92 一
3。軌
n 匸 ∪
）
ト ZU Σ 凵 O ⊂ 」 O偵
鬥
ロ D−，
5・
10．
丁1鬥E〔SEClFig
．
3
CQmparison of displacement integrated numericallyfro皿 acceleTation with oTiginal one
乙30
・
逗 孟 話 L〕 O・
E
飴 圏 30．
0．
5．
工0齟
T［ME 〔SEClFig
．
4Comparisoh
of displacement integrated
nurnerically
fr
・m accele ・ati・n with original ・ne法の式に代入 して地 動の変 位 を 求める計 算 をす るの と同 じこと が応 答 計 算 全 体の中に含 まれ てい る
。
地 震波の加 速 度 記 録 を積 分 して得ら れる変 位に は さま ざま な誤差が 含ま れて い る と さ れて い る の で］9 ） ， 本 論で は，Fig．
3，
Fig．
4に示 すご とく， 人工的に作 成し た変位波 形と そ れ を2回 微 分し た加 速 度 波 形 を2 圄積 分し て求め た変 位 波 形と を比 較して積 分 法の精 度 を検 討 した。
人 工 的に作 成 した波 形は Type lとType 2の 2種 類で， いずれ も 周 期 0．
1秒，
1秒，
10秒の SIN 波とCOS
波が速 度 振 幅10kine
で 含ま れ て い る が，
Type
2 で は，
SIN
項 と℃OS 項に e 関 数を乗 じ て時 間 軸に対する減衰を与えL さちに
，
双 曲 線 関 数 を’
用い て約 30cm の永 久変 位が生 ずる よ うに し た。
図 中の細線は原 波 形で，
太 線はFFT
を用い て加 速 度を周 波 数 領 域で積 分し て求め た変位で， 破 線はβ 法で求め た変 位で あ る。 な お，
FFT および β 法に よ る積分の時 刻 間 隔は 1／100秒でありFFT
に用い た デー
タ数は 1024 で あ る。 いず れの場 合 も，
積 分で得 ら れた変位 波形は，・
原 波 形と ほ ぼ一
致 して い るが，
少し つつ 原波形との差が拡 大して行く傾 向に ある。
そ こ で，
β法に よる積 分の時 刻 間 隔に対 し，
そめ差 が どの よ う に 変 化するか を 検 討し た ものがFig．
5で あ る。
図か ら も 明らかな よ うに， 1／200秒よ り も短い時刻 間 隔で積 分し て求め た変 位 波 形 （（b
），
．
（c））は，
原 波 形 （d
）と 良 く一
致 して いる1
以上か ら ， 本 法 を用い て上 記の時 刻 間隔 で解 析を行え ば，
地 震 波の加 速 度 記 録 中に永 久 変 位に関 する成分が含まれ て い て もい な くて も，
それを 正 しく反 映し た応 答 計算を行うこ と が で き，
加 速 度 記 録を積分 し て得られ る変位波 形の ド リフ トの問 題は，
あ く まで も加 速 度 記 録 自 身の 問 題と して分離して考え ること がで き40
．
… 凵〕
匹 ト Z ］ Σ 凵 U こ 」 匹 σり一
口 a bC d a △t＝
ltIOO−一一一
r−
b 瓦t＝
1tZQO ⊂ △t＝
11400−一
一一一
dorigina’
I wave tO．
0，
5．
10．
Tr鬥EfSEC ｝Fig
．
5 Comparison of disptacement integπated numencallyfrem aCCe 旦eratiOn with Original One
骨 組 解 析， （
b
）曲 げ・
せ ん断変形を考 慮し た床ば ねで 各 平 面 骨 組 を連結し た モ デルに よ る解析，
（c）せ ん断変 形の み考 慮し た床 ばねで各平面骨組を運 結し た モデル に よ る解析，
で求め た場 合の相 違 を 模 式 的に示し たもので あ る。
こ こ で定 義す る （b
）の モデル と は，
床 板の部 材 剛性マ ト リッ クス を短辺方向の変位に関する自 由度の み 残し縮合し たマ ト リックスと，
曲 げ・
せ ん 断 変 形 を考 慮 し てBeam
要 素に置換し た平 面 骨 組の 剛 性マ ト リッ ク ス と か ら組み立てたモ デルの ことで ある。
また，
床 板は7
8・
lo’
3 ⊂．
6．
オ 〆 420 る。
な お，
応 答値の収 束 性か ら判 断し た計 算の 精度につ い て は， すで に述べ たとお り18 ）， 弾塑性応答で最 大値の み を問 題 と する場合， 1／200秒 程 度の時 刻間隔， その発 生 時 刻 も含め て正 確に応 答 量 を 把 握す る た めには．
1／1 000秒 程 度の時 刻 間 隔で計 算を行うことが必 要で ある。
§3．
立 体 骨 組 解 析 と簡 便 なモデル による解 析で求 め た変 形 特 性の比 較 建築 物の 平 面 形が細 長い場 合，一
様な強 制 地 動 を想 定 で き ない こ ともあ るので，
対 称な荷 重ばか り で な く， 非 対称な荷重に対 する骨 組の変形 特 性 も，
あら か じ め検 討 して お く 必要が あ る2°） 。 Fig．
6は，一
層 建 築物がその端 部 短 辺 方 向に荷 重P を受 けた場 合の 変 形 を， （a＞立体 〆 28・
10’
コ 匚m64 ／ 2 ⊃ ／ 2 8・
10’
1、
m642 FRAYE MO匚．
EL−
3DFRAME
AWOLYS工S
−・
一
已END工NO a SIE4rUNG−．
一
一
龜EへR匸NS 8xto’
3［
m6 28・
10’
3 ，m64 自．
〆一
一
＿＿一
一
一
一
一
F
；一
2 8 4 2一
一
r一
置
r一
一
r一
一
一
一
一
r一
一
一
一
o ノ占
＿
／ 642 τo 4 2 8・
10’
］ crn PFig
．
8 Comparison of nodal displacements obtained by smpli−
fied methods with ones by 3 dimensional fra皿e analisis
P
⊂a ］］
−
D FR帥 正 MODE」 ｛b，MODELWIτH
5」A89F ⊂⇔同ODE」wnH 5LA30F
eENMNG 』 SHEAR［HG SIEPRLNG
Fig
．
6
Comparison of si皿P且ified models wi止3dimensio 皿alframe model
善
−
8刈0一
3匸
m642置
10−
3 ⊂m 1 3 5 2n．
1冊
2 4 （a） 0隠
o （c， 4bn ∠8・
10−
3 、mE422n
x
〔
＝
コ
巽
1 FRAY三 MgDEL−
3D FRAME A匚
waLYSIS−’
“
n
臼馴 ロTNG呂EH巳4MNG−−一
一
CfEAfilNG 8，IOつ⊂m6L2 8bl
8 ・
10一
ユ ．m642＝
（e ） o 10 8 bあ
よ ド 4 2−
1 ＆10。
m642Fig
．
7 A model o臼ong stlip・
type slab and its deformationFig．
9 Comparison of nodal displacements obtained by smpli・
fied metbQds with ones by 3 dimensional frame analisis
・
10’
ら
P
』
Fig
．
10 CornpaTison of nodal dispiacements obtained by smpli，
fied methodswith ones by 3 di皿ensional frame anahsis
Table1 寸 法 （c
卿
） ヤン グ 箪 （L8〆C艮り 世 ん 断 馴 性 串 （k琶 ！un り 柱 60 罵 60 2LO go 粱 30 罵 BO 210 90 壁 摩 15 2ゴo go 床 厚 12 2［o go Tabie 2鳶
∵
・ン
ペ
｛
・ 〒 o 、岑
1
” 4・ltr、
m WAL し MCDEL−
3DFRAIE欺串 臣S匸S
− 一
巳EiNじ【NO 呂Stl“N卜」G”・
一
引ひ 訌NO 軌 PFig
．
11 Co皿parison of nQdal displac6ments ebtained by smpli．
Iied methodswith ones by 3 dimensional frame analisis r I
t．
1．
・
ト
＿
3D MODELP
丶
一
一
…
罷
flED
Fig
．
12 Eccentric loading and disptacement of l span frameTabte 3
i同ODEL
・
LロAD．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10・
11，
．
iNOD匚」 LOAD 1 2 3譯
コ
ロ9iD，
e25，
ロロワミ 10 1｝
0，
161 0、
石ζ6丁
面 92 0．
繭 万i．
豕 0，
2らOiO．
092 0，
046 0．
161i，
FBS−
2 1 。，
001．
0，
0。1 。，
0。1｝ …FBS−
1。 10．
D44 D．
Ω万r
而 iO
．
016τ0≡9・
0．
03ら 。，
。2glD O160．
0010 』 19iO O44… 凵S−
21 1 0．
030：
0．
061 D．
0301 ： WS−
10 「・
’
’
0 021．
0．
021署
0．
061 0．
021≡
0，
0211、 ，S
−
21．
。．
。。2・
。．
。 。4 。．
。D2 ……WBS
．
1。 1・
。．
。Q。 。，
。。。 。．
。。1i
石姉〒・、
0・塑．
・・3、
D．
・・11・．
・・1 ・．
・D1・
・．
・・・ … DD ・FS
−
2 2426
’
ロロ ロ5
−
1
＃−
10 20．
4800，
1910．
004・
0．
leS−
iFBS
−
2 2 0，
220iO，
OOO 口．
220’
iFBS−
10 2 0．
0ア1 釁g里5 0．
007iO．
021 0 024’
0 02D O O14：
0 009、
0．
004，
0，
09L．
．
．
WS
−
2 2 0，
13ア≡O．
e24．
ゴ
r源 「0 2 0、
122「
0．
030、
F
O，
000 0，
000 0、
000i ＝、
、
．
、
．
…WBSF10 2
：
0．
00B O．
002．
O，
003』
0 002 0．
001 0『
OOO O，
OOO・
0．
000 0．
DOO』
O OOO O OOO≡
三WBS
−
2 20．
011’
D．
001 D．
010i 各 節 点で回転する こと を許 容されて い るが，
そ の モー
メ ン トが平面 骨 組に伝 達さ れ る ことはない。 な お，
床 板はFig．
7（a）に示すよ うなエ レ メ ン トに置 換してお り2］］，
（b
）， （c）の ご とき変 形は考 慮 し て い るが，
（d
），
（e） の ご と き変 形は無 視し て い る。
Fig，
8
は，
純ラー
メ ンー
層 建 築 物の端 部 短 辺 方 向に加 え ら れ た単 位 力に対し，
上記3種 類の方法で求めた短辺 方 向の節点変 位を 比較し た もの であ る。Fig．
9は同一
の モデル に対し， 中 央 部に単 位 力 を加えた場 合の比 較であ る。
ま たFig．
10とFig．
11は こ の モ デル の 各 平 面 骨 組 部分に壁 を組み込み，
同 様な比 較を行っ た もの であ る。
骨 組モ デル は，
階 高 3m で，
ス パ ン 6m の 正方 形 平 面 を有す るユ ニ ッ ト を1，
2，
3，
5，
7，
10ス パ ン と並べ た 6 種 類で，鉄 筋コ ン ク リー
ト造 を想 定して いる。
柱，
は り，
床 厚，
壁厚は Table 1の と お りである。
いずれ の場合も，
各平面 骨 組 を曲 げ・
せ ん断ばね で連 結し た モデル （図中一
点 鎖 線 ）は， 立 体 骨 組 解 析の結 果 （図 中 実 線）を良く 近 似 し てい るが，せん 断ば ねを用いたモ デル （図 中 破 線 ） で は，Fig．
8の ごと く， 純ラー
メ ンモ デ ル の端部を加 力 し た場 合， 立 体 骨 組 解 析 との差 が 大き く， 2ス パ ンの モ デルで最 大43 ％， 10スパンの モ デル で 48 ％ 位である。
この2
種 類の スパ ンの モ デル にお け る そ れ ぞ れの ケー
ス の節 点 変位 を，
立 体 骨 組 解 析の結 果に対する比で示した ものが，
Table 2お よ び3
で あ る。 表 中の モ デル名のF
は純ラー
メ ン架 構を 示 し，W
は，
壁架構 を 示 す。
ま た，
そ れに続くS
は， 床 板が せ ん断ばね である「
ことを示し，BS
は床 板が曲げ・
せ ん断
ばねであ ること を示・芭
。
荷 重 状態は，
1が対
称 荷重で，
2が非 対 称 荷 重で ある。
また，
表の値で一
印となっ て い るもの は，
節点 変 位の方 向 が 立 体 骨 組 解 析の結 果と 比較し，逆向きであ う たことを 示す。 次に，
壁モ デル の 場 合は，Fig．
10お よ び 11とこの表か らも明ら か なご と く，
各モ デル間で解 析 結 果の差は小さ一
94
一
い
。
これ は，
床板の剛性に比べ壁の剛 性が高く，
その結 果，
床 板の剛 性 評 価の差が骨 組 全 体の変 形 性 状に，
明 確 に現れ な かっ た た め と考え ら れ る。 ま た，
Fig．
12の 1 ス パ ン純ラー
メ ン の端 部を加 力すると，
立 体 骨 組 （図 中 太 線 ）で は回 転 変 位が顕 著に現れ，
2つ の 平 面 骨 組をせ ん断ば ねで連 結し たモ デル （図 中 破 線 ）と は，
本 質 的に 異な る変形をす ること が わ か る。 §4．
細 長い 平面形 を 有 する建 築 物の簡 便 なモ デル と そ の基本振 動特性 前章によ れば，
細 長い平面 形 を有す る建築 物の最も簡 便なモ デル には，
短 辺方 向の場 合，
曲げ・
せ ん断変形を 考慮し た床ばね で連結し た 並列3
質点モ デルを用いれ ば よい と考え ら れ る。
こ こ で は，Fig．
13の ご と く，
各平 面 骨 組の 質量 が m，
短辺 方 向の 剛 性 毎で あ る均一
な3 質 点モ デルを設定し，
そ のモ デルの振動特性を解 析 的に 検討し た。
本モ デル に お け る床 板の 剛 性 マ ト リッ クス は，
Fig．
14
に示すbeam
要 素の部 材剛性マ ト リッ クスか ら 回転変位θ と部 材軸方 向変位 U に関す る項を 数学的に 消去して求め た もの である。 以 下の （6 ）式は，
上記の 方 法で求め た床 板の短辺 方 向の 剛性マ ト リッ クス であ る。
ま た，
（7 ）式は，
こ の床 ばねに対して，
各平面骨 組の 構 面 方 向の剛 性 K。 を加えて求めた本モ デル の剛 性 マ トリッ クス であ る。Ks
［
−
2Ks
Ks K．十Ks［
−
2Ks
Ks
こ こ に，
m畿
∵
］
一
・
・
…
（・・ SYM．
K
．十4Ks
−
2Ks K ．十Ks m1
− ・・ KF m KFFig
．
13．
Asimplified model of the bUilding with long and hugeplan
x
Fig
．
14 Slrnplifled slab model and its nodal displacementTable 4
L2
次 固有振動 数 ω 匸，
ω 2 偏 3次 固 有 振 動 数 ω 3 （kF ＋6ks
）／僑 質 点123
固 有ベ ク トル XH 1次2
次 3 次 11
−
1／2．
101 1−
1−
1／2 αll l次 ＝ MiXil ／Σ剛jXl 塵 2 次 m ：質 量3
次 1／31 ／2
・
1！3 1／302 ／3 1／3−
1！2−
1／3 刺 激 係 数 β1 1 次 2 次 3 次 100＆
− 9
｛
望
・
1
毒
・
｛
9
−
、、1
毒
ノ4
、｝
……
（8） φz＝12Elr
／GAzL2
A
。＝A
／xE
：ヤン グ率，Iv
：Y
軸ま わ り の 断 面2次モー
メ ン ト，
x・
：形状係 数，G
：せ ん断 剛 性 率，
A
：断 面 積，
L ：節 点 間の水 平距離 である。
ま た，Table
4 は，
こ のモ デルの，
固 有 振 動 数，
固 有 ベ ク トル，
a‘1 （定 義は Table4
参 照 ）， お よ び刺 激 係 数 を解析的に求め一
覧表に し た ものであ る。
表より，
本モ デル の場 合，1次 固 有 振 動 数と2次固有振 動数が等し く， かつ その値は ス ラ ブの剛 性の影 響 を受け ない こと が わ か る。
また，
質 量と剛 性の値に関 係な く， 固 有ベ ク トル， all，
お よ び刺 激 係 数の値が一
定で ある こと が わ か る。
§5．一
定 速 度で伝 搬 する正 弦 波に対する質点系の最 大 応 答 変 位の特 性 竹 山は，一
定 速 度で伝 搬する正 弦 波 aet 〔ω
‘−
ei） ， （i； 1，
2，…
，n） が 作 用す る 1層 n 列の質 点の応答変位1X
｝ の モー
ド法に よ る解 を，
以下の 仮 定に基づ き求めて い る4 ）・
1fi）e 1） 全 体架構を構 成す る各平 面 骨 組架構は同一
の固有 周 期 丁。ヨ 2π〆娩 を 持つ もの と す る。
す な わ ち，K ，
1／ mll＝
K，，／M ，＝…＝kr。
／m ．＝
ω1
が成 り 立つ と す る。
ただ し，
κ〃 ：ゴ列 目架 構の剛 性， M 」f ：ゴ列目架 構の質 量，
で あ る。
2） 全 体 架 構，
各 平 面 骨 組架構およ び床板は そ れ ぞ れ， 同一
な値の比 例 剛性 型の減 衰 性 を 有す るものと す る。
その結果をマ ト リッ クス表示す れ ば，
因 ＝ ｛q，
，
qi，
…，
qJ，…，
q剥x ，，
x，，
…，
x，，
…，
x．｝ 「…一 ・
………・
………
（10）α尸
S
、〔COS＠a
＋ζ）β、、＋sin （ω置＋ζ）P
，，＋i
・
isin
（ω置＋ζ）β，，−
COS （ω置＋ζ）β抛｝］
………・
…・
…・
………
（11）X，
＝
IXiJ
，
X2丿，…，
X」ht・
・
，
X財 ド・
…・
…・
一 ・
…
（12 ） た だ し，
、
1
十 μll
一
η2 ／（1
十 μ）ド十4hlη2・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（15
）β，＝ 丶
礪
………・
・
・
・
・
・
・
・
…
…・
…t・
−t・
（16）．
βn
＝
law
．
a2，，
a、、HCOS
砺，COS 晦， COS 砺iT
β」2＝
｛αlJ，
α2，，
a3j｝lsin
ψi，
sin ψ2，
si皿 ψ31T 1φ∫旨
tan
−
1（一
β，1ノβ丿）………，
………・
……・
・
…
（17） ζ
＝
θ、一
θ，・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
t−＋
・
・
・
・
・
・
・
…
t・
・
t・
・
・
・
…
9・
…
（18
）．
・−
1
％
。．
．
i、、h，，／、1．
n ， ／。〉］：
1
：
g
；
2） ・一
麗
1
激
；
傷
：
1
、1
＋ 。、ロll
：
1
；
2
） とな る。
こ こ に，h
。 ：減 衰 定 数，
μ ：平 面 骨 組 架 構の剛 性に対 する床 板の 剛 性の比，
（6Ks／KF
），
η：質点系の 固 有 振 動 数 ω、に対 する 正弦 波の振 動 数の比，
ψ1 ：正弦 波の位 相 遅れ角 である。
上記の （13 ）〜
（18 ）式と前章で 示し た本モ デル の固 有ベ ク トルが一
定で あ ること を考え れ ば，
変 位 応 答を決 定す るパ ラ メー
タ はh
。，
μ，
η，
ψei
お よ び ω で あるが，
最大 応答変 位に つ いて考えれば， ω は除 外さ れ，
上記の 4っ のパ ラメー
タの値の等しいモデ ル間で は，その最大 応 答 値は互い に等しい こと がわか る。 ま た， （14＞式で示され る時 刻 関 数 qJは，
そ のj
次 振 動の振 幅に相 当するS
丿と time−
factor
と分 離で き な い一
種の刺 激 係 数である β， を含む部 分か ら構 成さ れてい る。 こ こ で は，
こ の βノ を通 常の time−factor
と分 離で き る刺 激 係 数と区別す るた め に，
広 義の刺 激 係 数と呼ぶ こ とに する。Fig．
15は， こ の広 義の刺 激 係 数が，
正弦 波 地 動 の 位 相 遅れ角 ψに対 して どの よ うに変 化する か を 示 し た もの で ある。
1
こ こ で は，
β」を縦 軸に示
U； 砺≡
0の時 に質 点 系の他 端に生ずる位 相 遅れ を示す 盛 を ψ とし て一
α（tuS−
aS） （1一
ω：／鰯一
凶 ）1＋4h：・・’／ωl
S
」＝
ω羣
（
1一
ω2／ω；）！十4h3cot
／ω1
β丿、
＝
1
αu，
a、，，
・
r・
，
α耐Hcos
ψ、，
cos ψh，
・
■
’
，
cos gO舜T
，
β、、＝la
，
h a，，，…
， a，、Hs
in
da
，sin ψ、，、
…
，sin 鮒 「 ζ＝
畠一
θ， 畠＝
・tan−
1［2h
。tO／1
ω 。（1一
ω2／（ω｝一
ω護））｝ユ 畠＝ tan7i ［2he
ωAaie
（1一
ω2／ω1
）｝］ と書く こと がで き る％ こ こ で本 論の 並 列 3質 点モ デル の場 合， 前 章で求めた特 性 を 考 慮し，
ω。一
酬 かつ，
n ＝＝3と して上 式に代入 すれば，
｛X ｝＝’
lq
，， q2， q3HX，， X2，
x，lr
………・
……・
・
…
（13）q、
＝
S
’β，［cos （ωt
＋ζ＋φ丿）＋ilsin
｛w．
t
−
i
一
ζ一
φ、）］・
【
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（14） た だ し，一
αη2／ （1一
η：
）2十4h
言η2 （ゴ＝1
，2
）S
尸一
・ μ．
（卜 ・’f・）’＋4h
：・’ （」．3
）一 96 一
Fig
．
15 Variation Qf extended partigipation factor of 3．
masssystem against time phase de正ay
．
1Fig
．
16 Variation of ratio of slab stiffness to frame stiffnessagainst aspect ratio
横 軸に示 し た。 た だ し
，A ＝A
／2
で あ る。 広 義の刺激 係 数は，
1次の場合 （図中実 線 ），
ψの 値が 1，
3π を過 ぎ る まで減 少し，
その 後2
π まで増 加し，
そこ を中心 と して左 右 対 称の形状を し てい る が， これ に対し て， 2次 （図 中破線 〉およ び3次 （図中一
点 鎖 線）で は， それぞ れ π お よ び 2π を中心 と し た 山 な り な 形状となっ てい る。 こ の こと は，
質点系の両端で位 相遅 れ の ない場 合に 1次モー
ドが卓 越し，
1／2ま た は 3／2 波長の位相遅 れ が ある場 合に は， 2次お よ び 3次モー
ド，1
波 長の位 相遅 れ の ある場 合では，
3次モー
ドが卓越 すう
こと を示す も のと考え られる。
次に，
正弦 波の 周 期が本モデル の 1次固有周期と共 振 す る η＝1
の場 合にっ いて述べ る。
こ の時，
（15）式 で 与えら．
れ るS
，が，
μニ
6κs／KF 一
定の場 合，
減 衰 定 数h
。の に対 してどの よ うに変化 する か をSi
対する比で示 し た もの がFig．17− 19
である。 図 中の添 字 BS は曲 げ せ ん断 変 形 を 考 慮した床 板 を用い た場 合で，
添 字S
は せ ん断 変 形の みを考 慮し た床 板を用い た場合であ ることを 示す。
また，
Fig．
16は，図
中に示す純ラー
メ ン架 構モ デル に お い て，
架 構の 剛性 対す る床板の剛性の比 μが， 床 板の縦 横比に対しでどの よ うに変 化する か を示し た も の で ある。
ただし，
床 板の剛 性 評 価に は，
前 章の （8） 式 を 用い てい る。 Fig．
17〜
19お ける μ の値の範囲は，Fig．16
を参照 して 1．
o〜
o．
Ol とし た、
こ の こ と は，
Fig．
16の モ ヂル を想 定し た場 合，
床 板 あ 縦横比の 値とし て
1
／3〜1
／13
を設定し たこと に相 当して い る。竹 山 22，，
城26 ｝らは， 縦 横 比が 1／3〜
1／4程 度で あ れば，
通常の鉄 筋コ ンク リー
ト構造の床は面内に剛と考えて よい と述べ てい ること か ら，
μ＝1．
』
0
の場合は 剛床に近い例と考え ら れ る。Fig，
17−
19か ら も 明、
ら か な よ うに，
1次のS、
に対する高 次の Siの比は，一
般に減 衰定 数の増 加に対 し て極め て緩や かに増 加し，
顕 著な変化は認め ら れ ない。 しか し，
床 板の剛性の小 さい μ＝ 0．
1お よ び μ＝ ＝O．
Ol の 場 合で は， 減 衰 定 数 4−
5％以 下において，
その値は急 激に減 少し，
1次 振 動の影 響 が 大き く な る傾 向 を示し て い る。
以上か ら，
次の Fig．
20〜
22に示す一
定 速 度で伝 搬す る正 弦 波が作 用す る並 列3
質点系の最 大 応 答 変 位を計 算 する際に は， 時 刻 関数の1
次 振 動の振 幅に対し て高 次の そ れ が減衰定数の変 化に対 して安 定し始 める およその値 Sr／Sl 1 刃：
10 ’SI ゜懃
雪
1
’SFlg
．
17 Variation of rati。 of SJ concerning higher mode to onec。ncerning fundamental mode against
damping
SrtSl 1
．
o 0、
5’
ノ
ケ’
メ」
：
D1 8sSC ’Sl，
一
一
一
一
一
一
一
一
＿一
一
sgz／Sl，
／一
，
．
．
一
一一
一
一
一
一
一
一
一一
一
一
一
一
一
一
sSコJS1”一
esS31 Sl Fig 18 SrtSt 0 5 10 15 20 DAMPINO 【ツ・
，Variaヒion of ratio of S， concerning higher mode to o皿e
cQ 皿cel 皿i皿g fundamental mode against damping
メ」
：
OOlFig
．
19 Variation of ratio of S丿concerning higher mDde to oneconcerning fundamental mode against damping
とい う意 味で
5
％の減 衰 定 数 を採 用 することに し た。 ただし，
正弦 波の周 期は質 点 系の 1次 固 有周期と共 振す る η＝
1の場 合を想 定し， そ の振幅は単位振 幅 （1cm ＞ とし た。
また， 図の右 側縦軸は最大 応答変位であ り，
左 側 縦 軸はそ れを位 相遅 れの ない場合の最 大 応 答変位で除 し た値で ある。
横軸は， 質点系の一
端 （MASS
1 ）に 対 して，他 端 （MASS
3 ）に生 じ ている位 相遅れ を示す。Fig，
20が最 も位 相が先 行する 1番目の質 点 （MASS l ） の最 大 応 答 変 位で あり，Fig．
21， 22 は2
番目の質 点 （MASS
2） お よび3番 目の 質 点 （MASS
3
）の そ れ を示し て い る。
Fig．
20とFig．
22 を比べ ると， 2π を中 心に逆 対 称 形に なっ て い る が， こ れ は正 弦 波に対す る応 答の特 徴である。 これ らの図か ら，
上 述の位相遅 れ に よ る本モ デル端 部の最 大 応 答 変 位の変 化は， 位相遅 れのな い場 合の そ れ に対 し て O．
36〜
1．
18 倍で あ り， 中央 部論
0 5 a O冖
一
矗ト
Z 豐 国曾
《」
匹【
O O Σ ⊃ Σ一
X く Σ 瞬〔
ε どト
Z凵
Σ 因 り く」
匹 頃【
O n 5 Σ ⊃ ≧ X 《 Σ n 2買 3π 4rt．
11ME F嬲 E ［旺LAY 〔rad］ Fig，
20 Variation of max 重mum response displacement againsttime phase delay of sinusoidal ground motion
献
脚
函 函 01 50 0 O【
ト
く 匡 ト Z山
Σ 凵り
《」
匹
囚ロ
Σコ
≧ X く Σ P；
OOlP・
囲
5．
／ MASS2h
・
005 眺・
1cm ＼μ
＝
01P−
D？
s 芸 ？，。…
し DMAX冖
∈ U［
一
Z 山 Σ 山 U く」
氏 い 5 n 5 Σ⊃
≧ X く Σ tr Zπ 3π 4町 Ii匪 隅 E 旺 LAY 〔rud 】 Fig．
2雪 VariatiQ鳳 of maximum response displacement againsttime phase delay of sinusoidal grou皿
d
motionO
論
ω 50 O O に 矗ト
Z 山 Σ 田 U く 左 u 冂一
〇 Σ ⊃ Σ 艾 く Σ〆
諾
詣
＼．
墾
＼ ＼＼
曽 N ぢ＼
い 丶 、、
＼
「
〃 MASS3h
・
O．
05 』三
1cm baAX〔
Eu｝
レ
Z 凵 Σ山
り
く」
巳价
一
〇 U 5 Σ ⊃ ≧ X く Σ Fig．
22 n tπ ］π 4π T【ME RHASE DELAY 〔rgd ｝Variation of maximum Iesponse displacement against time phase de童ay of sinusoidal ground motion
（
Fig．
21
）で は，O．
13〜1．
O
倍である。
床 板の架 構に対 す る剛性の比 が 比 較 的 小さい μ＜d
．
2sの場 合 ， 最 大 応 答変位はP
の値に よっ て も大きく異なる が， μ ＞0．
25’
の場 合で は， μ の影 響は少ない。
ま た， モ デル中 央 部 （Fig．
21 ＞で は，
μ が0．
25〜LO
の場 合，
位 相 遅れに 対 し，
最大 応 答変位の減少して行く状況が，Fig，
15に 示し た1
次の広 義の刺 激 係 数の特 性 とよ く似て お り，
1 次 振 動の 影 響 が 顕 著に現れて い る。
これに対し，
μが0，
01− O。
1の場合， 最大 応 答 変 位の低 下は少な く， こ の こと は同様にFig．
15
か ら， 高 次 振 動の影 響である と考 え るこ と がで き る。
さ らに， モ デル端 部で は，
位 相 遅れ が 1／2お よ び3／2 波長と な る付 近で最 大 応 答 変 位の増 加 が認め ら れ る が， これ も同様に高 次 振 動の影 響 と 考え る こと がで き るg唱
最 後に，
地 震 波に対す る本モ デル の最 大 応答 変位を1 む蹠
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Variation of maximum response displacement against time phase delaY of ground motion
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25 Variation o｛maximum response displacempnt againsttime phase de正ay of grQnnd motion
