中学校前期における生徒の数学的能力の構成について

全文

(1)Title. 中学校前期における生徒の数学的能力の構成について. Author(s). 佐々木, 幸一. Citation. 北海道教育大学紀要. 第一部. C, 教育科学編, 33(2): 131-146. Issue Date. 1983-03. URL. http://s-ir.sap.hokkyodai.ac.jp/dspace/handle/123456789/4896. Rights. Hokkaido University of Education.

(2) . 中学校前期における生徒の数学的能力の構成について. 佐々木. 幸. １。問題の設定数学における諸能力のうち，近年特に興味の中心となり研究が進められている創造性については，ｌ）や佐伯２｝のまとめに見られる諸家の意見においてもある程度の共通ｋｅｎその概念自体，例えばＡｉ，な理解はあるものの普遍的に受け容れられる明確な概念規定に達してはいないようである。ｉｌｆｏそれにも拘わらず，Ｇｕｒｄによって創造性の概念から流暢性，柔軟性，独創性，綿密さ，問題. に対する敏感さ，再定義能力の諸因子が析出されてからは，数学における創造性能力をもこれらの視点から測定しようとする試みが盛んであって，そのための方法も次第に開発されてきている。この種の調査研究の手段として通常用いられるのは，（ｉ）流暢性については多様な解を許す問題において妥当な解の総数を数える（ｉｉ）柔軟性についてはこれらの解が属する異なるカテゴリーの数を数えるる. （）独創性は反応数が極低率であるような稀出の解（勿論妥当な）に適宜配点すｉｉｉ. というものである．. この場合調査結果の処理法と並んで重要なのは調査問題の選定で，研究者の創意が要求される所. ３）の紹介する例では次の型があるであるが，Ｄｕｎｎ。. ①計算式を利用するもの。例えば所与の３個の数２，３，８を用いて，２ × ３＋８＝１４のような正しい式を多数作る。 ②図形を素材とする①と類似の課題。正方形の面積を２等分する様様な線を描くなど（① ② 。. ４）より）Ｐｒｏｕｓｅ. ③多くの数を含む一連の具体的状況を示して数学的な問題多数の作成を求めるｎｍａｋｅ‐ｕｐ″ 問題。. ）ｌ（Ｇｅｔｚｅ）ｓａｎｄｌａｃｋｓｏｎ５. 、④所与の数学的素材について論文形式の記述を求める. ６）ｌｋｅｒについて記述するなど。（Ｆｉ）ｅ. ｅｓｓａｙ″. 問題。例えば「チェス盤の数学」. ｌｆｏｒｄの考えから，数学における創造的思考は拡散的思考のカテゴリーに集中しているというＧｕｉ創造性テストでは拡散的思考を見る方向の課題が多いが，勿論両者を単純に対応させることはできない．また上例①のような場合では，多数の解が可能ではあるが小ｏ中学生を被験者とするときに. はその数学的素養についての条件から解の種類は比較的少数に制限されるので，一般創造性検査に. おける拡散的思考とは異なる面をもち，そこには集中的（収束的）思考も相当程度働いていると考えられる。逆に，唯一の解をもつ問題の解決を求める課題は一般には集中的思考の発現する場として分類されるであろうが，問題に含まれる条件の一部や既往の経験から可能な取り組み方のいくつか. を引き出した上で全状況に整合するものを選ぶような過程では拡散的思考も与っている数学にお。ける創造性を検出することをねらいとするテストアイテムの構成の実際において，特に上例①②の. １３１.

(3) . 佐々木幸. 型では集中的思考の要素を十分には取り除けないのが普通だが，実際の場で創造的思考が行われる様相からこのことは寧ろ自然と考えるべきであろう．なお，この場合学習履歴から受ける影響を除. くために，前提される数学的な知識・技能を基礎的なものに限る必要がある．筆者の以下の研究では，中学校前半期の生徒を対象として，潜在している″数学的能力を検出することに興味の中心があり，数学における創造的能力の測定を直接の目的としないが，両者が深く関係するであろうことは当然予想されるし，また方法においては創造性測定の諸研究で用いられる型のものを多く使用する．さらに，現時の数学科の教育内容や指導方法の実態から遊離して，被験. 者の不慣れや違和感からの歪みを招かないために，今回はｍａｋｅ－ｕｐ型・ｅｓｓａｙ型の問題の使用を避した問題が得られればその検出力は大いに期待できるけたが，これらの型の現実に即．現在の中学校で数学における顕在・潜在の能力を示す指標として通常用いられるのは知能検査，学力検査からの資料であるが，前者は数学の特性を反映するように作られているわけではないし，ｉｎｅｔ後者でもｒｏｕｔａｓｋとしての所産が重みを持って，数学における拡散的な創造的能力は勿論，集中的思考の能力自体もよく表現されているとはいえない．この小論では以上の認識の下に，拡散的或いは集中的と思考の性格を限定することなく学力や知. 能の測定で見落されているかも知れない，換言すればこれらの検査の結果とずれがあるような数学的能力の所在とその性格について調査を試みた．もとより，この課題についての最も大きな研究領域は始めに述べた創造性に関するものであろうが，ここでは課題の中心を教科指導の現実により近. い所に設定したことになる．. ２．目的と方法２．１. 目的. 中学校の前期段階にある生徒の，数学における能力の構成について調査研究することを主目的とし，次の各項について考察する． ①生徒に潜在する数学的能力を検出するためのテスト項目を準備しその試用を通してテスト項目の機能を評価する． ②各テスト項目に対する生徒の反応の特徴を見出すとともに，学年差，性差の有無についても検討する． ③テスト項目相互間の関係と，それらから得られる合成変量について調べ，併せてそれらと通常測定されている学力，及び知能検査による知能との関連の仕方についても検討する．２．２. 方法. ①被験者について. 北海道教育大学教育学部附属旭川中学校の生徒第１学年（男子４９名，女子４０. 名）０名を被験者とする．但し，欠席等による資料欠落の，第２学年（男子５０名，女子４１名）計１８ため，調査項目によっては人数に減少がある．基礎資料として昭和５６年９月実施の教研式知能検査，及び昭和５７年４月実施の教研式標準学力検査があり（後者の時点では生徒はそれぞれ第２学年，第３学年に進級している），知能では同学年内でも両学年を合併した場合でも性差は見られないが，学年間では有意水準１％で第２学年が優位にある．実施時期が同一であったため年齢差の影響があったのかも知れない．学力検査については学年内の比較のみが可能であるが，第１学年では有意水準１％で男子が優位にあり，第２学年では性差が見られない．. １３２.

(4) . 生徒の数学的能力の構成. ②調査日と方法昭和５６年９月に次項に述べるテスト形式の調査を各学級毎に２回に分けて行い，各回５０分を充てた。各間毎の時間の区分は行わず，結果的に時間不足の状況は生じなかった． ③調査問題次に示す通りである．. １. 問題. １辺の長さが３ｃｍの正方形があります. 。直線を２本使って面積を３等分して下さい。直線はどのように引いてもよいし，３つの部分が同じ形である必要はありません．いろいろなちがった種類の分け方を，できるだけ多くくふうしましょう．. （例）. （次下解答用の正方形棚嗣く. □ 問題. 省略）. ２. 下の式では，あいている所が等号の左に３つ，等号の右に１つあります．５. ３. ↑. ＝６２：. １. ↑. ↑. ４ ↑. これらのあいている所に，十，－，×，÷ のどれかを入れて，正しい式を作って下さい。. ・同じ記号を何回使ってもよいし，かっこが必要なら何回でも自由に使ってかまいません。ｏ計算の中で，小数・分数や負の数がでるようなものでもかまいません．ｏできるだけ多くの式を作りましょう. ．（５＋３）×１＋２＝６十４. （例）５. 問題. ３. １. ２＝６. ４. （以下解答用の式を１３個置く……省略）３. ① 「規則」をみつけて，線の上にあてはまる数を書きなさい．. （ｉ）（ｉｉ）. １，３，６，１０，１５，一－１，１，２，３，５，８，－－. ②あいている四角の中に，いちばんよくあてはまる「人の形」を書きなさい。. 昼冥骨. 牢？昼昔貸. 問題. ４. 同じ長さの太い棒と細い棒が６本ずつ，あわせて１２本ありますそのうち６本を使って，図。のような三角すいを作ります．一一－－－－細い棒 . １３３.

(5) . 佐々木. 幸. 一. このほかにどのような作り方があるでしょう．太い棒を太い線，細い棒を細い線で表して，全部書きなさい．（注意）たとえば右のような三角すいは，動かすと上の（例）の三角すいと同じになるので，１度だけ書くことにします．（以下解答用の三角すいを１１個置く …・省略）. 問題. ５. 正六角形のかたちにならんだ丸の数を求める問題です。. ①丸の数を書きなさい． ○○ ００ ○ ００. ００〇００００ ○００００ ○ ○００００〇）（. ．. ）. （. ②かぞえやすい方法をくふうしてかぞえましょう．. ・計算の式を書いて下さい．・考えるために書きいれた線は，消さないでおくこと．・２つ以上の方法に気がついた人は，全部書いて下さい．. （以下解答用として同様の図を７個置く……省略）. 蟹蛋蛋蛋。. ０００００００００００００００００００００００Ｏ０００００００００００００００ｏｏｏｏｏｏ０００００. ③. （式）. ○ ｏｏｏｏｏＱＯＯＯＯＯＯ００００００００００００００００００００. 六角形にならんだ丸の，一部分だけが見えています．見えないところもいれて，全部でいく. つあるか求めなさい．. （式）. 問題 ①. 個. ６左の表で’ １ダリ目の１２ ’ ３５ ’ ２３ ’ １９Ｇま’ かつてな正の整数を書いたもので. 身」. す。. 目. この１列目をもとにして，ある「秘密の規則」に従って順に２列目，３列. １２３５２３１９１. 目に数を入れると，下のようになります．２. ３. 列. 列. 列. １２３５２３１９. ２３１２４７. １１８３１６. 目. １３４. 答. 目. 目.

(6) . 生徒の数学的能力の構成. その「規則」をみつけて，上の表の４列目から先にあてはまる数を入れて下さい。終りにしてもよいと思うところまで続けなさい． ② 下の表の１列目にかってな正の整数を入れて，上と同じことをやってみましょう．（空欄のみの表を置く……省略） ③. ①や②の表を見て，気がついたこと，予想できることがあれば書きなさい。. ３．各問題に対する結果と考察この節では各問題について個別にそのねらいと結果について述べ若干の考察をする表中で用い。たＩＭ，２ＦＴ１等の記号はそれぞれ１年男子２年女子１年全体の被験者区分を表す。，，，，，. ９. ｌｏ. ｌｌ. １２. 図１. １３. １４. 問題１の解の類型. 問題１拡散的思考が比較的強く現れる問題として設定した。類似の問題は数学の創造性テス７）の調査では長方形を２等分するという形をとているがそこでトによく用いられ，例えばＨｉｔｔａっ，は線の数・形には制限がない。本題では直線２本を用いることに制限したので自由さは減っているが，それでもなお分け方は無限に多くあり，また数学の知識も基本図形の求積法程度で主要な類型をすべて導くことができる。特殊な解では，もし数値まで決定するならばやや高度の知識が必要な. 場合もあるが，ほぼ妥当な図が書けていればよいとする。出現した類型とそれらの出現率は図１と表１に示す通りであり，これによれば類型１及び２が高率であることは各被験者区分について共通であるが，類型３以降では何れも急激に低下するまた。何れの被験者区分でもほぼ３段の階段状の低下傾向が見られ，１年及び女子では類型１－２，３－６，及び７以降が，また２年及び男子では類型１－２，３－８，及び９以降がそれぞれ１つの段階を形成する。. 全般に，１つの分け方から回転または対称移動によって得られるものを別種の分け方として挙げていることが多いが，これらを一括して１個の解と看倣しその総数を数えると，創造性テストにお. ける流暢性得点０こ相当するものが得られる。その平均には表２に見られるように学年間に著しい差があり，学習経験からの影響が現れやすい問題であることがわかる。また性差の存在が窺われるが有意の差には到らなかった．. １３５.

(7) . 一. 佐々木幸. 問題１における各類型の出現率. 表１類型. ２. １. （％）. ３. ４. ５. ６. ８. ７. ９. １０. １１. １２. １３. １４. １年. ９６. ６１. １０. １０. １３. １１. ２. ２. ２. ２. Ｏ. Ｏ. Ｏ. Ｏ. ２年. ９９. ８４. ３２. ３２. １３. １２. １３. １０. ４. ４. ２. ２. ２. ２. ３. ３. Ｉ. ２. Ｉ. １. １８. 男子. ９５. ７５. １８. ２０. 女子. １００. ６９. ２５. １２. ７. 全体. ９７. ７２. ２１. １７. １３. ＩＭ. 均. 標準偏差平均差表３. ９. １１. ２. ２. ４. ４. １. Ｏ. １. １. １２. ８. ６. ３. ３. Ｉ. １. １. １. 問題１の得点の状況. 表２平. １２. １２. ＩＦ. ２．１６０．９８. ２．０５０．９２. ２Ｍ. ２Ｆ. １. ２. Ｍ. Ｆ. Ｔ. ３．２６１，３８. ３．８３０．９６. ２．１１０．９５. ３．０７１．２３. ２．７２１．３２. ２，４４１．０２. ２．５９１，２０. ＩＭ－２Ｍ間、ＩＦ－２Ｆ間、１年－２年間各１％で有意. 問題２の各解の出現率. （％）. １年２年男子女子全体. 解５＋３ ×１＋２. ３９. ５２. ５３. ３７. ４６. ５＋３＋１ ×２. ２９. ３７. ３１. ３５. ３３. （１＋２）５＋３）×（. ３１. ３５. ３４. ３２. ３３. （５－３＋１）÷２. ２０. ４０. ３２. ２７. ３０. （５－３－１）×２. ２３. ３５. ２９. ２９. ２９. （５＋３）÷１十２. ２２. ２５. ３０. １５. ２４. ５＋３ ÷１＋２. １３. ３１. ２２. ２２. ２２. ５ ×（３＋１）÷ ２. １０. ２１. １８. １３. １６. ５ ×（３＋１－２）. ６. １６. ９. １４. １１. ５＋３ ×（１－２）. Ｉ. ４. ２. ４. ３. ５－３－１ ÷ ２. ３. １. １. ４. ２. ５＋３ ÷（１－２）. Ｏ. Ｏ. Ｏ. Ｏ. Ｏ. 表４平. ２. 問題３の正答率 ①の１. ［］内は準正答（％）. ① の２１３，２１，３４［１１２３］７２，，６１７. ②. １年. ８５. ２年. ９３. ５９. １１. ７５. 男子. ９１. ６７. ８. ７１. 女子. ８８. ５２. １０. ７２. 全体. ８９. ６０. ９. ７１. ６７. 問題２の得点の状況均. 標準偏差平均差問題. 表５. ＩＭ. ＩＦ. ２Ｍ. ２Ｆ. Ｉ. ２. Ｍ. Ｆ. Ｔ. ２．２０１．７７. １，９５１．１５. ３．３８１．６０. ２．８１１．５０. ２．０９１．５４. ３．１２１．５８. ２．８０１．７９. ２．３９１．４１. ２．６２１．６４. ＩＭ－２Ｍ間、ＩＦ－２Ｆ間、１年－２年間各１％で有意. パズルとしてはよく見られる型の問題で，第一節に例として挙げたＰｒｏｕｓｅの問題に. 似た形をとっているが，数式の右辺に現れる数値が限定される点が異なる．実施期が９月なので１年生も負の数を用いることができ，必要な数学的事項はすべて既習である．妥当な解はもとより有. 限個，それも比較的少数であり，ある程度規則的な洗い出しが可能なので，集中的思考の要素が強い問題といえる．類型毎の反応頻度を示す表３によると，難易の傾向は各被験者区分にほぼ共通で，. 前題と異なり低下はなだらかである．加法と乗法のみを用いる解が上位を占めていることは自然であるが，遂に発見されない解があったことは予想外のことであった．発見した解の個数を得点とす１３６.

(8) . 生徒の数学的能力の構成. ると表４の結果が得られ，再び学年差が見られる。また性差の存在も暗示されているようである。問題３帰納により規則を見出してそれを適用するもので，概念形成の基礎となる能力を見ることになり，集中的思考が中心となる。正しい解はそれぞれ唯一と考えられるが ①の（ｉｉ）には，準正答ともいえる１２１７２３が出現しこれは初項と第２項とを無視すれば一定の規則に従ってい，，，る．これらの反応頻度は表５に示されている． ①の（ｉ）（ｉｉ）と②との正答を各１点として合計，. 点（満点は３点）の平均，標準偏差を求めると表６のようになり学年間両性間に差は認められ，，ない，この種の思考能力は一般に高いということができる．. 問題４解が１０個に限られていることと，自ら規準を定めて組織的に解を見出すことが可能な点で問題２に類似であり，その図形版と見ることもできるが空間洞察力特に異同を弁別する能，，力が要求され，さらに学習経験からの寄与が少ないことが特徴である各解の出現頻度は図２表．，７に見られる通りで，（１）と（５）及び（４）を除いて，相対をなすものが隣接していることは興味深く（４），（は例示の解の相対）またＱｏ）の発見が際立って難しかったことが見立つ発見した解の個数を以て得。点とすると表８の結果が得られ，各被験者区分とも解の半数をやや上回って発見していることがわかり，また問題２と異なって学年差が見られない点特徴的であって問題にある種の潜在能力の検，出力が期待される．問題. ①は題意把握のためのもので，集計の対象にはしない ②は拡散的思考の要素が強く．，実際３０種に及ぶ異なる解が得られたが，その中には唯１人による，時に必ずしも手際がよいとはいえない解も含む．それらの内反応数の多いものから１２種をとって対応する計算式の例及び出現頻，５. 表６平. 問題３の得点の状況均. 標準偏差平均差表７. ＩＭ. ＩＦ. ２Ｍ. ２Ｆ. Ｉ. ２. Ｍ. Ｆ. Ｔ. ２．１６０．７４. ２．２００，７８. ２，４２０，６４. ２，２２０．７２. ２，１８０．７６. ２，３３０，６８. ２，２９０，７０. ２．２１０．７５. ２，２６０，７２. 有意差なし. 問題４の各解の出現率. 解. （％）. １. ２. ３. ４. ５. ６. ７. ８. ９. １. 年. ８４. ６９. ６０. ６２. ５７. ６２. ５５. ３４. ３４. １５. ２. 年. ７０. ７３. ７６. ６４. ６５. ５６. ３３. ５２. ４５. １９. １０. 男. 子. ７７. ７０. ６６. ６０. ６５. ６１. ４６. ５１. ４４. １７. 女. 子. ７７. ７３. ７０. ６６. ５７. ５６. ４１. ３４. ３５. １７. 全. 体. ７７. ７１. ６８. ６３. ６１. ５９. ４４. ４３. ４０. １７. 衷８平. 問題４の得点の状況均. 標準偏差平均差. ＩＭ. ＩＦ. ２Ｍ. ２Ｆ. Ｉ. ２. Ｍ. Ｆ. Ｔ. ５，４８２．１４. ５．１３１．９５. ５．６０２．０５. ５，４２２．１０. ５．３２２，０７. ５，５２２．０７. ５，５４２，１０. ５，２７２，０３. ５．４２２．０７. 有意差なし. １３７.

(9) . 佐々木. 幸. 一. 金①④冬冬．. （１）. （２）. （８）. ｛）３. （９）. （４）. （５）. 冬（）７. （６）. （１の. 図２. 問題４の解. 問題５における各類型の出現率. 表９. （％）その他. 類. 型. １. ２. ３. ４. ５. ６. ７. ８. ９. １０. １１. １２. １. 年. ６６. ３２. ２９. １４. ２１. １３. １５. ２０. ５. ３. １. １. ５３. ２. 年. ５６. ３９. ２５. ３１. ２２. ２９. ２２. １２. ４. ６. ６. ４. ７１. 男. 子. ６１. ４０. ２４. ２３. １８. ２５. １９. １９. ６. ２. ２. ４. ６２６２６２. 女. 子. ６０. ３０. ２３. ２３. ２７. １６. １９. １３. ３. ８. ５. １. 全. 体. ６１. ３６. ２３. ２３. ２２. ２１. １９. １６. ５. ５. ３. ３. 表１０問題５の得点の状況平. 均. 標準偏差平均差. ＩＭ. ＩＦ. ２Ｍ. ２Ｆ. Ｉ. ２. Ｍ. Ｆ. Ｔ. ２．７７１．４６. ２．５９１．６１. ３．３５１．３９. ３．３５１．５１. ２．６９１，５３. ３．３５１．４５. ３．０６１．４６. ２．９８１．６１. ３．０２１．５３. ＩＦ－２Ｆ間５％、１年－２年間１％で有意. 度を示したのが図３及び表９である．ここで，ア. 表１１問題５③の正答率. イデアが一致するものは纏めて一つの類型として扱ってある． ③ は ② による思考の結果を発展的に. 適用する問題解決の場面で，そこに働くのは集中的思考であると考えられる．. ② の課題において単に丸の個数を知るという結. 果だけに注目する立場をとるならば各方法の優劣. （％）. 正答率. 正答率Ｉ. Ｍ. ６５. １. ５６. Ｉ. Ｆ. ４６. ２. ６７. ２. Ｍ. １７. Ｍ. ６８. ２. Ｆ. ６３. Ｆ. ５４. Ｔ. ６２. が直ちに問われるし，故意に奇異な数え方を求めるのは無意味になるであろうが，問題の真意は示された一定の配置の中に規則的な部分配置を読み取るという洞察をさせることにある．実際被験者はそのような理解の下に多様な発想を行ったようである．. 表９によると，類型８と類型９との間に段差が見られ生起の比率が一挙に５％程度に低下する．それ以下を一応特異な反応と見ることができるだろう．得点は妥当な解の個数とし，その状況は表１０の通りで学年間に平均の差が見られ，学習経験の影. 響を受ける問題といえるが，有利な学習内容が具体的な形で２年生に習得されているわけではない１３８.

(10) . １. （５十６＋７十８）×２十９. ２４ ×６十３×６＋２ ×６. ３５ ×５十６×４＋６ ×２. ４５ ×９＋４ ×４. ５（９＋５）ｘ５ ÷２十（８＋５）×４÷２. ６１ｏｘ６十・. ≦ ｏ灘種警鐘鯵灘義勝沸騰曇十１×６十１. ７. ５ｘ５＋５ｘ４十４ｘ４. ８. ６ ×６十４ ×６十１. ９. ５ ×４ ×３十１. ｌｏ. ９ ×９－１０×２. 図３問題５の解の類型と計算式. ｌｌ. ５×５ ×２－１＋６ ×２. １２. １０×４十１５十６.

(11) . 佐々木幸. 一. ので，その学習経験は極一般的なものと見られる．因みに得点の最高値・最低値はそれぞれ７点（２名）５２名）であった．，最頻値は３点（，０点（９名） ③の正答率は表１１の通りで，学年差・性差の両方が示唆されるが，検定の結果では何れも認められない．しかし標本の数が増せば差が現れることは十分予想される．また③の解で用いられた方法１２名）１０名）４０名）２６名）は， ②における類型１（，７（，５（９名），９（４名）で，，２（，６（ほぼ②における出現数の順序に従っている．問題. 一ＦｏｕｒＮｕｍｂｅｒＧａｍｅ″ といわれるもので始めに選ぶ４数の如何に拘わらず有限回，. ６. の繰り返しの後に４個の０に達することを，Ｂ．Ｆｒｅｅｄ瞳ａｎが１９４８年に証明したとされる．ここで０に達するために必要な繰り返しの回数は任意に大きい場合が存在し，その意味で本題は原理的には危険だが，０に達するまでに１０回以上の繰り返しが必要である確率は０．００７を超えないので，実際にはほぼ安全である．ここに働くのは帰納的思考であるが，最上段と最下段の引き算に気付くにはかなりの思考の自由. さが必要である上に，仮説を立て検証するという過程をふむには繊密な集中力が要求される．結果を得点化するために， ①②③の各小間に一水準″ を設け次のように配点する． ①……第１水準：４列目の上から３段目まで正答であるが，最上段と最下段の引き算には気が付１点. かない．. 第２水準：表の構成法は発見するが，４つの０に到達しない段階で断念する．第３水準：８列目の４つの０に到達する． ②……第一水準：正しい方法で表を作り始めるが，途中で断念する．第２水準：例を完成する． ③……第１水準：表の構成法について述べる．. 第２水準：最後に揃って０となることを法則として述べる．. 各水準の到達頻度を表１２に，またこの基準による得点の平均・標準偏差を表１３に示す．高度な. 数学的能力の検出を目的とするだけに結果の得点は低く，完成水準に到達した被験者は何れの場合１名（１年２名，０名，完全解７点が１でも２割に満たない．得点の分布は総数１７６名の内，０点が１１表１２問題６の各間における各水準の到達度問の番号. （％）. ③. ②. ①. 第２水準. 第１水準. １. 年. １６. ３. ８. ５. ８. Ｏ. ５. ２. 年. １６. １１. １８. ４. １６. ３. １０８. 第１水準. 第２水準. 第３水準. 第１水準. 第２水準. 男. 子. １３. ７. １３. ５. １１. ２. 女. 子. １９. ８. １３. ４. １３. １. ６. 全. 体. １６. ７. １３. ５. １２. ２. ７. 表１３問題６の得点の状況平. 均. 標準偏差平均差１４０. ＩＭ. ＩＦ. ２Ｍ. ２Ｆ. １. ２. Ｍ. Ｆ. Ｔ. ０，７５１．５１. ０，８２１．７１. １．５５. １．５５２．１９. ０．７８. １．５５２．３７. １．１６２，１１. １．１９２．００. １．１７２．０６. ２．５０. １年－２年間１％で有意. １．６０.

(12) . 生徒の数学的能力の構成. ２年９名．また男子７名，女子４名）である．学年間に平均の差が認められることは本題の場合注目に値する．１年間の学習は，知識・技能や問題解決の技巧の獲得の外にも，着実に数学的能力の. 伸張に役立っていることを示すと考えてよいのだろうか．さらにこの結果で特徴的なのは，統計的に有意ではないにしても，女子が男子に対して優位にあることである．他の問題と比べて逆であるだけに，女子の数学的能力の性格について示唆するところがあるかも知れない. ４．変量に対する総合的考察この節では調査に用いた各問題の得点及び基礎資料としての知能偏差値，標準学力検査の得点を変量として，主として相関分析の手法による考察をする．統計的処理の方法については芝８に拠った所が多い。. 始めに以下の分析の基礎となる学年毎の相関行列を示す。（表１４）表中の変量は，１～６，表１５がその番号の調査問題の得点であり，７，８はそれぞれ第２節に述べた被験者の知能と学力を表す. 変量である。因みにある中学校の第２学年で６カ月の間に行われた数回の数学学力テストについて，その間の相関係数を調べたところ何れも０．８前後の高い値であった．条件が大きく異なることを割. 引いても，表に示されている値はかなり小さいことがわかる．. ４。１主成分分析変量１～６の間の相関が低いことから，テスト全体の構造が複雑でこれを少数の因子によって説表１４相関行列（１年）． ← ｎ ‘ ＱＵ ▲ ４ｒＧワｏ. １. ２. ３. ４. ５. ６. ７. ８. １，２２２．１１２. ．３６４ヘリ．１６４Ｕ，０９６ｆ．３９４ＸＵ，１０４. １．０４６．３７５，０４９．０１７，２１５，２６５. １－．０４１. １. ．０５６．１４７. ，１９９．０４８. ．０３３．０８９. ，４３７，２３５. １，１３０，３１２，２５３. １，２１０，２３３. １．２６７. １. 表１５相関行列（２年）． ← リム. １. ２. ３. ４，. ５. ６. ７. ８. Ｉ. ．０８４リｔリ－－．０８０ハー．２６６にり，２０３《Ｕ，０６６ヮ十，２５２ｏｘＵ，１３６. １．１１９．２１５，２０１．０７５．１４０，４３３. １．０５０－－．０２０．０４２，１２５. ● ．０４４. １. １．１３３，１４９. －－．０４７. ，２４４－－，０６２. ．１２９，１７２. １１．０５３．０８３. Ｉ．３４２. １１４１.

(13) . 佐々木. 幸. 一. 明できないことが予想されるが，このことは主成分分析の結果を表す表１６で明らかである．実際第１・第２合成変量による寄与は両学年において５０％に満たず，第３以下の合成変量においても累積寄与率が急に高まることがなく，抽出の限界である第６合成変量までがほぼ１０％の寄与率を保持し. ている．本調査の各問題が測定しようとした能力の多様性が示されていると考えられる．なお両学年に共通に見られる特徴として，第１合成変量と第１，２，４，５変量，第２合成変量と第３，６変量の相関が高いことが挙げられる．表１６主成分分析の結果１合成変量番号固. 有. １. 値. ２. １．７６１．１７. 年. ２. ４. ５. ６. ９５. ８３. ７４. ５４Ｌ５９１．１３１．０４. ，７０．０２．６２－－．３２. 構造ベクトル. （相. 関. ２比）. ４．２. ２. ３. ４. ５. ６. β３. ７６. ６６. ．０８－，１５－，６３．２８．３７．１９．４８．３２，１８，６６．５７－，４０．１３－，１７．７６－．３１－．０７．０７－．０１－．６０．４５．２９－．６８－．３９．３０．１３．２６，６７－．１３．６８－．０２．０１. ，６１－．４０－．２５．４０．１５．４７．５９，２９．３７－，４４－．３６．３４，１０．７５．３７．４７．２９，０４．７０．１０－．２２．２７．４０－．４７．５４－．３５．４５－．２２．４９－．３０．２８．４４－，６８－，３７．３６－．０１. ．２９. ．２６. ．２０. ．１６. ．１４. ．１２. ．０９．５２. ．０９－．１８－，８６．３９．２２，６５．６０．６０－．４８．１８－．３１４－２６－３．．０８．０９－．０２ ‐１．０３．２５２５－，．，７１－，４７．４１．２３１５－５７．１４，８２－．０３，０１．，，４０，０１．３５－．２８．１０．５７. 標準重みベクトル. １. 年. ３. ．１９. ．１７. ．１４. ．１３. ．１１. ．３８－，３６－．２４．４９．２０．７２．３７．２６，３５ …．５３－，４７．５２．０６．６６．３５．５６．３８．０７．４４．０８－．２１．３３－．５２－．７２，３４－．３１．４４－．２７．６４－．４５．１８．３９－．６５－，４５．４８－．０１. 因子分析. 前項と同様の観点での分析を因子分析法によって行うとやや異なる結果を得る．表１７は第１～第表１７因子分析の結果変量１ ← １. リムＱＵ. 年. リムＱＪ. 子. １１. １１１. 共通性. ．４５，５０. ．１８．０４. ．２２－．０２．０２. ．２９．２５. ．０１. ．３２. ．３５．２８. －．２８．２１. ．０７．５５仁ヘリ０１《Ｕ．２．３Ａ，. 年. 因１. ．０３．４０ ▲ ” ’ ６９－．１２．にりだｎＵ．１２．０７丁 ▲. ２. 表１８グループ主軸法による分析. ．４０．０２．０５. ．０８. ．２８．４０. ，１６．５７. ．２５. ．１８．１６. ，２４．２９. ．２６．２１. ．０１．１８. ．７０－．０７. ．１７．３４. 構造ベクトル. 標準重みベクトル. ．４９，０６. 両変量の相関係数. １４２. 年. ２. 年. ３，６．１４. １，４，６. ２，５．１９. ．００．１２. ．７８．１７. １. 指定する変量の番号１，２，４．６７．７１．０５. ．０４．７６. ．７１．２０．００. ．０７. ．７６. ．４８. ．０２. ．４３．４３. ，００．００. ．５３．００. ，００．６５. ．００．００. ．００．６６. ．８１．１９. ．００．４９. ．６６．００. ．０８. ．００．５８. ．００．３６. ．７８，０６．２２，７８. ．００．００. ．６５．００. ．２４.

(14) . 生徒の数学的能力の構成. ｉｍａｘ法によって回転を行った結果１因子までを抽出した後，Ｖａ６変量から最小残差法によって第１１ｒである。これによれば，因子１は１年では変量１，２，４に，２年では１，４，６に高い負荷をも. ち，また因子１１は１年で変量３，６に，２年では変量の４のみに高い負荷をもつ，また因子１１１は１負年では変量５のみに，２年では変量２，５に高い荷をもつことがわかる．このことから，変量１. ～変量６の内１年では｛１，２，４｝と｛３，６｝とを，２年では｛１，４，６｝と｛２，５｝とを指定して，グループ主軸法により再度合成変量を求めてみると表１８の結果を得る，両学年ともグループ間の相関が低く，特に１年生の段階では変量１，２，４と変量３，６との表す能力特性がほぼ独立したものであることが認められる．なお，問題１，２，４は可能な多数の解の内できるだけ. 多くを見出すという，ある程度拡散的思考の要素を含む型であり，問題３，６は規則を発見する，集中的思考の要素の大きいものであった．４。３知能・学力との関係個々の問題の得点を表す変量と知能・学力との間の相関は既に見たように高いものではないが，. ６個の変量に適切な重みをつけて合成変量を作ることにより相関を高めることができる．ここでは各問題の粗点を為，物， ……，旋，知能偏差値，学力検査粗点をそれぞれ為，旋で表し，為，物， ……. 為を予測変量，また為，為を順次個別に基準変量として重相関係数，偏回帰方程式を求め，その結果を表１９に示した．これによれば重相関係数は２年の知能を基準変量とする場合が０，３５とやや低い. 外は，０．５に近い値となっている．また飾，旋を予測する式において，各変量の平均値と偏相関係数との積を求めることにより，１年の場合は何れも箱，為，旋の寄与が大きく，２年の為の予測ではね. 欲，為の，滋の予測では物，為，為の寄与が大きいことがわかる。. 表１９知能及び学力を基準変量とする重相関法による分析基準変量構造ベクトル標準重みベクトル１知能偏差値重相関係数偏回帰方程式予測例（括弧内実現値）. ，７４．１３. ，４０．１１. ，０６，００. ．８２．６３. ．５８，３９. ．３９．３０. 構造ベクトル標準重みベクトル学力粗点重相関係数偏回帰方程式予測例. ，２４－．６０，４３. ．６１．５３. ，２１，１７. ，５４，４５. ．５８．４９. ．５４．４７. 構造ベクトル標準重みベクトル２知能偏差値重相関係数偏回帰方程式予測例. ．７２．５８. ．４０．１７. ．３６．３６. ．７０，４６. ．３７，１６. ．１５．０３. ，２７，２７. ，８７．９０. ，０９，０２. －．１３－．４４. ．３５．１８. ，１７，１６. 年. 年. 構造ベクトル標準重みベクトル学力粗点重相関係数偏回帰方程式予測例. ．５４ｘ７＝．５１ｘ，十，２７ｘ２十．０ｏｘ３＋１．１４ｘ４十，９６ｘ５十，７２ｘ６十４９，２５４．２（５４），５９．０（５３），６３．７（６６）， … …．“. ３，１２４ｘｘ８＝－２．４６ｘ．十１，４０ｘ２十．８７ｘ３十，８６ｘ４十１，３０ｘ５＋１．６十５．．．５５，１（５５），，，６２，４（５７），６２．３（７６），．－，. ．３５ｘ７＝．９９ｘ，十．２３ｘ２＋１．１６ｘ３十．４９ｘ４十．２４ｘ５十．０２ｘ６十５１．９６５．３（６３），５８．６（６６），６０，８（５５）， … ……. ，５０３３ｘ６十４６ｘ８＝１，１２ｘ．十２．９２ｘ２＋１．６７ｘ３－１，１４ｘ４十，６５ｘ５十．．６．，６６，９（５３）．－－．，５５，７（５０），６４，４（７３），．. １４３.

(15) . 佐々木幸. 一. 表２０知能と学力の影響を除いた相関２恋 ′ １. 一 ÷ ．上ｎ４Ｑリ. ．１４．１０. 年. ２. ３. ４. ５. ６. ．０３. －．１１．１０. ．２２．２６. ．１７．１３. ．０５．０４．０４. ．０２２２．ｈＵ．２９ｒへＶハ－．０６．０４０１－．．０７ ▲ ４. 年. １. －．０７．０３．１３. ．０２. －，０４．１３. ．０４－．０７. ．１５－．０６. ．０３. １独創性得点表２平. 均. 標準偏差平均差. ＩＭ. ＩＦ. ２Ｍ. ２Ｆ. Ｉ. ２. Ｍ. Ｆ. Ｔ. ０．８９０．９５. ０．６９１．０５. ０．９１０．９９. １．０９１．１３. ０．８０１．００. １．０１１．０５. ０．９２０．９７. ０．８９１．１１. ０．９１１．０３. 有意差なし. 続いて，尤も吃， ……，為相互の間の相関関係から，知能と学力によって表される変動の影響を取り除くことを試みよう．２つの問題の得点が知能と学力の変量から共に影響を受け，本来この両得点に本質的でない見掛けの相関関係が形成されることがあるからで，方法は偏相関法を用いること. になる．表２０は，表１４及び表１５に示された相関行列から知能と学力の影響を除いた偏相関係数を表す（対角線の下が１年，上が２年に対するもの）が，これによれば全体に相関係数は０．１以内程. 度の小幅の減少を示すに止まり，例外的に０．１６の減少が見られるに過ぎない．特に２年では変量２，４間に０．０４の増加が見られる外，変量３と６，変量４と５，変量４と６には前後において変化がな. く（これは１年には見られない現象である），これらの一連の結果から，本調査に用いた問題は知能や学力との関係の少ない，換言すればこれらが表す能力と異なる能力を測る機能をもっといえるだろう．. ４．４独創性問題１，２，４，５に対しては，創造性テストにおける方法を踏襲して独創性得点を考えること. ９）の規準に従って妥当な解の内出現率がその学年内でができる．問題１，２，５においてはＢａｌｋａ，５％未満であったものについて１点，２％未満であったものについて１点を与えるまた問題４で. ．は，可能な１０種の解の内出現率第１０位のものが他と掛け離れて少ない発見数であったことに留意し，その出現率自体は１年で１５％，２年で１９％と他の問題の場合に比べて高率であるが，独創性得点１点を与えることにした．ここで４題における独創性得点の合計点を考えることにすると，１年ではその５１％が，また２年ではその３８％が０点であり，最高点は４点で両学年各１名である．平均及び標準偏差は表２１の通り. で何れの被験者区分の間にも有無の差は見られないが，学年差が示唆される外，２年女子が２年男子に対して優位にあるのが目立つ．また知能との間の相関係数は１年，２年でそれぞれ０．１９及び０．. １４，学力との間ではそれぞれ０．１６，－０．０２となり何れも低い値で，両者を比べれば知能との相関の方が僅かに高いが，この検査方法における独創性は知能偏差値や学力粗点とは殆んど関係がないといえる．. １４４.

(16) . 生徒の数学的能力の構成. ５．ま. と. め. 調査に用いた問題は，．問題３の②が見掛け上やや数学らしくないことを唯一の例外として，すべてが数学的な形態を備えた設問であると認めてよいであろう．それにも拘らず調査の結果は考察の各所で触れたように通常の知能や数学学力と一致しない場合が多い。その原因の可能性としては，. これらの設問の内容が本来学習によって習得される事柄で，それが学習されていないために，学習された内容についての達成を測る数学学力検査の結果とは異なるのであるという説明があり得るだろう，しかし，各問題を通して必要な事項はすべて基礎的なものに限られ，これが学習されていれば決定的に有利だという未習事項は見当らない，この理由から筆者は，この調査研究が生徒に潜在. する数学的能力を検出するという当初の目的に，少なくとも第１近似の意味で合致すると考える，各問題が如何なる数学的能力を測り得るかについては一応の推定をしてきたが，明らかでない点. が多い。しかし，例えば拡散的思考の要素が大きいと考えられる問題１と問題５，及び高度な思考力を要すると考えられる問題６では，学年による差が著しいという共通な点が見られる．１年間の. 学習経験の差によると考えるならば，この間に問題に対して有利になる事項を学習しているわけではないのだから，現在の教育内容と指導法が知識・技能の注入に終っているのではなく，数学的能力を実際高めていることになる。また他方ではこの現象を発達の過程と見る立場もあろう．何れにしても問題として残る所である。. 次に性差について考察する．調査の結果全体を通して統計的に性差が認められる場合は皆無だが，標本数を増すことによって有意の差が現れることを示唆する幾つかの場合があることは指摘してお. いた通りである．単純に平均の大小によって比較するとき，学年合併で女子が優るのは問題６の場合のみであるが，この問題の性格からみてこの事実は注目される。特に１年女子は他では問題３を除いてすべて１年男子より劣っているのに，この問題では男子より優るのである．また２年女子は. 問題１～問題６，及び独創性得点の中で，問題１と独創性において２年男子に差をつけ，問題５と問題６では同点を保っている．つまり２年女子が得意とするのは，拡散的思考に関わるもの，高度の集中・直観を要するもの，独創性を表すものについてであった．１年女子にこの傾向が強くは現れていないので，標本の偏りも考えられここでは事実の指摘に止めるが，興味のもたれる事柄である．. 調査の各問題が測る数学的能力の間に相異があることは，相関行列のデータから一応は肯定的に理解できそうであるが，この点については甚だ不透明な結果しか得られなかったし，数学的能力の構造に関わる問題であるので，大きな課題として残されることになる．. 終りに，資料の提供について協力を惜しまれなかった北海道教育大学附属旭川中学校の好意に対し厚く感謝の意を表する次第である。. １４５.

(17) . 佐々木幸. く注〉 ” ｉｌｉｉｖｉｉ１９７３ｔｙａｎｄＣｒｅａｔｔｙｉｎＭａｔｈｅｍａｔ）ｃｓｅｗｏｆＥｄｕｃ１）Ｌ．Ｒ．Ａｉｋｅｎ，“Ａｂｉ．４０５一４３２．．Ｒｅｓｅａｒｃｈ，ｐｐ，Ｒｅｖ，４３，（）９１９７６３一７２）佐伯卓也数学における創造性とその測定について日本教科教育学会誌第１巻第１号（．７，ｐｐ． ” ｔ “ ｉｉｉｔｙｉｎＭａｔｈｅｍａｔｉ３）ＪｌｓｏｆＣｒｅａｔｖ１９７５ｃｓ）．Ａ．Ｄｕｎｎ．Ｊ．Ｍａｔｈ．Ｅｄｕｃ．Ｓｃ，Ｔｅｓ，ｌｎｔ．Ｔｅｃｈｎｏ．．３２７－，６，（，ｐｐ３３２． “ ｉｏｎａｎｄＵｓｅｏｆａＴｅｓ４）Ｈ．Ｌ．ＰｒｏｕｓｅｔｔｉｎＡｓｐｅｃｔｔｆｉｖｉｔａｒｕｃｔｙｏｒｔｈｅＭｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｏｆＣｅｒｓｏｆＣｒｅａｔ，ＴｈｅＣｏｎｓ “ １９６４ｉｉＩＤｉｉｖ）ｎＳｅｖｅｎｔｈ ‐ＧｒａｄｅＭａｔｈｅｍａｔｃｓｓｓ．．ｏｆｌｏｗａ，（．，Ｄｏｃｔｏｒａ，Ｕｎ ” “１９６２ｉｖｉｌｌｉｇｅｎｃｅｌｔｙａｎｄｌｎｔ）５）Ｊｅｅｙ．Ｗ．ＧｅｔｚｅｌｓａｎｄＰ．Ｗ．ｊａｃｋｓｏｎ，Ｃｒｅａｔ．，（，Ｌｏｎｄｏｎ：Ｗｉ ”Ｅｘａｍｉｎａｔ ’ ’ ＭａｔｈｅｍａｔｉｄＡｉＴｉｔ１９６８ｔＮｏ１４（６）Ｄ．Ｓ．ＦｉｅｌｋｅｒｏｎｓａｎｓｓｅｓｓｍｅｎｃｓｅａｃｈｉａｎｇＰａｍｐｈｌ）ｅｓｏｃ，，，Ａｓｉｉ［ｔｏｎｏｆＴｅａｃｈｅｒｓｏｆＭａｔｈｅｍーａｔｃｓ．． ” ｓｅｓ ” ｉｎｇＭａｔｈｅｍａｔｉＩＴｈｉｎｋｉｉｌｉｉｌｆｔｔｈＧｒａｄｅＳｔｕｄｅｎｔ７）Ａ．Ａ．ＨｉａｔｔｓｎｇＡｂｃａｅｓｏｆＳｉｘｔｈｓ，Ａｓ，ＮｉｎｔｈａｎｄＴｗｅ，ＩＤｉｉ１９７０ｉｌｉｆｏｒｎｔｏｒａ（）ｓｓａｖ．．ｏｆＣａ．，Ｄｏｃ，Ｕｎ. ８）芝祐順行動科学における相関分析法（）１９７５，東京大学出版会．. “ “ １９４ｌｋａｌ９）Ｄ．ＳｉｉｔｌｉｏｐｍｅｎｔｏｆａｎｌｎｓｔｙｉｒｕｍｅｎｔｔｏｍｅａｓｕｒｅＣｒｅａｔｉｖｅＡｂｎＭａｔｈｅｍａｔｃｓ．Ｂａ，ＴｈｅＤｅｖｅ，，（７）ＤｏｃｔｏｒａＩＤｉＵｉｆ１ｉｉ６５ｓｓｎｖｏｓｕｒｓｏ．．，．ｐ．．. （本学教授・旭川分校）. １４６.

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