長崎大学教育学部自然科学研究報告第19号13‑18 (1964)
位相空間の category における functor から functor への写像のつくる空間について
若槻実
On Some Spaces of All Maps From Functor to Functor in the Category of
Topological Spaces.
Minoru WAKATSUKI
Summery
In the category in the functionally Hausdorff K‑spaces with base point and continuous maps sendings base point to base point let Ω and ∑a mean the functors Ω,4X‑X^ and ZaX‑A♯X for each space X, (Ω*f>‑f。<p and C∑*f)O, x )‑Ca> f(‑O) for each map f : X‑Y respectively, where <p∈ⅩA, (ォ, O∈A♯X and A is some spaces.
In this paper we shall prove.
1. If m is the cardinal of the family of all components of A, then a) in the case m is finite
t∑A‑E)‑tE‑トΩA)‑{ 2 "1‑ 1 } b) in the case m is infinite
t∑A→E)‑tE→Ω iM2花I
where E, {S→T> and {n} means identity functor, the space of all maps from functor S to functor T, the discrete topological space of cardinal m
respectively, and A只ゴB (or A‑B) means space A is homeomorphic to space
B (or the cardinal of space A is equal to the cardinal of space B).
2. If A has finite components or discrete topology, then a), b), c) are
equivalent.a)A‑3r
b) {Za‑E}‑{E→∑A) C) (ΩA→E.HKE‑ΩA)
The proof of these theorems achieved by three lemmas based on Fuks's theorems. D. B. Fuks proved the following theorems in C1〕 and 〔2).
Theorem 1 (Fuks) If S and T are functors for which the space {SヰT)
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若 槻 実
isdefinedandAisanyspace，then
｛Σ遜S→T｝霜｛：S→・Ω且丁｝駕Ω且｛：S→T｝
Theorem2．（Fuks） For any space A and any functors S and T we have
｛SΩ滋→T｝舘｛S→・TΣ4｝。
Theorem5．（Fuks） For any space A and functor S we have｛Ω五→S｝霜
SA．
§1 序論 （定義，記号，約東）
定義1。1位相空間Xがfunctionally Hausdorff空間であるとは，Xの任意の異なる二点 x，yに対してf（罪）＝0，f（夕）＝1となるXから単位区間への連続写像が存在すること
である。
定義1。2位相空問XがK一空間であるとは， Xの部分集合Uをとるとき，UがXの開集合 となるのは，Xの任意のcompact部分集合Kに対してU∩KがKの開集合となるとき，かつ そのときに限ることである。
定義1，3位相空間Xの部分集合UがXでK−openであるとは，Xの任意のcompact部 分集合Kに対し，U∩KがKの開集合となることである。
位相空間Xが与えられたとき，Xの開集合は明らかにXでK−openである。Xの開集合全 体に，新しく K−openな部分集合をすべて附け加えた部分集合全体は，これを開集合系とす る新しい位相空間を定める。この空間は明らかにK一空間である。位相空間XをK一空間たらし めるときはこの方法をとることにする。
以下，基点をもっfunctionally Hausdorff K一空間を単に空間，基点を基点に対応させる 連続写像を単に写像といい，この空間，写像をそれぞれobject，morphismとするcategory をC，基点はすべて＊で表わす。空間Xから空間Yへの写像の全体にcompact open位相を 導入した空問（を更にK一空間たらしめた空間）をYX，空間Xと空間Yとの直積空間X×Yに おいて（X×＊）U（＊×Y）を基点と同一視した商空間をX＃Yで表わす。
定義1．4 Sが空問と写像とのcategoryにおけるfunctorであるとは，Sが各空問Xに 対して空間S Xを，各写像f：X一チYに対して写像Sf：S X→S Yを対応させ，かつ，次 の公理S1〜S4を満足するようなcategoryからcategoryへの対応であることである。
S1．写像f：X→Y，9：Y→Zに対し，S（9。f）＝Sg。Sfが成り立つ。（ここでQは
写像の合成を表わす。），
S2．e：X→XがXの恒等写像ならば，Se：S X→S XはS Xの恒等写像である。
S5．Xが｝点から成る空間であればSXも一点から成る空間である。
S4．関数f→Sfは連続写像X7→s xs7を定める。
定義1．5 ψがfunctor Sからfunctor Tへの写像であるとは，ψが各空間Xに対し一 つの写像ψx：S X→・S Yを対応させ，空間の各組X，Yおよび各写像f：X→Yに対し Tf。吸＝ψy。Sfが成り立つことである。
functor Sからfunctor Tへの写像全体を｛S→T｝で表わすとき，｛S→・T｝は必ずし
も（集合論的）集合をなさないが，これが集合をなすときは次のように位相を入れる。まず各
空間X毎に関数α（X）：｛S→T｝→Txsxをα（X）ψ＝ψヱで定める。この各α（X）に対し
てTxsxの開集合の逆像をとり，これらの有限個の共通集合を｛S→T｝の開集合系の基にと
位相空間のCatego』yにおけるfunctorからfunctorへの写隊のつくる空間について 15 る。このように位相を入れた空間も同じ記号｛S→T｝で表わす。
固定した空間Aに対して，二っのfunctorΩイ，Σ丑を次の如く定める。各空間Xに対し Ω且X＝X4，Σ減XニA＃X，各写像f：X→Yに対し（Ωムf）（ψ）ニf。ψ，ψ∈X風，
（Σ五f）（α，％）＝（α，f（x）），（α，∬）∈A＃X。特にAが1次元球面のときΩ且＝
Ω，Σ且＝Σとかき，それぞれ，loop spaceをとるfunctor，suspensionをとるfunctor
（または単に100p space，suspension）という。また固定した自然数Nに対して二つのfunctor BN，PNを次のように定める。各空間Xに対しBNX＝XV…VX，P評＝X×…×X，各写 一 ㌔一 N 、 N
像f：X→・Yに対してはBNf，PNfとも自然なものをとる。ここにXV…VXは和 空間XU…UXにおいて｛＊｝∪…∪｛＊｝を基点と同一視した商空間とする。
§2定理と応用
紛れる恐れのない限り，基点をもっfunctionally Hausdovff K一空間を単に空間とよび，
基点を基点に対応させる連続写像を単に写像ということにする。 議論の途中で必ずしもK一空 間でない位相空間が生じても，断りなしに前節の方法でK一空間たらしめ，同じ記号で表わし ておく。またfunctorといえばこの空間と写像とのcategoryにおけるfunctorとする。ど の空間の基点もすべて＊で表わす。
定理2．1 空間Aの連結成分全体を｛Aλ｝z、〈，〈の濃度を吻，恒等functorをEで表わす。
このときもし吻が有限ならば
｛Σ且→E｝駕｛E→・52五｝馬｛2㎜一一｝……（2．1）
もしmが無限ならば
・｛Σ五→E｝駕｛E→9且｝〜｛2m｝………（2．2）
ただしここでX駕Yは空間X，Yが同相なること，X〜YはXとYとが点集合として同等なる こと，｛％｝は濃度犯の離散位相空間を表わす。（その他の記号は前節参照）
定理2．2 空間Aが有限個の連結成分から成るとき，次のa），b），c）は同値である。
a）A弼F………・一・…………（2，5）
b）｛Σ4→E｝駕｛E→Σ4｝………・一…（2，4）
c）｛Ωム→・E｝駕｛E→・Ω漣｝…・・…・……（2，5）
ただしここでFは二点からなる離散位相空間，Eは恒等functorとする。
定理1と定理2から導かれるものとして次のものがある。ただし定理と同じ記号は定理の場 合と同様な意味に用いる。
系2．1Σをsuspensionをとるfunctor，Ωを1Qopspaceをとるfunctorとするとき
｛Σ→E｝霜｛E→・Ω｝駕｛：＊｝…・・…・（2， 6）
ただし｛＊｝は一点から成る空間とする。
系2．2 Nを自然数とするとき
9
｛Bz▽→E｝駕｛E→・P2v｝駕｛：2溜｝…（2， 7）
Bκ，PNについては前節参照
系2．3空間Aが有限個の連結成分からなるとき，次のa ）b ）c ）は同値である。
a〆）A勲F ……一・・………（2，5 ）
b ）｛Σ滋→E｝キ｛E→・Σ4｝…………（2，4ρ）
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若 槻 寒
c ）｛ΩρE｝幾｛E一ヴΩ4｝一・一…（2，5 ）
系4．4 Aが離散空間のとき，次のd），e），f）は同値である．
d）A舘r………・・……・………（2，8）
e）｛Σ4→レE｝駕｛E→Σ五｝………（2， 9）
f）｛Ω4今E｝舘｛E→Ω4｝一・………（2，10）
系4．4 Aが離散空間のとき，次のd ）e ）f ）は同値である。
d」）A零P ・・……・…・・…・………∴一（2，11）
e ）｛Σ五一〉E｝≒（E→Σゑ｝……一・…（2，12）
f ）｛Ωゑ→E｝叙E→品五｝一・一…（2，13）
系4。5空間Aに対して次の9），h）は同値である。
9）A霜F………・・・………（2，14）
h）｛Σ減→E｝霜｛E→Σ盆｝霜｛Ω4→E｝駕｛E→Ω五｝霜ハー（2，15）
証明は次の補助定理5，1，5，2，3，5およびFuksの定理5．1，3．2，5．5を用いて得
られる。
§3定理の証明
補助定理5．1 Xが有限個の連結成分からなる空間，Yが離散空間ならばYーは離散空間で
ある。
証明 X，Yが定理の仮定を満足するものとする。Xのcompact部分集合KをYの開集合 0の中へ写像するYXの元全体をW（K，O）で表わす。 Yの各点が開集合なることに注意
してW（諾，f（κ））をとるXの連結成分をCf（F1，2，……N）とし各◎からそれ ル ぞれ一点物をえらびV（f）＝∩W（陶f（物））とおけばV（f）はfの開近傍である。この 歪冨1
とき実はV（f）＝｛f｝すなわちf自身が開集合なることを示そう。連結成分の連続写像によ る像が連結なること，および，Yが離散空間であることから，各C （ ＝1，2，…N）の点 錫をとるときf（フf）＝f（物），勉∈C乞またYXの任意の点hをとるとき，もしh（陶）＝
f＠の，勉∈C悟（F1，2……N）ならCδの任意の点ぬに対し，h（ぬ）＝h（絢）。したが ってh，｛のCεへのそれぞれの制限hlC乞，fIC喜は等しい。したがってW（x ，f（親）），
x ∈C6（F1，2，・・一N）はC￠においてfと一致する写縁の集合である。 したがって
ル
∩W（物，f（勉））はすべてのC乞，（乞＝1，2…N）においてfと一致する写像，すなわち
翼1
Xにおいてfと一致する写像の集合である。すなわちV（f）皿｛f｝したがってYヱは離散空
間である。 （証明了）
補助定理5．2空間Aの連結成分全体を｛A、｝、ε〈，〈を濃度を吻，二点からなる離散空間を Tで表わすとき，r∠駕｛2耽一｝。 （特に吻が無限ならばT 4駕｛2舛）ここに｛犯｝は濃度犯 の離散空間を表わす。
証明 連結成分の連続写像による像は連結であること，および，Fが離散空間であることか ち らAから7 への連続写像によるAの一つの連結成分の像は一点でなければならない。 またA の連結成分はAの開集合であるから，Aの各連結成分を1■の任意の点に対応させる関数はAか ら1■への連続写像を定める。基点を基点に対応させる連続写像はAの基点を含むAの連続成分 をrの基点に対応させる制約を受ける。 したがってくの濃度を窺とするとμの濃度は濃度
（卿一1）の集合を濃度2の集合に対応させる関数全体の濃度2町一に等しい。もし吻が無限
位相空間のCategoryにおけるfunctorからfunctorへの写像のつくる空間について 17 ならば卿一1＝規である。 （証明了）
補助定理5．5 Eを恒等functorとするとき，｛E→E｝は二点から成る離散空間である。
証明 各空間Xに対し，自明写像tx：X→X，tx（X）＝＊ （＊は基点）を対応させる関 数をtとする。 このとき任意の写像f：X→Yに対し，tx・f（κ）＝t y（f（κ））＝＊，
f・εx（躍y f（＊）こ＊（xはXの任意の点）。またE X＝X，E Y＝Y，E f＝f。ゆえに ty・Ef業Ef・tx。したがって関数tはEからEへの写像である。各空間Xに対し，XからXへ の恒等写像ex：X→Xを対応させる関数をeとする。 このとき任意の写像f：X→・Yに対
し，er・f＝f，f・ex＝f。ゆえにeγ・EfニEf・e−。したがってeはEからEへの写像である。
実はEからEへの写像としてはこのt，e以外にないことを示そう。t，eの何れとも異なる EからEへの写像ψがあると仮定し，￠は各間Xに対し写像甲x：X→Xを対応させるとしよ う。このとき次のような空間YとYの点yキ＊が存在する。
ψy（ン）キy，＊。このとき二点築，劣から成る離散空間r＝｛＊，劣｝と写像f：r→・Y，
f（κ）二yなるものがえらべる。（rが離散空間であるからfは連続である。）ここでψf（エ）
としては二つの場合ψr（諾）＝劣，吟（κ）＝＊がある。もし卿（κ）；罪とするとf。卿（κ）＝
ツ，ψy。f（劣）ニ￠y（y）≒ツ，したがってf・ψ「キψy・fとなりψがEからEへの写像であるこ とに反する。またもしψr（x）＝＊とするとf・卿（劣）＝f（＊）二＊，ψy・f（罪）＝ψy（ツ）≒＊。
これはψがEからEへの写像であることに矛盾する。以上よりt，e以外にEからEへの写像 は存在しないことが証明された。また自明でない空問Xにおいてはtヱ≒exよりt≒e。明 らかにノ「「＝｛t r，er｝。またW（x，＊）ニ｛t r｝，W（x，x）＝｛er｝よりtr，erは1■「
における開集合である。関数α（F）：｛E→E｝→F，すなわちα（r）：｛t，e｝→tr，er｝
に対しt＝α（F）一1｛tr｝，e＝α（F）一一｛er｝。｛E→E｝の定義からt，eは｛E→E｝にお ける開集合となる。（関数α（F），｛E→E｝の位相については§1参照）またf：｛t，e｝
→・1（単位区間）としてf（t）；0，f（e）＝1とすればfは連続となるから｛E→E｝は functionally Hausdorff空間である。また｛t，e｝のcompact部分集合は｛t｝，｛e｝，
｛t，e｝であるがこれらは同時に｛t，e｝の開集合でもあるから｛E→E｝はK一空間であ る。ここでt＝＊と定めれば｛E→E｝は我々のcategoryにおける二点から成る離散空間 となる。（証明了）
定理3，1（FuKs） S，Tをfunctorとする。もし｛S→T｝が空問を構成するならば，
任意の空間Aに対し
｛Σ且S→・T｝胃・（S→9浸丁｝駕9孟｛S→T｝………（5，1）
が成り立つ。 （証明に〔2））
定理3，2（FuKs）任意のfunctor S，Tおよび任意の空間Aに対し
｛SJ2五→T｝霜｛S→ΣオT｝………・……・・…（5，，2）
が成り立っ。 （証明は〔2〕）
定理3，3（Fuks）任意のfunctor Sおよび任意の空間Aに対し ｛52ム→S｝霜SA……一・…・………（5，5）
が成り立つ。 （証明は〔1）または〔2〕）
定理2，1の証明 定理5，1においてS＝T＝Eとすれば，任意の空間Aに対し
｛Σ准→E｝舘｛E→∫2温｝駕94｛E→E｝ …………（5， 4）
補助定理5，1より｛E→E｝舘1■，ゆえに
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