Landslides - Journal of the Japan Landslide Society Vol.39, No.4(2003), March, pp.395-402, Original article
斜 面安定性 の評価―極 限平衡法 と弾塑性FEMの
比較
Slope stability analysis : Comparisons between limit equilibrium methods and elastoplastic finite element method
蔡 飛*),鵜 飼 恵 三*),黄 文 峰*)
Fei CAI, Keizo UGAI and Wenfeng HUANG
Abstract
The slope stability is conventionally evaluated by limit equilibrium methods . However, it is not clearly known whether limit equilibrium methods can calculate a reliable safety factor for slopes with complex geometries . Additionally, it has been pointed out that the safety factor of Fellenius' and Bishop's simplified methods where a circular slip surface is assumed , which are usually used in a conventional design, is not so reliable for some slopes with complex geometries . In this paper, the elasto-plastic FEM was used to calculate the safety factor of slope for some examples reported in literatures
, and the safety factor of FEM was com-pared with that of limit equilibrium methods. This study indicates that it is effective for the elasto-plastic FEM to calculate the safety factor for slopes with complex geometries.
Key words : slope stability analysis, elasto-plastic, finite element method , design 和文要 旨 従 来,斜 面 の安 定 性 は 極 限 平 衡法 に よ り評 価 され て きた 。 しか し,極 限平 衡 法 が,複 雑 な 地 層構 造 を もつ 斜 面 に対 して精度 よく 適 用 で さ るか ど うか につ い て は,十 分 には わ か って い な い。また,実 務 で 利 用頻 度 が 高 い,円 弧す べ りを仮 宗し た簡便法や 簡易Bishop 法 によ る安全 率が,こ の よ う な斜 面 にお い て 大 きな 誤差 を示 す 場 合 が あ る こ とが こ れ ま で指 摘 され て い る。本 論文 で は,過去の い くつ かの 論文 に掲 載 され た斜 面 安全 率 の 計算 例 を引 用 し,弾 塑 性FEMに も とづ く解 析 を行 い ,従 来の方法 による結果 と比較 した。 本研 究 に よ り,複 雑 な 地層 構 造 を持 つ 斜 面 の安 全 率計 算 にお け る弾 塑性FEMの 有効 性 が 改 め て示 され た。 キ ー ワ ー ド:斜 面 安 定解 析,弾 塑 性,有 限要 素 法,設 計 1.ま えが き 従 来,斜 面 の 安 定 性 は分 割 法 に代 表 され る極 限平 衡 法 を用 い て 評 価 され て き た。 極 限 平 衡 法 の代 表 的 な方 法 の 1つ で あ る分 割 法 で は,問 題 を静 定 化 す る た め に,分 割 片 問 の 力 に 関す る 仮 定 を しな け れ ば な らな い 。 こ の仮 定 の違 い に よ り多 くの 異 な る極 限 平 衡 法 が 導 か れ る。 こ の 中 で,最 も簡 単 な 仮 定 は分 割 片 間 の 力 を ゼ ロ とす る簡 便 法 で あ る。 簡 便 法 に よ る全 体 安 全 率 は他 の厳 密 な方 法 に 比 べ,あ る程 度 誤 差 が あ る もの の,繰 返 し計 算 が 必 要 な い の で,現 在 もよ く用 い られ て い る。 極 限平 衡 法 で は, 円 弧 す べ り面 が しば しば 仮 定 さ れ る 。 こ の理 由 は,現 場 で 近 似 的 な 円 弧 す べ り面 が よ く観 測 され る ほ か,斜 面 の 安 全 率 の 計 算 に お い て 臨 界 す べ り面 の 探 索 が 簡 単 だ か ら で あ る。 しか しな が ら,複 雑 な地 層 構 造 を持 つ 斜 面 に対 して,す べ り面 を 円 弧 とす る仮 定 が どの 程 度 の誤 差 を持 つ か につ い て は,十 分 な 解 明 は さ れ て い な い。 これ を解 明 す る に は,他 の 方 法 を用 い て 極 限平 衡 法 を検 証 す る 必 要 が あ り,本 論 文 で 用 い られ る弾 塑 性 有 限 要 素 法 は この よ う な方 法 の 一 つ で あ る と考 え られ る 。 2.せ ん 断 強 度 低 減 弾 塑 性 有 限 要 素 法 せ ん 断 強 度 低 減 有 限要 素 法 に よ る斜 面 の 安 定 解 析 が し ば しば 行 わ れ て き た(例 え ば,ZienKickwicz1),鵜 飼2), GriffithsとLane3))。 せ ん 断 強 度 低 減 有 限 要 素 法 で は,せ ん 断 強 度 定 数c',tanφ'を 低 減 係 数Fで 割 り,低 減 し た せ ん 断 強 度 定 数c'F,tanφ'Fが 下 式 で 表 さ れ る 。 (1) せ ん 断 強 度低 減 有 限要 素 法 で は,弾 完 全 塑 性 構 成 式 を 用 い,モ ー ル ・クー ロ ン式 で 土 の 破 壊 基 準 と塑 性 ポ テ ン シ ャ ル を定 義 す る。 (2) (3) こ こで,ψ は土 の ダイ レ イ タ ン シ ー 角 で あ り,σ'1とσ'3 は そ れ ぞ れ 最 大 と最 小 有 効 主 応 力 で あ る。 斜 面 崩 壊 が 発 生 す る と,す べ り面 上 で は膨 張 も収 縮 も起 こ ら な い状 態 に 近 づ く と考 え ら れ る の で,ψ=0と 仮 定 し た 方 が 現 実 に よ り近 か ろ う。 一 方,極 限平 衡 法 とせ ん 断 強 度 低 減 有 限要 素 法 に よ る全 体 安 全 率 を比 較 す る場 合 に は,関 連 流 れ則(ψ=φ')を 仮 定 した 方 が 良 い こ とが 既 に わ か って い る4)。した が っ て,本 論 文 で は,ψ=0と ψ=φ'の 二 つ の ケ ー ス を仮 定 し,せ ん 断 強 度 低 減 有 限 要 素 法 に よ り斜 面 の安 定 性 を評 価 した。 弾 性 係 数 は ヤ ング係 数 とボ ア ソ ン比 を用 い て 定 義 す る。 こ れ らの係 数 が 破 壊 前 の 変 形 に与 え る 影 響 は大 きい が , 全 体 安 全 率 に 及 ぼす 影 響 は 非 常 に小 さい1)3)。した が っ て, 本 論 文 で は,土 の 特 性 に か か わ らず,一 律 に ヤ ング 係 数 *)群 馬 大 学 工 学 部 Gunma University 〒376-8515群 馬 県 桐 生 市 天 神 町1-5-1 1-5-1 Tenjin,Kiryu,Gunma,376-8515
蔡 飛,鵜 飼 恵 三,黄 文 峰:斜 面安 定 性 の評 価― 極 限平 衡 法 と弾塑 性FEMの 比 較 E=2×105kPa,ボ ア ソ ン比 υ=0.3と す る。 従 来 の せ ん 断 強 度低 減 有 限要 素 法 で は,低 減 したせ ん 断 強 度 を用 い,所 定 の 最 大 繰 返 し回 数 内 で,斜 面 は土 の 全 自重 を外 力 と して 弾 塑 性 計 算 が 収 束 で き る か 否 か を チ ェ ッ ク し,収 束 計 算 で き る最 大 の低 減 係 数 を斜 面 の全 体 安 全 率 と定 義 した 。 詳 し くは文 献1)と3)を 参 照 さ れ た い 。 以 上 の よ うに 定 義 さ れ る全 体 安 全 率 は極 限平 衡 法 の そ れ と同 じで あ る。 せ ん 断 強 度低 減 有 限 要 素 法 で は, 解 析 前 にす べ り面 形 状 に関 す る仮 定 が 一 切 必 要 な く,す べ り面 が 計 算 結 果 よ り自動 的 に 決 定 す る3)。 計 算 法 の概 要 を説 明 す る と次 の よ うで あ る。 まず,最 初 のFを 小 さ な 値 に 設 定 す る と,c'Fと φ'Fが十 分 大 き く な るの で,斜 面 は い た る と こ ろ で ほ ぼ 弾 性 応 力 状 態 とな る。Fを 段 階 的 に増 加 させ て い くに つ れ,斜 面 内 の い く つ か の 点 で破 壊 が 生 じは じめ モ ー ル ・クー ロ ン式 を 満 た す よ う に な る 。Fを さ らに増 加 させ る と,せ ん 断 強 度 低 減 に よ る残 差 力 が 生 じる。 こ の残 差 力 は下 式 で表 され る。 (4) こ こ で下 付 き添 え 字nとn+1は そ れ ぞ れ 低 減 係 数 瓦 と Fn+1に 対 応 す る ス テ ップnとn+1を 意 味 す る。DnpepとDn+1ep はそ れ ぞ れFnとFn+1に 対 応 す る低 減 した せ ん 断 強 度 を用 い て 計 算 す る 弾 塑 性 マ トリ ッ ク ス で あ る。Aは 全 要 素 数 neの 数 だ け重 ね合 わせ る 事 を意 味 す る。 Fを 段 階 的 に増 加 させ て い く と,あ る段 階 で の 繰 返 し 計 算 が 発 散 し,斜 面 が 崩 壊 に 至 っ た と判 断 さ れ る 。 この と きの低 減 係 数Fの 値 を斜 面 の 全 体 安 全 率 と考 え る。 計 算 の フ ロ ー チ ャー トを 図-1に 示 す 。 以 上 に述 べ た 計 算 の フ ロ ー は 本 論 文 の第 二 著 者 が 既 に 提 案 した')が,各 計 算 ス テ ップ に お い て 式(4)で計 算 した 残 差 力 だ け が荷 重 に な り,こ れ は 全 自重 よ りは る か に小 さ い の で,Zienkickwiczら1)が 提 案 した従 来 の計 算 フ ロー よ り計 算 効 率 が 高 くな る。 有 効 応 力 で 斜 面 の安 定 性 を 評 価 す る場 合 に は,し ば し ば浸 透 流 解 析 も し くは連 成解 析 に よ り水 圧 を計 算 す る。 浸 透 流 解 析 や 連 成 解 析 に お い て せ ん 断 強 度 低 減 有 限 要 素 法 と同 じメ ッ シ ュ分 割 を用 い る と,浸 透 流 解 析 や 連 成 解 析 で得 られ た 水 圧 を安 定解 析 に 直 接 持 ち込 む こ とが で き る た め,水 圧 を よ り正 確 に 考 慮 す る こ とが で き る。 本 論 文 に お い て は,次 章 の例3と 例4で は,斜 面 内 の あ る点 と地 下 水 面 との 鉛 直 距 離 に 水 の 単 体 重 量 を か け た もの を 水 圧 とす るが,例5で は,飽 和 ・不 飽 和 浸 透 流 解 析 結 果 か ら水 圧 を求 め て い る。 水 圧 に よ る節 点 荷 重 が 下 式 で 表 さ れ る。 (5) こ こ で,uω は ガ ウ ス 点 で の 水 圧 で あ り,2次 元 問 題 に お い て は,m={1,1,0}Tで あ る 。 詳 し く は 文 献5)を 参 照 さ れ た い 。 注:*括 号 内 の 値 は 推 奨 値 であ る。 図 ―1せ ん 断 強 度 低 減 有 限 要 素 法 の フ ロ ー チ ャ ー ト Fig.1 Flow chart for the finite element analysis of slope
stability
図 ―2例1の 斜 面
Fig.2 Slope in Example 1
表 ―1例1の 材 料 特 性
蔡 飛,鵜 飼恵三,黄 文峰:斜 面安定性の評価―極限平衡法と弾塑性FEMの 比較 3.解 析 例 以 下 に示 す5つ の例 に つ い て,極 限 平 衡 法 とせ ん 断 強 度 低 減 有 限 要 素 法 に よる 結 果 を比 較 した 。 3.1例1 例1は 傾 斜 した 地 層 構 造 を持 つ 斜 面 で あ り,図-2に 示 す よ う に 層(1)と層(3)の間 にせ ん 断 強 度 が 小 さ い層(2)が は さ ま れ て い る。 材 料 の 特 性 を 表-1に 示 す 。Araiと Tagyo6)は 簡 易 ヤ ンブ ー 法 を用 い て 安 全 率 を計 算 し,共 役 勾 配 法 に よ り臨 界 す べ り面 を探 索 した 。 同 じ斜 面 に対 してSrideviとDeep7)が ラ ンダ ム ・サ ーチ 法 に よ り臨 界 す べ り面 を探 索 した 。Greco8)はSpencer法 を 用 い て 安 全 率 を計 算 し,パ ター ン ・サ ー チ とモ ンテ カ ル ロ法 に よ り臨 界 す べ り面 を探 索 した 。Malkawiら9)はSpencer法 を用 い て安 全 率 を計 算 し,モ ン テ カ ル ロ法 に よ り臨界 す べ り面 を探 索 した 。 本 論 文 で は,円 弧 す べ りを仮 定 した 簡 便 法 と簡 易 ビ シ ョ ップ 法 に よ り安 全 率 を計 算 し,臨 界 す べ り 面 を最 適 化 方 法 の 一 つ で あ る シ ン プ レ ック ス 法 に よ り探 索 した 。 ま たせ ん 断 強 度 低 減 有 限 要 素 法 に よ り斜 面 の 全 体 安 全 率 を計 算 し,破 壊 直 前 の最 大 せ ん 断 ひず み 増 分 の 分 布 か ら臨 界 す べ り面 位 置 を決 定 した 。 予 想 どお り,す べ り面 付 近 で は最 大 せ ん 断 ひず み増 分 は大 きい(図-3 に示 す よ う に,こ の ひず み 増 分 が 大 きい ほ ど,色 が 濃 い)。 図 ―3例1の 臨 界 す べ り 面 Fig.3 Critical slip surface for Example 1
表 ―2例1の 全 体安 全率
Table 2 Minimum Safety Factors for Example 1
計 算 し た全 体 安 全 率 を 表-2に 示 す 。 簡 便 法 と 簡 易 ビ シ ョ ッ プ法 の 臨界 円 弧 す べ り面 とせ ん 断 強 度 低 減 有 限 要 素 法 に よ る臨 界 す べ り面 を図-3に 示 す 。 三 者 は ほ ぼ 同 じ位 置 に あ る。 以 下 の 例 で は,簡 便 法 と簡 易 ビ シ ョッ プ 法 の 臨 界 す べ り面 は ほ ぼ 同 じで あ る 場 合 に は,簡 易 ビ シ ョ ップ 法 の 臨 界 す べ り面 の み を 図示 す る。 円弧 す べ り 面 と非 円 弧 す べ り面 の位 置 は 図-2の よ う に少 し異 な り, こ れ に対 応 して 全 体 安 全 率 は5%ほ ど異 な る。 3.2例2 例2は 図-4に 示 す よ うな 水 平 成 層 斜 面 で あ り,各 層 の 材 料 特 性 を 表-3に 示 す 。YamagamiとUeta10)が Morgenstern-Price法 に よ り斜 面 安 全 率 を 計 算 し,4つ の 非 線 形 最 適化 方 法 に よ り臨 界 す べ り面 を探 索 した。 こ の 結 果,非 線 形 最 適 化 方 法 は ロー カ ル な極 小 値 しか 探 索 で き な い の で,仮 定 した初 期 す べ り面 が 臨 界 す べ り面 の 図 ―4例2の 斜 面
Fig.4 Slope in Example 2
表 ―3例2の 材料 特性
Table 3 Material Properties for Example 2
表 ―4例2の 全 体安 全率
蔡 飛,鵜 飼 恵三,黄 文峰:斜 面 安 定性 の 評価 一極 限 平衡 法 と弾 塑性FEMの 比 較
図 ―5例2の 臨 界 す べ り面
Fig.5 Critical slip surface for Example 2
決 定 に 大 き な影 響 を与 え る こ とが 明 らか に な った 。 同 じ 斜 面 に対 してGreco8)が パ タ ー ン ・サ ー チ 法 と モ ンテ カ ル ロ 法,Malkawiら9)が モ ンテ カ ル ロ 法 に よ り臨 界 す べ りを探 索 した 。 本 論 文 の解 析 結 果 を,表-4(全 体 安 全 率)と 図-5(臨 界 す べ り面)に 示 す 。 臨 界 円弧 す べ り 面,非 円 弧 す べ り面,せ ん 断 強 度 低 減 有 限 要 素 法 に よる す べ り面 は ほ ぼ一 致 して い る と言 え る 。 簡 易 ビ シ ョ ップ 法 とせ ん 断 強 度 低 減 法 に よ る全 体 安 全 率 が ほ ぼ 同 じで あ る が,簡 便 法 に よ る 安 全 率 は 他 の 方 法 に比 べ て 約0.1小 'さい こ とが わか る 。 3.3例3 例3は 図-6に 示 す よ う な複 雑 な 地 層構 造 を もつ 斜 面 で あ り,非 常 に 薄 い 弱 層(層(4),厚 さ=0.5m)を は さ ん で い る。 各 層 の材 料 の 特 性 を表-5に 示 す 。 地 下 水 面 は 層(1)と層(2)の境 界 線 と 同 じで あ る 。ChenとShao11)が Spencer法 に よ り安 全 率 を計 算 し,4つ の 非 線 形 最 適 化 方 法 に よ り臨 界 す べ り面 を 探 索 し た。Greco8)が パ タ ー ン ・サ ー チ 法 とモ ン テ カ ル ロ 法,Malkawiら9)が モ ン テ カ ル ロ法 に よ り臨 界 す べ りを探 索 した 。 本 論 文 で は この 例 を 解 析 し,全 体 安 全 率 を表-6,臨 界 す べ り面 を 図-7に 示 す 。 図-7よ り臨 界 円弧 す べ り面 は薄 い弱 層 を通 らず,ま た非 円 弧 す べ り面 や せ ん 断 強 度 低 減 有 限 要 素 法 国 ―6例3の 斜 面
Fig.6 Slope in Example 3
表 ―5例3の 材 料特性
Table 5 Material Properties for Example 3
表 一6例3の 全体 安全 率
Table 6 Minimum Safety Factors for Example 3
図 ―7例3の す べ り面
Fig.7 Critical slip surface for Example 3
に よる 臨 界 す べ り面 位 置 との 間 に大 きな 違 い が あ る こ と が わ か っ た 。 全 体 安 全 率 につ い て は,非 円 弧 す べ り面 の 安 全 率 に 比 べ,簡 便 法 で は約4割,簡 易 ビ シ ョ ップ法 で は約5割 大 き くな っ て い る。 強 制 的 に 薄 い 層 を通 る よ う な 円 弧 す べ り面 を探 索 し,簡 便 法 等 に よ る安 全 率 を計 算 した。 この よ う に して探 索 した 円弧 す べ り面 は,図-7 に示 す よ う に,非 円 弧 す べ り面 とせ ん 断 強 度 低 減 法 に よ る 臨界 す べ り面 に接 近 して い るが,安 全 率 は非 円弧 す べ り面 の 安 全 率 よ り さ らに 大 き くな る こ とが わ か っ た。 3.4例4 例4の 斜 面 を 図 一8に,斜 面 内各 層 の 材 料 の 特 性 を 表 -7に 示 す。 こ の例 は最 初WhitmanとBailey12)に よ り解 析 され た 。 そ の後,他 の 研 究 者 らが この 斜 面 の 安 定性 を 円 弧 す べ り面 を仮 定 して 解 析 した。 表-8に こ れ らの 計 算 結 果 を示 す 。 せ ん 断 低 減 有 限要 素 法 に よ る全 体 安 全 率 は1.248で あ り,図-9に 示 す よ うに 臨 界 す べ り面 位 置 は 非 常 に浅 い。 第 一 層 は砂 で あ り,せ ん 断 強 度 と斜 面勾 配 か ら表 層 破 壊 の 安 全 率 は1.225と 計 算 され,こ の 値 は せ ん 断 強 度 低 減 有 限 要 素 法 に よ る安 全 率 と よ く合 っ て い る 。Zienkiewiczら も表 層 破 壊 を 予 測 した1)。彼 ら の用 い た斜 面 の 勾 配 は 図-8に 示 す 勾 配 よ り少 し緩 い の で,計 算 した 安 全 率 は1.165で あ る13)。表 層 破 壊 を 防 ぐた め に, 以 下 の せ ん断 強 度低 減 有 限要 素 法 で は,層(1)を2層 に 分 け,層(1)'の 粘 着 力 を5kPaと し,他 の パ ラ メ ー タ は 層
蔡 飛,鵜 飼恵 三,黄 文峰:斜 面 安 定性 の 評価 ― 極 限平 衡法 と弾塑 性FEMの 比 較
図 ―8例4の 斜 面
Fig.8 Slope in Example 4
表 ―7例4の 材 料特 性
Table 7 Material Properties for Example 4
表 ―8例4の 全体 安全 率
Table 8 Minimum Safety Factors for Example 4
(1)と 同 じ と す る 。水 圧 を 考 え て い な い 時,Bell14),Sarma15), Chuang16)はWhitmanとBailey12)の 探 索 し た 臨 界 す べ り面 を そ の ま ま 用 い て 安 全 率 を 計 算 し た 。 図-10に 示 す よ う に,せ ん 断 強 度 低 減 有 限 要 素 法 に よ る 臨 界 す べ り 面 は WhitmanとBailey12)が 探 索 し た 臨 界 す べ り面 と 相 当 な 差 が あ る の で,計 算 し た 安 全 率 は せ ん 断 強 度 低 減 有 限 要 素 法 よ り大 き い 。 水 圧 を 考 え た 時,図-11に 示 す よ う に, 図 ―9弾 塑 性FEMに よ り例4の 層(1)'に あ る表 層 破 壊 面 Fig.9 Critical surficial slip for Example in 4 in Layer(1)'
by elastolastic FEM
図―10水 圧 を考 えてい ない と きの例4の 臨界 すべ り面
Fig.10 Critical slip surface for Example 4 not considering water pressure
図 ―11水 圧 を考 え て い る と き の 例4の 臨 界 す べ り面 Fig.11 Critical slip surface for Example 4 considering
water pressure 本 論 文 で簡 易 ビ シ ョ ップ法 とせ ん 断 低 減 有 限 要 素 法 に よ る臨 界 す べ り面 がWhitmanとBailey12)の 探 索 し た 臨 界 す べ り面 とほ ぼ 同 じで あ り,全 体 安 全 率 も同 じで あ る。 一 方,こ の例 に お い て,簡 便 法 に よ る 臨界 す べ り面 と他 の 方 法 に よ る 臨 界 す べ り面 の 間 に は相 当 な 違 い が あ り,簡 便 法 に よ る全 体 安 全 率 はせ ん 断 強 度 低 減 有 限 要 素 法 や 簡 易 ビ シ ョ ップ 法 よ り約0.3小 さ い 。 簡 易 ビ シ ョ ップ 法 の 臨 界 す べ り面 を用 い て 簡 便 法 で計 算 した 安 全 率 は1.079 で あ り,WhitmanとBailey12)が 計 算 した 安 全 率 とほ ぼ 同 じで あ る。 せ ん 断 強 度 低 減 有 限 要 素 法 に よ る全 体 安 全 率 と簡 易 ビ シ ョ ッ プ法 に よる全 体 安 全 率 との 相 対 誤 差 は 水 圧 を考 え た か 否 か にか か わ らず,3%以 内 にお さ ま っ て い る。 3.5例5 例5は 図 ―12に 示 す よ う な勾 配1:1.2の 斜 面 で あ る 。 表 層(浅 層)崩 壊 を対 象 と した の で,厚 さ1.54mの 表 層 を想 定 し,崩 壊 は こ の 中 で 生 じる と仮 定 した 。 浅 層 と深 層 の 材 料 定 数 を 表 一9に 示 す 。 長 さ3.5mの 排 水 パ イ プ が 図 に示 す よ う に水 平 に 配 置 され た。 問 題 の 対 称 性 を利
蔡 飛,鵜 飼恵 三,黄 文峰:斜 面 安 定性 の 評価 一極 限 平衡 法 と弾 塑性FEMの 比 較
図 ―12例5の 斜 面 と メ ッ シ ュ分 割 Fig.12 Slope in Example 5 and FE mesh
表 ―9例5の 材料 特性
Table 9 Material Properties for Example 5
用 し て 図-12に 示 す 領 域 を3次 元 メ ッ シ ュ 分 割 し て 解 析 を 行 っ た 。 降 雨 に よ り生 じ る 斜 面 内 の 水 の 流 れ を,3次 元 飽 和 ・ 不 飽 和 浸 透 流 解 析 に よ り解 析 し た 。 境 界 条 件 は,右 側 面 と 下 面 は 不 透 水 と 仮 定 し た 。 降 雨 は 上 面 と 傾 斜 面 か ら流 入 す る 。 ま た 傾 斜 面 は,斜 面 内 地 下 水 の 流 出 面 で も あ る 。 斜 面 内 の 土 の 水 圧 ヘ ッ ド と不 飽 和 透 水 係 数 は 土 の 相 対 飽 和 度 の 関 数 で あ る と 仮 定 し,van Genuchtenモ デ ル を 利 用 し た 。 モ デ ル の パ ラ メ ー タ は,α=7.087m-1,n= 1.8103,最 小 体 積 含 水 率 θr=0.049,飽 和 体 積 含 水 率 θs=0.304,飽 和 透 水 係 数Ks=2.78∼10 .0×10-6m/s。 こ の 中 で 飽 和 透 水 係 数 は こ の 範 囲 内 で 変 化 さ せ た 。 ま た 降 雨 強 度(時 間 に 関 係 せ ず,i=10mm/hと 仮 定 し た)と 図 ―13排 水パ イプが ない斜面 内の 水圧ヘ ッ ドの分布
Fig.13 Contours of water head(m)in slope with no pipes
図―14排 水 パ イプ を有す る斜 面 内の水 圧ヘ ッ ドの分布
Fig.14 Contours of water head (m) in slope with pipes
透 水 係 数 との 比 率Ir=i/Ksを 定 義 した。 本研 究 で は,降 雨 開始 後 長 時 間が 経 過 し,地 下 水 の流 れ は 定 常 状 態 に 達 して い る と仮 定 して解 析 を行 った 。 定 常 状 態 で は,斜 面 内 の水 圧 ヘ ッ ドと地 下 水 はIrに よ っ て ほ ぼ 決 定 され る こ と が わ か っ た17)。Ir=0.556の と き,排 水 パ イ プ が 設 置 され な い斜 面 断 面 内 で の水 圧 ヘ ッ ドの 分 布 を 図-13に, 排 水 パ イ プ が 設 置 され た斜 面 断 面 内 で の 水 圧 ヘ ッ ドの 分 布 を図-14に 示 す 。 排 水 パ イ プ が 設 置 さ れ た こ とで 斜 面 表 面 付 近 の水 圧 ヘ ッ ドが 低 下 して い るの が わ か る 。 斜 面 の 安 全 率 とIrの 関 係 を 図 一15に 示 す 。 せ ん 断 強 度
蔡 飛,鵜 飼 恵 三,黄 文 峰:斜 面 安定 性 の評 価― 極 限 平衡 法 と弾 塑 性FEMの 比 較
図 ―15全 体 安 全 率 とIrと の 関 係 Fig.15 Safety factory versus Ir
図 ―16例5の 臨 界 す べ り面(a)排 水 パ イ プ な しの 斜 面,(b) 排 水 パ イ プ を有 す る斜 面
Fig.16 Critical slip surface for Example 5 (a) slope with no pipes, and (b)slope with pipes
低 減 有 限 要 素 法 に よる 斜 面 の安 全 率 を計 算 す る と き,ダ イ レイ タ ン シー 角 とせ ん 断 抵 抗 角 が 等 しい と仮 定 した 。 水 圧 分 布 は,3次 元 飽 和 ・不 飽 和 浸 透 流 解 析 か ら計 算 さ れ た もの を奥 行 方 向 に 平 均 化 して,2次 元 状 態 を仮 定 し た。 こ の 仮 定 の 妥 当性 は 既 に 検 証 した17)。図-15に お い て せ ん 断 強 度 低 減 有 限 要 素 法 の ほ うが 他 の 二 つ の 方 法 よ り安 全 率 が 小 さ い の は,後 者 で は す べ り面 の形 状 を円 弧 に 固 定 して い るか らで あ る。 図-16に 臨 界 す べ り面 の 形 状 を 比 較 した。 せ ん 断 強 度 低 減 有 限 要 素 法 で は,よ り危 険 な 非 円 弧 す べ り面 形 状 が 表 現 され て い る 。 4.あ とが き 本 論 文 で は,せ ん 断 強 度 低 減 有 限 要 素 法 が 複 雑 な地 層 構 造 を もつ 斜 面 に も適 用 で きる こ とが わ か っ た 。 例3と 例5に 示 した よ うに,円 弧 す べ り面 を用 い て い る簡 便 法, 簡 易 ビ シ ョッ プ法 は,薄 い 弱 層 が あ る斜 面 に対 して 大 き な誤 差 を生 じる可 能 性 が 非 常 に 高 い 。 例4に 示 した よ う に,複 雑 な 地 層 構 造 を持 つ 斜 面 の安 定 解 析 を極 限 平 衡 法 に よ り行 う場 合 に は,最 小 安 全 率 を 示 す 臨 界 すべ り面 を 見 落 とす 可 能 性 が な い とは い え な い 。 し たが っ て,こ の よ う な斜 面 の 安 全 率 を 高 い 精 度 で決 定 す る に は,高 度 な 解 析 が 必 要 で あ る。 非 円 弧 す べ り安 定解 析 は一 つ の 方 法 で あ る が,非 常 に複 雑 な 地 層構 造 を もつ 斜 面 に対 して, こ れ ま で 開 発 して きた非 円 弧 す べ り面 を探 索 す る 方 法 の 有 効 性 が まだ 示 さ れ て い な い18)。一 方,せ ん 断 強 度 低 減 有 限要 素 法 で は,解 析 前 に す べ り面 形 状 に関 す る仮 定 が 一 切 必 要 な く ,臨 界 す べ り面 が 計 算 結 果 か ら 自動 的 に 決 定 す る こ とが で き る。 高 度 な 計 算 技 術,自 動 メ ッ シュ 分 割,画 像 技 術 の 発 達 につ れ,せ ん 断 強 度低 減 有 限 要 素 法 に よ る斜 面 安 定 解 析 が 実 務 で 可 能 に な りつ つ あ る 。 なお,本 研 究 の 解 析 計 算 で は,提 案 した せ ん 断 強 度 低 減 有 限要 素 法 の 解 析 フ ロ ー を忠 実 に再 現 す る た め に 開 発 し た ソ フ トウ エ ア ・パ ッ ケ ー ジ斜 面@FEを 使 用 し た19)。 この ソ フ トで は 全 自動 メ ッ シュ 分 割 が で き るの で,短 時 間 で 計 算 す る こ とが 可 能 で あ る 。 例 え ば,図-3に 示 す 斜 面 と メ ッ シュ 分 割 にお い て,安 定 解 析(斜 面 の入 力, メ ッ シ ュ の 分 割,安 全 率 の計 算)に か か る 時 間 は わ ず か 十 数 分 で あ る 。 参 考 文 献
1) Zienkiewicz, O. C., Humpheson, C., and Lewis, R. W. (1975) : Associated and non-associated visco-plasticity and plasticity in soil mechanics, Geotechnique, Vol. 25,No.4, pp.671-689.
2) 鵜 飼 恵 三(1989):弾 塑 性FEMに よ る 斜 面 の 全 体 安 全 率 の 算 法,Soils and Foundations Vol.29,No.2,pp.190-195.
3) Griffiths, D. V., and Lane, P. A. (1999) : Slope stability sis by finite elements, Geotechnique, Vol.49,No.3,pp.387
-403. 4) 鵜 飼 恵 三,萩 原 敏 行,井 田 寿 朗(1993):モ デ ル 化 さ れ た 切 土 斜 面 の3次 元 安 定 解 析 と 留 意 点,地 す べ り,Vol.29,No.4, pp.18-24. 5) 田 中 忠 治,鵜 飼 恵 三,河 邑 眞,坂 上 最 一,大 津 宏 康(1996): 地 盤 の 三 次 元 弾 塑 性 有 限 要 素 解 析,丸 善 出 版 社.
6) Arai, K., and Tagyo, K. (1985):Determination of noncircu-lar slip surface giving the minimum factor of safety in slope stability analysis, Soils and Foundations, Vol.25,No.1,pp.43
-51.
7) Sridevi, B., and Deep, K. (1992) : Application of global-opti-mization technique to slope-stability analysis, Proc. 6th Int.
Symp. on Landslides, pp. 573-578.
8) Greco, V. R. (1996) : Efficient Monte Carlo technique for lo-cating critical slip surface, J. Geotech. Engrg., ASCE, Vol. 122,
蔡 飛,鵜 飼 恵三,黄 文峰:斜 面 安 定性 の評 価― 極 限 平衡 法 と弾 塑性FEMの 比 較
No.7,pp.517-525.
9) Malkawi, A. I. H., Hassan, W. F., and Sarma, S. K. (2001): Global search method for locating general slip surface using Monte Carlo techniques, J. Geotech. and Geoenvir. Engrg ., ASCE, Vol. 127, No. 8, pp. 688-698.
10) Yamagami, T., and Ueta, Y. (1988) : Search for noncircular slip surfaces by the Morgenstern-Price method, Proc. 6 th Int. Conf. Numer. Methods in Geomech., pp. 1335-1340. 11) Chen, Z., and Shao, C. (1988) : Evaluation of minimum factor
of safety in slope stability analysis, Can. Geotech. J., Vol. 25, pp. 735-748.
12) Whitman, R. V., and Bailey, W. A. (1967) : Use of computer for slope stability analysis, J. Soil Mech. and Found. Div., ASCE, Vol. 93, No.SM4, pp.475-498.
13) Howells, D. A. (1977) : Discussion on Associated and non-associated visco-plasticity and plasticity in soil mechanics, Geotechnique, Vol. 27, No. 1, pp. 101.
14) Bell, J. M. (1968) : General slope stability analysis, J. Soil
Mech. and Found. Div., ASCE, Vol. 94, No.SM6, pp. 1253 -1270.
15) Sarma, S. K. (1973) : Stability analysis of embankments and slopes, Geotechnique, Vol. 23, No. 3, pp. 423-433.
16) Chuang, Poon-Hwei (1992) : Stability analysis in geomechan-ics by linear programming. II : Application, J. Geotech. Engrg., ASCE, Vol. 118, No. 11, pp. 1716-1726.
17) Ugai, K. and Cai, F. (2001) : Applicability of short drainage pipes to prevent shallow slope failures under rainfall, Proc. 14th Southeast Asian Geotech. Engrg. Conf., pp.917-922. 18) Duncan, J. M. (1996) : State of the art : limit equilibrium
and finite-element analysis of slopes, J. Geotech. Engrg., ASCE, Vol. 122, No. 7, pp. 577-596.
19) 蔡 飛,鵜 飼 恵 三(2002):非 線 形FEMに よ る 飽 和 不 飽 和 浸 透 流 と斜 面 安 定 解 析 プ ロ グ ラ ム 斜 面@FEの ユ ー ザ ー ズ ・ガ イ ド, Versionl.21,群 馬 大 学 建 設 工 学 科.
