後期 期末試験（　２月　８日）類題と解答 （ kimatsu-10-1a

微積分

I (2010

年度前期)

期末試験類題

(理工学部共通)

1 次の関数の n 次導関数を求めよ。

《基本》

(1)√x (2) 1

x (3) e

x _{(4) log|x| (5) sin x (6) cos x}

《標準》

(7)√2x + 1 (8) 1

2x + 1 (9) e

2x _{(10) log|1 − x|}

(11) cos 2x (12) sin x cos x (13) sin2x (14) cos2_x

《応用》（ライプニッツの公式を用いて求めよ） (15) xex _{(16) x}2_e2x _{(17) x}2_{sin x} 2 次の関数にマクローリンの公式を適用して x4_{の項まで求めよ。但し剰余項は R} 5としてよい。 《基本》 (1) ex _{(2) sin x (3) cos x (4)}√_{1 + x (5)} 1 1 + x (6) log(1 + x) 《標準》 (7) e2x _{(8) e}x2 (9) x2_e2x _{(10) e}x_{+ e}−x _{(11) sin(2x)} (12) √ 1 1− x (13) √ 1− 2x (14) x√1 + x (15) log(1− x) (16) 1 1− x 《応用》 (17) sin2x (18) cos2_{x (19)} x 1− x2 3 次の極限を求めよ。 《基本》 (1) lim x→0 sin 3x x (2) limx→0 tan 3x tan 2x (3) limx→0 log(1 + x) x (4) limx→0 e−x− 1 x 《標準》 (5) lim x→+∞ x2 ex (6)_x→+∞lim x log x (7) limx→0 3x− 2x x (8) limx→0 x2 e2x− 1 − 2x (9) lim x→0 e−2x− 1 + 2x − 2x2 x3 (10) lim_x→0 1− cos x x2 (11) lim_x→0 1−x₂2 − cos x x4 (12) lim x_→0 √ 1− 2x − 1 + x x2 (13) lim_x→0 log(1 + x)− x + x₂2 x3 (14) lim_x→+0x log x 《応用》 (15) lim x→0 x− sin x cos x x3 (16) lim_x→+0x x _{(17) lim} x→+∞ x− sin x x 4 (i)《標準》次の関数の増減，凹凸，極大値，極小値を調べ，グラフの概形を描け。 (1) y = x3− x (2) y = x4− 5x2+ 4 (3) y = xe−x (4) y = e−x22 (5) y = x x2_{+ 1} (6) y = x √ 1 + x2 (ii)《標準》次の関数の増減，凹凸，与えられた区間における最大値，最小値を調べ，グラフの概形を描け。但 し (4) では x 軸との交点の座標を求めなくてもよい。 (1) y = x log x (x > 0) (2) y = ex_{sin x (−π 5 x 5 π)} (3) y = x +√1− x2 _{(−1 5 x 5 1) (4) y = x− 2 sin x (−π 5 x 5 π)} 5 《基本》次の方程式の異なる実数解の個数を求めよ。但し，k は実数の定数とする。 (1) x3+ k = 0 (2) x3+ 3x− k = 0 (3) x3− 3x2− k = 0 (4) x = ex (5) x = cos x

6 次の不定積分を求めよ。 《基本》 (1) ∫ xndx (n̸= −1) (2) ∫ 1 xdx (3) ∫ exdx (4) ∫ sin xdx (5) ∫ cos xdx (6) ∫ 1 cos2_xdx (7) ∫ 1 1 + x2dx (8) ∫ 1 √ 1− x2dx 《標準》 (9) ∫ (2x3− 3x + 3)dx (10) ∫ x√xdx (11) ∫ 1 3 √ x2dx (12) ∫ dx 2x + 1 (13) ∫ (2x + 1)10dx (14) ∫ e−2xdx (15) ∫ sinx 2dx (16) ∫ x cos(x2)dx (17) ∫ log x x dx (18) ∫ ex 1 + exdx (19) ∫ tan xdx (20) ∫ x x2_{+ 2}dx (21) ∫ dx x2_{+ 2} (22) ∫ dx x +√x (23) ∫ x sin xdx (24) ∫ log xdx (25) ∫ x log xdx (26) ∫ x− 4 x2_{+ x}− 2dx (27) ∫ x3_{+ 1} x2_{+ 1}dx (28) ∫ (1 + tan2x)dx (29) ∫ sin2xdx (30) ∫ cos2xdx (31) ∫ x2cos xdx (32) ∫ exsin xdx (33) ∫ x x2− 4x + 13dx (34) ∫ sin ( x−π 5 ) sin ( x + π 20 ) dx (35) ∫ cos x cos 2xdx 《応用》 (36) ∫ dx 1 + ex (37) ∫ dx sin(2x) (38) ∫ dx x3_{− 8} (39) ∫ dx √ x2_{+ 1} (40) ∫ dx √ x2− 2x + 2 (41) ∫ √ 1− x2_{dx (42)}∫ √−x2− 2xdx (43) ∫ sin−1xdx (44) ∫ tan−1xdx (45) ∫ dx x4_{− 1} (46) ∫ dx (x2_{+ 1)}2 (47) ∫ dx √ x +√3_x 7 (1)《基本》y = xeax が全区間 (−∞, +∞) で y′′− 2√2y′+ 2y = 0を満たすように，定数 a の値を定めよ。 (2)《標準》y = e√x+ e−√xが区間 x > 0 で xy′′+ ay′= 1 4yを満たすように，定数 a の値を定めよ。

8 (1)《基本》次の不等式が x > 0 で成り立つことを示せ。(a) 2x > sin 2x (b) cos 2x > 1− 2x2 (2)《基本》不等式 ex= 1 + x +x 2 2! + x3 3! が全ての実数 x に対して成立することを示せ。 また等号成立条件を求めよ。 (3)《標準》f (x) = x2_{+ 2xとする。05 a 5 1，b = 1 − a のとき，任意の実数 x, y に対して不等式}

f (ax + by)5 af(x) + bf(y) が成立することを示せ。また，等号成立条件を述べよ。 (4)《応用》0 < x < π 2 である実数 x に対して不等式 3 sin x 2 + cos x < x < 2 sin x + tan x 3 を示せ。 また，これを用いて円周率が 3.14 より大きいことを示せ。 9 《基本》関数 y(x) が y′′(x) = 2xを満たすとき次の問に答えよ。 (1) y′(x) = ∫ y′′(x) dxより y′(x)を求めよ。このときの積分定数を C とせよ。 (2)上で y′(1) = 0のとき積分定数 C の値を求めよ。 (3)上で y(x) = ∫ y′(x) dxより y(x) を求めよ。このときの積分定数を D とせよ。 (4)上で y(0) = 0 のとき積分定数 D の値を求めよ。 (5)以上のとき y(x) の極大値 M と極小値 m を求めよ。 10《応用》f (x) は無限回微分可能な関数とする。 (1) f (x)をマクロ−リン展開したときの x50の係数を求めよ。 (2) f (x) = x sin(2x)のとき f(50)_{(0)の値を求めよ。} (3) f (x) = x sin(2x)をマクロ−リン展開したときの x50の係数を求めよ。

11《応用》2 以上の自然数 n に対して，In= ∫ cosnxdxとする。 (1) I2を求めよ。 (2) In= ∫ cosn−1x cos xdxと表せることと部分積分を用いて，漸化式 In = 1 ncos n₋₁ x sin x + n− 1 n In−2が 成り立つことを示せ。 (3) (2)の漸化式を用いて，I4を求めよ。 12《応用》n を 3 以上の自然数として，半径1 2 の円に内接する正 n 角形の周の長さを Lnとする。 (1) Lnを n と π を用いて表せ。また， lim n_→∞Lnを求めよ。 (2) Lnが n について単調増加することを示せ。 13《応用》f (x) = tan−1xとする。n は自然数とする。 (1) (x2_{+ 1)f}′_{(x) = 1の両辺を n 階微分して (x}2_{+ 1)f}(n+1)_{(x) + 2nxf}(n)_{(x) + n(n− 1)f}(n−1)_{(x) = 0} を導け。 (2) f(n)_{(0)を求めよ。} (3) f (x)にマクローリンの公式を適用して x9の項まで求めよ。但し剰余項は R10としてよい。 14《応用》101 次関数 f (x) = 51x101_{− 2323x}100_{− 45x + 1035 = 0 について以下の問いに答えよ。} (1)不定積分 F (x) = ∫ f (x)dxを求めよ。但し F (0) = 0 であるとする。 (2)区間 [ 451001 , 46 ] の中に少なくとも 1 つ実数解を持つことを関数 F (x) に Rolle の定理を用いて示せ。 15《基本》質量 m の錘が空気抵抗のある系で落下運動をするとし下向きを正の方向に座標 x をとり，t = 0 で x = 0の位置から静かに錘を手離したとき t 秒後の錘の位置座標を x(t) とする。この錘は速度に比例した空気抵 抗力を落下方向と逆向きに受けて，その大きさは kdx(t) dt である。結果として錘の位置座標は g を重力定数とする と x(t) = mg k t− m2g k2 ( 1− e−mkt ) となることが知られている。但し m, k, g はいずれも時間に依存しない正の定 数とする。 (1) t秒後におけるこの錘の速度dx(t) dt を求めよ。 (2)速度が V となるときの t の値を，m, k, g, V のうち必要なものを用いて表せ。但し 0 < V <mg k とする。 (3) t秒後におけるこの錘の加速度d 2_x(t) dt2 を求めよ。また，これにより m d2_x(t) dt2 = mg− k dx(t) dt を満足する ことを確かめよ。 y x L O d/2 −d/2 A B P y 16 《基本》図のように接近した 2 本のスリットを 2 点 A ( 0,d 2 ) 及 び B ( 0,−d 2 ) に置く。この 2 つのスリットを波長 λ の単色光で照ら したところ，x = L にあるスクリーンに明暗の縞模様が現れた。こ のとき以下の各問に解答せよ。尚，d, λ, L はいずれも正の定数であ るとする。 (1) f (x) =√1 + xを微分せよ。 (2) f (x) =√1 + xをマクローリン展開すると， f (x) = a0+ a1x + R2である (R2は剰余項)。a0及び a1を求めよ。 (3)スクリーン上の点を P(L, y) とする。線分 AP 及び BP の 長さはそれぞれ次式で表される。 AP = √ L2₊ ( y−d 2 )2 = L √ 1 + ( y−d₂)2 L2 , BP = √ L2₊ ( y +d 2 )2 = L √ 1 + ( y +d₂)2 L2 スリット A,B から来る波が強め合うのは，AP と BP の長さの差が波長 λ の整数倍であるときであることが 知られている。強め合う (従って明暗の縞模様のうちの明るいほうが生じる) のは，n を整数として y =λL d nのときであることを示せ。但し d,|y|, λ は L に比べてはるかに小さいので f(x) = √ 1 + xは a0+ a1xとしてもよい。

17《標準》質量 m の錘がばね定数 k のばねに繋がれている。ばねの自然長における錘の位置を x = 0 として座 標を設定し，t 秒後の位置を x(t)，速度を v(t) = dx(t) dt とする。この錘の運動は，運動方程式 m d2_x(t) dt2 =−kx(t) に従うことが知られている。E = 1 2mv(0) 2₊1 2kx(0) 2 とする。但し，m, k はいずれも時間 t の依存性の無い正の 定数であるものとする。 (1) d dt ( 1 2mv(t) 2₊1 2kx(t) 2 ) を計算せよ。 (2)全ての t に対して，|x(t)| 5 √ 2E k が成立することを示せ。 18《標準》情報理論では事象の拡散の度合いを表すエントロピーという物理量を導入する。簡単のために 2 つの 排反な事象 1, 2 を考える。事象 1,2 のいずれか一方のみが必ず起こるので，事象 1 が起こる確率を x(0 < x < 1) と すれば，事象 2 が起こる確率は (1−x) である。これに対してエントロピーを f(x) = −x log2x−(1−x) log2(1−x) で定義する。エントロピーの最大値及びそのときの x の値を求めよ。 19《応用》電荷 q，質量 m の荷電粒子が z 軸下向きの方向の磁場 ⃗B = (0, 0, B)中を運動している。t 秒後に おける荷電粒子の座標 ⃗xが ⃗x = (x1(t), x2(t), x3(t)) = ( R cos ( Bq mt ) ,−R sin ( Bq mt ) , 0 ) で与えられるとする。 m, q, B, Rは時間 t に依存しない正の定数とする。 (1)速度ベクトルは ⃗v = (v1(t), v2(t), v3(t)) = ( dx1(t) dt , dx2(t) dt , dx3(t) dt ) で， 加速度ベクトルは ⃗a = (a1(t), a2(t), a3(t)) = ( d2_x 1(t) dt2 , d2_x 2(t) dt2 , d2_x 3(t) dt2 ) で与えられる。⃗v 及び ⃗a を求めよ。 (2)角運動量ベクトルは外積 ⃗L = m⃗x× ⃗v で与えられる。⃗L を求めよ。 (3)この荷電粒子には，ローレンツ力 ⃗F = q⃗v× ⃗Bが働くことが知られている。 ⃗Fを求めよ。 また，m⃗a = ⃗Fを満足することを確かめよ。

【 略 解 】 1 (1) 1· (−1) · (−3) · · · (−2n + 3) 2n x 1 2−n (2) (−1) n_n! xn+1 (3) e x ₍₄₎ (−1) n−1_{(n− 1)!} xn (5) sin(x +nπ 2 ) (6) cos(x + nπ 2 ) (7) 1· (−1) · · · (−2n + 3)(2x + 1) 1 2−n (8) (−2) n_n! (2x + 1)n+1 (9) 2 n_e2x ₍₁₀₎₋(n− 1)! (1− x)n (11) 2 n_{cos(2x +}nπ 2 ) (12) 2n−1sin(2x +nπ 2 ) (13)−2 n_{−1cos(2x +}nπ 2 ) (14) 2 n_{−1cos(2x +}nπ 2 ) (15) (x + n)e x (16) 2n−2{4x2+ 4nx + n(n− 1)}e2x (17){x2− n(n − 1)} sin(x +nπ 2 )− 2nx cos(x + nπ 2 ) 2 (1) 1 + x +x 2 2 + x3 6 + x4 24+ R5 (2) x− x3 6 + R5 (3) 1− x2 2 + x4 24+ R6 (4) 1 +1 2x− 1 8x 2₊ 1 16x 3₋ 5 128x 4_{+ R} 5 (5) 1− x + x2− x3+ x4+ R5 (6) x− x2 2 + x3 3 − x4 4 + R5 (7) 1 + 2x + 2x2+4 3x 3₊2 3x 4_{+ R} 5 (8) 1 + x2+ 1 2x 4_{+ R} 6 (9) x2+ 2x3+ 2x4+ R5 (10) 2 + x2+x 4 12+ R6 (11) 2x− 4 3x 3_{+ R} 5 (12) 1 + x 2 + 3 8x 2₊ 5 16x 3₊ 35 128x 4_{+ R} 5 (13) 1− x − 1 2x 2₋1 2x 3₋5 8x 4_{+ R} 5 (14) x + 1 2x 2₋1 8x 3₊ 1 16x 4_{+ R} 5 (15)−x − x2 2 − x3 3 − x4 4 + R5 (16) 1 + x + x2+ x3+ x4+ R5 (17) x2− 1 3x 4_{+ R} 6 (18) 1− x2+ 1 3x 4_{+ R} 6 (19) x + x3+ R5 3 (1) 3 (2) 3 2 (3) 1 (4)−1 (5) 0 (6) +∞ (7) log 3 2 (8) 1 2 (9)− 4 3 (10) 1 2 (11)− 1 24 (12)− 1 2 (13) 1 3 (14) 0 (15) 2 3 (16) 1 (17) 1 4 (i) (1) f′(x) = 3x2− 1、f′′(x) = 6x、x =−√1 3 で極大値 2√3 9 、x = 1 √ 3 で極小値− 2√3 9 、x = 0 で変曲点 (f (0) = 0)、x 軸との交点 x = 0,±1、y 軸との交点は原点 (2) f′(x) = 4x3− 10x、f′′(x) = 12x2− 10、x = 0 で極大値 4、x = ± √ 5 2 で極小値− 9 4、x =± √ 5 6 で変曲点 (f ( ± √ 5 6 ) = 19 36)、x 軸との交点 x =±1, ±2、y 軸との交点 y = 4 (3) f′(x) = (1− x)e−x、f′′(x) = (x− 2)e−x、x = 1 で極大値 1 e、極小値無し、x = 2 で変曲点 (f (2) = 2 e2)、 lim x→−∞f (x) =−∞、 limx→+∞f (x) = 0、x,y 軸との交点は原点 (4) f′(x) =−xe−x22 _、f′′_{(x) = (x}2− 1)e−x22_{、x = 0 で極大値 1、極小値無し、x =}±1 で変曲点 (f (±1) = √1 e)、 lim x→±∞f (x) = 0、x 軸との交点無し、y 軸との交点 y = 1 (5) f′(x) = 1− x 2 (x2_{+ 1)}2、f′′(x) = 2x(x2_{− 3)} (x2_{+ 1)}3 、x = 1 で極大値 1 2、x =−1 で極小値 − 1 2、x = 0,± √ 3で変曲点 (f (0) = 0、f ( ±√3 ) =± √ 3 4 (複号同順))、 limx→±∞f (x) = 0、x,y 軸との交点は原点 (6) f′(x) = 1 (x2_{+ 1)}32 、f′′(x) =− 3x (1 + x2₎52 、極大極小値無し、x = 0 で変曲点 (f (0) = 0)、 lim x_→±∞f (x) =±1(複 号同順)、x,y 軸との交点は原点

(ii) (1) f′(x) = log x + 1、f′′(x) = 1 x、極大値無し、x = 1 e で極小値− 1 e、変曲点無し、 lim x_→+0f (x) = 0、 limx_→+∞f (x) = +∞、最大値無し、最小値 m = f ( 1 e ) =−1 e、x 軸との交点は x = 1(x = 0 は定 義域で無いので原点は交点ではない) (2) f′(x) =√2exsin ( x + π 4 ) 、f′′(x) = 2excos x、x = 3π 4 で極大値 e3π4 √ 2、x =− π 4 で極小値− e−π4 √ 2 、x =± π 2 で変曲点 (f ( ±π 2 ) =±e±π2 _{(複号同順))、最大値 M = f} ( 3π 4 ) = e 3π 4 √ 2、最小値 m = f ( −π 4 ) =−e −π 4 √ 2 、x 軸と の交点 x = 0,±π、y 軸との交点は原点 (3) f′(x) = 1− √ x 1− x2、f ′′_{(x) = −} 1 (1− x2₎3 2 、x = √1 2 で極大値 √ 2、極小値無し、変曲点無し、最大値 M = f ( 1 √ 2 ) =√2、最小値 m = f (−1) = −1、x 軸との交点 x = −√1 2、y 軸との交点 y = 1 (4) f′(x) = 1− 2 cos x、f′′(x) = 2 sin x、x =−π 3 で極大値 √ 3−π 3、x = π 3 で極小値− √ 3 +π 3、x = 0,±π で 変曲点 (f (0) = 0、f (±π) = ±π (複号同順))、最大値 M = f (π) = π、最小値 m = f (−π) = −π、x 軸との交点 x = 0,±α(f (_π 3 ) < 0 < f (_π 2 ) なので π 3 < α < π 2 であるが一般に方程式 x = 2 sin x を解く事は出来ないので α の値は特に明示しなくてもよい。)、y 軸との交点は原点

5 (1) 1つ (2) 1つ (3)−4 < k < 0 のとき 3 つ，k = −4, 0 のとき 2 つ，それ以外のとき 1 つ (4)なし (5) 1つ

6 （積分定数略）(1) 1

n + 1x

n+1 _{(2) log|x| (3) e}x _{(4)− cos x (5) sin x (6) tan x (7) tan−1x} (8) sin−1x (9) 1 2x 4₋3 2x 2_{+ 3x (10)} 2 5x 2√_{x (11) 3}√3_{x (12)} 1 2log|2x + 1| (13) 1 22(2x + 1) 11 (14)−1 2e −2x _{(15)−2 cos}x 2 (16) 1 2sin(x 2_{) (17)} (log x)2 2 (18) log(1 + e x_{) (19)− log | cos x|} (20) 1 2log(x 2_{+ 2) (21) √}1 2tan −1(_√x 2 )

(22) 2 log(√x + 1) (23)−x cos x + sin x (24) x log x− x (25) x

2

4 (2 log x− 1) (26) 2 log|x + 2| − log |x − 1| (27) x2 2 − 1 2log(x 2_{+ 1) + tan}−1_{x (28) tan x} (29) x 2 − sin 2x 4 (30) x 2 + sin 2x 4 (31) (x 2_{− 2) sin x + 2x cos x (32)} e x 2 (sin x− cos x) (33) 1 2log(x 2_{− 4x + 13) +}2 3tan −1(x− 2 3 ) (34) √ 2x 4 − 1 4sin ( 2x−3π 20 ) (35) 1 2sin x + 1 6sin 3x (36) x− log(1 + ex) (37) 1 2log| tan x| (38) 1 12log|x − 2| − 1 24log(x 2_{+ 2x + 4)−} 1 4√3tan −1 x + 1_√ 3 (39) log(x +√x2_{+ 1) (40) log(x− 1 +}√_x2_{− 2x + 2) (41)} 1 2(x √ 1− x2_{+ sin}−1_x) (42) 1 2{(x + 1) √

−x2− 2x + sin−1_{(x + 1)}} _{(43) x sin}−1_{x +}√₁− x2 _{(44) x tan}−1_x−1

2log(1 + x 2₎ (45) 1 4log  x_{x + 1}− 1 −1₂tan−1x (46) 1 2tan −1_{x +} x 2(1 + x2₎ (47) 2 √ x− 3√3_{x + 6}√6_x− 6 log(_{1 +}√6_x) 7 (1) a =√2 (2) a = 1 2

8 (1) (a) f (x) = 2x− sin 2x とおいて，x = 0 での f(x) の増減を調べよ。 (b) (a) の結果に注意せよ。 (2) ex= 3 ∑ k=0 xk k! + R4で剰余項は R4= x4 4!e θx_{= 0(0 < θ < 1) である。等号成立は x = 0 のみ。} (3) (右辺)−(左辺)= a(1 − a)(x − y)2 。等号成立は x = y 又は a = 0, 1 のとき。

(4) f (x) = x(2 + cos x)− 3 sin x とすると，f(0) = f′(0) = f′′(0) = 0，f(3)_{(x) = x sin x > 0}

g(x) =2 sin x + tan x 3 − x とすると，g(0) = 0，g ′_{(x) =} (cos x− 1)2(2 cos x + 1) 3 cos2_x > 0 x = π 6 を代入すれば， 18 4 + 1.7321(= 3.1402· · · ) < 18 4 +√3 < πを得る。

9 (1) y′(x) = x2+C (2) C =−1 (3) y(x) = x 3 3 −x+D (4) D = 0 (5) M = y(−1) = 2 3, m = y(1) =− 2 3 10 (1) 1 50!f (50)_{(0) (2) 2}50_{· 5}2 ₍₃₎ 2 49 49! 11 (1) x 2 + sin 2x 4 (2)略 (3) I4= 3 8x + 3 16sin 2x + 1 4cos 3_{x sin x} ( =3 8x + 1 32sin 4x + 1 4sin 2x ) 12 (1) Ln= n sin π n, limn_→+∞Ln= π (2) f (x) = sin x x とすると，Ln = πf (_π n ) 。f′(x) = x cos x− sin x x2 で

g(x) = x cos x− sin x とすると g(0) = 0，g′(x) =−x sin x より 0 < x 5 π

3 で単調減少なので f ′_{(x) =} g(x) x2 < 0 13 (1)略 (2) f(2k)(0) = 0，f(2k−1)(0) = (−1)k−1(2k− 2)! (k は自然数) (3)1x−x 3 3 + x5 5 − x7 7 + x9 9 + R10 14 (1) F (x) = ∫ f (x)dx = 1 2x 102_{− 23x}101₋45 2 x 2_{+ 1035x (2) F (x) =}1 2x(x 100_{− 45)(x − 46) は F}(₄₅ 1 100 ) = F (46) = 0より，これに Rolle の定理を適用すると，451001 < c < 46で f (c) = F′(c) = 0を満たす c が存在する。 15 (1)dx(t) dt = mg k ( 1− e−ktm ) (2) t =−m k log ( 1−kV mg ) (3) d 2_x(t) dt2 = ge −kt m_{，左辺・右辺ともに mge}−ktm 16 (1) f′(x) = 1 2√1 + x (2) (a0, a1) = ( 1,1 2 ) (3) |AP − BP| = d|y| L = mλ (m = 0, 1, 2,· · · ) より 17 (1)運動方程式より mx′(t)x′′(t) + kx(t)x′(t) = 0 (2) x(t)2= 2 k ( E−1 2mx ′_(t)2 ) に注意せよ。 18 f′(x) = log2 ( 1 x− 1 ) より x =1 2 で最大値 1 をとる。 19 (1) ⃗v = ( −RBq m sin ( Bq mt ) ,−RBq m cos ( Bq mt ) , 0 ) ，⃗a = ( −RB2q2 m2 cos ( Bq mt ) ,RB 2_q2 m2 sin ( Bq mt ) , 0 ) (2) ⃗L =(0, 0,−R2Bq) (3) m⃗a = ⃗F = ( −RB2q2 m cos ( Bq mt ) ,RB 2_q2 m sin ( Bq mt ) , 0 ) 1_{マチンの公式 4 tan}−11 5− tan −1 1 239 = π 4 より，tan −1_{xを x−}x3 3 + x5 5 − x7 7 + x9 9 とすると，π = 3.141592682· · · を得る。