問題演習

(1)

Revised at 13:53, May 30, 2016

数学特論Ａ第７回

http://my.reset.jp/˜gok/math/advanced/ 1

問題演習

2015

^{年前期試験問題から}

問題

1 4 ABC

において次の問いに答えて下さい：

（１）辺

BC

を

5:3

に内分する点を

D

とした時、

AD

^→ を

AB,

^→

AC

^→ で表して下さい。

（２）辺

CA

を

3:1

E

とし、線分

BE

と線分

AD

の交点を

F

とします。このときどこかにある座標軸の原点を

O

として、

OF

^→ を

OA,

^→

OB,

^→

OC

問題

2 (x, y, z) = (a, b, c)

が

Pythagorean

方程式

x

²

+ y

²

= z

²の正の整数解であるとき、これを次の行列

A

：

A =



 

1 2 2 2 1 2 2 2 3



 

で一次変換した点も

Pythagorean

方程式の正の整数解になっていることを証明して下さい。

問題

3

（１）一般に、円

(x − a)

²

+ (y − b)

²

= c

²上の点

(p

1

, p

2

)

に於ける円の接線は、

(p

1

− a)(x − a) + (p

2

− b)(y − b) = c

² である事を示して下さい。

（２）円

x

²

+ y

²

= 1

に外部の点

A(a

1

, a

2

)

から引いた２本の接線の接点を

P (p

1

, p

2

), Q(q

1

, q

2

)

とするとき（１）を参考にして接線

AP

および

AQ

の方程式を求め、これを使って直線

P Q

の方程式が

a

1

x + a

2

y = 1

となる事を証明して下さい。

問題

4

次のヴェクター・行列の計算をして下さい。ただし、書かれている計算が定義されない場合は『定義されないため計算不可能』と答えて下さい。

（１）

≥

1 2 ¥ √ 3 4

! ≥ 5 6 ¥

（２）

√ 1 2

! ≥

3 4 ¥ √ 5 6

!

（３）

√ 2 4

− 1 − 2

!

2

（４）



  1 2 3



  ×



  4 5 6



 

問題

5

行列

M

：

M =



 

8 29 29 4 14 13

1 3 2



 

の逆行列

M

⁻¹を求めて下さい。

問題

6

次の行列式を因数分解して下さい。

（１）

Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

1 − x d − d d 1 − x d

− d d 1 − x Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

（２）

Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

s s

²

t + u t t

²

u + s u u

²

s + t Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

（３）

Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

l + m + 2n l m

n 2l + m + n m

n l l + 2m + n

Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

問題

7 4 ABC

（１）辺

BC

を

7:2

D

とした時、

AD

^→ を

AB,

^→

AC

（２）辺

CA

上に点

E

があって、

4 ABE

と

4 BCE

の面積比が

3:2

であるとします。このとき線分

BE

と線分

AD

の交点を

F

、座標軸の原点を

O

としたときに

OF

^→ を

OA,

→

OB,

^→

OC

問題

8 Pell’s

方程式

x

²

− 8y

²

= 1

について、以下の問いに答えて下さい：

（１）

1 ≤ x ≤ 10, 1 ≤ y ≤ 10

の範囲内にこの方程式の整数解が一つあります。それを探して下さい。

（２）（１）で求めた解を

(x, y) = (m, n)

とします。このとき、点

(m, − n)

を点

(1, 0)

に移し、また点

(1, 0)

を点

(m, n)

に移す一次変換の表現行列を求めて下さい。

（３）問題の方程式の正の整数解をあと２組求めて下さい。

問題

9

次のヴェクター・行列の計算をして下さい。

（１）

≥

1 2 ¥ √ 3 4 5 6

!

（２）

√ 1 2

! ≥

0 1 ¥ √ 2 1

!

（３）

3 

  1 2 3



  −



  4 5 6



 

（４）



  2 1

− 1



  ·

 



 



  3

− 1 5



  ×



  2 1

− 1



 

 



 

(2)

Revised at 13:53, May 30, 2016

http://my.reset.jp/˜gok/math/advanced/ 2

2010

^{年前期試験問題から}

問題

10 4 ABC

（１）辺

BC

を２：３に内分する点を

D

とした時、ヴェクター

AD

^→ をヴェクター

AB,

→

AC

（２）辺

CA

を３：１に内分する点を

E

とし、線分

BE

と線分

AD

の交点を

F

とします。この時点

F

の位置ヴェクター

OF

^→ を３頂点の位置ヴェクター

OA,

^→

OB,

^→

OC

（３）直線

CF

と辺

AB

の交点を

G

とした時、

AG : GB

の長さの比は幾らになりますか。

問題

11

直線

x + y + c = 0

と円周

(x − v)

²

+ (y − w)

²

= d

²が接するための条件は

2d

²

= (c + v + w)

²

となる事を証明して下さい（

d > 0

）。

問題

12

次の計算を実行して下さい。

（１）



  1 0

− 2 3 4 1



 

√ 1 3

!

（２）

t



 

− 1 3 2



 



  3 2

− 4



 

（３）



 

7 2 0

− 3 3 1 2 11 3



 



 

2 1 3

0 2 4

1 − 1 3



 

問題

13

行列



 

1 3 2

0 − 2 1

2 1 4



 

の逆行列を、掃き出し法で求めて下さい。

問題

14

行列



 

3 1 4 1 5 9 2 6 5



 

の逆行列を、外積を使って求めて下さい。

問題

15

図の様に

4 ABC

の内部に点

E

があり、面積比が

4 ABE : 4 BCE = 3 : 2

であるとき、直線

BE

と辺

CA

の交点

D

OD

^→ を

OA,

^→

OB,

^→

OC

問題

16

３点

F (0, 1, − 2), G(3, 2, 1), H( − 5, 13, 2)

を通る平面の法線ヴェクターを求めて下さい。

問題

17

次の行列式を計算して下さい。

（１）

Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

1 a b + c 1 b c + a 1 c a + b Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

（２）

Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

7 2 0

− 3 3 1 2 11 3 Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

問題

18

行列



 

2 0 1

− 4 1 3 3 0 2



 

の逆行列を、掃き出し法で求めて下さい。

2009

^{年試験問題から}

問題

19 4 ABC

の内部に点

D

があって、

3 DA

^→

+ 2 DB

^→

+ DC

^→

=

^→

0

が成り立っているとします。

このとき直線

AD

と辺

BC

の交点

E

は辺

BC

をどんな比で内分するでしょうか。

BE : EC

を答えて下さい。

問題

20

ヴェクターとは共に単位ヴェクターであって、挟む角が

60

°であるとき、２つのヴェクター

+

と

− 2

の挟む角を求めて下さい。

問題

21 a, b, c, d

は

0

でない定数とします。

（１）直線

ax +by +c = 0

と円周

x

²

+y

²

= d

²が接するための条件は

(a

²

+b

²

)d

²

= c

² となる事を証明して下さい。

（２）直線

4x − 3y + 7

と原点との距離を求めて下さい。

問題

22

次の行列式が

0

になる

x

の値を求めて下さい。

（１）

Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

1 1 1

1 x x

²

1 x

³

x

⁴

Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

（２）

Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

− x 1 0 0 − x 1

− 4 4 1 − x Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

問題

23

行列



 

1 2 3 2 3 4 5 6 5



 

の逆行列を求めて下さい。

(3)

Revised at 13:53, May 30, 2016

http://my.reset.jp/˜gok/math/advanced/ 3

問題

24

（１）

Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

1

¹₂ ¹₃

1 2

1 3

1 4 1 3

1 4

1 6

Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

（２）

Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

1 5 7 8 3 4 2 5 0 Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

問題

25

２次正方行列

A =

√ a b c d

!

は

A

³

= O

を満たしているとします。

（１）

| A | = 0

である事を証明して下さい。

（２）ケーリー・ハミルトンの等式：

A

²

− (a + d)A + (ad − bc)E = O

を使って実は既に

A

²

= O

問題

26

行列



 

1 2 3 3 4 5 5 7 8



 

の逆行列を掃き出し法で求めて下さい。

問題

27

次の行列式を計算して下さい（特に因数分解する必要はありません）。

（１）

Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

6 1 3

5 − 2 − 1

4 3 2

Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

（２）

Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

b + c a − c a − b b − c c + a b − a c − b c − a a + b Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

2008

^{年試験問題から}

問題

28 4 ABC

（１）辺

BC

を２：１に内分する点を

D

とした時、ヴェクター

AD

AB,

→

AC

（２）辺

CA

を３：５に内分する点を

E

とし、線分

BE

と線分

AD

の交点を

F

とします。この時点

F

OF

^→ を３頂点の位置ヴェクター

OA,

^→

OB,

^→

OC

問題

29

次の行列の計算をして下さい：

（１）

√ 1 2 − 4 0 1 5

! 

  2

− 2 3



 

（２）



  1 0

− 2



 

≥

a b c ¥



  5 3

− 1



 

（３）

≥

_→

v

^→

w ¥ √

1 0

!

ただし、^→

v ,

^→

w

は２次元の縦ヴェクターであるとし、これを左右に２つ並べて数字（成分）だけに着目すると２次の正方行列と見なす事が出来ると考えます。

問題

30

平面内での角度

θ

の回転行列を

R =

√ cos θ − sin θ sin θ cos θ

!

とするとき、

（１）^t

RR = E

（２）任意の２次元縦ヴェクター^→

a ,

^→

b

に対して

R

^→

a · R

^→

b =

^→

a ·

^→

b

問題

31

行列



 

7 2 6 6 2 5 9 5 7



 

の逆行列を求めて下さい。

問題

32

（１）

Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

4 1 3 12 3 0

− 8 7 6 Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

（２）

Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

0 1 2 3 4 5 6 7 8 Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

問題

33 4 ABC

の辺

BC

上に点

D

があり、

4 ABD

と

4 ADC

の面積がそれぞれ

3, 5

であるとき、ヴェクター

AD

AB,

^→

AC

問題

34

行列



 

1 3 2

2 8 9

4 13 11



 

の逆行列を掃き出し法で求めて下さい。

問題

35

次の計算をして下さい。

（１）

√ 1 3

! √ 2 − 1 5

0 4 1

!

（２）



  1 1 1



  ×



 

− 3 6 2



 

問題

36

行列式

Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

a b c a

²

b

²

c

²

bc ca ab Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø

を因数分解して下さい。