曲線の和に関する

曲線の和に関する Arnold 不変量の加法性

杉山龍太郎

信州大学理工学系研究科 数理・自然情報科学専攻

平成

28

12

21

境圭一氏（信州大学）との共同研究に基づく.

現在

平面の

generic

generic

特に

generic

generic

3

線を通過するときに変化する

Arnold

J ^± , S t

Definition

正則な閉曲線

c : S ¹ → R ²

(1)

v ∈ R ²

c ^{− 1} ( v ) ≤ 2,

(2) s , t , c(s) = c(t)

s , t ∈ S ¹

˙c(s) , ˙c(t)

c

generic

(generic closed curve)

Definition

H : S ¹ × I → R ² : 2

generic

H t (s) = H(s , t)

H

(1)〜(3)

H

generic

(1)

H t : S ¹ → R ²

(2)

t _i ∈ I (i = 1 , 2 , . . . , n)

H _t

generic

(3)

t _i

H _t

(a) 3

1

3

3

2

1

(b)

1

2

Definition

standard curve K _n

generic

K ₀

K ₃ K 2

K 1 . . .

全ての

generic

K _n

generic

て作ることができる.

Theorem (V.I.Arnold, 1994)

向きづけられていない

generic

S t , J ^±

(1) 3

generic

S t

(a) generic

c

3

1

(負)

c

S t(c

) − S t(c) = 1 ( −1 ),

(b) S t(K

) = 0 , S t(K

) = i ( i = 0, 1, . . . ).

(2)

generic

J ⁺

(a) generic

c

1

(負)

c

き,

J

(c

) − J

(c) = 2 ( −2 ),

(b) J

(K

) = 0 , J

(K

) = − 2i ( i = 0 , 1 , . . . ^).

(3)

generic

J ⁻

(a) generic

c

1

(負)

c

J

(c

) − J

(c) = −2 ( 2 ),

(b) J

(K

) = − 1 , J

(K

) = − 3i ( i = 0 , 1 , . . . ^).

接触の種類と正負

接触の仕方には

2

直接接触 逆接触

正

負

一般化された連結和の定義

Definition

橋

γ

= C + _γ C ^′ C γ

C

C ^′

2

C C ^′

γ

= C + γ C ^′

また橋が閉曲線の非有界領域にあるとき,連結和とよび,単に

C + C ^′

C γ C ^′

= C + C ^′

必要に応じて足し合わせた曲線に向きを入れて考え,それに矛盾が無い ように足し合わせる

2

連結和や

strange sum

Theorem (V.I.Arnold, 1994)

連結和に関して

Arnold

C , C ^′

generic

S t(C) + S t(C ^′ ) = S t(C + C ^′ ) , J ^± (C) + J ^± (C ^′ ) = J ^± (C + C ^′ ) .

C γ C ^′

= C + C ^′

Theorem (Mendes de Jesus-Romero Fuster, 2002)

Generic

C , C ^′

γ

γ ∩ (C ∪ C ^′ ) = ∅

J ^± (C + γ C ^′ ) = J ^± (C) + J ^± (C ^′ ) − 2T ^± (C + C ^′ ) + 2(ind γ ˙ (0) (C) + ind ₋ γ ˙ (1) (C ^′ )) , S t(C + _γ C ^′ ) = S t(C) + S t(C ^′ ) − T _γ ^{S t} (C , C ^′ ) .

C C ^′

γ

T ^± について

曲線を分離するとき, 2つの曲線が接触する回数を符号を含めて数えた ものが

T ^±

▶ T ⁺ ( Γ 1 , Γ 2 ):正 (負)

+ 1

( − 1

▶ T ⁻ ( Γ 1 , Γ 2 ):正 (負)

− 1

( + 1

直接,逆,正負については先ほどと同じ.

Example

このとき

T ⁺ = 2, T ⁻ = 2.

目標

c ₀ c ₁

γ

c 0 γ c 1

の場合について,

J ^± (c 0 + γ c 1 )

J ^± (c 0 ) , J ^± (c 1 )

また交差解消の際の接触数

T ^±

今回は

J ^±

S t

準備

C ⊂ R ² :

Definition

c : S ¹ → R ² : C

c(0) = c(1)

R : R ² − C

1

p : R

e ^{i θ (t)} = c(t) − p

| c(t) − p |

θ : [0 , 2 π ] → R

ind ^R (c) : = θ (2 π ) − θ (0)

2 π

c

R

Example

• p

• p

このとき

p

ind ^R = 2,

ind ^R = 1

Remark

領域指数は曲線の向きに依存する.

x ∈ C : 2

v : x

C

p ∈ R,

R

R ² − C

v

(x , v )

ind _v (C) ∈ Z

Definition

C

c : S ¹ → R ²

c(0) = x

e ^{i θ (t)} = c(t) − p

| c(t) − p |

θ : [0 , 2 π ] → R

ind p (c) : = θ (2 π ) − θ (0) 2 π

ind _v (C) : = s · ind p (c)

ただし,

s = ± 1

R

(左)

+ 1 ( − 1).

˙c(0)

v p

˙c(0)

v s = − 1

s = 1

˙c(0)

ind _v (C)

Lemma

ind _v (C)

c

ind _v (C)

C

一般化された連結和における J ^± の加法性

Theorem (S,)

c 0 , c 1 : generic

γ : [0 , 1] → R ² : c 0

c 1

γ (0) ∈ c 0 , γ (1) ∈ c 1 , n _γ : γ

2

˙c 0 (0) , γ ˙ (0)

γ

γ

c 0 (c 1 )

l ⁺ ₀ (l ⁺ ₁ )

l ⁻ ₀ (l ⁻ ₁ )

J ^± (c 0 + γ c 1 ) = J ^± (c 0 ) + J ^± (c 1 ) − 2T ^± (c 0 , c 1 ) + 2(ind γ ˙ (0) (c 0 ) + ind ₋ γ ˙ (1) (c 1 )) ± 2n _γ ± 2(l ^± ₀ + l ^± ₁ )

• c ₀ c ₀

c 1

c ₁

• •

p ₁ = γ (0) •

p 2

p 3

p 4 = γ (1) γ

γ ˙ (0)

− γ ˙ (1)

証明の準備

Strange sum

J ^±

Theorem (S, )

γ : [0 , 1] → R ²

Γ : = γ ([0 , 1])

c ₀ , c ₁

2

n _Γ

J ^± (c 0 + _Γ c 1 ) = J ^± (c 0 ) + J ^± (c 1 ) + ind γ ˙ (0) (c 0 ) + ind ₋ γ ˙ (1) (c 1 ) ± 2n _Γ ±| Int Γ ∩ (c 0 ∪ c 1 ) |

概要

push appendix

J ^±

c i c i

Γ

c i

Γ

c i

Γ

これによって

c 0 + _γ c 0 = ˆc 0 + ˆc 1

この定理を用いて

Mendes de Jesus

C C ^′

γ

C

C ˆ ^′

γ ˆ

C ˆ ^′

C ^′

γ (1)

▶ J ^± (C + γ ˆ C ˆ ^′ )

▶ J ^± (C + γ ˆ C ˆ ^′ )

J ^± (C + _γ C ^′ )

T ^± (C , C ^′ ).

▶ γ

(法線指数分).

= ⇒

こちらの証明方法によって,より一般化された

証明概要

橋

γ

c 0 c ₁

ind ^R (C 0 ) = i ind ^R (C ₁ ) = j ˆ

c 0 c ₁

c 0 c 1 c ˆ 0 c 1

c 1

ˆ

c 0 c 1 c ˆ 0 c ˆ 1

ˆ

c ₀ c ˆ ₀ c ˆ 1

γ ˆ γ

c 0 + _γ c 1 = ˆc 0 + γ ˆ ˆc 1 , J ^± (ˆc 0 + γ ˆ ˆc 1 )

Mendes de Jesus

この変形による,自身との接触回数,分離する際の接触回数の変化を考え ると

J ⁺ (ˆc ₀ ) = J ⁺ (c ₀ ) + 2l ⁺ ₀ + 2n _γ , J ⁻ (ˆc ₀ ) = J ⁻ (c ₀ ) + 2l ⁻ ₀ − 2n _γ

T ⁺ (ˆc 0 , ˆc 1 ) = T ⁺ (c 0 , c 1 ) − l ⁻ ₁ , T ⁻ (ˆc 0 , ˆc 1 ) = T ⁻ (c 0 , c 1 ) + l ⁺ ₁ .

T ^± の計算の準備

Definition

次のように

2

smoothing

Example

smoothing

T ^± の計算の準備

Lemma

C , C ^′

generic

C

smoothing

C k

(k = 1 , 2 , . . . , n)

T ^± (C , C ^′ ) =

∑ n

k = 1

T ^± (C k , C ^′ ) .

考え方

C ^′

C ^′

C ^′

C ^′

C C C C

C C C C

•• ••

必ず直接又は逆接触が

2

± 1

よって

T ^±

証明の準備

Lemma

C

C ₁

generic

R ⊂ R ² − C ₁

C ⊂ R

T ^± (C , C ₁ ) = ind(C) · ind ^R (C ₁ )

考え方

ind ^R

(C 1 ) = 0 ind ^R (C 1 ) = i

p p ^′

C C 1

•

•

p

R ^′

C 1

l 1

l 2

T ⁺ (C , C 1 ) = l 2 − l 1 , T ⁻ (C , C 1 ) = − l 1 + l 2

である.また

l 1 − l 2 = i

T ^± (C , C 1 ) = − i = ind(C) · ind ^R (C 1 )

Corollary

上の定理は

C ∼ K 1

T ^± 計算方法の概要

C _i ^′ _{, in}

C _i ^′ _{, out}

C ^′ _{i , in}

C _i ^′ _{, out} R ¯

C

C ˆ

このとき

T ^± (C , C ^′ ) = ( ∗ ) + ind( ˆ C) · ind ^{R ¯} (C ^′ )

となる. (

∗ )

C ^′ ₁ , . . . , C ^′ _m

C

C _i ^′ _{, in}

C ^′ _{i , out}

C ^′′ _i C ^′ _{i , in}

C _i ^′ _{, out}

C ^′ _{i , in}

C ^′ _{i , out}

• p

C ^′ _{i , in}

C _i ^′ _{, out}

C ^′ _{i , in}

C _i ^′ _{, out}

C _i ^′′

• p

元々の弧を分離するのと

C ^′′

▶ C ^′′

▶ p

= ⇒

まとめ

Theorem (一般化された連結和における J ^±

J ^± (c ₀ + _γ c ₁ ) = J ^± (c ₀ ) + J ^± (c ₁ ) − 2T ^± (c ₀ , c ₁ ) + 2(ind _{γ ˙ (0)} (c ₀ ) + ind _{− γ ˙ (1)} (c ₁ )) ± 2n _γ ± 2(l ^± ₀ + l ^± ₁ )

Theorem (T ^±

T ^± (C , C ^′ ) =

∑ k

i = 1

 



m

∑

j = 1

( ind(C ^′′ _{i , j} ) · ind(C _i ) − ε ^± _C

_{, j} )

+ ind(C _i ) · ind ^{R ¯}

(C ^′ )

 

 .