Maxima を使った物理数学基礎演習ノート

(1)

溝口純敏

http://www9.plala.or.jp/prac-maxima/

平成20年9月初版平成21年4月第一回改訂平成27年7月第二回改訂平成28年9月第三回改訂平成29年11月第四回改訂

平成30年7月第五回改訂令和元年7月第六回改訂令和2年4月第七回改訂

(2)

(3)

第

1

^章 ^はじめに

理工系で物理学を学ぶ初心者を対象に、物理学でよく出てくる式などについて、Maximaを使った物理数学演習ノートを作成しました。あくまで演習ノートであるので、式の詳細な導出や証明、解説は行っていません。

これらについては、参考文献などのすばらしい書籍等があるので、それらを参考にしてください。物理学を学ぼうとしている人にとって、数学は道具であり、それをある程度、しっかり理解することを通して、物理の概念、本質の理解を深めていけると思います。数学の数式展開や証明に主眼をおく必要はありません。このような観点から、数式の展開に多くの時間をかけるのでなく、

Maximaなどの数式処理システムを使って物理数学を学

ぶのが効率的な学び方ではないかと思い、本書をまとめました。

最近は、インターネットや電子辞書・電子書籍で多くの知識を容易に得ることができ、音声認識システムで、

話したことを文章化できたり、翻訳できます。そして、

これらが可能な携帯情報端末が一般に使用される時代となっています。また、人工知能の発展は目を見張るものがあり、将棋や囲碁の分野ではプロ棋士を負かすほどになっています。人工知能を使った数式処理システムで因数分解、微分、積分、微分方程式など、多くの数式処理がパーソナルコンピューターで容易に可能になっています。フリーの数式処理ソフト：Maximaも公開され、多くの人がこれを使用していると思われます。このようなすばらしいシステムが多く存在する時代では、これらを使いこなし、各人が求める深い知恵を得る活動に多くの時間を割くことがよいと思います。

また、近年、科学の進歩で、多くのことが明らかになり、分野も広がっており、変化が激しい世の中となっています。その中で、時間も限られる状況下でどのような深い知恵を習得すべきなのでしょうか。前述したように、現在、携帯情報端末で多くの情報、知識を容易に得ることができます。また、将来は、人工知能の発達で、

更に我々に対し多くの事柄を補佐してくれるでしょう。

このような時代に備え、我々は何を身につけておくべきなのでしょうか。私は高い問題解決能力を身につけることが大切ではないかと思います。

問題解決能力を高めるには、できる限り多くのよい問題を解くことを経験し、物事の本質を理解するととも

に、問題解決のプロセスを習得することが重要と言われ

ています²⁸⁾。ここにMaximaを活用して、多くの例題

を効率よく解き、物事の本質の理解を深め、経験を積むことができます。例えば、運動方程式の導出やその極座標系への変換では、手計算では気が遠くなるような作業であり、現実は本に書かれているようになるんですね、

で終わってしまいます。しかし、Maximaなどの数式処理システムを用いれば、基本的な考え方をプログラムするだけで、後の大変な式の展開は計算機が実行してくれます。ここでは問題解決のプロセスを明らかにすることが要求され、効率よく問題解決能力を高める訓練が行えると思います。

本ノートはwxMaxima 13.04.2(Maxima-5.31.2)を使用してまとめました。これは会話形式で処理を実行でき、数式出力結果をTex出力・コピーができるとともに、グラフも出力・コピーできるので、大変便利です。また、これらを有効活用できる文書作成ソフト：L^ATEX 2ε を使用し、本ノートをまとめました。

以下ではMaximaの入力部分を枠で囲って表し、出力結果をその後に数式で示しています。また、小文字は関数、変数を、大文字は定数を表すのに統一して使ってい

ます。Maximaの微分の出力で、例えば本来、^∂

∂xと記述

されるべきが、 ^d

d xと出力されます。ここではMaxima の出力通りに記述しているので誤解の無いように願います。また、Maximaのプログラムに統一性を欠いたり、

例題の選定・記述などで不十分なところもありますが、

まずは、まとめた結果を早期に公表し、皆様に供することとしたので、ご容赦願います。

本ノートをまとめるにあたり、参考文献に掲げた多くの著書を参考にしました。これらの著書をまとめられた著者に感謝します。また、これをまとめるのに活用したMaximaおよびL^ATEX 2εの開発や普及に携わられた方々に感謝します。

平成27年7月第二回改訂全面改訂「Maximaを使った微分方程式演習ノート」に「ベクトルと行列」、

「複素関数」、「フーリエ解析」、「円柱関数と球関数」、「変分法」、「偏微分方程式」等を付加し、全面改訂を行った。このため表題も「Maximaを使っ

(11)

た物理数学基礎演習ノート」とした。

平成28年9月第三回改訂フーリエ級数の誤記を修正した。

平成29年11月第四回改訂「∇を使ったベクトル演算」、「直交曲線座標系への座標変換」を付加した。

平成30年7月第五回改訂「ラプラス変換」「積分方程式」を付加した。

令和元年7月第六回改訂「時系列解析」「時系列解析の具体例」を付加した。

令和2年4月第七回改訂「多重積分、スカラー場、

ベクトル場の線積分・面積分」「偏微分方程式」を充実させた。

(12)

第

2

^章 ^{微分・積分}

2.1 ^微分

2.1.1 Maximaの微分

微分の実行はdif f関数で行える。実行方法は下記の要領で行う。

dif f(関数,変数₁,微分階数₁) 微分の例題を下記に示す。

/* 微分 */

kill(all);

EQ:x^k;

’diff(EQ,x,1)=diff(EQ,x,1);

d

d xx^k=k x^k⁻¹ d²

d x²x^k= (k−1) k x^k⁻² d³

d x³x^k= (k−2) (k−1)k x^k⁻³

例1 _{d x}^d x^α EQ:x^\alpha;

d

d xx^α=α x^α⁻¹

例2 _{d x}^d e^x EQ:%e^x;

d

d xe^x=e^x

例3 _{d x}^d log (x) EQ:log(x);

d

d xlog (x) = 1 x

例4 _{d x}^d cos (x) EQ:cos(x);

d

d xcos (x) =−sin (x)

例5 _{d x}^d sin (x) EQ:sin(x);

(13)

d

d xsin (x) = cos (x)

例6 _{d x}^d tan (x) EQ:tan(x);

d

d xtan (x) = sec (x)²

例7 _{d x}^d asin (x) EQ:asin(x);

d

d xasin (x) = 1

√1−x²

例8 _{d x}^d acos (x) EQ:acos(x);

d

d xacos (x) =− 1

√1−x²

例9 _{d x}^d atan (x) EQ:atan(x);

d

d xatan (x) = 1 x²+ 1

例10 _{d x}^d sinh (x) EQ:sinh(x);

d

d xsinh (x) = cosh (x)

例11 _{d x}^d cosh (x) EQ:cosh(x);

d

d xcosh (x) = sinh (x)

例12 _{d x}^d asinh (x) EQ:asinh(x);

d

d xasinh (x) = 1

√x²+ 1

例13 _{d x}^d acosh (x) EQ:acosh(x);

d

d xacosh (x) = 1

√x²−1

例14 [_{d x}^d √ x EQ:sqrt(x);

d d x

√x= 1 2√

x

例15 _{d x}^d _x+a¹

EQ:1/(x+a);

d d x

1

x+a =− 1 (x+a)²

(14)

例16 _{d x}^d _x₂_+a^x ₂

EQ:x/(x^2+a^2);

factor(%);

d d x

x

x²+a² = 1

x²+a² − 2x² (x²+a²)²

−(x−a) (x+a) (x²+a²)²

例17 _{d x}^d _a_k₋¹_x_k

EQ:1/(a^k-x^k);

d d x

1

a^k−x^k = k x^k⁻¹ (a^k−x^k)²

例18 _{d x}^d e^{a x} EQ:%e^(a*x);

d

d xe^{a x}=a e^{a x}

例19 _{d x}^d e^a^x EQ:%e^(a/x);

d

d xe^a^x =−a e^a^x x²

例20 _{d x}^d e^{a x}² EQ:%e^(a*x^2);

d

d xe^{a x}² = 2a x e^{a x}²

例21 _{d x}^d sinh (x) EQ:sinh(x);

d

d xsinh (x) = cosh (x)

例22 _{d x}^d x^x EQ:x^x;

d

d xx^x=x^x(log (x) + 1)

例23 _{d x}^d ^log(x)_log(a)

EQ:log(x)/log(a);

d d x

log (x)

log (a) = 1 log (a)x

例24 _{d x}^d log(√

x²+ 1 +x) EQ:log(x+sqrt(1+x^2));

factor(%);

d

d xlog(√

x²+ 1 +x )

=

√x

x²+1+ 1

√x²+ 1 +x

= 1

√x²+ 1

例25 _{d x}^d acosh (x) EQ:acosh(x);

d

d xacosh (x) = 1

√x²−1

(15)

例26 _{d x}^d log (cosh (x)) EQ:log(cosh(x));

d

d xlog (cosh (x)) = sinh (x) cosh (x)

2.1.2 Maximaの偏微分

偏微分の実行はdif f 関数で行える。実行方法は下記の要領で行う。

dif f(関数,変数₁,微分階数₁,変数₂,微分階数₂) 微分の例題を下記に示す。

EQ:x^3*y^3;

’diff(EQ,x,2,y,1)=diff(x^3*y^3,x,2,y,1);

d³ d x²d y

(x³y³)

= 18x y²

偏微分の関数の表現として、depends関数を用いると下記のように、容易に偏微分の実行ができる。

depends(x,[t]);

depends(y,[t]);

depends(f,[x,y]);

depends(g,[x]);

’diff(f,t,1)=diff(f,t,1);

’diff(f*g,t,1)=diff(f*g,t,1);

[x (t)]

[y (t)]

[f (x, y)]

[g (x)]

d d tf =

( d d yf

) (d d ty

) +

( d d xf

) ( d d tx

)

d

d t (f g) =g (( d

d yf ) ( d

d ty )

+ ( d

d xf ) (d

d tx ))

+f ( d

d xg ) ( d

d tx )

(16)

2.2 級数

2.2.1 Maximaの級数和

級数の実行はsum関数で行える。実行方法は下記の要領で行う。

sum(関数,添え字変数,初期値,終値)

また、下記により、級数の簡素化を行うことができる。

sumの式, simpsum 級数の例題を下記に示す。

例1 ∑_∞

n=1 1 n(n+1)

sum(1/(n)/(n+1),n,1,inf);

%,simpsum;

∑∞ n=1

1 n(n+ 1) 簡素化の結果が得られない。

例2 ∑_∞

n=1 1 n²

sum(1/(n)^2,n,1,inf);

%,simpsum;

簡素化の結果は、

∑∞ n=1

1 n² = π²

6

例3 ∑_∞

n=1 1 n⁴

sum(1/(n)^4,n,1,inf);

%,simpsum;

∑∞ n=1

1 n⁴ = π⁴

90

例4 ∑_∞

n=0 1 (2n+1)²

sum(1/(2*n+1)^2,n,0,inf);

%,simpsum;

簡素化の結果が得られない。

例5 ∑_∞

n=0 1 n!

sum(1/(n!),n,0,inf);

%,simpsum;

簡素化の結果が得られない。

例6 ∑_∞

n=1 1 2ⁿ

sum (1/2^n, n, 1, inf);

%,simpsum;

∑∞ n=1

1 2ⁿ = 1

例7 ∑_∞

n=1 1 3ⁿ

sum (1/3^n, n, 1, inf);

%,simpsum;

∑∞ n=1

1 3ⁿ =1

2

Maxima を使った物理数学基礎演習ノート

目 次

第

章 はじめに

第

章 微分・積分

目次

^章 ^はじめに

^章 ^{微分・積分}