線形代数

(1)

はじめに ( 線形代数 IIA)

線形代数

II

^{＝線形代数}

I

^のつづき

教科書「やさしい線形代数，Ｈ．アントン著，山下純一訳」現代数学社講義の情報

http://mathweb.sc.niigata-u.ac.jp/˜hoshi/teaching-j.html

シラバス

LINK

▶

ノートを取りながら講義を聴くこと．

(

ノートを回収して確認する可能性があります

)

▶

講義

−→

^小テスト

(

理解度確認テスト，学務情報システム内

)

(2)

5.4

^{行列の相似性}

.

定理

5

..

...

V

：線形空間，

dim(V)<∞. T :V →V

：

V

上の

1

次変換，

A

^：

V

^の基底

B

^に関する

T

^の行列，

A^′

^：

V

^の基底

B^′

^に関する

T

^の行列

⇒A^′=P⁻¹AP.

但し，

[x]_B=P[x]_B′. (P

は

B^′

から

B

への変換行列

) (

^証明

) Au=v

^を

u−→^A v

^{とかくと，}

(

^{可換図式とよばれる}

)

^{次をえる：}

[x]_B −−−−→^A [T(x)]_B

P

x

 y^P⁻¹ [x]B^′

A^′

−−−−−→

P⁻¹AP [T(x)]B^′.

∴ A^′[x]_B′ =P⁻¹AP[x]_B′.

x ∈ V

^{は任意であるから，}

B^′ = {v1, . . . ,vn}

^{に対して，}

x=vi

とすれば，

[vi]_B′ =ei (

標準単位ベクトル

).

∴ A^′ =P⁻¹AP.

(3)

.

定義

(

対角行列

) ..

...

D=







d₁ 0 · · · 0

0 . .. ... ...

... . .. ... 0 0 · · · 0 dn







を対角行列という．

(

^対角・ ^・ ^・

diagonal)

.

定義

(

相似

)

..

...

A, A^′

^{：正方行列．}

A^′

は

A

に相似

⇐⇒ ∃^def P s.t. A^′ =P⁻¹AP. (

相似・・・

similar) A

^は

A^′

^{に相似のとき，}

A∼A^′

^とかく．

.

注意

..

...

相似

(∼)

^{は同値関係，}

i.e. A∼A(

^反射律

),A∼A^′⇒A^′∼A(

^対称律

), A∼A^′,A^′ ∼A^′′ ⇒A∼A^′′ (

^推移律

)

^{をみたす．}

(∵

^{各自考える}

)

−→ n×n

行列全体はいくつかの同値類に類別

(

クラス分け

)

される．

(4)

.

例

..

...

V =R²,T =TA:R² →R²,x7→Ax,A=

( 1 1

−2 4 )

. B ={e1,e2},e1 =

(1 0

) ,e2=

(0 1

) , B^′={u1,u2},u1=

(1 1

) ,u2 =

(1 2

) . P = ([u1]_B [u2]_B) =

( 1 1 1 2

)

であるから，

A^′=P⁻¹AP =

( 2 −1

−1 1

)( 1 1

−2 4

)( 1 1 1 2

)

=

( 2 0 0 3

) .

∴ A∼A^′ (

^相似

). (A

は基底変換によって対角行列

A^′

^とできる

)

.

注意

..

...

定理

5

^より「

T :V →V

^{を表す行列は}

(

^{基底変換によって}

)

^相似」

(5)

第６章固有値，固有ベクトル

.

定義

(

固有値，固有ベクトル

) ..

...

A

^：

n×n

^行列．

Ax=λx

^をみたす

x∈Rⁿ (x̸=o)

を

A

の

(λ

に対する

)

固有ベクトル，

λ∈R

^を

A

^の ^固有値 ^という．

(

^{固有ベクトル・} ^・ ^・

eigenvector

^{，固有値・} ^・ ^・

eigenvalue) .

例

..

...

A=

( 3 0 8 −1

) . A

( 1 2

)

= ( 3

6 )

= 3 ( 1

2 )

より，

x= ( 1

2 )

は

A

^の固有値

3

に対する固有ベクトル．

(6)

.

問

..

...

A

^{の固有値は}

(

^いくつ

)

^{存在するか？}

λ∈R

^が

A

の固有値

⇔ ∃x∈Rⁿ (x̸=o) s.t. Ax=λx

⇔ ∃x∈Rⁿ (x̸=o) s.t. (λ I −A)x=o

⇔λ∈R

^{は固有方程式}

det(λ I −A) = 0

をみたす．

.

例

..

...

A=

( 3 2

−1 0 )

の固有値を

(

^すべて

)

^求めよ．

A

の固有値は

λ= 1,2 (

のみ

). ∵ A

の固有方程式

det(λ I −A)

= det

( λ−3 −2

1 λ

)

=λ²−3λ+ 2 = (λ−1)(λ−2) = 0.

(7)

.

例

..

...

A=

( −2 −1

5 2

)

の固有値を

(

すべて

)

求めよ．

A

^{の固有値はなし．}

∵A

^{の固有方程式}

det(λ I−A)

= det

( λ+ 2 1

−5 λ−2 )

=λ²+ 1>0

^{より解なし．}

.

例

..

...

A=

(2 1 0

3 2 0

0 0 4

)

の固有値を

(

すべて

)

求めよ．

A

の固有値は

λ= 4,2 +√

3,2−√

3

．

∵A

の固有方程式

det(λ I−A)

= det

(λ−2 −1 0

−3 λ−2 0

0 0 λ−4

)

=λ³−8λ+ 17λ−4 = (λ−4)(λ²−4λ+ 1) = 0.

.

注意

..

...

A

^：

n×n

^行列

⇒A

^{の固有値は}

n

^個以下．

(8)

▶

まとめると・・・

.

定理

1

..

...

A

：

n×n

行列．次は同値：

(a) λ

^は

A

^{の固有値；}

(b) (λ I−A)x=o

^{は自明でない解}

x̸=o

^をもつ；

(c) ∃x∈Rⁿ (x̸=o) s.t. Ax=λx;

(d) λ

^{は固有方程式}

det(λ I−A) = 0

^{の実数解．}

.

定義

(固有空間) ..

...

W_λ ={x∈Rⁿ|(λI−A)x=o} ⊂Rⁿ

^{：解空間を}

A

^の固有値

λ

^{に対する固有空間} ^という．

▶ Wλ={A

^の

λ

^{に対する固有ベクトル}

} ∪ {o}

.

注意

..

...

固有値，固有ベクトル，固有空間は一般の

V ̸=Rⁿ

^{に対して定義できる．}

(

^教

pp. 292

^〜

293)

(9)

.

例

..

...

A=

( 3 −2 0

−2 3 0

0 0 5

)

の

(

^{各固有値に対する}

)

^{固有空間を求めよ．}

A

^{の固有方程式}

det(λ I −A) = det

( λ−3 2 0

2 λ−3 0

0 0 λ−5

)

= (λ−1)(λ−5)²= 0

より，

A

^{の固有値は}

λ= 1,5 (2

^重根

).

W_λ = {

x= (x₁

x₂ x₃

)

∈R³ (

λ−3 2 0

2 λ−3 0

0 0 λ−5

)(x₁ x₂ x₃

)

= (0

0 0

)}

より，

W₁= {

x= (x₁

x2 x₃

)

∈R³ (

−2 2 0

2 −2 0

0 0 −4

)(x₁ x2 x₃

)

= (0

0 0

)}

各自= {

x∈R³ x=t

(1 1 0

)

(t∈R) }

. W5=

{ x=

(x1 x₂ x3

)

∈R³ (

2 2 0

0 0 0

)(x1 x₂ x3

)

= (0

0 0

)}

各自= {

x∈R³ x=s

(−1 1 0

) +t

(0 0 1

)

(s, t∈R) }

.

∴ dim(W₁) = 1,dim(W₅) =2. (1

次独立な固有ベクトルが

2

つある！

)

線形代数

はじめに ( 線形代数 IIA)

線形代数

＝ 線形代数

のつづき

教科書 「やさしい線形代数，Ｈ．アントン著，山下純一訳」現代数学社 講義の情報

シラバス

ノートを取りながら講義を聴くこと．

ノートを回収して確認する可能性があります

講義

小テスト

理解度確認テスト，学務情報システム内

行列の相似性

定理

：線形空間，

：

上の

次変換，

：

の基底

に関する

の行列，

：

の基底

に関する

の行列

但し，

は

から

への変換行列

証明

を

とかくと，

可換図式とよばれる

次をえる：

は任意であるから，

に対して，

とすれ ば，

標準単位ベクトル

定義

対角行列

を 対角行列 という．

対角・ ・ ・

定義

相似

：正方行列．

は

に 相似

相似・ ・ ・

は

に相似のとき，

とかく．

注意

相似

は同値関係，

反射律

対称律

推移律

をみたす．

各自考える

行列全体はいくつかの同値類に類別

クラス分け

される．

例

であるから，

相似

は基底変換によって対角行列

とできる

注意

定理

より「

を表す行列は

基底変換によって

相似」

第６章 固有値，固有ベクトル

定義

固有値，固有ベクトル

：

行列．

をみたす

^{＝線形代数}

^のつづき

教科書「やさしい線形代数，Ｈ．アントン著，山下純一訳」現代数学社講義の情報

^小テスト

^{行列の相似性}

^：

^の基底

^に関する

^の行列，

^：

^の基底

^に関する

^の行列

^証明

^を

^{とかくと，}

^{可換図式とよばれる}

^{次をえる：}

^{は任意であるから，}

^{に対して，}

とすれば，

を対角行列という．

^対角・ ^・ ^・

^{：正方行列．}

に相似

相似・・・

^は

^{に相似のとき，}

^とかく．

^{は同値関係，}

^反射律

^対称律

^推移律

^{をみたす．}

^{各自考える}

^相似

^とできる

^より「

^{を表す行列は}

^{基底変換によって}

^相似」

第６章固有値，固有ベクトル

^：

^行列．

^をみたす

^を

^の ^固有値 ^という．

^{固有ベクトル・} ^・ ^・

^{，固有値・} ^・ ^・

^の固有値

^{の固有値は}

^いくつ

^{存在するか？}

^が

^{は固有方程式}

^すべて

^求めよ．

^{の固有値はなし．}

^{の固有方程式}

^{より解なし．}

^：

^行列

^{の固有値は}

^個以下．

まとめると・・・

^は

^{の固有値；}

^{は自明でない解}

^をもつ；

^{は固有方程式}

^{の実数解．}

^{：解空間を}

^の固有値

^{に対する固有空間} ^という．

^の

^{に対する固有ベクトル}

^{に対して定義できる．}

^教

^〜