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数学教育における練習の意義について
若 槻 実
ま え が き
数学教育において最も重視すべき事は，数学的な見方考え方であり，主体的創造的な思 考態度である，というのが数学教育現代化の基本的な思想である。このような思想に基づ いて，教材の面では数学的構造を比較的早い時期から導入し，授業の面では主体的創造的 学習法とか発見的学習法などが多く取り入れられるようになった。
ところが，従来の教材が殆んど未整理のまま新教材が持ち込まれたため，教材が過密に なり，問題練習に費す時間が不足するようになった。また主体的創造的学習法とか発見的 学習法などの授業では，生徒に意見を述べさせる機会が多く，教師が説明し生徒が練習問 題を解くという従来の授業形態と比較して問題練習の機会が少なくなった。
最近，算数，数学の解らない生徒が多くなったという教育現場からの声が高くなり，基 礎的な練習を重視すべきだという数学専門家の意見も強くなった。問題を解く事などは単 なる技術であり，数学的思考という主人公の道具に過ぎないという一応もっともらしい考 え方がある。しかし，よく考えて見ると問題を解く技術は数学的思考の道具かも知れない が問題を解く練習というのは，その数学的思考の生みの親であり育ての親でもある事がわ かるのである。本稿では，練習が生徒の学力形成に対して如何なる影響をもつかについて 考察し，次のような結論に到達する。
1．抽象的な教材でも具象的感覚的な存在として把握できるようになる。 （具象的把握）
2．複雑な教材でも一つにまとまった単純な存在として把握できるようになる。（単体的 把握）
3．教材の意味・内容に対する理解が深くなる。 （意味・内容の把握）
4．教材相互間の関係に対する理解が深くなる。（関係の把握）
5．知識・技能が確実に定着する。 （知識・技能の定着）
6．前述の1．2．3．4．5によって，確実なレディネスが形成され，その結果転移力が形 成される。 （転移力の形成）
7．確実なレディネスが形成される事から，「わかる」，「できる」という結果になり，
数学に対する興味・関心が高まる。（興味・関心の高まり）
8．確実なレディネスによって自信が生れ，主体的態度で取り組むようになる。 （主体的 態度の形成）
9．確実なレディネスによって，可能性が増大するため，創造的態度で取り組むようにな る。 （創造的態度の形成）
10．問題を解いていく過程の底に重要な数学的見方考え方が潜在している。これは練習の 積み重ねによって，自ら体得されるものである。（数学的見方考え方の形成）
以下，これらのメカニズムについて詳しく考察する。
1占具象的把握
数学教育においては，人間の環境に生起する様々な事象，現象を，次第に抽象の度合を 強めながら取り扱っていくが，その理解や思考の基礎として，事象，現象についての具体 的体験が極めて重要な役割をもっている。との具体的な体験を経ることなしに，性急に抽 象的教材を取り扱っても，理解は極く表面的になり思考は空転することになる。深い理 解，確実な思考のためには，教材内容の基礎となる事象，現象が十分野験されていなけれ ばならない。例えば，算数の習いはじめにおいて「5＋3」を考えたり，理解したりする ためには，5人と3人，5個と3個のような具体的な場面が脳裡に描かれていなければな
らない。「暑＋去」についても暑個と吉個のようなイメージが必要である。
ところが教材内容が次第に複雑化し，抽象化してくると，最初の体験の世界まで戻るこ とが困難になってくる。例えば，
3825．＝L4十5826．35
238×915・2一委「9藁「＋4ム
などを考えるとき，一々何人とか何個とかの具体的場面を思いうかべるわけではない。こ こでの思考の基礎は，何個という具象ではなくて，むしろ「3．2＋1．6」，「8×5」，
「去＋告」などの数そのものの基礎的計算なのである。勿論その背景の具象の世界が全く 消え失せているわけではないが，一応の理解や思考は数の中だけで進行することになるの
である。
多くの生徒は，この具象から抽象への過程を，それ程意識することなしに通過するもの である。なぜならば，この場合の学習過程が次のようになっているからである。
抽象化 複雑化
具 象一一→単純な数一一→複雑な数
（体験） （練習による習熟）
単純な数について練習を積み重ね習熟する中に，はじめは抽象的な存在であった筈の数 が，十分野験され知悉された具象的感覚的存在になるのである。したがって複雑な数の計 算をする段階では最初の具象の世界にまでは戻る必要がなくなっているのである，ここで 我々は最初の具象を第一次的具象，その抽象ではあっても，学習者にとって十分体験され たものを第二次的具象といい，以下同様にすれば，教材内容の高度化にしたがって第三次 的具象，第四次的具象……というものが存在する。群は整数，実数，式，行列などの抽象 であるが，そこでの体験を十分積んだ人にとっては，感覚的具象的存在に成り得るので ある。勿論その考察において，モデルである所の数式や行列のイメージを描くが，第一次 的具象にまで戻ることはない。（といっても第一次的具象が抽象的な数学にとって全く無 意味だというのではない。如何なる場合も考察の底の底には第一次的具象の世界が存在し ていなければならない。）
．さて数学の学習において，教材内容が次第に複雑化，抽象化されるに従って学習者は第 二次的具象，第三次的具象をその足場として築いていかなければならない。そうでなけれ ば数学はやがて手の届かない存在になって仕舞う。この第二次的具象，第三次的具象は何 によって築かれるのであろうか。それは云うまでもなく抽象化の各段階において十分な体
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数学教育における練習の意義について（若槻）
験を積むこと即ち練習を十分積むことに他ならない。練習を十分積み乍ら進めば，数学は 常に生き生きとした，具象的な存在として把握され，深く理解され確実に思考される存在 になるのである。
2．単体的把握
幼児に文字を教えると，はじあの頃は「み」，「か」，「ん」，「が」，「た」，「く」，
「さ」，「ん」，「あ」，「り」，「ま」，「す」，というように文字を一つ一つ読むだ けで意味を理解するまでには至らない。習熟するに従って「みかん」，「が」，「たくさ ん」，「あります」，のように逐次的に理解するようになり，遂には「みかんがたくさん あります。」と殆んど同時的に文意が把握するようになる。英会話というものは，一つ一 つの単語や構文を意識することなしに，sentence全体が一つのまとまりとなって同時的 に理解され表現されるようにならないとうまくいかないものだという。スポーツにおいて も，一つ一つの動作を意識しながらやるようでは十分な事が出来ないものであって，動作 の全体が一つのまとまりとなって無意識的になされる境地にまで到達したときはじめて自 由自在にプレイが出来るものだという。
何事によらず学習というものは，習熟するに従って，いくつかの要素の複合が一つのま とまりとなって把握されるようになる。ここで学習内容の最も基本的な要素を単体とい い，それらの複合された内容を複合体という事にすれば，何事によらず学習というものは 習熟するにしたがって複合体が単体的に把握されるようになるものだといえる。学習内容 が高度化するにつれて，その複合化もすすむが，その各段階において単体的把握の境地に まで習熟しながら進めば，高度な学習内容も比較的容易に習得できるのである。例えば文 字の一画一画を単体と見なすことにすれば魚や雪はその複合体であり，鱈は更にその複合 体である。鱈は初心者から見れば複雑な文字であるが，魚や雪を単体的に把握している者
にとっては魚と雪を左と右に書き並べるだけの極めて単純な内容なのである。数学におけ る一見複雑な解法や証明や概念も，それらはいくつかの小さな複合体に分割される。その 小さな一つ一つの複合体の多くは既習の内容であることが多い。もしそれらが単体的把握 の境地にまで習熟されていれば，一見複雑な証明や解法や概念も「あれとこれとこれ」と いうような極く単純なものになるのである。したがって複合化の各段階で単体的に把握し ながら進めば理解や記憶が極めて容易なものになるのである。この単体的把握の境地は練 習の積み重ねによってはじめて到達され得るものである。練習が十分でないとき学習内容 の高度化にしたがって落伍者が増加するという事になるし，練習が十分なら学習はわかり 易いものになるのである。
3．意味・内容の把握
何事も，実行させる事なしに，概念的な説明をしても，その意味，内容を本当に理解さ せる事は難しいものである。例えば中学生の確率で，さいころを投げたとき1の目が出る 確率は青，2の目が出る確率は暑と答える生徒が多いという事であるが，こういう生徒は 答の出し方を間違えたのではなく，確率の意味を理解していないのである。この場合，説
明だけでその意味を解らせることは大変難しい。むしろ，さいころを転がして見て，1貫 目が出た回数と転がした回数の比や2の目が出た回数と転がした回数の比を求めたりして
いる中に，自ら確率の意味が会得できるのである。大学生の場合でも演習は重要である。
例えば積分において，体積，表面積，曲線の長さなど求めさせることは，積分の意味や定 理の意味を具体的に把握させるために是非必要な事である。これを単なる計算のテクニッ
クであるとして軽視してはならない。
また練習は回数を多くする程，意味，内容の理解が深くなるものである。例えば小学校 4年生で，与えられた三角形と合同な三角形を作図する問題がある。例えば一辺とその両 端の角を定めれば合同な三角形が出来るわけであるが，何故そうすれば書けるかという理 由まで直ちに理解できる生徒は少ない。教師の説明があってもまだすっきりとしない生徒 も多い。生徒が自分で定規，コンパスを使って何回か書いている中に，突然それ以外の三 角形が絶対に出来ない事，即ち一辺とその両端の角だけで三角形が定まってしまうのだと いう事を悟るのである。またいくら易しい教材内容でも，学力の低い生徒には，その意味 を理解する事が困難な事がある。このような時は多くの説明を繰り返すよりも非常に易し い問題を繰り返しさせる方が理解きせ易もいのである。
4．関係の把握
数学の教材内容は，相互に様々な関係で結ばれている。例えば，合同と相似とか，長方 形と平行四辺形とかのような一般と特殊な関係，関数とグラフ，数と数直線のような対応 の関係，三角形と四辺形のような発展的な関係，5進法と10進法のような表現上の関係な どがある。これらの関係を理解するためには練習が重要な働きをもっているのである。例 えば与えられた四角形と合同な四角形を作図する問題を通じて四角形と三角形の定まり方 を理解し，5進法の形を10進法に直したり，10進法の形を5進法に直したり，5進法の中 での計算をしたりして5進法と10進法の関係を理解しゴ関数のグラフを書いたり，グラフ から関数を求めたりして関数とグラフの関係を理解するのである。練習を積めば積む程，
各教材が底の方で深い関係をもっている事がわかってくるのである。
5．知識・技能の定着
知識・技能は反復すればする程定着していくものである。脳や神経系にある刺戟が与え られたとき，脳や神経系が何らかの変化を起すものと考えられる。その刺戟が一回だけと いうような時は脳や神経系に生じた変化も消え失せ易いが，繰り返し繰り返し与えられた 場合は，半永久的に残るものと考えられる。丁度浅い傷はすぐ消え失せるが深い傷は永久 に残るように。この刺戟は，単に教師の説明を聞くだけのときよりも，自分の頭と手で問 題を解決するときの方が，脳や神経をフル回転の状態に置くだけに一般に強い筈である。
この繰り返しによって脳や神経系の変化は，知識，技能となって半永久的なものとなって 定着するものと考えられる。なお練習は，このような脳や神経のフル回転およびその繰り 返しという役割をもつと同時に，前の四つの節で述べた如く，教材内容を具象的かつ単体 的に把握し易くし，意味・内容及び関係を深く把握するという役割をもっている。抽象的 な事柄よりも具象的な事柄の方が，複雑な事柄よりも単純な事柄の方が，意味のない事柄 よりも意味のある事柄の方が，関連のない事柄よりも関連づけられた事柄の方が記憶し易 いのはいうまでもない。練習は事柄を具象的に，単純に，意味深く，関連ずけて把握する のに有効である事は前述した。この事からも練習は知識・技能の定着に有効であるといえ
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るのである。
6．転移力の形成
新しい問題に対処したとき，その解決の為には，問題点を明らかにし，条件を分析し，
見通しを立て，解決に至るために条件を変形して行かなければな、らない。その為には，既 習の教材内容が，具象的かつ単体的に把握され，意味・内容が深く理解され，関係が広く 把握されていなければならない。これらの条件はすべて練習の積み重ねによって得られる
ものである。即ち練習は転移力形成のためにも重要な役割を果すのである。
7． 興味・関心の高まり
生徒があもしろいと感ずるための重要な要素は「わかる」，「できる」，「力がつく」
という事である。よく「数学は実生活に役立たないから興味が湧かない」，とか，「つる とかめの話などが出て来ても実感が湧かないから興しろくない」などの話を聞くが，果し てそうゆうものであろうか。人間は実生活に役立たない事にも興味を持ち得るものであ
る。野球，サッカー，碁，将棋などがそうである。登山もそうである。「山があるから登 る」という有名な言葉がある。入間が興味を示し努力しようと考えるための極めて大きな 要因の一つは，何ものかを征服し，それを周囲から評価される事にある。子供というもの
は，いくら叱っても冷々親のいう事など聞かないものだが，うまくほめてやると，随分努 力を要する事でも熱心にやるものである。彼等は親が自分を高く評価していると信じて，
それをやり遂げる事に強い喜びを見出すのである。「山があるから登る」というのもその 底には征服とそれに対する評価への期待があるからではなかろうか。つるかめ算もつると かめの話では現実感に乏しいから，買物の問題にした方がよいという意見は一応もっとも らしいが，私の経験からいえば，つるとかめの話の方が興しろかったという憶えがある。
念のため二人の小学生に聞いてみたがやはりつるとかあの問題の方が興しろいという事で ある。つるとかめの問題の方が明快でユーモラスな感じがあるからであろうか。この事か らも買物や旅行のときに役に立つとか立たないとかで数学が興しろかったり興しろくなか ったりするものではない事がわかるのである。実生活に役に立たないから興しろくないと いうのは多分嫌いになった結果の云いわけに過ぎないように思う。強いて必要感というな ら学校生活の中での必要感というのがある筈である。生徒の当面している環境の中で最大 の比重を占めるのが学校生活であるのだから，そこで必要なものとされる事に対しては，
必要感を感じるのが普通ではないだろうか。
生徒の興味・関心を換起するものは，「わかる」，「できる」，「力がつく」，なので あって，いわゆる実生活に役立つからではないのである。そのためには，教材内容の高度 化の各毅階で，練習を十分積み，教材内容が生徒にとって抽象的な存在ではなく，複雑な 存在ではなく，意味の解らない存在ではなく，征服欲を満足させるための手頃な存在にな るようにしなければならない。こうして置けば生徒は征服感を味わい，力がついてくる事 の充実感を味わい興味・関心を高める筈である。練習こそ興味・関心の源泉なのである。
8．主体的態度の形成
人間は不案内な事柄に対しては，自信に欠け消極的依存的態度を取り勝ちなものであ る。逆に良く知りつくした事柄に対しては自信を持ち，積極的主体的に取り組むものであ る。練習を積む事によって，教材内容が生徒にとって具象的感覚的単体的存在となり，意 味・内容が深く理解され，関係が広く把握され，それらが知識となって定着し，計算や作 図などの技能も定着した存在となる事は前述した。これらは，生徒が数学の学習に積極的 主体的に取組得るための条件を満たしている事を示しているのである。即ち練習は主体的 態度の形成にも重要な役割をもっているのである。
9．創造的態度の形成
作曲をするためには，音楽を十分理解していなければならない。絵画，彫刻，小説など およそ新しいものを創造するためには十分な基礎的練習を積んで置く必要があるのはいう までもない。即ち，何かを創造するためには，それを実行できるだけの具体的な力を備え ていなければならないのである。数学の学習の中での生徒の創造活動とは， （生徒にとっ て）未知の法則を発見すること（生徒にとって）未解決な問題を解決する事という事にな
るが，それが実行されるためには，既習の事柄がよく把握され，計算力も十分なければな らないのである。基本的な知識・理解・技能というものがあやふやであっては，数学の中 での創造活動はできないのである。勿論，創造するという事と創造しようとする態度をも つという事は同じではない。しかし，それだからといって，創造する力のないものにも，
創造的な態度だけは身につけさせる事ができるのだと考えるのは誤りである。実際に創造 する力がなければ，創造しようとはしないし，創造しようとしない人に，創造的態度が身 につく筈がないのである。多湖三三は知識は創造的思考の邪魔になるという意味の事を述 べているが，恩田二二は，方法に関するレパートリーが広い程，創造性が豊かであるとい う実験結果を報告している。練習を積んで，既習の内容を充分把握し，様々な問題の解決 を身につけて置く事が，創造的な活動を可能ならしめ，そのような活動を通して創造的態 度が形成されていくのではないだろうか。
10．数学的見方考え方の形成
数学的方法とは，環境に生起する事象・現象を適当に捨象して数学的に剰え，記号化 し，分析・綜合し，帰納的，類推的または演繹的に推理をすすめ，新しい法則を発見した り，未解決の問題を解決したり，更にその結果を一般化したり，特殊化したりして統合 的，発展的に処理する事であるといってもよいであろう。したがって数学的見方考え方と はこのような見方考え方を指すものと考えられる。そして，そういう見方考え方を身につ けるためには，およそ二つの方法がある。その一つは，生徒が教師から説明を受けるこ とであり，他の一つは生徒が自ら実践することである。生徒が教師から説明を受ける事 は，難しい内容が理解し易くなり，生徒の学力では気づかないような，深く広い見方を学 ぶ事ができるという点で重要であるのはいうまでもない。しかし乍ら，野球やピアノが説 明を聞くだけでは上達しないのと同じように，数学も説明を聞くだけでは身につかないも のである。体で憶える野球やピアノと頭で憶える数学を同一に論ずるのは誤りではない か，しかも単に見方考え方というだけならば教師の説明を聞くだけで十分ではないか，と
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いう意見は一応もっともなようであるが大変な間違いである。
その事を二つの例をあげながら考察してみよう。
（例1〕，こどもが，5にんあそんでいました。あとで8にん，やってきました。ぜんぶ でなんにんになったでしょう。
この解法の過程を述べると
5＋8………（数への抽象，変換）
一5＋（5＋3）……ユ0に対する5の補数が5
（全体集合，部分集合とその補集合，8の分解，（集合の分割）
＝（5＋5）＋3……結合法則 （集合の和の結合法則）
＝10十3………（集合の和）
一13……・…・……・……記数法 （記号化，単純化）
〔例2〕，1個40円のりんごと1個20円のみかんをあわせて10個買いました。代金は320円 でした。りんごは何個でみかんは何個でしょう。
この解法の過程を述べると
10個ともりんごだとすれば代金400円 これは実際の代金よりも80円高い。
（鷺蕪襲黙黙何備編謬法の仮「
りんごを1個減らすとみかんは1個ふえ，代金は20円安くなる。
（みかんの個数はりんごの個数の関数代金はりんごの個数の関数）
80円安くなるたあにはりんごを4個減らせばよい。
（灘巌窟値を定あようとする）
このように，極くありふれた簡単な問題であるが，その底に流れる数学的見方考え方は，
ずっと程度の高い数学的見方考え方と同じものであることがわかる。生徒が自らの手で問 題を解くとき，無意識の中に，こうした深い見方考え方を味わっているわけである。こう いう見方考え方は単なる説明でわかるものではない。何回も繰り返し，実践している中に 自ら体得されるものである。即ち数学的見方考え方というものは練習を積む中で会得され ていくものなのである。練習によって板についてこそ見方考え方は本物となるのである。
む す び
数学教育における練習の機能を図解すれば次頁の図のようになる。
即ち，練習は確実なレディネスを形成し，数学的見方考え方を形成するという二つの重 要な機能をもっている。確実なレディネスは，主体的な態度と創造的な態度を形成すると 同時に，生徒を「わかる」・「できる」ようにする。「わかる」・「できる」ようになっ た生徒は数学に興味を持ち，練習を積極的にやるようになる。練習を積極的にやれば，レ ディネスが形成され，かつ数学的見方考え方が形成される。練習は数学の学習に関する極
練習を積む
具象的に把握する 事単体的に把握する ネ意味・内容を把握する 毒関係を把握する 啓 れ知識・技能が定着する ゑ
暑考秀叢成嚢る
わかうできる
興味関心が高まる
めて重要な循環系の心臓部に当る機能をもっている。練習が不足すれば，この循環系は勿 ち機能不全におち入ることになる。練習が十分なら，この循環系は十分に機能を発揮する
筈である。
近年数学教育の現代化が提唱されてから，重要なのは数学的な見方考え方であり，計 算とか問題を解く事などは単なる技能であって，見方考え方という主入公の道具に過ぎな い。見方考え方という主人公さえしっかりして居れば，道具は計算機などがあるからそれ 程準備に力を入れる必要はないのだという考え方が支配的になり，数学的構造，統合的見 方などに関する極く表面的な情報を生徒に与えることによって，早い時期から数学的な見 方考え方を育てようという数学教育がなされるようになった。最近数学のわからない生徒 が増加したという現場の声が至る所で聞かれるようになり，小平邦彦氏や正田健次郎氏な ど，第一線級の数学者間からも現代化に対する強い疑問が投げかけられるようになった。
米国やヨーロッパで現代化を提唱し，現代化の主導的役割を果したのもまた第一線級の数 学者であったのだが。ともあれ数学教育現代化の欠点の一つは練習の軽視にある。 （教材 内容が過剰になって練習の時間が圧迫された。）練習によって作られるものは，見方考え 方という主人公の単なる道具ではなく，練習は道具を作ると同時に，見方考え方という主 人公の生みの親，育ての親でもあることに留意しなければならない。また練習を十分積ん でこそ，「わかる」，「できる」生徒になるのだという事にも留意しなければならない。
147 数学教育における練習の意義について（若槻）
数学教育を健全な姿にするたき6には，蛮勇を奮って，教材を精選し，練習の時間が十分と れるようにしなければならない。
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