理系 ( 理，医，薬，工学部 ) 平成 17 年 2 月 25 日
1
座標空間内に4
点A(3, 0, 0)，B(0, 2, 1)，C(0, 2, 0)，D(3, 2, 0)
を考え，線 分CD
上の点P(x, 2, 0)
に対して，三角形PAB
の面積をS
とするとき，次の 問いに答えよ。(1) ∠APB = θ
とするとき，cosθ
をx
で表せ。(2) S
の最小値を求めよ。2
ボタンを1
回押すごとに，画面に1，2，3，4
のいずれかの数を表示する機械が ある。この機械が数X
を表示する確率は次のとおりである。X 1 2 3 4
確率
2a b b a
次の問いに答えよ。
(1) b
をa
で表せ。(2)
ボタンを2
回押したときに表示される数のうち小さくないほうの数をZ
と するとき，Zの期待値m
をa
で表せ。(3) m
を最大にするa
の値を求めよ。3
座標平面上において，x軸上の点列{P
n}
と曲線C : y = 1
x
2 上の点列{Q
n}
を 次のように定める。P1(a, 0) (a > 0)
とする。Pn(n = 1)
が定まったとき，Pn を通りy
軸に平行な直線とC
との交点をQ
nとする。QnにおけるC
の接線とx
軸との交点をP
n+1とする。次の問いに答えよ。(1) P
n(a
n, 0)
とするとき，anをa
で表せ。(2)
三角形P
nP
n+1Q
nの面積をS
nとするとき，X
∞n=1
S
nをa
で表せ。4
平面上の点の直交座標を(x, y)，極座標を (r, θ)
とする。極方程式r = f (θ)
に よって表される曲線C
について，次の問いに答えよ。(1)
曲線C
上の点(x, y)
について，µ dx dθ
¶
2+
µ dy dθ
¶
2を
f (θ)，f
0(θ)
を用いて 表せ。(2) f(θ) = sin
3θ
3
のとき，曲線C
の0 5 θ 5 π
2
の部分の長さを求めよ。解答例
1 (1) Pは線分CD
上の点であるから 0 5 x 5 3
−→ PA = (3, 0, 0) − (x, 2, 0) = (3 − x, −2, 0)
−→ PB = (0, 2, 1) − (x, 2, 0) = (−x, 0, 1)
C
D A P
B
3
O 2 1
x
z
y
x θ
したがって
−→ PA· −→
PB = (3 − x)·(−x) + (−2)·0 + 0·1 = x
2− 3x
| −→
PA| = p
(3 − x)
2+ (−2)
2+ 0
2= √
x
2− 6x + 13
| −→
PB| = p
(−x)
2+ 0
2+ 1
2= √ x
2+ 1
よって
cos θ =
−→ PA· −→
PB
| −→
PA|| −→
PB| = x
2− 3x
√ x
2− 6x + 13 √
x
2+ 1 (0 5 x 5 3) (2) 4PAB
の面積S
はS = 1 2
q
| −→
PA|
2| −→
PB|
2− ( −→
PA· −→
PB)
2= 1 2
p (x
2− 6x + 13)(x
2− 3x) − (x
2− 3x)
2= 1 2
√ 5x
2− 6x + 13
= 1 2
s 5
µ x − 3
5
¶
2+ 56
5
0 5 x 5 3
において，Sは最小値1 2
r 56 5 =
√ 70
5
をとる．2
から までのそれぞれの確率の和は であるから2a + b + b + a = 1
これをb
について解くとb = 1 − 3a
2
また，a
= 0，b = 0
に注意してb = 1 − 3a 2
µ
0 5 a 5 1 3
¶
(2)
ともに1
である確率は(2a)
2= 4a
2ともに
2
以下である確率は(2a + b)
2= µ
2a + 1 − 3a 2
¶
2= 1 4 a
2+ 1
2 a + 1 4
ともに3
以下である確率は(1 − a)
2= a
2− 2a + 1
ゆえに
P (Z = 1) = 4a
2P (Z = 2) =
µ 1 4 a
2+ 1
2 a + 1 4
¶
− 4a
2= − 15 4 a
2+ 1
2 a + 1 4 P (Z = 3) = (a
2− 2a + 1) −
µ 1 4 a
2+ 1
2 a + 1 4
¶
= 3
4 a
2− 5 2 a + 3
4 P (Z = 4) = 1 − (a
2− 2a + 1) = −a
2+ 2a
よって，mは
m = X
4k=1
k·P (Z = k)
= 1·4a
2+ 2 µ
− 15 4 a
2+ 1
2 a + 1 4
¶ + 3
µ 3
4 a
2− 5 2 a + 3
4
¶ + 4 ¡
−a
2+ 2a ¢
= − 21
4 a
2+ 3
2 a + 11 4
µ
0 5 a 5 1 3
¶
(3)
したがって，(2)の結果からm = − 21 4
µ a − 1
7
¶
2+ 20
7 µ
0 5 a 5 1 3
¶
よって，mは，a
= 1
7
で最大となる．3 (1) Pn(a
n, 0)
より Q
n
µ
a
n, 1 a
n2¶
y = 1
x
2 を微分するとy
0= − 2 x
3Q
nにおける接線の方程式はy − 1
a
n2= − 2
a
n3(x − a
n)
ゆえにy = − 2x
a
n3+ 3 a
n2
O y
P
nx Q
nP
n+1C
この接線の
x
軸との交点のx
座標はy = 0
を代入してx = 3 2 a
n これがP
n+1のx
座標であるからa
n+1= 3
2 a
n また，P1(a, 0)
であるからa
n= a
µ 3 2
¶
n`1(2) a > 0
および(1)
の結果からS
n= 1
2 (a
n+1− a
n) × 1 a
n2= 1 2
µ 3
2 a
n− a
n¶
× 1 a
n2= 1 4a
n= 1 4a
µ 2 3
¶
n−1X
∞n=1
S
nは，初項が1
4a
，公比が2
3
の無限等比級数である．公比について
¯ ¯
¯ ¯ 2 3
¯ ¯
¯ ¯ < 1
であるから，収束してX
∞n=1
S
n= 1
4a × 1 1 − 2
3
= 3
4a
4
を について微分するとdx
dθ = dr
dθ cos θ − r sin θ, dy dθ = dr
dθ sin θ + r cos θ
したがってµ dx dθ
¶
2+
µ dy dθ
¶
2= µ dr
dθ cos θ − r sin θ
¶
2+
µ dr
dθ sin θ + r cos θ
¶
2= µ dr
dθ
¶
2+ r
2= {f
0(θ)}
2+ {f (θ)}
2(2) f(θ) = sin
3θ
3
を微分するとf
0(θ) = 3 sin
2θ 3 · 1
3 cos θ
3 = sin
2θ 3 cos θ
3
したがって{f
0(θ)}
2+ {f(θ)}
2= µ
sin
2θ 3 cos θ
3
¶
2+
µ sin
3θ
3
¶
2= sin
4θ 3
求める長さを
l
とするとl = Z
π2
0
sµ dx dθ
¶
2+
µ dy dθ
¶
2dθ
= Z
π2
0
q
{f
0(θ)}
2+ {f(θ)}
2dθ
= Z
π2
0
r sin
4θ
3 dθ = Z
π2
0
sin
2θ
3 dθ = 1 2
Z
π2
0
µ
1 − cos 2 3 θ
¶ dθ
= 1 2
· θ − 3
2 sin 2 3 θ
¸
π2
0
