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§2.2. Ґ૬ۂ໘ͷجຊ܈

§2.3. Ґ૬ۂ໘ͷඃ෴ͱඃ෴ม׵܈

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§3.1. Ґ૬زԿʹ͓͚ΔίϗϞϩδʔ࣍ݩ

§3.2. Ґ૬ۂ໘ͷίϗϞϩδʔ࣍ݩ

§3.3. ਺ମͷίϗϞϩδʔ࣍ݩ

§4. ਺ମͱҐ૬ۂ໘ͷʮབྷ·Γ߹͍ͷݱ৔ʯɿ਺ମ্ͷ୅਺ۂઢ

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§1.2. ૉ਺౳ʹ෇ਵ͢Δ༷ʑͳڑ཭ͷ֓೦

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7

§1.3. ֦େମͱΨϩΞ܈

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܎਺ͷଟ߲ࣜʯʹஔ͖׵͑Δ͜ͱʹΑͬͯɺʮK ͕F ্ͰΨϩΞͰ͋Δʯͱ͍͏ੑ࣭Λఆ

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͜ͱ΋؆୯ʹূ໌Ͱ͖Δɻ໊শ͔Β΋ਪଌ͞ΕΔ௨ΓɺGal(K/F)ͱ͍͏ू߹ʹࣗવͳʮ܈

ߏ଄ʯ͕ೖΔɻҰൠʹू߹Gͷ্ͷʮ܈ߏ଄ʯͱ͸ɺ݁߹๏ଇΛຬͨ͢ʮ܈ԋࢉʯΛఆΊ Δࣸ૾

G×G → G

(g, h) → g·h

Ͱɺߋʹɺ୯Ґݩe ∈Gͷଘࡏʢʹͭ·Γɺg·e=e·g =g,∀g ∈Gʣͱٯݩͷଘࡏʢʹͭ

·Γɺ∀g ∈G, g·h = h·g= eΛຬͨ͢h ∈GͷଘࡏʣΛԾఆ͢ΔɻGal(K/F)ͷ৔߹ɺ σ, τ ∈Gal(K/F)ʹରͯ͠ɺࣸ૾ͷ߹੒

σ·τ : K −→^τ K −→^σ K ʹΑͬͯ܈ߏ଄ΛೖΕΔͷͰ͋Δɻ

࣍ʹ۩ମྫΛز͔ͭݟͯΈΑ͏ɻ·ͣɺQ(√

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i → −i

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2,√

−3) = Q(√³

2, ω); F ^def= Q(ω) ͱஔ͘ͱɺK ͕F ্ͰΨϩΞͰ͋Δ͜ͱ͸௚ͪʹ֬ೝͰ͖ɺ

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2 → √³

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2 → ω·√³ 2

ω → ω² ω → ω

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ʢͨͩ͠ɺid͸߃౳ࣸ૾ʣͱͳΔ͜ͱ͸؆୯ͳܭࢉʹΑͬͯ֬ೝ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ

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σ : Q → Q

ͰɺF ⊆Qʹ੍ݶ͢Δͱʮ߃౳ࣸ૾ʯʹͳΔ΋ͷͰ͋Δɻ·ͨɺ༗ݶͳΨϩΞ܈ͷͱ͖ͱ ಉ༷ʹɺࣸ૾ͷ߹੒Λߟ͑Δ͜ͱʹΑͬͯɺू߹Gal(Q/F)ʹࣗવͳ܈ߏ଄ΛೖΕΔ͜ͱ

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Gal(Q/F) Gal(K/F)

Λఆٛ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ͜ͷ४ಉܕ͸ʢʮʯͱ͍͏ه߸͕͍ࣔͯ͠ΔΑ͏ʹʣશࣹʢʹ

஋Ҭͷ͢΂ͯͷݩ͕૾ʹೖΔʣʹͳΔͨΊɺGal(K/F)ΛɺGal(Q/F)ͷ঎(quotient)ɺͭ

·ΓɺԿΒ͔ͷҙຯʹ͓͍ͯGal(Q/F)ΛʮͿͬͭͿ͢ʯ͜ͱʹΑͬͯߏ੒͞Εͨ΋ͷͱ ݟΔ͜ͱ͕Ͱ͖ΔɻٯʹɺF ͷʢΨϩΞʣ֦େମK Λಈ͔͢͜ͱʹΑͬͯɺGal(Q/F)Λɺ Ұछͷʮ܈ͷۃݶʯ=ʮٯۃݶʯ

Gal(Q/F) = lim←−_K Gal(K/F)

ͱࢥ͏͜ͱ͕Ͱ͖ΔɻҰํɺK ͱF ͱ͍͏ʮରʯʹఆ͕ٛຊ࣭తʹґଘ͢Δ༗ݶͳΨϩΞ

܈Gal(K/F)ͱҧͬͯɺG_F ^def= Gal(Q/F)ͱ͍͏܈͸ɺʢࣄ্࣮ʣ਺ମF ͚ͩͰఆٛͰ͖

Δ΋ͷͰ͋Δɻଈͪɺɹ

G_F ͱ͍͏܈͸ɺ਺ମF ʹ෇ਵ͢Δʮෆมྔʯ

ͱݟΔ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ͜ͷʮෆมྔʯG_F ͸ɺͦͷॏཁੑ͔ΒF ͷʮઈରΨϩΞ܈ʯͱݺ

͹Εɺ੔਺࿦Ͱ͸த৺తͳݚڀର৅ͷҰͭͱͳ͍ͬͯΔɻͨͩɺG_F Λఆٛ͢ΔͨΊʹ͸ɺ ಛఆͷ֦େମʮKʯΛࢦఆ͢Δඞཁ͕ͳͯ͘΋ɺ

֓೦ͷ্ʹ͓͍ͯʮ֦େମʯ΍ͦͷʮΨϩΞ܈ʯ͕ඞཁෆՄܽͰ͋Δ

͜ͱΛ๨Εͯ͸ͳΒͳ͍ɻ࠷ޙʹɺ͜Ε·ͰͷۃΊͯॳ౳తͳΨϩΞ܈ͷ࿩ͱҧͬͯʢNeukirch-

಺ాͷʣ೉͍͠ఆཧʢৄ͘͠͸[NSW], Theorem 12.2.1 ΛࢀরʣͰ͸͋Δ͕ɺ࣮͸ɺಉܕ Λআ͍ͯߟ͑Δͱɺ

਺ମF ͸ɺͦͷઈରΨϩΞ܈GF ʹΑͬͯ׬શʹܾఆ͞ΕΔ ͷͰ͋Δɻ

§2. Ґ૬ۂ໘্ͷྠମͱඃ෴

§2.1. ίϯύΫτͳҐ૬ۂ໘ͷఆٛͱछ਺

ຊઅʢ§2.1ʣ͔ΒҐ૬ۂ໘ͷزԿʹ͍ͭͯߟ࡯͢Δɻ·ͣఆ͔ٛΒ࢝Ί͍͕ͨɺʮҐ૬ ۂ໘ʯͱ͸ɺॳ౳తͳݴ༿Ͱ͍͏ͱɺہॴతʹ୯Ґԁ൫ͱಉܕͳʮزԿֶతର৅ʯʢʹਖ਼֬

ʹ͍͏ͱɺҐ૬ۭؒʣͷ͜ͱͰ͋Δʢਤ̎Λࢀরʣɻผͷݴ͍ํΛ͢Δͱɺ

୔ࢁͷ୯Ґԁ൫ͷίϐʔΛ࿈ଓʹషΓ߹ΘͤͯͰ͖ͨزԿֶతର৅Ͱ͋Δɻ ຊߘͰ͸ɺ௚ײతͳݴ༿Ͱ͍͏ͱɺجຊతʹ͸ແݶʹ޿͕ΔΑ͏ͳҐ૬ۂ໘Ͱ͸ͳ͘ɺԿ Β͔ͷҙຯʹ͓͍ͯʮ༗ݶͳʹ༗քͳ޿͕Γʯ͔࣋ͨ͠ͳ͍Α͏ͳҐ૬ۂ໘Λத৺ʹ࿩Λ ਐΊ͍ͨɻ਺ֶ༻ޠʹ຋༁͢Δͱɺ͜Ε͸ɺʮίϯύΫτʯͳҐ૬ۂ໘ʹ࿩Λݶఆ͢Δͱ͍

͏͜ͱͰ͋ΔɻʮίϯύΫτʯͳҐ૬ۂ໘S ͱ͸ɺແݶͳ఺ྻ

s₁, s₂, . . . , s_n, . . . ∈S

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هͷ఺ྻͷద੾ͳ෦෼ྻt₁, t₂, . . . , t_n, . . .∈S Λ࠾Ε͹ɺۃݶ

nlim→∞ tn = t

͕tʹऩଋΑ͏ͳ఺t∈S͕ଘࡏ͢Δͱ͍͏͜ͱͰ͋Δɻ

ਤ̎ɿ୯Ґԁ൫ͱہॴతʹಉܕͳҐ૬ۂ໘

ຊߘͰऔΓѻ͏Ґ૬ۂ໘ʹରͯ͠͸ɺίϯύΫτੑͷଞʹ΋΋͏Ұͭͷٕज़తͳ৚݅Λ

՝͍ͨ͠ɻͦΕ͸ɺʮ޲͖෇͚ՄೳͰ͋Δʯͱ͍͏৚݅Ͱ͋Δɻʮ޲͖෇͚Մೳʯ(orientable) ͳҐ૬ۂ໘͸ɺʮ؍࡯ऀʯ͕ۂ໘ͷͲͷ఺ʹཱ͍ͬͯͯ΋ɺͦͷ఺͔Βݟͯͷʮ࣌ܭճΓʯ ʢ͋Δ͍͸ʮ൓࣌ܭճΓʯʣͱ͍͏֓೦Λɺ఺Λ࿈ଓʹಈ͔ͨ͠ͱ͖ໃ६Λདྷ͢͜ͱͳ͘ఆ

ٛͰ͖Δۂ໘ͷ͜ͱͰ͋Δɻ͜Ε͸΍΍ٕज़తͳ৚͕݅ͩɺ੔਺࿦ɾ਺࿦زԿؔ܎Ͱ͸ɺগ ͳ͘ͱ΋௨ৗͷઃఆͰ͸ɺࣗવʹൃੜ͢ΔҐ૬ۂ໘͸ඞͣ޲͖෇͚ՄೳʹͳΔͨΊɺ͜ͷ

৚݅ʹ͍ͭͯ͸ຊߘͰ͸͜ΕҎ্࿦͡ͳ͍͜ͱʹ͢Δɻ؆୯ͷͨΊɺҎԼͰ͸ʮҐ૬ۂ໘ʯ ͱॻ͍ͨͱ͖͸ɺ޲͖෇͚ՄೳͳҐ૬ۂ໘Λҙຯ͢Δͱ͍͏͜ͱʹ͢Δɻ

Ґ૬زԿֶͷ͔ͳΓݹయతͳఆཧʹͳΔ͕ɺ࣮͸ɺίϯύΫτ͔ͭ࿈݁ʢʹڞ௨෦෼͕

ۭʹͳΔΑ͏ͳೋͭͷۭͰͳ͍։ू߹ͷ࿨ू߹ͱͯ͠දࣔ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖ͳ͍ʣͳҐ૬ۂ ໘͸ʮछ਺ʯʢ∈Nʣͱݺ͹ΕΔෆมྔʹΑͬͯ׬શʹ෼ྨ͞Ε͍ͯΔɻͭ·ΓɺಉܕΛআ

͍ͯߟ͑ΔͱɺʢίϯύΫτ͔ͭ࿈݁ͳʣ

Ґ૬ۂ໘͸ͦͷछ਺ʹΑͬͯ׬શʹܾఆ͞ΕΔ

ͱ͍͏͜ͱͰ͋Δɻछ਺0ͷʢίϯύΫτ͔ͭ࿈݁ͳʣҐ૬ۂ໘͸ʢॳ౳తزԿͰ͓ೃછ Έͷʣٿ໘Ͱ͋Δʢਤ̏Λࢀরʣɻछ਺g≥1ͷʢίϯύΫτ͔ͭ࿈݁ͳʣҐ૬ۂ໘ͷྫ͸

࣍ͷΑ͏ʹؼೲతʹߏ੒͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɿɹ ʢΞʣछ਺g−1ͷۂ໘ʹೋͭͷ݀Λ։͚ɺ ʢΠʣʢผͷʣछ਺0ͷۂ໘ʹೋͭͷ݀Λ։͚ɺ

ʢ΢ʣʢΞʣͱʢΠʣͷۂ໘ΛɺͦΕͧΕͷ݀ͷ෵ʹԊͬͯ๓͍߹ΘͤΔɻ

ࡉ͔͍࿩͕ͩɺ࣮͸ʮ๓͍߹ΘͤΔʯͱ͖ɺͦΕͧΕͷۂ໘ͷʮ޲͖෇͚ʯͱཱ྆తͳܗ Ͱ๓߹͠ͳ͍ͱ͍͚ͳ͍͕ɺຊߘͰ͸͜ͷΑ͏ͳٕज़తͳ఺ʹؔ͢Δৄ͍͠આ໌͸লུ͢

Δɻʮద੾ʯͳٕज़తͳ৚݅ͷԼͰ๓߹Λ࣮ߦ͢Δͱɺਤ̏Ͱࣔͨ͠Α͏ʹɺछ਺1ͷ৔߹

ʹ͸υʔφπͷද໘ͷΑ͏ͳܗΛͨ͠ۂ໘͕ग़དྷ্͕Γɺछ਺gͷ৔߹ʹ͸gݸͷυʔφ πͷද໘Λ਺चܨ͗ʹషΓ߹ΘͤͨΑ͏ͳܗΛͨ͠ۂ໘͕ग़དྷ্͕Δɻ

ਤ̏ɿछ਺0ʢʹٿ໘ʣ, 1, 2 ͷʢίϯύΫτͰ޲͖෇͚ՄೳͳʣҐ૬ۂ໘ ɹ

§2.2. Ґ૬ۂ໘ͷجຊ܈

Ґ૬ۂ໘ͷزԿΛௐ΂Δ্ʹ͓͍ͯ࠷΋ॏཁͳಓ۩ͷҰͭ͸جຊ܈Ͱ͋ΔɻʢίϯύΫτ

͔ͭ࿈݁ͳʣҐ૬ۂ໘Sͷجຊ܈Λఆٛ͢ΔͨΊʹ͸ɺ·ͣSͷ఺s∈S ΛҰͭબΜͰݻ ఆ͢Δඞཁ͕͋Δɻ͢ΔͱɺsΛج఺(basepoint)ͱ͢ΔS ͷجຊ܈(fundamental group)

π₁(S, s)

ͷԼ෦ू߹͸ɺ࢝఺΋ऴ఺΋s ʹͳΔΑ͏ͳด࿏ʹดಓ(closed path)Λɺʮ࿈ଓͳมܗʯ ʢʹ਺ֶ༻ޠͰ͍͏ͱɺϗϞτϐʔ(homotopy)ʣΛআ͍ͯߟ͑Δ͜ͱʹΑͬͯͰ͖Δಉ஋

ྨͷू߹ͱͯ͠ఆٛ͢ΔɻͦͷԼ෦ू߹ͷݩα, βʹରͯ͠ɺ࿏ͷ߹੒

α◦β

ʢͭ·Γɺ࿏βʹԊͬͯҠಈ͔ͯ͠Βɺ࿏αʹԊͬͯҠಈ͢Δ͜ͱʹΑͬͯͰ͖Δ࿏ʣΛର Ԡͤ͞Δ͜ͱʹΑͬͯπ₁(S, s)্ʹ܈ߏ଄ΛೖΕΔɻ͜Ε͕جຊ܈ͷʢ܈ͱͯ͠ͷʣఆٛ

Ͱ͋Δɻ

ҰൠʹɺG͕܈ͩͱ͢ΔͱɺGͷ܈ߏ଄ͱཱ྆తͳG͔ΒG΁ͷࣸ૾

σ: G →^∼ G

Ͱશ୯ࣹʹͳΔ΋ͷͷ͜ͱΛ܈Gͷࣗݾಉܕ(automorphism)ͱݺͼɺGͷࣗݾಉܕશମΛ Aut(G)

ͱ͍͏ه߸Ͱද͢ɻࣗݾಉܕͷ߹੒Λߟ͑Δ͜ͱʹΑͬͯɺAut(G)ͱ͍͏ू߹ʹ΋ࣗવͳ

܈ߏ଄͕ೖΔɻ܈Gͷݩh∈GΛҰͭ࠾ΔͱɺhʹΑΔʮڞ໾ʯ(conjugation) G g → h·g·h⁻¹ ∈ G

ʹΑͬͯɺAut(G)ͷݩγh ∈Aut(G)͕Ұͭఆ·ΔΘ͚͕ͩɺ͜ͷΑ͏ͳࣗݾಉܕγh ͱ͠

ͯੜ͡ΔAut(G)ͷݩͷ͜ͱΛ಺෦ࣗݾಉܕͱݺͼɺGͷ಺෦ࣗݾಉܕશମΛ

Inn(G) ⊆ Aut(G)

ͱ͍͏ه߸Ͱද͢ɻ·ͨɺσ, τ ∈ Aut(G)ʹରͯ͠ɺσ = τ ·γ ͱͳΔΑ͏ͳ಺෦ࣗݾಉܕ γ ∈ Inn(G)͕ଘࡏ͢Δͱ͖ɺσͱτ ͸ɺGͷಉҰͷ֎෦ࣗݾಉܕ (outer automorphism) ΛఆΊΔͱ͍͏ݴ͍ํΛ͢ΔɻGͷ֎෦ࣗݾಉܕશମ͸

Out(G)

ͱ͍͏ه߸Ͱද͢ɻ͜ͷOut(G)ͱ͍͏ू߹ʹ͸ɺ֎෦ࣗݾಉܕͷ߹੒ʹΑΓࣗવͳ܈ߏ

଄͕ೖΓɺ·ͨ೚ҙͷࣗݾಉܕʹରͯͦ͠ΕʹΑͬͯఆ·Δ֎෦ࣗݾಉܕʢʹࣗݾಉܕͷ Ұछͷಉ஋ྨʣΛରԠͤ͞Δ͜ͱʹΑͬͯʢInn(G)Λʮ֩(kernel)ʯͱ͢ΔΑ͏ͳʣࣗવ ͳ४ಉܕ

Aut(G) Out(G)

͕ఆ·Δɻ

ͯ͞Sͷجຊ܈ͷ࿩ʹ໭Ζ͏ɻπ₁(S, s)ͷఆٛ͸ج఺sͷબ୒ʹґଘ͢ΔΘ͚͕ͩɺ࣮͸ɺ

಺෦ࣗݾಉܕΛআ͍ͯߟ͑ΔΑ͏ʹ͢Δͱɺπ₁(S, s)͸ج఺sͷબ୒ʹґଘ͠ͳ͍

͜ͱ͸؆୯ʹࣔͤΔɻैͬͯɺ಺෦ࣗݾಉܕΛແࢹͯ͠࡞ۀͯ͠΋ߏΘͳ͍Α͏ͳɺଟ͘

ͷઃఆͰ͸ɺج఺ͷಛఆʹݴٴ͠ͳ͔ͬͨΓɺه߸ͷ্ʹ͓͍ͯ΋

π₁(S) ͱॻ͍ͨΓ͢Δ͜ͱ͕͋Δɻ

࠷ޙʹɺπ₁(S)ͱ͍͏܈ͷߏ଄ʹ͍ͭͯ΋͏গ͠ৄ͘͠આ໌͍ͨ͠ɻఆ্ٛɺS্ͷ೚

ҙͷด࿏͸ʢج఺ͷ໰୊Λແࢹ͢Ε͹ʣπ₁(S)ͷݩΛఆΊΔ͕ɺࣗ෼ࣗ਎ͱަΘͬͨΓ͠ͳ

͍ɺʮద੾ʯͳҙຯʹ͓͍ͯʮ͖Ε͍ʯͳྠମʢਤ̐ΛࢀরʣΛ࠾Δ͜ͱʹΑͬͯɺπ₁(S) ͱ͍͏܈ͷੜ੒ݩͷܥ(system of generators)

α₁, β₁, α₂, β₂, . . . α_g, β_g

ʢͨͩ͠ɺg͸Sͷछ਺Λද͢ͱ͢ΔʣΛߏ੒͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ͜ͷΑ͏ͳʮ͖Ε͍ʯͳ ੜ੒ݩͷܥͩͱɺҰͭͷʢൺֱత؆໌ͳʣؔ܎ࣜ

α₁·β₁·α⁻¹₁ ·β₁⁻¹·α₂·β₂·α⁻¹₂ ·β₂⁻¹·. . .·α_g·β_g·α⁻¹_g ·β_g⁻¹ = 1

͚ͩͰπ₁(S)ͷ܈ͱͯ͠ͷߏ଄͕׬શʹܾ·Δ͜ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔɻ

ਤ̐ɿҐ૬ۂ໘্ͷ୅දతͳྠମ

§2.3. Ґ૬ۂ໘ͷඃ෴ͱඃ෴ม׵܈

લઅʢ§2.2ʣͰ͸ɺด࿏ʹΑΔجຊ܈ͷఆٛʹ͍ͭͯղઆ͕ͨ͠ɺͦͷఆٛͩͱɺجຊ

܈ͱ੔਺࿦ͷਂ͍ؔ܎͕ͲͷΑ͏ʹͯ͠ੜ͡Δ͔ɺগͳ͘ͱ΋௚઀తʹઆ໌͢Δ͜ͱ͸͔

ͳΓࠔ೉Ͱ͋ΔɻҰํɺຊઅʢ§2.3ʣͰղઆ͢Δඃ෴ʹΑΔجຊ܈ͷఆٛΛ༻͍Δͱɺඇৗ

ʹಁ໌ͳܗͰ

جຊ܈ͱ੔਺࿦ʢʹ۩ମతʹ͸ɺ §1Ͱ঺հͨ͠ΨϩΞ܈ͷཧ࿦ʣΛؔ࿈෇͚Δ

͜ͱ͕ՄೳʹͳΔɻ

·ͣɺඃ෴ͷఆ͔ٛΒ࢝ΊΑ͏ɻS͕ʢίϯύΫτͱ͸ݶΒͳ͍ʣ࿈݁ͳҐ૬ۂ໘ͩͱ

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f : T → S

ͱ͸ɺҐ૬ۂ໘T ͔ΒS΁ͷ࿈ଓࣸ૾Ͱɺ࣍ͷʢʮہॴࣗ໌ੑʯͷʣ৚݅Λຬͨ͢΋ͷͰ

͋ΔɿSͷ೚ҙͷ఺s ∈Sͱͦͷ఺sͷे෼ʹখ͍͞։ۙ๣U ʹରͯ͠ɺU ⊆S΁ͷ੍ݶ ʹΑͬͯಘΒΕΔ࿈ଓࣸ૾ɹ

f|U : T|U → U

͸U ͷʢز͔ͭͷʣίϐʔͷ௚࿨ʹΑͬͯఆ·Δʮࣗ໌ͳඃ෴ʯ U → U

ͱಉܕʹͳΔɻU ͷίϐʔͷݸ਺͕༗ݶͳͱ͖ɺඃ෴Λʮ༗ݶ࣍ඃ෴ʯͱݺͼɺແݶͳͱ

͖͸ɺඃ෴Λʮແݶ࣍ඃ෴ʯͱݺͿɻ·ͨɺඃ෴T →Sʹରͯ͠ɺͦΕʹ෇ਵ͢Δʮඃ෴

ม׵܈ʯ

Aut(T /S)

͸࣍ͷΑ͏ʹఆٛ͞ΕΔɿAut(T /S)ͷݩσ

σ : T → T

͸ɺఆٛҬͱ஋ҬͷͦΕͧΕͷT ͷҐ૬ͱཱ྆తͳશ୯ࣹͰɺf =f◦σͱ͍͏৚݅Λຬͨ

͢΋ͷͰ͋Δɻ͜ͷఆٛ͸ɺʢ§1.3 Ͱղઆͨ͠ʣ

ΨϩΞ܈ͷఆٛͱܗࣜతʹΑ͘ࣅ͍ͯΔ

͕ɺ࣮ࡍɺT ͕࿈͔݁ͭ࣍ͷ৚݅Λຬͨ͢ͱ͖ɺඃ෴f :T → SΛʮΨϩΞͳඃ෴ʯͱݺ ͿͷͰ͋Δɿ্ड़ͷඃ෴ͷఆٛʹग़͖ͯͨU ͷίϐʔͷ௚࿨

U ʹରͯ͠Aut(T /S)Λ

࡞༻ͤͨ͞ͱ͖ɺίϐʔͨͪ΁ͷ࡞༻͕ਪҠత (transitive)ʹͳΔɺͭ·Γɺ೚ҙͷೋͭͷ ίϐʔ“U” ͱ “U” ʹରͯ͠ɺU ΛU ʹࣸ͢

U ⊇ U →^∼ U ⊆ U Α͏ͳσ ∈Aut(T /S)͕ඞͣଘࡏ͢Δɻɹ

ҰൠͷSͷ্Ͱ͸༷ʑͳ࿈݁ͳඃ෴͕͋ΒΘΕΔ͜ͱ͕͋Δ͕ɺͦͷதͰ΋ಛච͢΂͖

΋ͷͱͯ͠ɺʮීวඃ෴ʯͱݺ͹ΕΔಛผ͔ͭʢಉܕΛআ͍ͯʣҰҙʹܾ·Δඃ෴͕͋Δɻ

ීวඃ෴ɹ

S → S

͕ຬͨ͢ಛผͳੑ࣭͸࣍ͷ௨ΓͰ͋Δɿ೚ҙͷ࿈݁ͳඃ෴T →S͸ɺීวඃ෴S→S ͷ தؒඃ෴ͱͯ͠ੜ͡Δɺͭ·ΓɺS→S͸ɺ

S → T → S

ͷΑ͏ͳܗͷ߹੒ࣸ૾ͱͯ͠දࣔ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δʢਤ̑Λࢀরʣɻ͜ͷͱ͖ɺT ͕ΨϩΞ Ͱ͋ΔͱԾఆ͢Δͱɺ͜ͷதؒඃ෴ͱͯ͠ͷදࣔʹΑΓɺͦΕͧΕͷඃ෴ม׵܈ͷؒʹશ

ࣹͳ४ಉܕɹ

Aut(S/S) Aut(T /S)

͕Ҿ͖ى͜͞ΕΔɻ࣮͸ɺ಺෦ࣗݾಉܕΛআ͍ͯߟ͑ΔΑ͏ʹ͢Δͱɺ

ීวඃ෴ͷඃ෴ม׵܈Aut(S/S) ͸جຊ܈π₁(S)ͱࣗવʹಉܕʹͳΔɻ

͜ͷࣗવͳಉܕ

Aut(S/S) →^∼ π₁(S)

͸࣍ͷΑ͏ʹఆٛ͞ΕΔʢਤ̑Λࢀরʣɿπ₁(S)ͷݩΛఆΊΔS ্ͷด࿏α ͕༩͑ΒΕΔ ͱɺα͸ɺS্ͷʢҰൠʹ͸ด͍ͯ͡ͳ͍ʂʣ࿏αʹ্͕࣋ͪΔ͕ɺͦͷαͷ࢝఺Λऴ఺

ʹࣸ͢Α͏ͳσ ∈Aut(S/S)ʢ஫ɿσ ͷଘࡏ͸্ड़ͷਪҠੑΑΓ௚ͪʹै͏ʂʣ͸ɺ্هͷ

ࣗવͳಉܕʹΑͬͯαʹରԠ͍ͯ͠Δ

σ → α ͷͰ͋Δɻ

ਤ̑ɿҐ૬ۂ໘ͷ༗ݶ࣍ඃ෴ͱͦͷ্ʹ͋Δʢແݶ࣍ͷʣීวඃ෴

ීวඃ෴S→S ͸ɺҰൠʹ͸ʢྫ͑͹S ͕ʢίϯύΫτ͔ͭ࿈݁ͳʣछ਺g ≥1Ґ૬ ۂ໘ͷͱ͖౳ʣɺແݶ࣍ඃ෴ʹͳΔɻҰํɺ਺࿦زԿతͳઃఆͰ͸ɺ࣮͸ɺ༗ݶ࣍ඃ෴͔͠

ѻ͏͜ͱ͕Ͱ͖ͳ͍ɻैͬͯɺ਺࿦زԿతͳઃఆͰ͸ɺҐ૬زԿతͳઃఆͰ༻͍ΒΕΔج ຊ܈π₁(S)΍ඃ෴ม׵܈Aut(S/S) ͷ୅ΘΓʹɺͦͷ෭༗ݶ׬උԽͱݺ͹ΕΔ࣍ͷΑ͏ͳ ʮٯۃݶʯʢʹ §1.3ʹग़͖ͯͨʮٯۃݶʯͷ࿩Λࢀরʂʣ

π₁(S) ^def= _Qlim←−

π1

Qπ₁ →∼ _Qlim←−

Aut

Q_Aut

ʢͨͩ͠ɺQ_π1 ͸܈ π₁(S) ͷ༗ݶͳ঎ π₁(S) Q_π1 ΛɺQ_Aut ͸܈Aut(S/S) ͷ༗ݶͳ

঎ π₁(S) Q_π1 Λ૸Δͱ͢ΔʣΛ༻͍Δ͜ͱ͕ଟ͍ɻ͜ͷΑ͏ʹఆٛ͞Εͨ π₁(S)͸ɺ S ͷ෭༗ݶجຊ܈ͱݺͿɻઌఔͷதؒඃ෴ͷ࿩Ͱߟ͑ΔͱɺAut(S/S) ͷ৔߹ɺ༗ݶͳ঎

Aut(S/S) Q_Aut ͸ͪΐ͏ͲT ͕༗ݶ࣍ඃ෴ʹͳΔ৔߹ʹରԠ͍ͯ͠Δɻ

§3. ίϗϞϩδʔʹΑΔʮ࣍ݩʯͷఆٛ

§3.1. Ґ૬زԿʹ͓͚ΔίϗϞϩδʔ࣍ݩ

਺ֶͰ͸ɺʮۭؒͷ࣍ݩʯͱ͍͏௚ײతͳ֓೦ʹର༷ͯ͠ʑͳఆࣜԽͷ࢓ํ͕͋Δ͕ɺҐ ૬زԿֶͰ͸ɺίϗϞϩδʔՃ܈ʹΑΔख๏͕࠷΋جຊతͳΞϓϩʔνͰ͋ΔɻҰൠʹɺʢద

੾ͳٕज़త৚݅Λຬͨ͢ʣҐ૬ۭؒX ͱࣗવ਺nʹରͯ͠ɺn࣍ίϗϞϩδʔՃ܈(n-th cohomology module)

Hⁿ(X)

ͱݺ͹ΕΔՃ܈(module)ɺͭ·ΓɺՄ׵ͳ܈ԋࢉΛ࣋ͭ܈ΛରԠͤ͞Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻຊ ߘͰ͸ɺ͜ͷHⁿ(X)ͷݫີͳఆٛͷৄ͍͠આ໌͸লུ͢Δ͕ɺ୅දతͳྫΛڍ͛ΔͱɺX ͱͯ͠m࣍ݩٿ໘

S^m = {(x₁, x₂, . . . , xm+1)∈R^m+1 | x²₁+x²₂+. . .+x²_m+1 = 1} ⊆ R^m+1 Λ࠾༻͢ΔͱɺͦͷίϗϞϩδʔՃ܈͸࣍ͷΑ͏ʹͳΔɿ

Hⁿ(S^m) = Z ∀ n∈ {0, m} Hⁿ(S^m) = {0} ∀ n∈ {0, m}

ͭ·Γɺ͘͝ࡶͳݴ͍ํΛ͢Δͱɺ

n࣍ίϗϞϩδʔՃ܈͸ͪΐ͏ͲۭؒXͷதʹʮn ࣍ݩͷ݀ʯ͕ͲͷҐ͋Δ͔

Λଌ͍ͬͯΔ΋ͷͱݟΔ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ͜ͷΑ͏ͳྫΛ౿·͑ͯߟ͑ΔͱɺҰൠͷʢྫ͑

͹ɺ؆୯ͷͨΊɺίϯύΫτ͔ͭ࿈݁ͳʣXͷ৔߹ɺͦͷ࣍ݩdΛɺɹ H^d(X)={0}; Hⁿ(X) ={0} ∀ n > d Λຬͨ͢Α͏ͳdͱͯ͠ఆٛ͢Δ͜ͱ͸ࢸͬͯࣗવͰ͋Δɻ

Ͱ͸ɺ§2 Ͱߟ࡯ͨ͠ʢίϯύΫτ͔ͭ࿈݁ͳʣछ਺gҐ૬ۂ໘Sͷ৔߹ʹઌఔͷٞ࿦

Λద༻͢ΔͱͲ͏ͳΔ͔ɺߟ͑ͯΈ͍ͨɻ·ͣɺg= 0ͷ৔߹ɺS͸ʢ2࣍ݩʣٿ໘ʹͳΔ

ͨΊɺઌఔͷٞ࿦Λద༻͢Δͱɺͦͷʮ࣍ݩʯ͸͔֬ʹʢ௚ײ௨Γͷʣ2ʹͳΔɻҰํɺछ

਺g≥1ͷSͩͱɺ §2.1 Ͱݟ͖ͯͨΑ͏ʹɺʢෳ਺ͷʣٿ໘͔Βग़ൃ༷ͯ͠ʑͳʮషΓ߹

Θͤʯͷૢ࡞ʹΑͬͯߏ੒͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻࡉ͔͘ܭࢉ͢Δͱɺ͜ͷషΓ߹Θͤͷૢ࡞

ʹΑͬͯɺʮ1࣍ݩͷ݀ʯ͕୔ࢁ௥Ճ͞ΕΔ͜ͱʹͳΔ͕ɺʮ2࣍ݩͷ݀ʯ͸ɺٿ໘ͷ৔߹

ͱશ͘มΘΒͳ͍ɻͳ͓ɺn≥3ʹରͯ͠ɺʮn࣍ݩͷ݀ʯΛ௥Ճ͢ΔΑ͏ͳૢ࡞͸શ͘ݟ

౰ͨΒͳ͍͜ͱʹ஫໨͍ͨ͠ɻͭ·Γɺઌఔ঺հͨ͠ίϗϞϩδʔՃ܈ʹΑΔ࣍ݩͷఆٛ

Λద༻͢Δͱɺ೚ҙͷࣗવ਺g≥0ʹରͯ͠ɺ

छ਺gҐ૬ۂ໘ͷ࣍ݩ͸ɺ2ʹͳΔ

͜ͱ͕ؼ݁͞ΕΔɻ

§3.2. Ґ૬ۂ໘ͷίϗϞϩδʔ࣍ݩ

લઅʢ§3.1ʣͰ͸ɺίϗϞϩδʔՃ܈͸ʢҐ૬ʣۭؒX ʹରͯ͠ରԠͤ͞ΒΕΔ΋ͷͱ

ͯ͠঺հ͕ͨ͠ɺ࣮͸ɺద੾ͳزԿత৚݅Λຬۭͨؒ͢X ͷ৔߹ɺίϗϞϩδʔՃ܈͸

X ͷجຊ܈π₁(X)ͱ͍͏ந৅తͳ܈ͷΈʹΑͬͯఆ·Δ΋ͷͱͯ͠ఆٛ͢Δ͜ͱ͸Մೳ

Ͱ͋Δɻ͜ͷΑ͏ͳఆٛΛ༻͍Δͱʮn࣍܈ίϗϞϩδʔՃ܈ʯ(n-th group cohomology module) Hⁿ(π₁(X))ͱݺ͹ΕΔ΋ͷ͕ग़དྷ্͕ΓɺʢX͕ద੾ͳزԿత৚݅Λຬͨ͢ͱ͖ʣ

Hⁿ(π₁(X)) →^∼ Hⁿ(X)

ͷΑ͏ͳܗͷࣗવͳಉܕ΋ఆ·ΔɻલઅͰ͸ɺ௨ৗͷίϗϞϩδʔՃ܈͕ͲͷൣғͰফ͑

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2࣍܈ίϗϞϩδʔՃ܈H²(G)͸ɺ

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ͯ͞ɺҐ૬ۂ໘ͷ࿩ʹ໭Ζ͏ɻ࣮͸ɺຊߘͰ͸ৄࡉͳઆ໌ɺূ໌౳͸͠ͳ͍͕ɺ §2 Ͱ ߟ࡯ͨ͠ʢίϯύΫτ͔ͭ࿈݁ͳʣ

छ਺g≥1Ґ૬ۂ໘S ͷ৔߹ɺઌఔઆ໌ͨ͠܈ίϗϞϩδʔͷཧ࿦͸ద༻Մೳ

Ͱ͋Δɻͭ·ΓɺSͷίϗϞϩδʔՃ܈΍࣍ݩ͸ɺS ͷجຊ܈π₁(S)ͷΈΛ༻͍ͯଊ͑Δ

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§2.2 Ͱ͸ɺҐ૬ۂ໘S্ͷ୅දతͳྠମ΍ͦΕʹΑͬͯఆ·Δπ₁(S) ͷੜ੒ݩʹ͍ͭ

ͯղઆ͕ͨ͠ɺͦͷΑ͏ͳੜ੒ݩͨͪ͸ɺ࣮͸

H¹(π₁(S)) →^∼ H¹(S)

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ͨͪɹ

α₁, β₁, α₂, β₂, . . . α_g, β_g

͸ͪΐ͏Ͳͦͷ··H¹(S)ͷੜ੒ݩͷ଒ΛఆΊ͍ͯΔ͜ͱΛ؆୯ʹࣔ͢͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ·

ͨɺ §2.2Ͱߟ͑ͨੜ੒ݩͷؒͷؔ܎ࣜ

α₁·β₁·α⁻¹₁ ·β₁⁻¹·α₂·β₂·α⁻¹₂ ·β₂⁻¹·. . .·αg·βg·α⁻¹_g ·β_g⁻¹ = 1

͸ͪΐ͏Ͳͦͷ··ɺ

H²(π₁(S)) →^∼ H²(S) ∼= Z ͷੜ੒ݩΛఆΊ͍ͯΔͷͰ͋Δɻ

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͜ͷΑ͏ͳঢ়گΛɺΧοϓੵΛ༻͍ͯදݱ͢Δͱɺ࣍ͷΑ͏ͳ͜ͱ͕ؼ݁Ͱ͖ΔɿΧοϓੵ

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͸ͪΐ͏Ͳ্ड़ͷؔ܎ࣜʹΑͬͯఆ·ΔH²(−)ͷੜ੒ݩͱҰக͢ΔͷͰ͋Δɻͭ·ΓɺΧο ϓੵα₁

β₁ ͸ͪΐ͏Ͳ্ड़ͷؔ܎ࣜͷதͷʮα₁ͱβ₁͕ؔ܎͢Δ෦෼ʯΛநग़͍ͯ͠Δ ͱݟΔ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ

ਤ̒ɿʮॏෳ౓1ʯͰབྷ·Γ߹͏ɺҐ૬ۂ໘্ͷ୅දతͳྠମ

§3.3. ਺ମͷίϗϞϩδʔ࣍ݩ

܈ίϗϞϩδʔ͸ɺલઅʢ§3.2ʣͰऔΓ্͛ͨΑ͏ͳҐ૬ۂ໘ͷجຊ܈͚ͩͰͳ͘ɺ§2.3 Ͱղઆͨ͠Α͏ͳ෭༗ݶجຊ܈΍ §1.3Ͱ঺հͨ͠Α͏ͳ਺ମͷઈରΨϩΞ܈ʹରͯ͠΋ఆ

ٛ͢Δ͜ͱ͸ՄೳͰ͋Δɻ·ͨɺͦͷΑ͏ʹ͢Δ͜ͱʹΑͬͯ෭༗ݶجຊ܈΍਺ମͷઈର ΨϩΞ܈ʹ͍ͭͯ΋ɺ܈ίϗϞϩδʔʹΑΔʮ࣍ݩʯͷఆ͕ٛՄೳʹͳΔɻҐ૬ۂ໘ͷ৔

߹ɺͦͷʮ࣍ݩʯ͸௨ৗͷجຊ܈ͷ܈ίϗϞϩδʔͰఆٛ͠Α͏͕ɺ෭༗ݶجຊ܈ͷ܈ί ϗϞϩδʔͰఆٛ͠Α͏͕ɺશ͘ಉ͡਺ʹͳΔɻͭ·Γɺྫ͑͹ʢίϯύΫτ͔ͭ࿈݁ͳʣ छ਺g≥1Ґ૬ۂ໘ͷ৔߹ɺ࣍ݩ͸2ʹͳΔɻ

Ұํɺ೉͍͠ఆཧʢৄ͘͠͸[NSW], Proposition 8.3.17 ΛࢀরʣͰ͸͋Δ͕ɺi=√

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Ε͍ͳྠମʯʹΑΔ؆୯͔ͭ໌ࣔతͳੜ੒ݩͷ଒΍ؔ܎ࣜ͸ɺ਺ମͷઈରΨϩΞ܈ͷ৔߹

ʹ͸ɺ࢒೦ͳ͕Β஌ΒΕ͍ͯͳ͍ɻ͔͠͠ɺछ਺g≥ 1ͷҐ૬ۂ໘ͷجຊ܈ͱͷఆੑతͳ

ྨࣅੑʢʹ §3.1 ͷޙ൒ʹग़͖ͯͨʮ1࣍ݩͷ݀ʯ΍ʮ2࣍ݩͷ݀ʯʹؔ͢Δٞ࿦Λࢀরʂʣ Λࣔ͢୅දతͳ΋ͷͱͯ͠ΫϯϚʔ֦େ(Kummer extension)ͷΨϩΞ܈ͱ͍͏؆୯͔ͭ

ॳ౳తͳ۩ମྫ͕͋ΔͷͰ͜Εʹ͍ͭͯৄ͘͠આ໌͍ͨ͠ɻ

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Δɻ͜ͷͱ͖ɺ

K = F(^p

f) ⊆ Q

ͷΑ͏ͳ֦େମ͸F ͷΫϯϚʔ֦େͱݺͿɻҰํɺ1ͷݪ࢝p৐ࠜ

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L = F(ω) ⊆ Q

͸F ͷԁ෼֦େ(cyclotomic extension)ͱݺͿɻԁ෼֦େ͸ඞͣΨϩΞʹͳΔ͕ɺҰൠʹ

͸ΫϯϚʔ֦େ͸ΨϩΞ֦େʹͳΒͳ͍͜ͱ΋͋Δɻ͔͠͠ɺԁ෼֦େʹ্͕͔ͬͯΒఆ

ٛ͞ΕͨΫϯϚʔ֦େɺͭ·Γ

M = F(ω,^p

f) ⊆ Q

ͷΑ͏ͳ֦େମ͸ඞͣF ͷΨϩΞ֦େʹͳΔɻྫ͑͹ɺ§1.3ͰऔΓ্֦͛ͨେ‘K/Q’ʢʹ ຊઅͷه߸Ͱ͸ɺp = 3, f = 2, F = Q ͷ৔߹ʹ૬౰ʣ͸ਖ਼ʹ͜ͷΑ͏ͳܗͷΨϩΞ֦େ

ͷಛผͳ৔߹ʹ֘౰͢Δɻ

Ұൠͷpͱf ∈F ͷ࿩ʹ໭Ζ͏ɻ͜ͷ৔߹ɺGal(L/F)͸ҰͭͷݩͰੜ੒͞Εɺ͔ͭͦ

ͷݩͷҐ਺ʢʹͦͷݩΛn৐͢Ε͹୯ҐݩʹͳΔ࠷খͷ੔਺n≥1ʣ͕p−1ΛׂΔ਺ʹͳ Δ͜ͱ͸؆୯ʹࣔͤΔɻྫ͑͹ɺF Λݻఆ͠ɺૉ਺pΛಈ͔͢ͱɺ༗ݶݸͷྫ֎తͳpΛ আ͚͹ɺ͜ͷҐ਺ʢʹ[L:F]ʣ͸ඞͣͪΐ͏Ͳp−1ʹͳΔɻҐ਺͕ͲͷΑ͏ʹͳΖ͏ͱɺ

͜ͷΑ͏ͳGal(L/F)ͷੜ੒ݩ͸ɺʮK ʹ੍ݶͨ͠ͱ͖ɺ߃౳ࣸ૾idʹͳΔʯͱ͍͏৚݅

Λ՝͢ͱɺGal(M/F)ͷҐ਺[L:F]ͷݩ

σ ∈ Gal(M/F)

ʹҰҙʹ্࣋ͪ͛ΒΕΔ͜ͱ͸؆୯ʹࣔ͢͜ͱ͕Ͱ͖ΔɻҰํɺf ʹ՝ͨ͠৚݅ΑΓɺ Gal(M/L)͸ඞͣҐ਺pͷݩ

τ ∈ Gal(M/L) (⊆ Gal(M/F))

Ͱੜ੒͞ΕΔ܈ʹͳΔ͜ͱ͸௚ͪʹै͏ɻ؆୯ͷͨΊɺ[L : F] = p −1 Ͱɺ੔਺ n ∈ {1, . . . , p−1}͕ɺpΛ๏ͱֻ͚ͨ͠ࢉʹΑͬͯఆ·Δ܈

(Z/pZ)^{× def}= (Z/pZ) \ {0}

ͷੜ੒ݩʹͳ͍ͬͯΔͱԾఆ͠Α͏ɻ͢ΔͱɺʢσΛnʹରԠ͢ΔΑ͏ʹ࠾Ε͹ʣΨϩΞ܈

Gal(M/F)͸ͪΐ͏Ͳੜ੒ݩ

σ, τ ͱؔ܎ࣜ

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Ͱఆٛ͞ΕΔҐ਺ʢʹೱ౓ʣp(p−1)ͷ༗ݶ܈ʹͳΔɻ܈Gal(M/F)ɺ͋Δ͍͸GF ͷ܈

ίϗϞϩδʔʹؔ࿈෇͚ͯ੔ཧ͢Δͱɺ

ੜ੒ݩσͱτ ͸ਖ਼ʹͦͷH¹(−)ʹؔ܎͢Δݩ Ͱ͋Γɺ·ͨ

σͱτ ͷབྷ·Γ߹͍ํΛهड़͍ͯ͠Δʢ࠷ޙͷʣؔ܎ࣜ͸ɺ ɹ ͪΐ͏ͲH²(−)ͷੜ੒ݩʹରԠ͍ͯ͠Δ ͷͰ͋Δɻ

ਤ̓ɿԁ෼֦େͱΫϯϚʔ֦େ͕৫Γ੒͢ʮ਺࿦తͳॏෳ౓1ͷབྷ·Γ߹͍ʯ

ω j

ω k

ω i ω

f λ

ͭ·Γɺछ਺g≥1Ґ૬ۂ໘ͷཧ࿦ʢલઅ §3.2 ͷޙ൒ΛࢀরʣͱͷྨࣅͰ͍͏ͱɺ ੜ੒ݩσ, τ ͸ͪΐ͏Ͳੜ੒ݩαi, βiʹରԠ͍ͯͯ͠ɺ

·ͨ

σͱτ ͷབྷ·Γ߹͍ํΛهड़ͨؔ͠܎ࣜ͸

ͪΐ͏Ͳαi, βi ͨͪͷབྷ·Γ߹͍ํΛهड़ͨؔ͠܎ࣜʹରԠ͍ͯ͠Δ

ͱ͍͏;͏ʹղऍ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δʢʹ༷ʑͳ1ͷϕΩ৐ࠜ΍f ͷʮλϕΩͨͪʯΛࣔ͠

ͨਤ̓Λࢀরʣɻ

§4. ਺ମͱҐ૬ۂ໘ͷʮབྷ·Γ߹͍ͷݱ৔ʯɿ਺ମ্ͷ୅਺ۂઢ

§4.1. ਺ମ্ͷ૒ۂత୅਺ۂઢ

͜Ε·ͰຊߘͰ͸਺ମͱҐ૬ۂ໘ͷͦΕͧΕͷجૅతͳཧ࿦ʹ͍ͭͯղઆ͕ͨ͠ɺந৅

తͳྨࣅੑ͸ͱ΋͔͘ɺͦΕͧΕͷཧ࿦ʹ͍ͭͯ͸ݸผͷ΋ͷͱͯ͠ͷҐஔ෇͚ͰऔΓ্

͛ͨɻҰํɺ਺࿦زԿͷத৺తͳݚڀର৅ͷҰͭͰ͋Δ਺ମ্Ͱఆٛ͞Εͨ୅਺ۂઢʢʹ

ུͯ͠ʮ਺ମ্ͷ୅਺ۂઢʯʣʹ͍ͭͯߟ࡯͢Δͱɺ਺ମͷཧ࿦ͱҐ૬ۂ໘ͷཧ࿦ͷ྆ํ͕

ۃΊͯݫີ͔ͭ໌ࣔతͳܗͰਂؔ͘ΘΓ߹͍ͬͯͯɺͦͷؔΘΓ߹͍ͷ༷ࢠΛݚڀ͠ղ໌

͢Δ͜ͱʹΑͬͯ྆ऀͷߏ଄ʹؔ͢Δ༷ʑͳ৽͍͠஌ݟ͕ಘΒΕΔɻ

·ͣ͸ʮʢࣹӨʣ୅਺ଟ༷ମʯʹ͍ͭͯઆ໌͢Δඞཁ͕͋Δɻ੔਺n ≥ 1ʹରͯ͠ɺෳ

ૉ਺ମC্ͷʮn࣍ݩࣹӨۭؒʯ(n-dimensional projective space)͸࣍ͷΑ͏ͳಉ஋ྨͷ

ू߹ͱͯ͠ఆٛ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɿ

Pⁿ_C ^def= { (x₀, x₁, . . . , xn) ∈ Cⁿ⁺¹ }/∼ ʢͨͩ͠ɺಉ஋ؔ܎‘∼’͸

(x₀, x₁, . . . , x_n) ∼ (y₀, y₁, . . . , y_n)

⇐⇒ 0= ^∃λ∈C s.t. (x₀, x₁, . . . , xn) = (λ·y₀, λ·y₁, . . . , λ·yn)

ͱ͍͏;͏ʹఆٛ͞ΕΔʣɻʮࣹӨ୅਺ଟ༷ମʯ(projective algebraic variety) X ͱ͸ɺز

͔ͭͷɺʢn+ 1ݸͷෆఆݩʹؔ͢Δʣෳૉ਺܎਺ͷ੪࣍ଟ߲ࣜ(homogeneous polynomial) ɹ

{ f_i(T₀, T₁, . . . , T_n) }i∈I

ʢͨͩ͠ɺI ͸೚ҙͷू߹Ͱɺʮ੪࣍ଟ߲ࣜʯͱ͸ɺ͢΂ͯͷ߲ͷ࣍਺͕Ұக͢Δଟ߲ࣜͷ

͜ͱʣͷڞ௨ͷྵ఺શମ͔ΒͳΔPⁿ_Cͷʢดʣ෦෼ू߹Ͱ͋ΔɻຊߘͰ͸ɺʮಛҟ఺ʯΛ࣋

ͨͳ͍ɺ͍ΘΏΔʮ׈Β͔ʯͳʢࣹӨʣ୅਺ଟ༷ମ͔͠ొ৔͠ͳ͍ɻʢࣹӨʣ୅਺ଟ༷ମʹ ରͯ͠ɺͦͷʮ࣍ݩʯͱ͍͏֓೦Λఆٛ͢Δ͜ͱ͸Մೳ͕ͩɺ͜ΕΛਖ਼͘͠ఆٛ͢ΔͨΊ ʹ͸΍΍ߴڃͳʮՄ׵؀࿦ʯ͕ඞཁʹͳΔͨΊɺຊߘͰ͸ৄ͘͠આ໌͠ͳ͍ɻͨͩɺຊߘ Ͱ͸جຊతʹ͸࣍ݩ1ͷ׈Β͔͔ͭ࿈݁ͳࣹӨ୅਺ଟ༷ମɺͭ·Γʮ୅਺ۂઢʯ(algebraic

curve)͔͠ొ৔͠ͳ͍ɻ࣍ʹɺCͷ෦෼ମF ⊆C͕༩͑ΒΕͨͱ͠Α͏ɻઌఔͷఆٛʹग़

͖ͯͨ੪࣍ଟ߲ࣜͨͪ{f_i}i∈I ͕͢΂ͯF ʹ܎਺Λ࣋ͭଟ߲ࣜʹ࠾ΕΔͱ͖ɺʢࣹӨʣ୅਺

ଟ༷ମX ʹରͯ͠ʮF ্Ͱఆٛ͞ΕΔʯ ͱ͍͏ݴ͍ํΛ͢Δɻɹ

ྫ͑͹ɺn= 2ͷͱ͖ɺP²_CΛʮࣹӨฏ໘ʯͱݺͿ͜ͱ΋͋Δ͕ɺࣹӨฏ໘ͷ৔߹ɺҰͭ

ͷʢద੾ͳ৚݅Λຬͨ͢ʣ੪࣍ଟ߲ࣜ

f(T₀, T₁, T₂)

ʹΑͬͯ୅਺ۂઢ͕ఆ·Δɻ͜ͷ৔߹ɺʮ׈Β͔ʯͱ͍͏ੑ࣭͸ɺͦͷଟ߲ࣜͷภඍ෼ͨͪ

∂f

∂T₀, ∂f

∂T₁, ∂f

∂T₂

ͱf ͷڞ௨ͷྵ఺͸(0,0,0)͔͠ͳ͍ͱ͍͏৚݅ʹରԠ͍ͯ͠Δɻྫ͑͹ɺ༗໊ͳʮϑΣ ϧϚͷํఔࣜʯ

f(T₀, T₁, T₂) = T₀^d+T₁^d−T₂^d

ʢͨͩ͠ɺd≥1͸੔਺ʣ͸ʢ؆୯ʹ֬ೝͰ͖ΔΑ͏ʹʣ͜ͷ৚݅Λຬ͍ͨͯ͠ΔͨΊɺʢQ

্Ͱఆٛ͞ΕΔʂʣ׈Β͔ͳ୅਺ۂઢΛఆΊ͍ͯΔɻ Ұൠͷnͷ࿩ʹ໭Ζ͏ɻ୅਺ۂઢ

X ⊆ Pⁿ_C

͕༩͑ΒΕͨͱ͠Α͏ɻ͜ͷ୅਺ۂઢͷʮ୅਺ߏ଄ʯʢʹPⁿ_C ͷத΁ͷຒΊࠐΈ΍ɺX ͷఆ

ٛʹ༻͍ΒΕͨ੪࣍ଟ߲ࣜͨͪʣΛ๨ΕͯɺԼ෦ͷҐ૬ۭؒͷΈߟ͑ΔΑ͏ʹ͢Δͱɺ

ͦͷҐ૬ۭ͕ؒʢίϯύΫτ͔ͭ࿈݁ͳʣछ਺g≥0Ґ૬ۂ໘ʹͳΔ͜ͱ

͸ൺֱత؆୯ʹࣔ͢͜ͱ͕Ͱ͖Δɻछ਺g͕2Ҏ্ʹͳΔ৔߹͸ಛʹॏཁͰɺͦͷ৔߹ʹ

͸୅਺ۂઢXΛ૒ۂత୅਺ۂઢ(hyperbolic algebraic curve)ͱݺͿɻྫ͑͹ɺࣹӨฏ໘ͷ

৔߹ɺXͷఆٛํఔࣜf ͷ࣍਺͕dͩͱ͢Δͱɺ࣍ͷΑ͏ͳެࣜ

g = 1

2(d−1)(d−2)

͸ॳ౳త୅਺زԿֶΛ༻͍Δ͜ͱʹΑͬͯ؆୯ʹূ໌͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻͭ·ΓɺX ͷ૒

ۂੑ͸d≥4ͱ͍͏৚݅ͱಉ஋ʹͳΔɻ

Ґ૬ۂ໘ͷ৔߹ɺ§2.3Ͱղઆͨ͠ීวඃ෴ͷΑ͏ͳʢҰൠʹ͸ແݶ࣍ͷʣඃ෴౳ɺ༷ʑ ͳඃ෴͕ଘࡏ͢ΔΘ͚͕ͩɺ

ଟ߲ࣜͰఆٛ͞ΕΔʮ୅਺తͳੈքʯʹཹ·Ζ͏ͱ͢Δͱɺ

༗ݶ࣍ͷඃ෴͔͠ѻ͏͜ͱ͕Ͱ͖ͳ͍ɻ

ͭ·Γɺ୅਺ۂઢXʹΑͬͯఆ·ΔҐ૬ۂ໘ͷʢ࿈݁ͳʣ༗ݶ࣍ඃ෴͸ɺݩͷXͱಉ༷ɺ

୅਺ۂઢͱͯࣗ͠વʹఆٛ͞ΕΔ͕ɺແݶ࣍ඃ෴ʹ͍ͭͯ͸ಉ༷ͳੑ࣭͸੒ཱ͠ͳ͍ɻ

୅਺ۂઢXͷ༗ݶ࣍ͷඃ෴͕୅਺తʹఆٛ͞ΕΔͱ͍͏͜ͱ͸ɺ§2.3ͰऔΓ্͛ͨʮ෭

༗ݶجຊ܈ʯ ‘π₁(−)’ ͸X ʹΑͬͯఆ·ΔҐ૬ۂ໘ʹରͯ͠ఆٛͰ͖ɺ͔͠΋ͦΕΛɺ

͋Δ୅਺ۂઢͷ଒ʹग़ͯ͘Δ

ͦΕͧΕͷ୅਺ۂઢͷʢ༗ݶͳʂʣඃ෴ม׵܈ͨͪͷ੒͢

ܥͷٯۃݶͱͯ͠ѻ͏͜ͱ͕Ͱ͖Δ ͱ͍͏͜ͱͰ͋Δɻ͜ͷ෭༗ݶجຊ܈Λ

π₁(X)

ͱද͢͜ͱʹ͢Δɻ

࣍ʹɺX͕਺ମ F ্Ͱఆٛ͞Ε͍ͯΔͱ͠Α͏ɻ͢Δͱɺઌఔͷʮ୅਺ۂઢͷ଒ʯʹ

ొ৔͢Δ֤ʑͷ୅਺ۂઢͨͪ΋ɺʢF ্Ͱఆٛ͞ΕΔͱ͸ݶΒͳ͍͕ʣF ͷద੾ͳ༗ݶ֦࣍

େʢ⊆Qʣͷ্Ͱఆٛ͞ΕΔ͜ͱ͸؆୯ʹࣔͤΔɻैͬͯɺF ͷઈରΨϩΞ܈GF Λɺ͜

ΕΒͷ୅਺ۂઢͷఆٛํఔࣜͨͪʹ͋ΒΘΕΔ܎਺ͨͪʢʹQͷݩʂʣʹ࡞༻ͤ͞Δ͜ͱ ʹΑͬͯɺGF Λ্ड़ͷʮ୅਺ۂઢͷ଒ʯʹ࡞༻ͤ͞Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δʢਤ̔Λࢀরʣɻ

ਤ̔ɿ਺ମͷઈରΨϩΞ܈͸Ґ૬ۂ໘ͷ෭༗ݶجຊ܈ʹࣗવʹ֎࡞༻͢Δ

෭༗ݶجຊ܈π₁(X)͸ɺݫີʹ͍͏ͱ಺෦ࣗݾಉܕΛআ͍͔ͯ͠ఆٛ͞Εͳ͍΋ͷͳͷ Ͱɺ͜ͷΑ͏ͳG_F ͷʮ֎࡞༻ʯ(outer action)ʹΑͬͯ

ρ_X : G_F → Out(π₁(X))

ͷΑ͏ͳܗͷࣗવͳ४ಉܕʹʮ֎෦දݱʯ(outer representation) ͕ఆ·Δɻ͜ͷG_F ͷ

π₁(X)΁ͷ֎࡞༻͸ɺ

. . .

G F

外作用

਺ମͷ਺࿦ʢʹG_FʣͱҐ૬ۂ໘ͷҐ૬زԿʢʹ෭༗ݶجຊ܈π₁(X)ʣͱ͍͏ɺ Ұݟશ͘ҟ࣭ͳೋछྨͷ਺ֶతߏ଄Λؔ࿈෇͚Δ

ॏཁͳݚڀର৅Ͱ͋Δɻɹ

§4.2. ෭༗ݶجຊ܈΁ͷઈରΨϩΞ܈ͷ஧࣮ͳ֎࡞༻

લઅʢ§4.1ʣͷ֎෦දݱρ_X ʹ͍ͭͯ͸༷ʑͳ֯౓͔Βଟछଟ༷ͳݚڀ͕ߦͳΘΕ͍ͯ

Δ͕ɺρX ʹ͍ͭͯ஌ΒΕ͍ͯΔ࠷΋جຊతͳࣄ࣮ͷҰͭ͸࣍ͷ݁Ռʢ[HM], Theorem C ΛࢀরʣͰ͋Δɻ

ఆཧɿ਺ମF ্Ͱఆٛ͞ΕΔ૒ۂత୅਺ۂઢXʹ෇ਵ͢Δࣗવͳ֎෦දݱ ρ_X : G_F → Out(π₁(X))

͸୯ࣹʹͳΔɻ

ಉछͷʮ୯ࣹੑʯʹؔ͢Δఆཧ͸ɺʮ͕݀։͍͍ͯΔʯʹʮίϯύΫτͰͳ͍ʯ૒ۂత

୅਺ۂઢͷ৔߹ʹ͸ɺطʹ[Mtm]Ͱূ໌͞Ε͍ͯͯɺ[Mtm]΋[HM]΋ɺҰ൪࠷ॳʹBelyi ࢯʹΑͬͯൃݟ͞ΕͨɺࣹӨ௚ઢP¹ ͔Βࡾ఺Λൈ͍ͯಘΒΕΔ૒ۂతۂઢͷ৔߹ͷ୯ࣹ

ੑʹؼணͤ͞Δ͜ͱʹΑͬͯΑΓҰൠతͳ૒ۂత୅਺ۂઢͷ৔߹ͷ୯ࣹੑΛূ໌͍ͯ͠Δɻ Ұํɺ্هͷ ఆཧ ͷΑ͏ʹίϯύΫτͳ૒ۂత୅਺ۂઢͷ৔߹ʹ͜ͷछͷ୯ࣹੑΛࣔ͢͜

ͱͷҙٛ͸ɺ §3.2ٴͼ §3.3 Ͱղઆͨ͠Α͏ʹɺ

ίϯύΫτͳछ਺gͷҐ૬ۂ໘ͱ਺ମͷઈରΨϩΞ܈ʹ͸ɺ ʮೋ࣍ݩతͳ܈࿦తབྷ·Γ߹͍ʯͱ͍͏

ਂ͍ߏ଄తྨࣅੑ͕͋ΓɺͦͷΑ͏ͳྨࣅੑΛ࣋ͭɺҰݟશ͘ҟ࣭ͳ

਺࿦తͳର৅ͱҐ૬زԿֶతͳର৅Λؔ࿈෇͚͍ͯΔ͜ͱʹ͋Δɻ

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