2007-09年の金融危機とシステミック・リスク（2）

茨城大学人文学部紀要（社会科学論集）第60号抜刷 2 0 1 5 年 9 月

 論文

2007-09 年の金融危機とシステミック・リスク（2）

The Financial Crisis of 2007-09 and Systemic Risk (2)

有 泉   哲

2007‑09 年の金融危機とシステミック・リスク（2）

The Financial Crisis of 2007-09 and Systemic Risk (2)

有 泉   哲

要約

 本稿は、2007

‑ 09

5

リスクは、複雑ネットワークとしてのシステムの振舞いのうちにある。すなわち、信用ブーム期に 進展するリスクの過小評価と金融セクター内取引のシェアの拡大によって、システムが相転移点を 越えてデフォルトのグローバル・カスケード 脆弱 領域に入り込むことが、システミック・リス ク実現の基層を成す。これが流動性スパイラル／投げ売りの過程を引き起こし、あるいはその基盤 となることによって、システミック・リスクは流動性の危機として発現する。

5．複雑ネットワーク上の相転移

 ネットワーク（グラフ）とは、ノード（点）

とそれらを結ぶエッジ（枝）との集まりで ある。純粋数学としてのグラフ理論は

18

1990

。Newman （2008）

 純粋に理論的な対象として、ネットワー クは少なくとも

18

複雑系──相互作用する構成要素から成る 現実世界のシステムであり、それらについ て、ネットワークは単純かつ著しく有用な

描写（representation）を提供する──研究 の主要なツールとして、新たな実践的役割 を担うようになった²

。

 経済学の世界では、ネットワーク理論は馴 染みの薄いものである。しかし、2007

­ 09

。

 本稿（1）の冒頭で、今回の金融危機を考 えるとき、中心的な問題は、何故、比較的小 さなショックがグローバルな金融システムを 揺るがす危機へと発展したのかという点にあ る。そして、その答えは金融システムそれ自 体の性質のうちにある、と述べた。この問題 を考えるとき、

Watts （2002）

・

・モデルが大変興味深い。

1

Strogatz （2001）、 Newman （2003, 2008）、 Watts （2004）

Newman （2003）

は詳しい。また、増田・今野（2010）は優れた概説書である。

2 Newman（2008）p.33.

3

（2008）、藤井・高岡（2010）、Gai and Kapadia（2010）、Gai, Haldane

and Kapadia（2011）、Battiston et al. （2011）、Anand, Gai and Marsili（2012）等がある。

 なお、Wattsモデルの問題意識は次の点に ある。

 小さな初期ショックが、過去において同 様の攪乱に対して安定性を示してきた大き なシステムにカスケードを成して影響を及 ぼし、あるいはシステムを崩壊させるとい うことは、どういうことか⁴

。

これを、ネットワークの連結性（connectivity）

に焦点を当てて説くモデルである。

（1）Watts のグローバル・カスケード・モデル  Watts（2002）のモデルは、直接に金融シ ステムを念頭に置いたモデルではないが、シ ステムを構成する個々の要素に採り得る

2

。

0, 1 ｝

k

。

 ノードが

0

1

隣接するノードの状態に依存する。各ノード はそれぞれに閾値

φ

k

1

φ以上となるとき、当該ノードも状態 1

0

φ

は

［0, 1］

（ f φ ）

 任意の次数分布のネットワークを考える。

ここでは、次数分布を除けば、その他の点に ついてネットワークは全くランダムであると する

（一般化ランダム

・

N

k

p

｛ p

｝

＝ ｛ p

, p

, p

,… ｝

平均次数〈k

〉 ＝ z

〉 ＝ z

≪ N

 いま、十分大きなネットワークを考え、カ スケードの動学を考えるために、出発点にお いてすべてのノードの状態を

0

t ＝ 0

・

→∞の無限

なお、現実のネットワークは有限であること から、実際上は、Nの固定した割合以上を占 めるカスケードを指すこととなる。

 ところで、この摂動（初期ショック）が他 のノードへと伝播するためには、少なくとも その隣接ノードの

1

1/k

1/ φ

4 Watts （2002） p.5776.

5 Watts（2004）が扱っているように、これを

ば革新的な新商品の普及過程のモデル化であり、諸個人がその新商品を購入する／購入しないの判断 を、社会的ネットワークで繋がった隣人の判断を見ながら行う、といったケースに対応する。

6 Watts（2002）のモデルは無向グラフ（エッジに矢印のないネットワーク）上のモデルである。これに

対して、金融システムをモデル化しようと思えば有向グラフとなる。しかし、後述するように、有向 グラフ上でも定性的には全く同一の議論が成り立つ。

7

以上で最小の整数として、次数

k ≦ K

1

 そして、ネットワークにグローバル・カス ケードを生ずるためには、脆弱なノードのサ ブ・ネットワークが元のネットワークの全体 に浸透

（percolate）

なお、脆弱なノードのサブ・ネットワークが ネットワークの全体に浸透するとは、正式 には、脆弱なノードから成る連結成分が無限 ネットワークの有限な割合を占めることを言 う。また、現実のネットワークに即して考え るときは、そのサイズが

N

 いずれにしろ、問題をこのように立てるこ とは、複雑ネットワーク上の動学を静的な パーコレーション問題に還元して考えること を可能とする。

 以下、確率母関数を用いて無限グラフの パーコレーション問題を考える⁸

。

 次数

k

ρ

（ f φ ）から

φ

ρ

＝ Pr ［ φ ≦ 1/k］である

。ノード

k

p

k

ρ

p

  G

（x）

＝ Σ   ^ρ

^p

^x

  ^（1）

       ^k

と書ける。G

（1）

＝ P

G （x）は、1

x ＝ 1

。例えば、G' （1）

＝Σ

kρ

p

z

と書くこととする。

 次に、1つのエッジを選んだとき、それに よって到達するノードの次数分布を考える。

任意に

1

k

k

ρ

k

k ρ

p

 いま、1つのノード

u

1

v

k

k ρ

p

 そこで、uを選んだとき、1つの隣接ノー ド

v

v

k

k−1

v

k−1

8

（2001）に詳しい。

9 ρ

＝ 1   , k＝0

∫

（ f φ ） d φ , k >0

{

10

［ （ ） ］

〈 k

〉 ＝ x G d （

x ） dx

n

x＝1

として求められる。

  G

（x）

＝ ＝ Σ

 ^{k ρ}

^p

^x

k

Σ

 ^kp

G' （x）

z （2）

となる。なお、規格化に用いる分母はネット ワークの平均次数

z

 さて、脆弱なノードから成る連結成分（ク ラスター）の大きさを

n

いま、ランダムに選んだエッジをたどって到 達するノード

v

n

H （x）と書く。このとき、H

（x）は次の自己

整合性条件を満たす。

  H

（x）

＝ ［1−G （1）］

＋xG （H

（x））

（3）

右辺第１項は、到達したノード

v

2

v

1

1

x

 図

11

v

N

φ

とりあえず巨大な浸透する連結成分が存在し ない場合を考えたとき、□によって任意に選 んだエッジの先に繋がる連結成分を示すこと とすると、連結成分の大きさの分布は、vが 脆弱であれば、図の右辺の各ケースの確率に よる加重和に等しい。そして、この確率は

（2）

式で示される

v

G （H

（x））となる

。なお、

浸透する連結成分が存在しないとき

H （1）

＝ 1

 次に、ランダムに選んだノード

u

n

H （x）と書く。このとき、

  H

（x）

＝ ［1−G （1）］

＋xG （H

（x））

（4）

となる。右辺第

1

u

2

x

1

u

G （H

（x））となる。

 そこで、脆弱な連結成分の平均クラスター

・

〈n〉 ＝ H' （1）を求めるために、まず

H' （1）を求める。（3）

  H'

（1）

＝G （H

（1））

＋G' （H

（1））

H' （1）

（1）

＝ 1

11 v

q

, q

,…と書くとき、（3）式の第 2

＋ x q

H （x）

＋ x q ［H

（x）］

＋…

となる。なお、同一の分布からの

m

m

Schematic representation of the sum rule for the connected component of vertices reached by following a randomly chosen edge. The probability of each such component (left- hand side) can be represented as the sum of the probabilities (right-hand side) of having only a single vertex, having a single vertex connected to one other component, or two other components, and so forth.

出所 Newman et al. (2001).

図 11 （3）式右辺第 2 項の概念図

H' （1）

＝ ＝ G （1）

1−G' （1）

z

/ ^z

1−G'' （1）

/ ^{z （5）}

となるから、（4）式より

〈n 〉 ＝ H' （1）

＝ G （1）

＋ G' （1）

H' （1）

＝ P ＋ z

z−G'' （1）

（6）

となり、これは

G'' （1）＝

Σ

 ^{k （k−1） ρ}

^p

^{＝ z}

k

（7）

のときに発散する。

 Wattsは

（7）

G'' （1）

＜ z

（1）

＞ z

そして、（7）式は

2

 ところで、（7）式において

（k−1）は k k

ρ

（ φ ）を与件とし

 その構成から、上の議論は任意の次数分 布

{ p

}

（ f φ ）について成り立つ。

図

12

φ

φ

, z）平面にカスケー

N ＝ 10,000

t ＝ 0

1

数値計算

100

 縦軸と破線／黒丸に囲まれた領域がグロー バル・カスケード領域であり、外側はグロー バル・カスケードの生じない領域である。示 される通り、低い

z

z

 図

13

φ

＝ 0.18

z

（白丸）と生じたときの規模（黒丸）とを見

N

＝ 10,000

1

1000

 同時に、図には比較のために

3

s

。点線は脆弱な連

12

分布となる。

Cascade windows for the threshold model. The dashed line encloses the region of the ( φ

, z) plane in which the cascade condition is satisfied for a uniform random graph with a homogenous threshold distribution f ( φ ) =δ ( φ−

φ

). The solid circles outline the region in which global cascades occur for the same parameter settings in the full dynamical model for n=10,000(averaged over 100 random single-node perturbations).

出所 Watts (2002).

図 12 （φ＊, z）平面上の相図

結成分にそれと隣接する安定なノードを加え た拡張された脆弱な連結成分の大きさ

s

s

 摂動を与えるノードをランダムに選んだ時 のグローバル・カスケードの頻度を示す白丸 は、s_vではなく

s

ケードを引き起こす、という点を考えれば自 明である。

 これに対して、グローバル・カスケードが生 じたときの平均規模を示す黒丸は

s

すなわち、脆弱な連結成分を超えて、元のネッ トワークの連結成分の全体に波及する¹⁴

。これ

1

（2） 金融ネットワーク

 図

13

2

ここでは、システミック・リスクを金融シス テムにデフォルトのグローバル・カスケード の生ずるリスクとして捉える。

 各ノードは市場型金融システムを構成する 金融機関（leveraged financial institutions）¹⁵を 示す。エッジは金融取引を示すが、債権・債 務の関係を反映してネットワークは有向グラ フとなる。なお、言葉の簡便のため、ここで の金融取引を「銀行間取引」と呼ぶこととす る。

 デフォルトの伝播を考えるところから、

ノードに入るエッジを当該金融機関が他の 金融機関に対して持つ債権を示すものとし、

ノードから出るエッジは他の金融機関に負う 債務を示すものとする。そして、簡単のため、

エッジ

1

Cross section of the cascade window from Fig. 1, at

φ

=0.18. Comparison between connected components of the network and the properties of global cascades. The frequency of global cascades in the numerical model (open circles) is well approximated by the fractional size of the extended vulnerable cluster (short dashes). For comparison, the size of the vulnerable cluster is also shown, both the exact solution derived in the text (long dashes) and the average over 1,000 realizations of a random graph (crosses).

The exact and numerical solutions agree everywhere except at the upper phase transition, where the finite size of the network (n=10,000) affects the numerical results.

Finally, the average size of global cascades is shown (solid circles) and compared with the exact solution for the largest connected component (solid line).

出所 Watts (2002).

図 13 φ＊＝0.18での切断面

13

H （1）

＜ 1

＝ 1 − H （1）

＝ G （0）

− G （H

（1））

14 z

＝ 1）となれば、元のネットワークの全体に波及する。

15

・

融機関（leveraged financial institutions）」と表記する。なお、影の銀行システム の重要な構成要素で ある

MMMF

であるとする。

 金融機関

i

A

A

A

  A_i

＝ A

＋ A

その負債

L

C

、預金等を D

、

L

  L_i

＝ C

＋ D

＋ L

 ここで、

Σ

A

＝Σ

L

A

、

L

Σ

A

＝ A、 Σ

L

＝ L

θ＝ A

/A ＝ L

/L

θ

。

A

1

w

＝Σ

A

θを与件

A

A

総次数が決まれば

w

 金融機関がソルベントでデフォルトしない 状態を

0

1

＝ L

i

  C_i

＝ A

＋A

−D

−L

≧0 （8）

である。

 いま、（8）式の状態から出発して、ノード

i

。

すると、

  A^E_i

＋ （1−ψ

） A

−D

−L

＜0

となると、自らもデフォルトすることとなる。

このとき、

ψ

＞         ＝ C

A

A

＋A

−D

−L

A

である。そこで、

φ

＝ C

/ A

Watts

1

φ

i

1

 そこで、

φ

＝ C

/ A

i

（ f φ）からφ

j

＝ wj

φ

C

 以下、個々のノードを区別する添字を落と して表記することとする。入次数を

j

φ＜ 1/j

1

j

ρ

ρ

＝ Pr ［ φ＜ 1/j］

16 IMF（2011）の Fig.1.21

1/4

4

17

（2008）や藤井 ・

20

である。

 任意の

2

次数

j、出次数 k

p

こととする。ノードが脆弱であり、かつ次数

（j, k）を持つ確率は ρ

p

al. （2001）に従って、この分布の母関数は

G （x, y）＝ Σ

  ^ρ

^p

^x

^y

と書ける。但し、

Σ

^{（j − k） p}

^{＝ 0}

すなわち、平均入次数＝平均出次数であり、

この平均次数を

z

 デフォルトのカスケードを考えるところか ら、出エッジによって繋がった脆弱な連結成 分を考える¹⁸

。そのために、

1

かつ出次数

k

G （y）

＝ G （1, y） ＝ Σ

^ρ

^p

^y

^（1'）

となり、1つのエッジを選んだとき、その到 達点のノードが脆弱であり、かつ出次数

k

G （y）

＝ 1 z

∂ G

∂ x

Σ 

^{j ρ}

^p

^y

jk

・    ＝ z （2'）

と書ける。

 1つのエッジを選んだとき、矢印の先にあ るノードが大きさ

n

  H

（y）

＝ ［1−G （1）］

＋yG （H

（y））

（3'）

と書ける。また、

1

それが大きさ

n

  H

（y）

＝ ［1−G （1）］

＋yG （H

（y））

（4'）

となる。

 ここから、先と同様にして平均サイズ〈

n〉

を求めると、

〈 n〉 ＝H' （1）

＝ G （1）

＋ G' （1）

1−G' （1）

（6'）

となる。

〈 n〉の発散する条件は、G' （1）

＝ 1

書き換えると

Σ

（2jk ρ

−j−k） p

＝ 0 ^（7'）

となり、これがカスケード条件となる。なお、

これを（7）式に対応した形で書くと

Σ

jk ρ

p

＝ z

であり、定性的には先と同一の

2

 そこで、図

12、

13

 下部境界において生ずる相転移は、通常の パーコレーション問題における相転移と同 様の連続相転移である。Wattsのモデルでは

φ ^∈ ［0, 1］であるから、z≃1

3/2

。なお、現実の金融機

18

19

Newman et al. （2001）。

タは存在しないが、先進経済において、平均 次数が、連結性についての相転移点近辺とい う意味での下部境界近辺というほどに小さい 訳ではない。

 これに対して、上部境界における相転移は、

図

13

z

 平均次数

z

z

カスケードの伝播を阻んでいるものはノード の局所的な安定性である。すなわち、多くの ノードは多数の隣接ノードに繋がっており、

1

1

1

 これを銀行間取引のネットワークで言え ば、zの大きな領域では、多くの金融機関は、

多数の金融機関に対して分散して銀行間債権 を保有しており、カウンターパーティの

1

。

 したがって、下部境界を越えて下から

z

13

ように、カスケードの頻度は急速に上昇して やがてピークを打ち、その後、頻度は急速に 低落する。すなわち、上部境界へ向けて

z

1

 しかし、上部境界に至るまでは、ネット ワークに浸透する脆弱な連結成分が存在して おり、かつ、ネットワーク自体の連結性は増 大しているので、摂動を与えられたノードが 拡張された脆弱な連結成分に属していれば、

その時のカスケードは、ネットワークの全体 を覆い尽くすような極めて大規模なものとな る。

 こうして、Wattsは、システムが上部境界 のすぐ内側にあるとき、 頑健だが脆弱

（ robust yet fragile ）

 ここでは、外的ショックは、ほとんどの場 合隣接ノードの安定性によって吸収され、大 きなカスケードへと発展することはない。し たがって、システムは多くの外的ショックに 対して長期にわたって完全な安定性を示す。

すなわち、頑健であり、システムは高度に安 定なシステムから先験的には区別できない。

しかし、それが比較的小さなショックに対し、

突然にシステム全体を覆い尽くすようなカス ケードを生ずるという脆弱さを示す。そして、

20 z

17

本で吸収されない部分の損失はこの金融機関に債権を有する金融機関すべてに分散されるため、デフォ ルトするノードの機関の調達先となっていた金融機関の数が多いほど波及するショックの

1

21

Carlson and Doyle （1999, 2002）

HOT （highly optimized tolerance）

（工

HOT

Watts

この 頑健だが脆弱 という性質は、グロー バル・カスケードの発生を予測することとを 例外的に困難としている。

 この

Watts

機に当てはめれば、金融システムは上部境界 のすぐ内側にあって 頑健だが脆弱 な性 質を持つ。そして、その脆弱さが表に出たの

が

2007-09

る。

 市場型金融システムの発展は資本市場と金 融仲介との統合をもたらし、銀行、投資銀 行、ヘッジ

・

financial institutions）の結びつきを密なもの

z

z

 こうして、システムの連結性

z

一方で分散効果を通じてノードの局所的安定 性を高め、システムをショックに対して頑健 なものとするとともに、ひとたび危機が生ず るとすれば、危機はシステムの全体に波及し、

グローバルに伝播するものとなった。

 さて、金融システムをこのように 頑健 だが脆弱 なものと捉える立場は、Gai and

Kapadia（2010）の立場である

。すなわち、

   我々の結果は、金融システムは頑健だが 脆弱な傾向を示すことを示唆している。そ れらは同時に、先験的には区別できない

ショックが著しく異なる結果を導くという ことが、どのようにして可能かを示してい る。

    このことは、2007年に先立つ時期のかな り大きなショックに対してシステムが示し てきた強靭性の証拠が、何故、その後の頑 健さの信頼できるガイドとならなかったの かを説明する²³

。

 しかし、金融システムを 頑健だが脆弱 と性格付けることは、システムをその静態に おいて捉えることに帰着する。すなわち、シ ステムの性質を、偶然にどのノードにショッ クが生ずるかに応じて、ほとんどのショック に対して頑健性を示すとともに、極めて稀に システム全体を揺るがすような脆弱性を示す ものとして描く。

 これに対して、金融システムの振舞いは時 間発展するものである。そして、ブーム‐バ スト・サイクルが言われるように、あるいは

Schularik and Taylor（2012）が過去のデータ

 したがって、本稿では、信用ブーム期を通 じてシステムのパラメータ値に変化が生じ、

やがては上部境界を越えて相転移を生ずると いう点に焦点を当てて論じたい。なお、モデ ルの

2

z

φ 〉の側に着目して

。また、後述のように、

システムを動的に捉えたとき、 頑健だが脆 弱 という性格付け自体が必ずしも適切で

22 Watts

なっている。加えて、彼らの場合はシステムの時間発展を考えないことから、流動性スパイラル／投 げ売りの効果も同時にモデルに含めようとしている。

23 Gai and Kapadia（2010）p.29.

24

の簡単のため、分散一定のまま平均〈

φ 〉のみが変化するものと単純化して論ずる。