Grothendieck による遠アーベルセクション予想について

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Grothendieck による遠アーベルセクション予想について

星裕一郎

^∗

京都大学数理解析研究所

本稿は,筆者が2011年8月11日に第56回代数学シンポジウムで行った講演“Grothendieck による遠アーベル^*1*2 セクション予想について”の内容をまとめたものである. §1では数論的基本群という概念についての解説,§2では遠アーベルセクション予想についての解説,§3では[Hsh]の主結果の解説が与えられている.

筆者の知る限り, つい最近までそのような解説的文献はあまりなかったように思われるが, 2010 年 10 月にMohamed Sa¨ıdi 氏が[Sa¨ıdi2] “Around the Grothendieck Anabelian Section Conjecture”, 2011 年1月に Jakob Stix ^氏が [Stx4] “Evidence for the section conjecture in the theory of arithmetic fundamental

groups”^という,遠アーベルセクション予想を主題とした解説的文献を発表した. 遠アーベルセクション予想に

ついてより詳しいことを知りたい読者は,これらを参考にしていただきたい. [^特に,^本稿では, ^{講演で行ったよ} うな遠アーベルセクション予想に関するこれまでの研究についての説明はほとんど与えられていないので, ^そのような事柄に興味のある読者は是非これらを参考にしていただきたい.] [Stx4]^の§22.4にも,^{本稿で解説をする} [Hsh]の主結果の解説が与えられている. ^また, Anna Cadoret^{氏による原稿} [Cdr]^{にもその解説があり}, ^本稿ではp進局所体上での本稿定理3.1の証明の概略は与えられていないが, [Cdr]ではその証明の概略も与えられている.

最後に, 本稿の他に, 日本語で読むことのできる遠アーベル幾何学の解説的文献として, [和文解説1], [和文解説2], [和文解説3], [和文解説4], [和文解説5], [和文解説6] を紹介する. [ただし, これらの文献には, 遠アーベルセクション予想についての記述はあまりない.] 特に, [和文解説2]は, この分野の先駆者であり大家である中村博昭氏,玉川安騎男氏,望月新一氏によって書かれた解説記事であり,筆者がこの分野への入門を決めるきっかけとなった記事である.

謝辞

第56回代数学シンポジウムの運営にご尽力なさった関係者の皆様, また,筆者に講演の依頼をくださった山崎隆雄さんに感謝をいたします.

第56回代数学シンポジウムで講演をなさった黒川信重先生は, [2003^年度の]東京工業大学での筆者の指導教官でした. ^{どのような状況},どのようなニュアンスであったか,思い出すことができませんが,^{筆者が学部学生で} あったそのときに黒川先生から“何か具体的な問題を持って数学をした方が良い”というような内容のお言葉をいただき^*3, それによって筆者が採用した具体的な数学の問題の1^つが,^{本稿で解説をする}“^{遠アーベルセク} ション予想”^でした. ^{この場をお借りして},黒川信重先生に感謝申し上げます.

筆者の研究は,^{科学研究費}[^若手研究(B), no. 22740012]^{の助成を受けています}.

∗[email protected]

*1本稿は“非日本人の人名はアルファベットで表記する”という規則のもとで書かれているが, “遠Abel”という表記にとうとう馴染

めなかったため, “遠アーベル”の“アーベル”についてのみ,その例外とさせていただいた.

*2講演中に確認をしたとおり, “anabelian”の訳語としての“遠アーベル”は中村博昭氏によるものだそうである.

*3筆者がそのご発言の意図を勘違いしている可能性は否定できません. しかし,少なくともそのような内容のご発言をなさった可能性があることは,研究集会直後,黒川先生ご本人に確認しました.

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0 _記号 · ^用語

本稿では,Primes をすべての素数からなる集合,Qをすべての有理数からなる体,Rをすべての実数からなる体,C をすべての複素数からなる体とする. ^また, p∈Primes に対して,Q_p を体Qのp^{進位相に関する完} 備化として得られる位相体とする.

Qの有限次拡大体と同型であるような体を数体と呼ぶ. また,p∈Primesに対して,Q_p の有限次拡大体と同型であるような体をp進局所体と呼ぶ.

1 _{数論的基本群}

§1では, 数論的基本群という概念についての解説を行う. 従来の“代数的位相幾何学における基本群”が, 連結な位相空間とその上の基点というペアに対して定義される群であることと同様に, “数論的基本群”は, [局所

Noether^的な]連結スキームとその上の[^幾何学的]点というペアに対して定義される[^副有限な]^群である. ^位相

的基本群とは,^{大雑把に言えば},与えられた基点を始点終点とする位相空間上の道のホモトピー同値類全体に適切な群構造を与えて群とみなしたものである. ^この群は, 位相空間がある性質を満たす場合には,^{その位相空間} の普遍被覆空間の被覆変換群と自然に同型となる. ^従って, ^{この同型を用いて},^{位相的基本群を}[^{少なくともその} ある性質を満たす位相空間に対しては] “その位相空間の普遍被覆空間の被覆変換群”として定義することもできる. ^{数論的基本群は},^{前者の方法ではなく}, ^つまり,与えられた空間の上の道を用いて定義をするのではなく, 後者の方法によって,^つまり,普遍被覆空間の被覆変換群として定義される. ^そして,それを実行するために考えなければならない位相空間に対する“[^有限次]^被覆空間”という概念のスキームに対する類似は, “^{有限エタール} なスキーム”という概念である.

局所Noether的な連結スキームX とその幾何学的点x を与える. Y →X をX 上有限でエタールなスキー

ム,Y(x)を射x のY への持ち上げ全体のなす集合^*4 とすると,Y(x)は有限集合となる. 従って, X 上有限でエタールなスキームY →X を全て考えることで有限集合の射影系lim←−^Y^→XY(x) ^{が得られる}. ^{大雑把に言え}

ば,^ペア(X, x)^{に対する数論的基本群}π1(X, x)^は,この射影系の自己置換全体のなす群として定義される. ^こ

のとき,^各“Y(x)”が有限集合であることから,それらの射影系の自己置換全体のなす群して定義されるこの群

π1(X, x)^{には自然に副有限群}^*5 ^{の構造が入り},^特に, 自然に位相群と考えられることに注意しよう. ^また,^その

定義から,位相的な基本群の場合と同様に,基点の取り替えは数論的基本群の内部自己同型を生じさせる. ^従って,^特に,基点の取り替えは数論的基本群の同型類自体には影響を与えない. ^このため,例えば数論的基本群の群論的構造のみを問題にする場合などには,^{簡単のために},^{基点を省略して}, “π1(X, x)”^ではなく“π1(X)”^というように表記することもある.

その定義から,X 上有限でエタールなスキームY →X を与えると,π1(X, x)の有限集合Y(x)への連続な作用が自然に定まる. 実は,この対応によって,X 上有限でエタールなスキーム全体のなす圏と,π1(X, x)の連続作用を持つ有限集合のなす圏は,圏同値となることが知られている[[SGA1], Expos´e V,を参照]. 一般に,ある副有限群Gが存在して, Gの連続作用を持つ有限集合のなす圏と圏同値となる圏をGalois圏と呼び, 上で述べた事実は, 局所Noether的な連結スキーム上有限でエタールなスキーム全体のなす圏がGalois 圏になっているということを意味している.

X1, X2 を局所 Noether ^{的な連結スキーム}, f: X1 → X2 をスキームの射, x1 をX1 の幾何学的点とすると, f ^とx1 の合成を考えることで, X2 の幾何学的点x2 が定まる. ^また, Y2 → X2 を有限でエタールな射

*4つまり,Y →X のxでのファイバー.

*5有限群の射影極限と同型な群を副有限群という. 射影系をなしている各有限群には離散位相を,そしてその射影極限には各有限群の離散位相から定まる直積位相の制限位相を導入することによって,副有限群は自然に位相群と考えられる.

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3 とすると, その引き戻しY2×X₂X1 → X1 が再び有限でエタールな射となることから, 自然な連続準同型射 π1(X1, x1)→π1(X2, x2)が定まる. つまり, “数論的基本群を取る”という操作は,局所 Noether 的な連結スキームとその幾何学的点のペアのなす圏から副有限群のなす圏への[^共変]^{関手を与えている}.

最後に,数論的基本群のいくつかの具体例を与えて,^この§^{を終えよう}. 例 1.1.

(i) k ^を体,X ^def= Speck ^とする. k ^{の代数閉包}k ^を1^{つ固定すると}, ^{自然な単射}k ,→ k ^{がスキームの射} Speck→Speck=X ^を, ^つまり,X ^{の幾何学的点}x ^を定める. ^また, ^{エタール射の定義から}, “Spec ^を取る”^{という関手は}X 上有限でエタールな連結スキームのなす圏とkの有限次分離拡大体のなす圏の間の圏同値を与える. ^従って,数論的基本群の定義から,^{自然な同型}

π1(X, x)'Gal(k^sep/k)

—^ここで,k^sep ^はk^の中でのk ^{の分離閉包}—^{が得られる}.

(ii) X^を局所Noether的で連結な正則スキーム,K^をX^の関数体,K^をK^{のある代数閉包},x: SpecK→X を自然な単射K ,→K ^が定めるX ^{の幾何学的点とする}. ^このとき, Zariski·永田の純性定理[[SGA1], Exposé X, Théorème 3.1, を参照] から, “関数体を取る”という関手が, X 上有限でエタールな連結スキームのなす圏と,K の有限次分離拡大であってX の任意の余次元1の点が定めるKの離散付値に関して不分岐なものたちのなす圏の間の圏同値を与える. 従って,数論的基本群の定義から,自然な同型

π1(X, x)'lim←−

L

Gal(L/K)'Gal((lim−→

L

L)/K)

— ここで,Lは, K⊆L⊆K なるK の有限次分離拡大体であって, X の任意の余次元1の点が定める K の離散付値に関して不分岐なものたち全体を走る—が得られる. 特に, ηX

def= SpecK をX の生成点とすると,自然な射ηX →X は全射

π1(ηX, x)'Gal(K^sep/K)Gal((lim−→

L

L)/K)'π1(X, x)

—^ここで,K^sep^はK^の中でのK ^{の分離閉包},^最初の“'”は(i)^{で得られた同型である}—^を定める.

(iii) X をC 上局所有限型の連結スキーム,X^an をX に付随する連結な複素解析空間とする. このとき,

Riemann 存在定理 [[SGA1], Exposé XII, Théorème 5.1,を参照] によって, “付随する複素解析空間を取る”という関手は, X 上有限でエタールなスキームのなす圏とXânの[従来の位相幾何学的な意味での]有限次被覆空間のなす圏の間の圏同値を与える. 従って, “普遍被覆空間の被覆変換群は位相的基本群と自然に同型になる”^{という事実と}, “^{被覆変換群に関する}Galois^理論”^により,^{自然な同型}

π1(X)'π^top₁ (X^an)^∧

— ここで, π₁^top(Xân)は連結な複素解析空間Xânの位相的な基本群, π₁^top(Xân)^∧ は群π^top₁ (Xân)の副有限完備化^*6—が得られる.

(iv) k^{を代数閉体},X ^をk上固有な連結スキームとする. ^このとき,^代数閉体k⁰ ^{と体の拡大}k⊆k⁰^に対して, 自然な射X⊗kk⁰→X ^は同型射

π1(X⊗kk⁰)−→^∼ π1(X)

*6群Gと∅ 6= Σ⊆Primesに対して,Gの副Σ完備化G^Σとは,

G^{Σ def}= lim←−

N

G/N

—ここで,Nは,商群G/Nの位数の任意の素因子が Σに属するGの指数有限正規部分群全体を走る—で定義される群である. また,Gの副有限完備化G^∧とは,Gの副Primes完備化のことである.

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4

を誘導する[[SGA1], Expos´e X, Corollaire 1.8, を参照]. 特に,k の標数が0の場合, (iii)によって, ある複素解析空間V と自然な同型

π1(X)'π₁^top(V)^∧ が存在する.

(v) k ^{を代数閉体},X ^をk^{上の滑らかな曲線}, (g, r)^をX ^の型^*7 ^とする[^{下図を参照}]. ^このとき,^もしもk^の標数が0^ならば, (iii), (iv),^より,π1(X)^は(g, r)型の向きづけられた位相的曲面^*8 の位相的基本群の副有限完備化 [^脚注*6^を参照]^{と自然に同型である}. ^つまり,

Πg,r def= D

α1,· · ·, αg, β1,· · ·, βg, γ1,· · · , γr

E/ Yg

i=1

[αi, βi]· Yr

j=1

γj

とすると,π1(X)^はΠg,r の副有限完備化と自然に同型である.

一方, k^の標数がp >0^ならば, ^一般にはπ1(X)^はΠg,r の完備化とは同型にはならないが^*9,^数論的基本群の特殊化の議論によって[[SGA1], Exposé X,^また, [SGA1], Exposé XIII,^を参照],p6∈Σ^となる任意の素数の集合Σ^に対して, π1(X)^の最大副Σ^商^*10 ^はΠg,r の副Σ^完備化[^脚注*6^を参照]^と自然に同型となる[[SGA1], Exposé X, Corollaire 3.9,^や[SGA1], Exposé XIII, Corollaire 2.12,^を参照].

(g, r)^{型の滑らかな曲線}

• •

• • • •

| {z }

g

• • • • • • •

z }| {

r

*7つまり,gはX の[一意的に定まる]滑らかなコンパクト化X^cptの種数,rは有限集合X^cpt(k)\X(k)の濃度.

*8つまり,種数gの向きづけられた位相的閉曲面から,相異なるr点を除いて得られる位相的曲面. よく知られているように,こういった位相的曲面の同相類は(g, r)から一意的に定まる.

*9例えば, Hurwitzの公式を用いることで, (g, r) = (0,0)の場合には,π1(X)が自明となることが確認できるので, 特に, Π0,0

[' {1}]の完備化と同型となることがわかる[詳しくは[SGA1], Expos´e XI, Proposition 1.1,を参照]. 一方,例えば, [Gll],§1, で行われている考察によって,正標数の代数閉体k上のアフィン直線A¹_k の数論的基本群π1(A¹_k)の同型類は基礎体kに依存することが知られているため,特に,π1(A¹_k)の同型類はその型(g, r) = (0,1)のみからは定まらない. また,より深い結果の例として,玉川安騎男氏によって, kが有限体の代数閉包の場合には,ある固定された双曲的曲線[後述の定義2.3を参照;この場合には, 2g−2 +r >0であるということ]Xに対して,位相群としての同型π1(X)'π1(Y)が存在するような双曲的曲線Y の同型類は高々有限個であることが証明されている[[Tama2], Theorem 0.1,を参照]. 従って,特に,双曲的曲線X の数論的基本群π1(X) の同型類はその型のみからは決まらない.

*10副有限群Gと∅ 6= Σ⊆Primesに対して,Gの最大副Σ商とは, lim←−

N

G/N

—ここで,N は,商群G/Nの位数の任意の素因子がΣに属するGの正規開部分群全体を走る—で定義される群である.

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5

2 遠アーベルセクション予想

§2では,遠アーベルセクション予想についての解説を行う. k を[簡単のために]完全体,X をk上有限型で幾何学的に連結なスキームとする. また,kの代数閉包kと,構造射X⊗kk→Speckのセクションとして得られるX⊗kk^{の幾何学的点}x ^{を固定する}. ^今,X ^はk上幾何学的に連結であるので,X⊗kk^{は連結なスキーム} である. ^従って,連結スキームの可換図式

X⊗kk −−−−→ X

 y

 y Speck −−−−→ Speck が得られ, “π1”^{の関手性によって},^{副有限群の可換図式}

π1(X⊗kk, x) −−−−→ π1(X, x)

 y

 y π1(Speck, x) −−−−→ π1(Speck, x)

—^ここで, 4^つの“π1”^の中の“x”^{は上で固定した}X⊗kk^{の幾何学的点}x によって誘導された幾何学的点とする—^を得る. ^これより,Gk

def= Gal(k/k)^とすると,^例1.1, (i),^によって,^{副有限群の列} 1−→π1(X⊗kk, x)−→π1(X, x)−→Gk −→1

が得られる. ^実は,この系列は完全系列となる[[SGA1], Exposé IX, Théorème 6.1,^を参照].

定義2.1. ∅ 6= Σ⊆Primes^とする.

(i) ^副有限群π1(X⊗kk, x)^の最大副Σ^商[^脚注*10^を参照]^を

∆^Σ_X/k と書き,^この副Σ^群^*11^をX/k^の副Σ 幾何学的基本群と呼ぶ.

(ii) ^閉部分群π1(X ⊗k k, x)⊆π1(X, x) ^{は正規部分群であって}, ^{自然な全射}π1(X ⊗kk, x)∆^Σ_X/k ^の核はπ1(X ⊗kk, x) ^{の特性的閉部分群}^*12 ^{であることから}, ^{自然な全射}π1(X ⊗k k, x) ∆^Σ_X/k ^の核は π1(X, x)の正規閉部分群であることがわかる. この正規閉部分群によるπ1(X, x)の商を

Π^Σ_X/k

と書き,この副有限群をX/k の幾何学的副Σ 数論的基本群と呼ぶ. (iii) ^構成から,^完全系列

1−→π1(X⊗kk, x)−→π1(X, x)−→Gk−→1 によって誘導された列

1−→∆^Σ_X/k−→Π^Σ_X/k −→Gk−→1 は完全系列である. この副有限群の完全系列を

E_X/k^Σ

と書き,X/kの副Σ 基本完全系列と呼ぶ.

*11∅ 6= Σ⊆Primesに対して,位数のすべての素因子がΣに属する有限群をΣ群と呼び, Σ群の射影極限と同型な群を副Σ群と呼ぶ.定義から,副Σ群は副有限群である.

*12Gを群,H⊆GをGの部分群とする. Gの任意の自己同型射αに対してα(H) =H となるとき,HはGの特性的部分群であるという.

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6

(iv) X/k の副Σ基本完全系列E_X/k^Σ の連続で群論的なセクション,つまり, 連続な準同型射Gk →Π^Σ_X/k であって,自然な全射Π^Σ_X/kGk との合成がGk の恒等写像となるものを,X/kの副Σ Galois セクションと呼ぶ.

(v) X/k ^の副Σ Galoisセクションたちのなす集合の∆^Σ_X/k の共役による作用の商集合を

Sect^Σ(X/k) と書く.

(vi) X のk有理点x∈X(k)を与えると, “π1”の関手性から,x は自然な全射π1(X, x)π1(Speck, x)' Gk のセクションGk →π1(X, x)をπ1(X⊗kk, x)の元による共役を除いて誘導する^*13. 従って,副Σ

Galoisセクションを∆^Σ_X/k の元による共役を除いて定める. このようにして得られる写像を

Φ^Σ_X/k:X(k)−→Sect^Σ(X/k) と書く.

注意2.2. X がAbel多様体の場合を考えよう. X の副Σ Tate 加群 lim←−

n

Ker(n:X(k)→X(k))

—^ここで,n^{はその素因子がすべて}Σの元であるような正の整数全体を走る—^をTΣ(X)^と書く. ^このとき,^自然な同型

∆^Σ_X/k 'TΣ(X) が存在することに注意しよう[例えば, [Mmf],§18,を参照].

(i) X の単位元セクションのΦ^Σ_X/k による像として得られるSect^Σ(X/k) の元をs0 とする. このとき, Sect^Σ(X/k)の元sに対して,写像

Gk −→ Π^Σ_X/k g 7→ s(g)s0(g)⁻¹ はGaloisコホモロジーH¹(k,∆^Σ_X)の元φs を定めるが,実はこの対応

Sect^Σ(X/k) −→ H¹(k,∆^Σ_X/k)'H¹(k, TΣ(X))

s 7→ φs

が全単射であることが確認される. ^{この観察により}, Sect^Σ(X/k)^は[Abel^{多様体とは限らない}] ^スキームに対するある種の“Tate^加群のGalois^{コホモロジー}”^{と考えることができる}.

(ii) X ^{に対する副}Σ Kummer^射^*14^を

κ^Σ_X/k: X(k)−→H¹(k, TΣ(X))

*13X のk有理点とは,構造射X→SpeckのセクションSpeck→Xのことであることに注意.

*14これは以下のようにして定義される準同型射である: 正整数nに対して,例えば, [Mmf],§6, Application 2,によって,Gk 加群の列

1−→Ker(n:X(k)→X(k))−→X(k)−→ⁿ X(k)−→1 は完全である. 従って, Galoisコホモロジーを取ることによって,射

X(k) =H⁰(k, X(k))−→H¹(k,Ker(n:X(k)→X(k))) を得る.この射の, Σに応じた適当なnに関する射影極限として,副Σ Kummer射は定義される.

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7 と書くと,例えば[Naka], Theorem 2.1,の証明中でなされている考察[特に, [Naka], Claim 2.2,を参照] によって,図式

X(k) ^Φ

ΣX/k

−−−−→ Sect^Σ(X/k)

 y^o X(k) ^κ

ΣX/k

−−−−→ H¹(k,∆^Σ_X/k)'H¹(k, TΣ(X))

— ^ここで,^{右側の垂直な矢は}(i)^{で得られた全単射}—^{は可換する}. ^{この観察により}, Φ^Σ_X/k ^は, [Abel ^多様体とは限らない]スキームに対するある種の“Kummer^射”^{と考えることができる}.

定義2.3. S をスキーム,C をS 上のスキームとする. Cが以下の条件を満たすとき,C をS 上の[(g, r)型の] 双曲的曲線であるという:

• ^{非負整数の組}(g, r),

• S ^{上幾何学的に連結},^固有,^滑らか,^相対次元1^{のスキーム}C^cpt,

• C^cpt ^{の閉部分スキーム}D⊆C^cpt が存在して,

• 2g−2 +r >0,^つまり, (g, r)6∈ {(0,0),(0,1),(0,2),(1,0)},

• C^cpt→S の任意の幾何学的ファイバーは[^{連結で固有で滑らかな}]^種数g ^の曲線,

• 合成D ,→C^cpt→S ^は次数r ^{の有限でエタールな射},

• C とC^cpt\D はS上同型となる.

注意2.4. その定義から, “^{固有な双曲的曲線}”^とは,^種数が2以上の固有で滑らかな曲線[^の族]^{のことである}. Alexander Grothendieck 氏による遠アーベルセクション予想とは,以下のような予想である[[Letter]^を参照].

予想2.5. k ^をQの有限生成拡大体,X ^をk上の固有な双曲的曲線とする. ^このとき,^写像 Φ^Primes_X/k :X(k)−→Sect^Primes(X/k)

は全単射である.

注意 2.6. 予想2.5 の状況において, X がk 上固有ではない場合には,X のカスプ^*15 から生じるGaloisセクション—つまり,その像がカスプの分解群に含まれてしまうようなGaloisセクション—を考察することに

よって, Φ^Primes_X/k は一般には全射にはならないことが直ちに確認される^*16. ^しかし,そのようなカスプから生じ

るGaloisセクションを考慮に入れることによって,固有とは限らない双曲的曲線に対してもセクション予想を

定式化することができる. ^詳しくは[Letter]^を参照.

注意 2.7. 予想 2.5 ^{の状況では}, Mordell^予想 [Gerd Faltings ^氏の定理] ^によって, X(k)^{は有限集合である}. 従って,^予想2.5^{が正しければ}, Sect^Primes(X/k)は有限集合でなければならない. ^一方,^{後述の定理}2.12^の証明の議論で確認できるように, Mordell 予想を経由することなくΦ^Primes_X/k の単射性を証明することができるの

*15Xの滑らかなコンパクト化の幾何学的点であって,その像がX に含まれないものを,Xのカスプと呼ぶ. この場合には,定義2.3 にあらわれる“X^cpt”の幾何学的点であって,その像が閉部分スキーム“D”に含まれるもののことである.

*16実際,例えば,X がk有理なカスプを1つでも持てば, Φ^Primes_X/k は全射とはならない.

(8)

8

で^*17, “Sect^Primes(X/k)は有限集合である”という事実の証明を与えることは[もちろんそれがMordell予想を経由していなければ] Mordell予想の別証明を与えることとなる.

現在までの研究によってΦ^Primes_X/k の単射性は知られているが[^{後述の定理} 2.12,^{あるいは脚注} *17^を参照],

Φ^Primes_X/k の全射性について知られていることはほとんど何もない,といっても過言ではないと思われる. ^また,

注意2.7^{の観点から}, Sect^Primes(X/k)の有限性も興味の対象となり得るが,^{筆者の知る限り},Qの有限生成拡大体や[^あるp∈Primes ^に対する]p^進局所体k^{上の双曲的曲線}X ^であってSect^Primes(X/k)^{が空ではない} 有限集合になる例すら1^{つも知られていない}^*18.

次に,上述の遠アーベルセクション予想をもう少し一般的な視点から眺めるために, Alexander Grothendieck 氏による遠アーベルGrothendieck予想について復習をしよう. [Letter]では,遠アーベル幾何学に関するいくつかの哲学が述べられているが,その“哲学”にあらわれる概念には数学的に定式化されていないものも少なくない. 例えば, “遠アーベル多様体”という遠アーベル幾何学の主役ともいうべき概念の正確な定義は, [Letter]

の中では[そして,それ以降のどの研究においても,筆者の知る限り]与えられていない^*19. しかし, [Letter]の中で,数学的に厳密に定式化される予想の1つとして, Alexander Grothendieck氏によって以下の“双曲的曲線に対する遠アーベルGrothendieck予想”が提出されている.

予想 2.8. k ^をQの有限生成拡大体,X,Y ^をk ^{上の双曲的曲線とする}. ^このとき, “π1”^{の関手性によって誘} 導される写像

Hom^dom_k (Y, X)−→Hom^open_G_k (Π^Primes_{Y /k} ,Π^Primes_X/k )/Inn(∆^Primes_X/k )

— ^ここで, Hom^dom_k (Y, X) ^はY ^から X ^への k 上の支配的な射のなす集合, Hom^open_G_k (Π^Primes_{Y /k} ,Π^Primes_X/k ) ^は Π^Primes_{Y /k} ^からΠ^Primes_X/k ^へのGk 上の開準同型射のなす集合をあらわす—^{は全単射である}.

この予想は,中村博昭氏,玉川安騎男氏らの研究の後,最終的には望月新一氏によって,以下のように,より強い形で肯定的に解決している[[Mzk1], Theorem A; [Mzk2], Theorem 4.12,を参照].

*17定理2.12の証明の議論の中で後述の定理 2.9が用いられるが,定理2.9の証明は純粋に p進的なものであり, Mordell予想のような難しい大域的な事実を必要としていない. また,例えば, [Naka]で与えられている以下の議論によって[[Naka], Theorem 2.1 を参照],Qの有限生成拡大体kとその上の双曲的曲線X に対するΦ^Primes_X/k の単射性は, Mordell予想と比較してずっと簡単な Mordell·Weilの定理からほとんど直ちに従う:

Φ^Primes_X/k の単射性を証明するためには, Π^Primes_X/k を適当な開部分群に取り替える[つまり,Xを適当なX上の有限でエタールな連結スキームに取り替える]ことによって,X(k)6=∅,かつ,Xの滑らかなコンパクト化の種数が1以上であると仮定しても良い. x0∈X(k)をX のk有理点,JXをX の滑らかなコンパクト化のJacobi多様体,φ:X ,→JX をk有理点x0から定まる埋め込みとする. このとき,注意2.2によって,以下の可換図式が得られる:

X(k)

Φ^Primes

X/k→ Sect^Primes(X/k)

↓ ↓

JX(k)

κ^Primes JX /k

→ H¹(k,∆^Primes_J

X/k )'Sect^Primes(JX/k)

—ここで,左側の垂直の矢はφから誘導される射,右側の垂直の矢はφから誘導される全射Π^Primes_X/k Π^Primes_J

X/k によって定まる射である. 従って,上の図式の左側の垂直の矢X(k)→J_X(k)の単射性から, Φ^Primes_X/k の単射性を証明するためには, Kummer 射κ^Primes_J

X/k の単射性を証明すれば充分である. その上, Kummer射の定義から,κ^Primes_J

X/k の核はJX(k)の可除元全体のなす部分群と一致する. 従って,κ^Primes_J

X/k の単射性を証明するためには,J_X(k)が非自明な可除元を持たないことを証明すれば充分である.

一方, Mordell·Weilの定理から,JX(k)は有限生成Abel群なので,特にJX(k)は非自明な可除元を持たない. 従って, Φ^Primes_X/k は単射である.

また,この議論によって,kがQ上有限生成のときには,双曲的曲線でなくても Xが以下の条件を満たせば, Φ^Primes_X/k が単射となることがわかる: Xの連結なエタール被覆Y が存在して,Y はAbel多様体に埋め込むことができる.

*18これまでの研究によって, Sect^Primes(X/k) =∅となるような組(k, X)の例の存在は知られている[例えば, [Stx3],§7,や[HS], Proposition 1.3,を参照]. この場合,写像Φ^Primes_X/k の存在から,X(k) =∅となるため, Φ^Primes_X/k は自動的に[空集合の間の]全単射となる.一方,筆者の知る限り, Sect^Σ(X/k)6=∅であり,かつ, Φ^Σ_X/kが全単射となるような3つ組(Σ, k, X)の存在は知られていない.

*19“遠アーベル多様体” という概念の定義に向けての考察は,例えばJakob Stix氏によってなされている[[Stx1], [Stx2]を参照].

(9)

9 定理2.9. p∈Σ⊆Primes とする. このとき,以下が成立する:

(i) k を劣p進体^*20,X をk上の双曲的曲線,S をk上有限型,幾何学的に連結,分離的,滑らかなスキームとする. ^このとき, “π1”の関手性によって誘導される写像

Hom^dom_k (S, X)−→Hom^open_G_k (Π^Σ_S/k,Π^Σ_X/k)/Inn(∆^Σ_X/k)

— ^ここで, Hom^dom_k (S, X)^はS ^からX ^への k 上の支配的な射のなす集合, Hom^open_G_k (Π^Σ_S/k,Π^Σ_X/k)^は Π^Σ_S/k^からΠ^Σ_X/k ^へのGk 上の開準同型射のなす集合をあらわす—^は全単射.

(ii) k ^{を一般化劣}p^進体^*21,X,Y ^をk^{上の双曲的曲線とする}. ^このとき, “π1”の関手性によって誘導される写像

Isomk(Y, X)−→IsomGk(Π^Σ_{Y /k},Π^Σ_X/k)/Inn(∆^Σ_X/k) は全単射.

定理2.9, (i), において問題となっている写像

Hom^dom_k (S, X)−→Hom^open_G_k (Π^Σ_S/k,Π^Σ_X/k)/Inn(∆^Σ_X/k)

から“dom”と“open”を取り除き,また,SをSpeck, ΣをPrimesとすると,これは遠アーベルセクション予想 [予想2.5を参照]で問題となっている写像Φ^Primes_X/k それ自身である. この観点から,遠アーベルGrothendieck 予想,^つまり, ^定理2.9, (i), は遠アーベルセクション予想の“^非退化版”^{と考えることができる}. ^一方,^この“^非退化版”^{の全単射性は},^定理2.9, (i),^のように,^{より一般的な}k^やΣ^{に対して成立する}. ^そこで,^予想2.5 [^を解決することは直ちには難しそうなので,^そ]^{の代わりに},以下のような問題について考察をしたい.

問題2.10. どのような 3^つ組(k, X,Σ) —^ここで,k ^は体,X ^はk^{上の固有な双曲的曲線}, Σ^{は空でない素数} の集合—^に対して,^写像

Φ^Σ_X/k:X(k)−→Sect^Σ(X/k) は全単射となるだろうか?

この問題に関する研究には,例えば,k=Rの場合の研究として[Mzk2],§3,や[Wck], Theorem 1.1,などがあり^*22, kがp進局所体の場合の研究として[PS]などがあり,また, kが数体やp進局所体の場合の研究として[Sa¨ıdi1]などがある.

Σ^{を取り替える際の}, Φ^Σ_X/k の単射性や全射性について,以下の結果が知られている. ^{この証明の議論は},^本質的には,玉川安騎男氏によって与えられたものである[[Tama1], Proposition 2.8, (iv),^{の証明を参照}].

命題 2.11. k ^を Q 上有限生成な拡大体,^あるいは, [^ある p ∈ Primes ^に対する] p ^{進局所体とする}. ^また,

∅ 6= Σ⁰ ⊆Σ⊆Primes^とする. ^このとき,^{以下が成立する}:

(i) X ^をk上の固有な双曲的曲線とする. ^このとき, Φ^Σ_X/k⁰ ^{が単射であるならば}, Φ^Σ_X/k ^{は単射である}. (ii) k 上の任意の固有な双曲的曲線X ^に対してΦ^Σ_X/k⁰ ^が全射[^{あるいは全単射}] ^{であるならば},k^{上の任意の}

固有な双曲的曲線X ^に対してΦ^Σ_X/k ^は全射[^{あるいは全単射}]^である.

*20Qpの有限生成拡大体の部分体と同型な体を劣 p進体と呼ぶ. 数体の有限生成拡大体,p進局所体の有限生成拡大体などが劣p進体の例である.

*21Qpの最大不分岐拡大体のp進完備化の有限生成拡大体の部分体と同型な体を一般化劣 p進体と呼ぶ.

*22k=Rの場合には, Φ^Σ_X/Rが単射にならないこと,より正確には, Φ^Σ_X/Rが自然な全射X(R)π0(X(R))を経由してしまうことがすぐに確認できる. k=Rの場合の研究の1つの目標は,この結果として得られる写像π0(X(R))→Sect^Σ(X/R)の全単射性を証明することである.

(10)

10

証明. 主張(i)はΦ^Σ_X/k⁰ がΦ^Σ_X/k を経由することから明らか. 主張(ii)を証明する. 主張(i)によって,主張(ii) を証明するためには,主張(ii)の“全射”に関する部分を証明すれば充分であるので,それを証明する. X をk 上の固有な双曲的曲線,s:Gk →Π^Σ_X/k ^をX/k^の副Σ Galois^{セクション}[^つまり,X/k^の副Σ^{基本完全系列} のセクション]^とする. ^ここで,

Im(s)⊆ · · · ⊆H3⊆H2⊆H1⊆H0= Π^Σ_X/k をIm(s)を含むΠ^Σ_X/k の開部分群の列であって,T∞

i=0Hi = Im(s) を満たすもの,また,各自然数i に対して, Xi →X を, 開部分群Hi ⊆Π^Σ_X/k に対応する連結なエタール被覆とする. このとき, 様々な定義や仮定から, Xi がk上の固有な双曲的曲線であること,^及び, Π^Σ_X_i_/k =Hi⊆Π^Σ_X/k となることに注意しよう.

今, Im(s) ⊆ Π^Σ_X_i_/k = Hi であるので, ^{特に}, ^{合成} Gk

→s Π^Σ_X_i_/k Π^Σ_X⁰_i_/k を考えることによって, Sect^Σ⁰(Xi/k) 6= ∅. 従って, Φ^Σ_X⁰_i_/k が全射であるという仮定により, Xi(k) 6= ∅ が得られる. この考察, 及び,k^がQの有限生成拡大体である場合にはMordell^予想[Gerd Faltings^氏の定理],k^がp^{進局所体の場合に} はXi のkの整数環上の適当なモデルを考えることによって,上の開部分群の列から自然に誘導される集合の列

· · · −→X3(k)−→X2(k)−→X1(k)−→X0(k) =X(k)

は, 空ではないコンパクト集合の連続写像による列となることがわかる. ^従って, 空ではないコンパクト集合の連続写像による列の射影極限は空ではないので,^ある元x∞ ∈lim←−Xi(k) ^{が存在する}. ^このx∞ から定まる Π^Σ_X/k Gk のセクションをs∞ とすると, ^{その定義から}, Im(s∞)⊆T∞

i=0Π^Σ_X_i_/k =T∞

i=0Hi = Im(s)^となり, 従って, s=s∞ となる. ^特に,s ^{から自然に定まる}Sect^Σ(X/k)^の元は,x∞ から自然に定まるX(k) ^の元の Φ^Σ_X/k による像である.

この命題によって,一般に, Σが小さくなるほどΦ^Σ_X/k の全単射性は強い条件となることがわかる. 次の§で

紹介する[Hsh]の主結果の主張は,簡単に述べてしまえば, Σ がもっとも小さい場合,つまり, Σがただ1つの

素数からなる場合には,^{セクション予想の反例},^つまり, Φ^Σ_X/k が全単射にはならないような3^つ組(k, X,Σ)^が存在する,^{というものである}.

この §^{の残りの部分で}, ^{遠アーベル} Grothendieck ^{予想の肯定的解決},^つまり, ^定理 2.9 ^{から自然に得られ} る, 遠アーベルセクション予想に対する重要な応用を紹介しよう[この定理の証明の議論については, [Mzk1], Theorem C,^{の証明を参照}].

定理 2.12. p∈Σ⊆Primes,k ^{を一般化劣}p^進体[^脚注*21^を参照],X ^をk ^{上の双曲的曲線とする}. ^このとき, Φ^Σ_X/k は単射.

証明. x,y∈X(k)をX のk有理点であって, Φ^Σ_X/k(x) = Φ^Σ_X/k(y)となるものとする. 命題2.11, (i),によっ

て, Σ = {p}と仮定しても一般性を失わないので,そのように仮定する. X2 をX の 2次配置空間,つまり,

X×kX から対角因子を除いて得られるX×kX の開部分スキームとする. このとき,スキームの可換図式 X2

−−−−→⊆ X×kX

 y

 y^pr¹

X X

によって,^{副有限群の可換図式}

Π^Σ_X

2/k −−−−→ Π^Σ_X×_k_X/k

 y

 y Π^Σ_X/k Π^Σ_X/k

(11)

11 が得られる. 今,a∈ {x, y}に対して,上のスキームの図式のa: Speck→X によるファイバー積を考えることによって,スキームの可換図式

X\ {a} −−−−→^⊆ X

 y

Speck Speck

が得られるので, Σ ={p}であることから,^{上の副有限群の図式の}Φ^Σ_X/k(a) :Gk →Π^Σ_X/k ^{によるファイバー積} を考えることによって,^{副有限群の可換図式}

Π^Σ_(X\{a})/k −−−−→ Π^Σ_X/k

 y

Gk Gk

が得られる. この考察により, Φ^Σ_X/k(x) = Φ^Σ_X/k(y)であるので,副有限群の可換図式 Π^Σ_(X\{x})/k −−−−→^∼ Π^Σ_(X\{y})/k

 y

Π^Σ_X/k Π^Σ_X/k

—ただし,垂直の矢はそれぞれ自然な開埋め込みX\ {x},X\ {y},→X から誘導される準同型射—が得られる. ここで定理2.9, (ii),を適用することにより,スキームの可換図式

X\ {x} −−−−→^∼ X\ {y}

∩



y ^∩

 y

X X

が得られ,特に,x=y となる.

3 _副 p ^{版における反例}

§3では, [Hsh]の主結果についての解説を行う. 命題2.11の下で述べたとおり, [Hsh]の主結果は,以下のように, Σ^{がもっとも小さい場合},^つまり, Σ^がただ1つの素数からなる場合には,^{セクション予想の反例},^つまり, Φ^Σ_X/k が全単射とはならないような 3^つ組(k, X,Σ)^{が存在する},^{というものである}[[Hsh], Theorem A, ^を参照].

定理 3.1. ある素数p,^ある数体[^あるいはp^進局所体]k,^あるk ^{上の固有な双曲的曲線}X ^{が存在して}, Φ^{p}_X/k は全射ではない.

注意3.2. 定理3.1^{の状況では},^数体もp進局所体もどちらも一般化劣p^{進体であるため},^定理2.12^によって, Φ^{p}_X/k ^{は単射である}.

注意 3.3. 遠アーベルセクション予想の“非退化版”と考えられる遠アーベルGrothendieck 予想[定理2.9の下で行った議論を参照] は,定理2.9, (i), の主張のとおり, Σ ={p}の場合にも成立する. この観点と定理 3.1 の内容から,遠アーベルセクション予想とその“非退化版”には,何か本質的な違いがあると考えられる. 注意3.4. 本稿では紹介しなかったが,遠アーベルセクション予想には“^双有理版”^{が存在して}, Florian Pop^氏によってp^{進局所体上でのその副}p版が成立することが証明されている[[Pop]^を参照]. ^{この観点と定理}3.1^の内容から,遠アーベルセクション予想とその“^双有理版”^には,何か本質的な違いがあると考えられる.

(12)

12

注意 3.5. Σがただ1つの素数からなり,また, 定理3.1では考察されていない場合として,以下のような問題を考えることができる: Φ^{l}_X/k が全射とはならないような,ある相異なる素数p6=l,あるp進局所体k, あるk 上の固有な双曲的曲線X ^{は存在するか}? ^実は,^{この問題は}p=l の場合よりずっと簡単に肯定的に解決をすることができる. ^{詳細は例えば}[Sa¨ıdi1], Proposition 4.2.1,^を参照. ^また,^この場合,^一般には,^そもそもΦ^{l}_X/k ^は単射にはならないことを,それほどの困難なく確認することができる.

また,^注意2.7^{で述べたとおり},k^がQの有限生成拡大体の場合には,^集合Sect^Σ(X/k)^{の有限性も興味の対} 象となり得るが,以下の結果が示すように, Σ^がただ1つの素数からなる場合には,この有限性は一般には成立しない[[Hsh], Theorem B,^を参照].

定理3.6. ある素数p,^ある数体k,^あるk^{上の固有な双曲的曲線}X ^{が存在して}, Sect^{p}(X/k)^{は無限集合}. 注意 3.7. kが数体の場合には, Mordell予想[Gerd Faltings氏の定理]によって,k上の固有な双曲的曲線X に対するX(k)の有限性が知られているため,定理3.6は数体上の定理3.1を直ちに導く:

定理3.6 + Mordell^{予想による有限性}=⇒^{数体上の定理}3.1.

一方, k ^がp ^{進局所体の場合には}, k ^{上の固有な双曲的曲線}X ^に対するX(k) ^は, ^{空でなければ無限集合} であるため, このような簡単な帰着は不可能である. [Hsh] ^では, ^定理 3.6 の証明の議論で得られた結果に, Manin·Mumford^予想[Michel Raynaud^氏の定理]による有限性を組み合わせることによって,p^{進局所体上の} 定理3.1^{を証明している}:

定理3.6^{の証明の議論}+ Manin·Mumford予想による有限性=⇒p^{進局所体上の定理}3.1.

この§の残りの部分で,定理3.6の証明の概略を与える. [注意3.7によって,これは数体上の定理3.1の証明の概略を与えることにもなる.]

定理3.6の証明の概略. p を 11 以上の正則な素数, Q を有理数体 Q の代数閉包, ζp ∈ Q を 1 の原始 p 乗根, k ^def= Q(ζp), ok を k の整数環, X を k 上の p 次の Fermat 曲線[つまり, k 上の射影平面の中で,

“x^p+y^p+z^p= 0”で定義される曲線]^*23,JX をX のJacobi多様体とする. このとき,以下が成立することが確認できる:

(i) X ^はok[1/p]^{上の良い還元を持つ}. ^つまり,ok[1/p]^{上の双曲的曲線}X^{が存在して},X ^とX⊗_o_k[1/p]k^は k ^上同型.

(ii) JX のp等分点の座標を添加して得られるk ^の有限次Galois^拡大のk^{上の拡大次数は}p^のべき. Q^をπ1(X) [^上述の(i)^を参照]^の最大副p^商[^脚注 *10^を参照]^とすると, ^{自然な開埋め込み}X ,→Xは全射 Π^{p}_X/k Qを誘導する. その上,上述の(ii)と数論的基本群の特殊化の議論によって,

合成∆^{p}_X/k ,→Π^{p}_X/k Q は単射となり,また, この合成の像によるQの商群は,自然にGal(k^un-p/k) と同型になる. ^ここで,k^un-p ⊆Qは, p^{を割らない}k の任意の有限素点で不分岐なk^の副pGalois^拡大で最大なもの.

*235≤pであるので,X はk上の双曲的曲線である.

Grothendieck による遠アーベルセクション予想について