一般の基準座標の求め方

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一般の基準座標の求め方

樋口さぶろお

龍谷大学理工学部数理情報学科

現象の数学 B L05(2011-10-25 Tue)

今日の目標

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1

一般の連成振動の運動方程式を , x

± x

と限ら ない基準座標の方法で解けるようになろう .

http://hig3.net

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連成振動と基準座標

略解

基準座標 X = x

+ x

, Y = x

− x

をとると ,

X

= − 5X, X(0) = 0, X

(0) = 6.

Y

= − Y, Y (0) = 0, Y

(0) = 0.

それぞれ一般解を求めると , X(t) = A

cos

(

√

5 t − θ

, Y (t) = A

cos

√

1 t − θ

ここで A

, θ

は任意定数 . これらを初期条件から定めると , A

= 6/ √

5, θ

= π/2, A

= 0, θ

= 任意 これらは , ^一般角や , A

= − 6/ √

5 ^{と取る可能性など} , ^{一意ではない} . ^し かし , 代入した関数 X, Y は一意で ,

X(t) =

sin

(

√ 5 t

)

, Y (t) = 0.

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連成振動と基準座標

よって

x

(t) = x

(t) =

sin

(

√ 5 t

)

. 別解 : なお , x

, x

の一般解

x

(t) =C

cos

√

5 t − θ

+ C

cos(t − θ

), x

(t) =C

cos

(

√

5 t − θ

)

− C

cos(t − θ

)

を求めてから初期条件を課して C

, θ

を定めるという手順でも同じ結果 を得る .

別解 ’: 別解で加法定理を使って , x

(t) =D

cos

(

√ 5 t

)

+ D

sin

√

5 t

+ E

cos(t) + E

sin(t) x

(t) =D

cos

(

√ 5 t

)

+ D

sin

√

5 t

)

− E

cos(t) − E

sin(t)

として , D

, E

を定めるという手順でも同じ結果を得る .

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一般の基準座標の求め方 基準座標(一般の場合)

基準座標 ( 一般の場合 )

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問題 ( 連成振動と基準座標 )

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x

= − x

− 4(x

− 2x

) x

= + 2(x

− 2x

) − x

のときに , 霊感で基準座標 a

x

+ a

x

をみつけて , 運動方程式を分離し よう .

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一般の基準座標の求め方 基準座標(一般の場合)

霊感のない人のための方法

x⁰⁰

= − Kx と書こう .

= (

), K ^は 2 × 2 ^行列

( _{+5 − 8}

− 2 +5

)

. X = a

x

+ a

x

が基準座標になってるとする . 基準座標って ?

方程式が分離される x ^{の線形結合}

X

= [a

x

+ a

x

]

= (a

a

)

x

x

|{z}

=

運動方程式

− (a

a

)K

x

x

右辺が

− ^定数 × X =

− ^定数 × (a ₁ a ₂ ) ( ^x _x

)

にならないといけない . 定数を λ とおく .

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一般の基準座標の求め方 基準座標(一般の場合)

(a

a

)K = λ × (a

a

) 両辺の転置行列をとって , ( 復習 : 行列では

(AB ) ^t = B ^t A ^t

)

K

a

a

= λ

a

a

転置行列 K

の固有値を λ, 固有ベクトルを (

) とすると , 基準座標は

で与えられ ,

X

= −λX という方程式が導かれる . λ > 0 なら

X ^{は単振動する}

X(t) = A cos( √

λ t − θ)

固有値 2 ^個 λ

, λ

. ^{固有ベクトル} ( ^{すなわち基準座標} ) ^も 2 ^{個でるはず} . X(t) = X

(t) = a

x

+ a

x

=A

cos(

λ

t − θ

) Y (t) = X

(t) = a

x

+ a

x

=A

cos(

λ

t − θ

)

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一般の基準座標の求め方 基準座標(一般の場合)

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問題 (固有値固有ベクトル)

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M の固有値固有ベクトルについて , うそはどれ ?

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^{M = P}

(λ1 0 0 λ2

)

P

^{と対角化したときの} λ

, λ

が M ^{の固有値で} ある .

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2

2 × 2 行列の固有値はふつう 2 つある .

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3

det M を計算すると M の固有値もわかる .

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4

固有方程式 det(M − λI) = 0 ^の 2 ^根 λ ^は M ^{の固有値である} .

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5

固有ベクトル

は , 求めた固有値 λ に対して , Mv = λv を解くと求 まる

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6

固有ベクトルの (0 ^倍を除く ) 定数倍もまた固有ベクトルである

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一般の基準座標の求め方 基準座標(一般の場合)

問題

さっきの問で転置行列 K

の固有値と固有ベクトルを求めよう . ^それを利 用して 2 個の基準座標を作ろう .

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一般の基準座標の求め方 基準座標(一般の場合)

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一般の基準座標の求め方 基準座標(一般の場合)

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基準座標の方法のまとめ

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1

基準座標を 2 個見つける .

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1

霊感で

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霊感がきかなかったら,

の転置

の固有ベクトルを求めたらそれ が係数.

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2

2 個の基準座標について運動方程式を導く

I X⁰⁰=−λX

となるはず.

I λ

は

の固有値

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3

2 個の基準座標の運動方程式を解く .

I

単振動になるはず. 周波数

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4

もとの座標にもどす .

初期条件は , x, X の便利な方に適用 .

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一般の基準座標の求め方 基準座標(一般の場合)

こんな見方

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もとの変位xi

方程式は複雑(結合)

x⁰⁰₁=−k11x1−k12x2

x⁰⁰₂=−k21x1−k22x2

解も複雑

x1=C1u11cos(√

λ1t−θ1) +C2u21cos(√ λ2t−θ2) x2=C1u12cos(√

λ1t−θ1) +C2u22cos(√ λ2t−θ2)

基準座標Xi

方程式は単純

X₁⁰⁰=−λ1X1

X₂⁰⁰= −λ2X2

解も単純

X1=C1cos(√ λ1t−θ1)

X2= +C2cos(√ λ2t−θ2)

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一般の基準座標の求め方 基準座標(一般の場合)

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問題 (連成振動の基準座標)

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連成振動の基準座標について , 間違っているものの番号を ( 何個でも ) 答 えよう .

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1

物体と同じ個数だけある

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2

変位の 1 次式

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3

いつでも x

± x

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4

行列の固有ベクトルから求められる

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5

ばねと同じ個数だけある

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6

単振動の運動方程式に従う

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一般の基準座標の求め方 基準座標(一般の場合)

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問題 (連成振動と基準座標)

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x

= − 6x

− 4x

x

= − x

− 6x

のときに , 霊感または線形代数の魔法で基準座標 a

x

+ a

x

をみつけ て , 運動方程式を分離しよう .

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一般の基準座標の求め方 基準座標(一般の場合)

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問題 (連成振動)

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連成振動を表す x

(t), x

(t) についての微分方程式系 x

= − 4x

+ x

x

= − 2x

− 7x

を考える . ^{基準座標を求め} , 基準座標について解こう .

微分方程式系の , 初期条件 x

(0) = 2, x

(0) = 3, x

(0) = x

(0) = 0 を満 たす解を求めよう .

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一般の基準座標の求め方 基準座標(一般の場合)

連絡

¨

§

¥

小形p.18-32¦

基準座標

§

¥

小形2章演習問題[4](p.38)¦

, 基準座標

§

¥

小形2章演習問題[8](p.38)¦

, 次回の予習ポイント

もう一度 2 × 2 行列の固有値固有ベクトル

予習復習問題 水曜日の昼から月曜夜までに e ラーニングシステムでやっ てね〜

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一般の基準座標の求め方 基準座標(一般の場合)

プチテストやります ! 日時 2011-11-15 ^火 3, 90 ^分 .

場所 いつもと同じ

配点 100 点が 30 ピーナッツ . 参照 なし .

公欠 基準と届が独自です . Web ページの病欠・公務欠席等の届 出とそれを考慮する ( しない ) 方法参照 .

出題計画 未確定 .

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