17:00

確率論（担当：梶野） 2016年度第1クォーター・神戸大学理学研究科数学専攻博士前期課程

レポート試験

締め切り：

2016

6

8

17:00

提出先：数学専攻事務室（理学部

B

4

B410

以下の問題のうち，必須問題（問題

1.1

1.5

2.1

2.3

1

2

注意. 答案作成に際しては以下の点に注意すること：

学籍番号，氏名を忘れずに記入すること．

なるべくきれいな字で丁寧に書くこと．試験答案やレポートも「他人に読んでもらう文章」

なのだから，自分にしか読めないような雑な字で書くべきではない．

数学的内容の理解の為に他者と相談をするのは構わないが，レポートの作成にあたっては他 者の解答を写したりせず，自分の言葉で解答すること．明らかに他者のレポートを写したと 分かるレポートが発見された場合，写した者と写させた者，どちらのレポートも0点として 取り扱う．

以下で引用している「教科書」とは次の書籍である：

G. F. Lawler,Random Walk and the Heat Equation, American Mathematical Society, 2010.

1

1.1

1.5

問題1.1. .;F; /を測度空間とし，¹Anº¹nD1Fとする．このとき次の不等式が成り立つことを 示せ：

[1 nD1

An

!

X1 nD1

.An/

（この性質を測度の（可算）劣加法性という）．

以下の問題のために次の定義が必要である．

定義. .;F/を可測空間とし，f W!Œ 1;1とする．関数f が次の性質

「任意のa2Rに対し f ¹ .a;1 2F」 を満たすとき，f はF-可測であるという．（f ¹ .a;1

D ¹!2jf .!/ > aºに注意せよ．） 問題1.2. .;F/を可測空間とする．

(1)c2Œ 1;1とする．上で常に一定値cを取る定数関数c1 W!Œ 1;1はF-可測であ ることを示せ．

(2)Aとし，Aの指示関数(indicator function)1AW!Rを次で定める：

1A.!/WD

´1 .! 2A/;

0 .! 2nA/:

このとき，1AがF-可測であるためにはA2Fであることが必要十分であることを示せ．

問題1.3. .;F/と.S;B/を可測空間とし，写像X W!Sは次の性質

「任意のA2Bに対し X ¹.A/2F」

を満たすとする．さらに関数f W S ! Œ 1;1は B-可測であるとする．このとき合成写像 f .X /WDf ıXW!Œ 1;1はF-可測であることを示せ．

問題1.4. U をR²の開集合とし，f WU !RはC²-級であるとする．このとき任意の.a; b/2U に対し次が成り立つことを示せ：

lim

h!0

f .aCh; b/Cf .a h; b/Cf .a; bCh/Cf .a; b h/ 4f .a; b/

h² D @²f

@x².a; b/C @²f

@y².a; b/:

（ヒント：1変数関数のTaylorの定理を適用した後，^@2f

@x² と^@2f

@y² の.a; b/における連続性を用いる．） 問題1.5(教科書のExercise 1.11). AをZ^dの空でない有限集合とし，F W@A!R,gWA!Rと する．このときFeWA!Rで

Fej^@ADF, かつ 任意のx2Aに対し .LF /.x/e D g.x/

を満たすものが唯1つ存在することを示し，Z^d上の単純ランダムウォーク¹Snº¹nD0によるeF の 表示式を与えよ．（ヒント：教科書のTheorem 1.5とTheorem 1.12を用いる．）

2

2.1

2.3

1

2

問題2.1(教科書のExercise 1.19). ¹ınº¹nD1 . 1; 1/はP₁

nD1jınj<1を満たすとし，各n2N に対しsnWD.1Cı1/ .1Cın/とおく．

(0) limn!1ınD0であることを示せ．

(1)数列¹snº¹nD1はRにおいて収束し，その極限s₁WDlimn!1snはs₁> 0を満たすことを示せ．

(2)次を満たすN 2Nが存在することを示せ：nN であるような任意のn2Nに対し ˇˇ

ˇˇ1 sn

s₁ ˇˇ ˇˇ2

X1 jDnC1

jıjj:

（ヒント：(1), (2)とも，(0)の主張に注意し，jxjが小さいとき1Cxが指数関数e^xにより近似で きることを利用して1Cı_kたちの積をı_kたちの和と結びつける．）

問題2.2(教科書のExample 1.10). 各j 2 ¹1; : : : ; dºに対しNj 2N,Nj 2とし，AZ^dを AWD®

.x1; : : : ; xd/2Z^dˇˇ任意のj 2 ¹1; : : : ; dºに対し1xj Nj 1¯ で定める．各kND.k1; : : : ; kd/2Aに対し_kNWA!Rと_k 2Rを次で定める：

_kN WDsin

k1x1

N1

sin

k_dx_d N_d

; _kN WD 1 d

cos

k1 N1

C Ccos k_d

N_d

:

(1)各kND.k1; : : : ; kd/2Aに対し，_kNは固有値_kNの，行列Q_Aの固有関数であることを示せ．

(2)._kN/_kN2Aは互いに直交する関数からなるR^Aの基底であることを示せ．

問題2.3(教科書のExercise 1.22を少し修正). ¹Snº¹nD0をZ^d上の単純ランダムウォークとする．

AをZ^dの空でない有限集合とし，Aの元の個数をN とする．TAWDmin¹n0jSn62Aºと定め る．このとき任意のx2Aと任意のk2Nに対し次が成り立つことを示せ：

PxŒTA > kN 

1 1 2d

Nk

:

（ヒント：講義中で説明した，n2Nとx0; xn2Aに対して成り立つ次の等式を用いる：

Px0ŒSnDxn; TA > nDQ_Aⁿ.x0; xn/:）