添え字について
•
𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑙, 𝑚, 𝑛の文字記号
整数（integer），自然数（natural number）のような飛び
飛びの値を表す場合に用いることが多い
• 添え字（index）
似通った性質の沢山の文字記号を扱う場合に便利
𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑠, 𝑡, 𝑢, 𝑣, 𝑤, ⋯
𝑥
1, 𝑥
2, 𝑥
3, 𝑥
4, 𝑥
5, 𝑥
6, 𝑥
7, 𝑥
8, ⋯
• 添え字を自然数や整数の変数で表すことも多い
𝑥
𝑖, 𝑥
𝑗,
文字が足りない
添え字で解決
𝑖 や 𝑗 には1,2,3,等の
自然数が入る
𝑥
1や𝑥
2 は何らかの数値が入ってる文字記号と考えれば良い
平均値（算術平均）
•
𝑛個のデータ 𝑥
1
, 𝑥
2
, ⋯ , 𝑥
𝑛
の平均を，記号
ҧ𝑥 で
表現する
（本によっては，
𝑚や𝜇の記号で平均を表してる）
ҧ𝑥 =
1
𝑛
𝑥
1
+ 𝑥
2
+ ⋯ + 𝑥
𝑛
• 和の記号Σを用いた書き方
ҧ𝑥 =
1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑥
𝑖
合計を
データ数
𝑛で
等分する
エックス・バー（bar）
和の記号Σは後期にやる予定だが
興味のある人は補足スライド
「
和の記号Σの復習」をチェック
平均のイメージ1
• 平らに均すイメージ
例）
𝑛 = 4, 𝑥
1
= 5, 𝑥
2
= 2, 𝑥
3
= 8, 𝑥
4
= 9
ҧ𝑥 = 1
4 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 =
1
4 5 + 2 + 8 + 9 =
24
4 = 6
5
2
8
9
0
6
0
6
バラバラな
4個のデータは
平らに均すと
6が4個
なら
平均のイメージ2
• 数直線で見ると，平均値の左右で釣り合う
例）
𝑛 = 4, 𝑥
1
= 5, 𝑥
2
= 2, 𝑥
3
= 8, 𝑥
4
= 9
ҧ𝑥 = 1
4 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 =
1
4 5 + 2 + 7 + 9 =
24
4 = 6
0
𝑥
2
2
𝑥
5
1
ҧ𝑥
𝑥
8
3
𝑥
9
4
6
実際に
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4の位置に同じ重さの重りを置いて，
ҧ𝑥の位置を支点にすると，
釣り合いが取れる．この理由はてこの原理によって分かる
重心のイメージの方が加重平均に応用が利く
「平均」は左右の重さの釣り合いが取れる「重心の位置」に相当
平均と釣り合い（一般の場合）
• 一般の𝑛の時
ҧ𝑥 =
1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑥
𝑖
• 偏差𝑑
𝑖
の合計は必ず0になる
𝑖=1
𝑛
𝑑
𝑖
=
𝑖=1
𝑛
𝑥
𝑖
− ҧ𝑥 =
𝑖=1
𝑛
𝑥
𝑖
− ҧ𝑥
𝑖=1
𝑛
1
= 𝑛 ҧ𝑥 − ҧ𝑥𝑛 = 0
両辺𝑛倍すると
𝑖=1
𝑛
𝑥
𝑖 = 𝑛 ҧ𝑥
𝑖=1
𝑛
1 = 𝑛
和の記号Σの公式
和の記号Σの公式は後期にやる予定だが
興味のある人は補足スライド「
和の記号Σの復習」をチェック
平均値と中央値の比較
• 平均値は数値のバランス
• 中央値は個数（又は割合）のバランス
• 平均値は外れ値の影響を受けやすい
中央値
平均値
教科書図2.3.14
• 端の値が大きな外れ値だったとしても中央値は変わらないが平均値は変わる
• 平均値と中央値が大きく違ってる時は注意が必要
分布の歪（ひずみ）と代表値の関係
平中頻は殆ど同じ
頻<中<平 の順 平<中<頻 の順
教科書，図2.3.15
単峰性の場合
3つの代表値
・平均値（平）
・中央値（中）
・最頻値（頻）
で分布の歪が
ある程度分かる
表2.3.8の平均
𝑖 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
𝑥
𝑖 93 71 70 71 67 72 64 92 69 70 71 68 69 70 70
ҧ𝑥 = 1
15 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥15 =
1
15 93 + 71 + ⋯ + 70 =
1087
15 = 72.4 ሶ6 ≒ 72.5
𝑖 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
𝑥
𝑖 68 90 64 67 69 68 70 68 89 67 68 67 68 12 15 20
ҧ𝑥 = 1
16 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥16 =
1
16 68 + 90 + ⋯ + 20 =
970
16 = 60.625 ≒ 60.6
月前半のデータ
月後半のデータ
表2.3.8の中央値
𝑖 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
𝑥
𝑖 64 67 68 69 69 70 70 70 70 71 71 71 72 92 93
データ数は
𝑛 = 15で奇数，𝑛+1
2 = 8なので8番目のデータが中央値．
𝑖 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
𝑥
𝑖 12 15 20 64 67 67 67 68 68 68 68 68 69 70 89 90
月前半のデータを大きさ順に並べ替えたもの
月後半のデータを大きさ順に並べ替えたもの
データ数は𝑛 = 16で偶数，𝑛
2 = 8なので8番目と9番目の中間が中央値．
𝑥 = 𝑥
8 = 70
𝑥 = 𝑥8 + 𝑥9
2 =
68 + 68
2 = 68
表2.3.8の最頻値
𝑖 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
𝑥
𝑖 64 67 68 69 69 70 70 70 70 71 71 71 72 92 93
𝑖 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
𝑥
𝑖 12 15 20 64 67 67 67 68 68 68 68 68 69 70 89 90
月前半のデータを大きさ順に並べ替えたもの
月後半のデータを大きさ順に並べ替えたもの
最頻値は70
最頻値は68
頻度 1 1 1 2 4 3 1 1 1
頻度
1 1 1 1 3 5 1 1 1 1
