問題づくりの視点 : 授業に生きる問題をめざして
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(2) . 北海道教育大学紀要 （第１部Ｃ） 第４４巻 第１号 １ ｉｏｎ（ ｉ ４４ ｌ Ｓｅｃ ｌｏｆ Ｈｏｋｋａｉｄｏ Ｕｎｉｖｅｒｓｉ ｔｙ ｏｆＥｄｕｃａｔ ｔ ｊｏｕｍａ ｏｎＩＣ） ＶＯ ‐ ‐ ， Ｎｏ. 平成 ５年７月 ｌｙ ｊｕ ，１９９３. 問題づくりのネ児点 －－ 授業に生きる 問題をめ ざして －－. 相. 馬. 一. 彦. １． はじめに －－ なぜ 「問題」 なのか －－ 「授業成功の７割は問題の良し悪しによる」 中学校の現場で１ ５年間授業をしてきた実感である． ， 「よい問題」 を用意した時には 「ワクワクした気持ち」 で授業に臨むことができた そして 授業 ， ． ， のための教材研究で， 私が最も時間をかけたのが 「問題づくり」 であっ た． ま た， 私 は 毎時間の授業を通して， 授業のはじめに問題を提示してその解決過程を重視するとい 「 う 問題解決型の授業」 を実践してきた． このような授業が， 中学校でも行われつつある． さらに， 「問題解決型の授業」 は 新しい学力観に基づいた算数・数学の授業として注目されつつある この ， ． 授業での大きなポイントは， 「どんな問題を提示するのか」 ということである‐ 前任校の筑波大学附属中学校には参観の先生がよくいらしたが， 授業を参観していただいた後に よく受けた質問が， 「どのようにしてこのような問題を開発したのか」 「他によい問題はないか」 と いう こ と で あ っ た． 私 た ち は， 「よ い 問 題」 に 出 会 う と 「自分 も同じ問題で授業をして みよう」 と思. う． そのような問題を開発したいものである‐ 私は昨年の４月から中学校の現場を離れ， 大学で数学教育を担当することになっ た． この節目に， 私が１５年間の中で試行錯誤しながらつくり， 実践したきた 「問題」 についてのまとめをしたい． こ れが本稿をまとめるにあたっ ての動機 である． 具体的には， 次の３点についてまとめることを研究のねらいとする． ① 問題解決型の授業での 「授業に生きる問題」 の条件を明らかにする． どのようにして， その条件に適するような問題を開発したらよいのか， その 「問題づくりの 視点」 を明らかにする． ③ 問題と指導が一体になっ てこそ 「授業に生きる問題」 になる． ひとつの章の具体的な指導例 を取り上げ， 問題と指導との関連を図る． １ ～ ４ ） ｛ ） 研究の進め方としては， これまで稀弘がまとめてきた 「問題解決」 や 「指導法」 に関する論文（ ②. をもとにしながら， 実践してきた授業を分析するという方法をとる． １ ５年間の私の授業内容は， す 「 べて 記録ノート」 （生徒が出席番号順に毎時間の授業内容を記録したもの）に収められている こ ． のノートをもとに， 授業で扱っ た問題をピッ クアッ プし， 整理・分類 しながら， 上記の事柄につい て の ま と め を した い．. ２１３.
(3) . . 相 馬 一 彦. ２． 「授業に生きる問題」 の条件 本稿で取り上げる 「問題」 とは， 練習問題や評価テストの問題ではない． 授業の中で扱う問題で ある‐ それも， 問題解決型の授業で扱う問題である． そこで， 「授業に生きる問題」の条件を考察す る前に， 問題解決の意味について簡単に触れておく 必要がある． 問題解決にはさま ざまなとらえかたがあるが， 私は 「指導法」 としての問題解決を重視したい． ５ ｝ 授業では はじめに 「問題」 つまり， 問題解決を 「問題の解決過程を重視する指導」 と定義する（ ， ‐ を提示し， それを解決する過程で新たな知識や技能， 見方や考え方などを身に付けさせるのである． 教師主導の， 説明中心の授業とは相反する． このような， 問題解決型の授業での 「よい問題」 を追求したい． その 「よい問題」 とは 「授業に 生きる問題」 である． そのための条件として私が重視するのは， 次の２点である． 生徒の学習意欲を引き出すことのできる問題. ① ②. 問題の解決過程 で新たな指導内容 （知識や技能， 見方や考え方など） を身に付けさせるこ とのできる問題. 「授業に生きる」 という場合 生徒と教師の両面から検討する必要がある 生徒に関しては， 「生 ． ， 徒は どのように学んでいくのか」ということを重視して授業を構成 したい． これに対応する条件が， 上の①である． 教師に関しては， 「授業を通して生徒に何を身に付けさせるのか」ということである． これに対応 する条件が②である． これまでの私の実践を振り 返ると， この２点っの条件が常に念頭にあっ た． この一方でも欠けて は， よい授業は成立しない． この両方が同時に満たされるような問題こそ， 「授業に生きる問題」と いえるだろう． では， この２つの条件について具体的に考察していく． 生徒の学習意欲を引き出すことのできる問題 今日， 「学習意欲」が数学教育 での大きな課題として研究されつつある． ここでは， 学習意欲に関 して私が強調し続けてきたキーワー ド， 「おや？」 「なぜ？」 に焦点を当てて考察したい． 「おや？」 「なぜ？」 は ともに学習過程における生徒の心理を表現した言葉である 学習意欲を ． ，. ①. 問題にするとき， 教師の論理だけではなく， 生徒の心理をベースに考える必要があるだろう． また， 生徒は誰でも知的好奇心を持っ ていること， そして 「知りたい」 「できるようになりたい」 と 思っ て. －. いることをふまえて学習意欲を考えたい． ところ で， 私が 「問題」 を強く意識し， 「おや？」 「なぜ？」 を強調することのきっ かけになっ ６ ） たのは， 次の授業であっ た（ ． ２年 『１次関数』 連立方程式と グラフ 連立方程式の解をグラフの交点として求めさせる練習として， 次の２つの式を与えた． ２％十ｙ＝５. ５％－６ｙ＝１２. と に. 単純な練習問題と考えていたが， 生徒たちは 「この２直線はｘ軸上でちょ う ど交わるのか」 ということに興味を持ち， その課題をめ ぐって結果と理由を追求し続けたのである． この解決 にかなりの時間を費やしたが， 多様な考えを知り， またこれまでの復習にもなり， 生徒たちは ４.
(4) . . 問題づくりの視点. た様子であっ た． １ 充実感を味わっ. １. この授業では， グラフをかいたところ， 生徒の中に 「おや？」 という気持ちが生じたのである． 私は意図していたわけではなかっ たが， 偶然 「おや？」 が生じるような数値であっ たのである．. 間 署コ. 審 議 蓄 墓園誓 電 誓 三 書 問 題 を き っ か け に， そ こ か ら 「お や ？」 と いう. 「お や ？ 」. 分 が考 え て い た こ と と の ず れ や 矛 盾 な どを 通 し. 「な ぜ ？ 」. て， 生徒の中に知的葛藤が生じるのである． この気持ちさえ生じさせることができれば， 生徒は自然に 「なぜ？」 という理由を問うてくる． なお， 問題から直接 「なぜ？」 が生じることもある． 「授業に生きる 生徒 の心の中にこのような気持ちを生じさせるため の問題を開発したい． それが・ 問題」 である．. ② 問題の解決過程で新たな内容 （知識や技能， 見方や考え方など） を身に付けさせることのでき る問題 授業では， 学習意欲を喚起するだけではなく指導内容を定着させなければならない． そのために を用いるとほぼ解決できるが， 教科書で学ぶ新たな内容がわかるとよりよい解決がで は，「既習内容， きる」 という問題を開発したい． たとえば３年 『円』 で， 「円に内接する四角形の性質」 を新たな指導内容とするとき， 下のような 問題を与えると， 生徒たちはいろいろな補助線 を引き， 既習内容を活用して問題を解決する． その過程で 「円に内接する四角形の性質」 に気. 問題 次の図で， ｘ の値を求めなさい．. 豊艶鰯璽 ー め な課題が生じ， その課題を解決したあとではじ であ る．. 問 閣 新たな課題 課題の解 決. このような過程を経ることによっ て， 生徒たちは， 学習したことの充実感を味わうことが できる だろう． このように， 新たな課題を生み出すような問題が， 問題解決型の授業での 「授業に生きる 問 題」 であ る．. ２１５.
(5) . 相 馬 一 彦. ３． 問題 づくりの視点 では， 「授業に生きる問題」 をどのようにしてつく っ たらよいのか， 具体的に考察したい． 先に示した条件の①のために， つまり， 生徒の学習意欲を引き出すために， 日常生活の中から問 題を設定したり， ゲーム・パズル的な問題を与えることもある． しかしそれは， 数学の舞台にのせ るのが難しい． また， それま での時間がかかる． そこ で私の場合は， 「数学的な問題」を提示するこ とが多かっ た． 教科書によくあるような 「数学的な問題」 でも， たとえば次のような視 点で問題づ くりをすることによっ て， 「授業に生きる問題Ｊ の条件を満たすことができるだろう． 「記録ノート」 の整理．分類から 「問題づくりの視点Ｊ を次の５つにまとめることができる ， ． ‐ ア 教科書を逆から教える発想 、での問題 イ. すべての生徒が何らかの解決ができる問題. ウ. 理由より答えを先に問う問題. 工. 異なる予想が生じるよう な問題. オ. いろいろな考え方ができるよう な問題. それぞれの視点について具体的な問題例を取り上げ， 解説を加える． なお， ３学年間のすべ てに わたって問題解決による指導をしてきたので，それぞれの視点についてのいろいろな問題があるが， 本稿では例としてひとつずつ取り上げる． また， 各問題について具体的な展開例をここで紹介する ことはできない． 問題と大まかな指導の流れの紹介にとどめる． なお， ひとつの問題の解決が１時 間の授業でなされるとは限らない． むしろ， 数時間にわたっ て学習が継続することが多い． ところ で， 各問題は， その視 点だけにあてはまるのではなく， 他の視点にもあてはまり， 視 点が 重複するものが多い． 以下， 学年や領域を考慮して， いろいろなタイ プの問題を紹介する．. ア 教科書を逆から教える発想での問題 ７ ） この視点については，私にとって忘れられない問題がある．問題解決についてのはじめての論文（ の中で取り上げた， 次の問題である． 問題. 直角 三角 形 ＡＢＣ で， ＢＡ＝ＢＤ と な る よう な 点 Ｄ を ＢＣ. 上にとり，Ｄ を通る ＢＣ の垂線をひき，ＡＣ との交点をＥ と す る．. －. Ａ Ｅ. この図で， 長さが等しくなる線分はどれか．. ２年 『三角形と四角形』 での 「直角三角形の合同条件」 の導入問題である． 直角三角形の合同条 件は， 生徒にその必要感を感じさせながら指導することが難しい． この問題 では， 生徒は既習内容 を活用し， 補助線 鋤 をひいて２つの二等辺三角形をつくっ て解決する． 一方， 補助線 ＢＥ をひい た生徒にとっては， 直角三角形の合同条件が課題になる．「おや？ この条件だけで本当に合同とい えるのだろうか？」 ということになる． その段階で直角三角形の合同条件の学習に入るのである． この問題は， 教科書では直角三角 形の合同条件の練習問題として取り上げられている． 逆にこの 問題をはじめに与えることによっ て， 生徒に目標や課題意識を持たせることができるのである．. イ すべての生徒が何らかの解決ができる問題 全く手がつかないような問題を与えていては， 生徒たちは考えようとしなくなる． 既習内容を活 ２１６.
(6) . 問題づくりの視点. 用すると， 何らかの解決ができる問題を与えたい． その解決は， 途中ま でであっ てもよい． まちが いであっ てもよい． どんな素朴な方 法でもよい． それを評価 し， 授業に生かしていきたい．. 問題 太郎君は次のような計算をした． 正しいだろうか． （劣十３）２＝尤２十９. ３年 『多項式』 での 「式の展開一 の導入問題である． このような誤答はよく ある． ％ に数を代入す ることによっ て， すべての生徒が正しくない理由を説明 することができる問題である． 既習の知識 で解決できるのである． ところが，他の考え方 で理由を説明する生徒もいる．正方形の面積に着目して正しい 答えを導く生 徒 や， ｘ＋３ を 又 とおいて分配法則を用 いる生徒もいる． 代入しか気づかなかっ た生徒も， 「なるほ ど」 という表情で考える． 自分なりに考えたということが， 学習意欲につながっ ていく．. ウ 理由より答えを先に問う問題 最近のテレビでは， クイ ズ番組の人気が高いよう である． それらに共通するのは， はじめに答え を問うことであろう． 視聴者は， たとえ自分の答えがまちがっていても， 「なぜ？」という知的好奇 心から番組に引き込まれる． 授業での生徒の心理も基本 的には同じであろう． はじめから 「理由を考えよう」 と働きかけても 生徒にとっ て考える必要感は生じない‐ 答えや結果を問うことによっ て， 生徒に必要感や目的意識 を持たせるのである． 問題 次の①～④の中で， 答えがもっ とも大きくなるのはどれか． ） ） ② （十５ ① （十５）－（十２） －－（－２. ③ （－５）－（十２）. ） ）－（－２ ④ （ー５. １年 『正の数， 負の数』 での 「減法」 の導入問題である． 加法でも同じパターンの問題を扱っ た． 「（十５ ）－（－２ ）の計算の仕方を考えよう」という導入がよく行われる が， 生徒にとっ て考えることの 必要感は少ない． それに対してこの問題では， 直観であっ ても自分なりの何らかの予想をする． そ ）の計算の仕方を考えよう」 と ）－（－２ して， その予想は生徒によっ て異なる． 結果としては 「（十５ いうことが課題になり， その理由を考えることに なるが， 生徒にとっ ての必要感は異なるだろう． そして学習意欲も持続するだろう． 工. 異なる予想が生じるような問題. 私たちは他人と予想が異なるとき， 「どちらが正しいか」ということに関心を持ち， その理由を考 える． ウのように答えを先に問うても， 同じ結果ならば 「おや？」 という気持ちは生じない． 異な る予想が生 じる方がよい． 問題. － ア. どち ら が 大 右 の２つ のおう ぎ形 の 面 積 は， 十 １ き い だろ う か．. イ. ， ＾ ３Ｃｍ ６ｏ ｏ. ●. … ６ げ. ２１７.
(7) . 相 馬. 一 彦. ３年 （今までは１年） 「おう ぎ形」 の導入問題である． この問題を提示して直観 で予想させると， その予想は次の３つに分かれる． ア が大き い. イ が大 き い. 同じ. 異なる予想に， 「おや？」 という気持ちが生じる↓ 「どれが正しいか」 をめ ぐっ て， 生徒たちは考 え始める． この過程で， おう ぎ形の孤の 練習. . 長さ や 面 積 の 求 め 方 が 課 題 に な り， そ れ. さらに， 練習として右のような問題を 与えることによっ て， Ｓ＝１ ／２２ｒの公式 を導くことができる． 生徒は２つの面積 が 等 しい こ と に 驚 き， 「な ぜ ？」を 求 め て. ア. イ. ４ ｃｍ. 意欲的に考えるのである． オ いろいろな考え方ができるよう な問題 「数学では答えはひとつ であっ ても考え方はいるいるある ということを知り それを大切にする ・ ， 授業がなされると， 生徒たちはいろいろな考え方に意欲を示すようになる． また， 問題についての いろいろな考え方は， 新たな指導内容にも結び付く． 問題 右の図は， 直方体をななめに切っ た立体である． 直線８と 伽 は交わるだろうか．. ８ ｝ これは 「異なる予想が生じるような問題」 でもある 「交 １年 『空間図形』 の導入問題である｛ ． ． 「 わる」 交わらない」 という ２ つ に 予 想 が 分 か れ る 「お や ？」 「な ぜ ？」 と い う こ と に な る ．. ．. この問題は， いろいろな考え方で解決することができる． 実際に立体をつくるために展開図をか いたり， 切断， 投影の考え方でも解決することができる． 生徒たちは， いろいろな考え方に 「なる ほど」 という表情を示す． 「なるほど」 と同時に， 教科書で扱っ ている多くの新しい事柄を学習して いく の で あ る．. 生徒たちは， とかく答えだけを求めがちだが， いろいろな考え方にも知的好奇心を沸き立たせ る． このこ とを前提として授業に臨みたい． 同時に， 私たち教師が 「いろいろな考え方」 を大切にする 姿勢を持つことも大切であろう． 以上， ５つの 「問題づくりの視点」 を概観してきた． さらに， このような視点にあてはまるよう な問題をつくるための留意点がある． 次の４点に留意すると， 問題が比較的つくりやすい． Ａ 求答問題の形にする Ｂ. 問題の数値を工夫する. Ｃ. 問題の図の向きや大きさを工夫する. Ｄ. 問題をできるだけ単純にする. ここ でも具体的な問題例をひとつずつ取り上げながら， 簡単に説明を加える． ２１８.
(8) . 問題づくりの視点. Ａ. 求答問題の形にする 問題. 右の図で， 尤 の長さを求めなさい‐. ３年 岡 部円周角の鎚の応用問題であ る． 教科書や問題集には， 右の図で斜線の三角 形の相似を証明する問題として出題されている． 上の問題は， 右の問題と同じ証明をすること. ⑩. になるのだが， 生徒は右の問題に比べて， 上の 問題の方に意欲的に取り組む． 「おや？ 本当に求められるのか？」という気持ちが生じるからであ る． たとえ自分 の力で解決できなくとも， 「なぜ？」という課題意識は強くなる． その時点で証明を して い く の であ る．. Ｂ 問題の数値を工夫する 問題 縦が′ずｃｍ， 横 が 石ずｃｍ の長方形の面積を求めなさ し、．. ９ ）である ３年 『平方根』 の乗法の導入問題（ ． 問題の数値がひとつちがっ ただけ で授業の流れが大きく異なることがある． この問題 でも， ８で はなく３，つまり ノテとノずの場合とは異なる． どちらからも乗法の公式は導かれるが，ノ客の方が「お や？」 「なぜ？」が生じやすい． また， 新たな課題もより多く生じる‐ 具体的には， 生徒の中に次の ような気持ちが生じるからである． ・１‐４１４２… … Ｘ２‐８２８４… … が ち ょ う ど４ に な る の は お か し い．. 「×／き 「＝ ヌＴ＝４のように計算してもよいのだろうか‐ 本当にノラ 「＝２ＪＴになりそう だ． 本当だろうか． なぜか． ．′ぞ ノ３ 「ならば， このような気持ちは・生じない． ちょっ としたちがいだが， 問題づくりでは数値を工夫 することも重視 したい． なお， 私は同じ授業を複数のクラスで行う場合， 意図的に問題の数値を変えて授業に臨んできた． この問題の数値のよさも， その授業の中から気づいたものである．. ２１９.
(9) . 相 馬 一 彦. Ｃ. 問題の図の向きや大きさを工夫する ‐. 問題. 次の角と等しい角を作図しなさい．. ２年 『平行と合同』 の 「三角形の合同条件」 の導入問題 である． 既習内容を活用して， 次のよう な多様な作図のしかたが出てくる． イ. ア. ウ. エ. ▲. な む こ る 毒瞥 〉 響 霧 謝雲 影 この例のように， 問題づくりでは 「どのような図にするのか」 ということにも留意したい． Ｄ 問題をできるだけ単純にする 同じ問題でも， 問題文が長かっ たり意味がとりづらかっ たりすると， 生徒の学習意欲は低下する． また， 問題を理解させるまでの時間もかかる． できるだけ単純な形 で問題を提示したい． 単純な方 が 「おや？」 も生 じやすい． 求答問題にすることがその具体的な方法である． また， 図形の証明問題ならば， 問題文を長く板 書するのではなく， 条件を図に書き込んで理解させることができるものは， そのようにしたい． 単 純な問題でありながら， ア～オのような視点を含むような問題こそ 「授業に生きる」 と思われる．. ４． 問題と指導例 「問題づくりの視点」 をまとめ 問題例をひとつずつ取り上げてきた ここでは ２年 『三角形と ， ． ， 四角形』 の章を取り上げ， 平成３年度に私が実践した問題と指導例を紹介する． ２４時間の指導は， ６つの問題をもとに展開された． また， 私の場合， 導入問題だけ ではなく， 練 習問題を通して新たな内容を指導することもある． 問題 ”こついてのみ， 練習問題も紹介する． 本稿 では， それぞれの問題についての具体的な指導の流れを紹介するスペースはない． 問題のあ とに次の３項目についてまとめ， 簡単なコメントを加えたい． １. その問題の解決までの時間 （練習の時間は含まない） 「 １ １ 問題づくりの視点」 との関連 （ア～オの視点， Ａ～Ｄの留意点） ｍ 新たな指導内容 ２２０.
(10) . 問題づくりの視点. 問題１ 右の図のような ブーメラン形で， 乙 Ｂ＝ 乙 Ｃ と い っ て よ い だろ う か．. Ａ. . 皿 二等辺三角形の定義 二等辺三角形の性質 ２時間 １ １ ア イ ウ オ ＣＤ 「ブーメラン形」 という名称は 前章で 次の図１の ズ を求める問題の中で名 付けたものである． ， ，. １. 図１. 図２. さ ら に 上 の 図 ２ で， α＋る十ｃ＝ェ と い う 関 係 を 「ブー メ ラ ン 形 の 性 質」 と して ま と め て あ る‐. さて， この問題１は２通り考 え方 で解決できる． ひとつは補助線 皿 をひく考え方である． 既習 証明できる． もうひとつは， 補助線 ＢＣ をひく 内容の三角形の合同条件を活用すれば‘ Ｂ＝乙 Ｃカだ 考え方である． ２つの二等辺三角形に着目するが， ここで二等辺三角形の性質が課題になる． 練習問題１ 右の図で， ％ の値を求めなさい．. 二等辺三角形の性質の応用 である． 三角形の内角や外角の性質も使っ た多様な考え方が出た． 生 ０になることに美しさを感じた様子であっ た 徒たちは， いつ でも９０ ‐ 練習問題２ 右の図で， ｘ の値を求めなさい．. ′ ０ 生徒は簡単に １２０ という答えを求める． しかし， その理由を確認する過程 で「正三角形の定義や ０であるこ 性質」が新たな課題として浮かび上がっ たのである． そして， 正三角形のすべての角 が６０ とを証明した．. ２２１.
(11) . 相．馬 一 彦. 練習問題３ 右の図で， ％ の値を求めなさい．. この問題は， 「証明しなさい」という形で出題されることが多い． 証明は比較的むずかしく， 証明 をあきらめる生徒も多い． ところがこのような求答問題にすることによっ て，尤 がいつ でも６ ０ ÷にな ることに驚き， 生徒たちは 「おや？」 「なぜ？」 という気持ちでねばり強く証明に取り組んだ． 問題 ２ Ａ. 右 の 図 で， 長 さ が 等 しく な る 線 分 は ど れ か．. Ｂ. 工. ４ 時間. ｍ. 二等辺三角形であるための条件. １ １. アイ ウエ オ. Ｃ. Ｄ. Ａ. 直角三角形の合同条件. 補助線 ＡＤ をひく考え方から 「二等辺三角形であるための条件コ が新たな課題になっ た． ま た， 補助線 ＢＥ をひく考え方から「直角三角形の合同条件」が課題なっ た． 課題意識を持たせながらそれ ぞれの証明に取り組ませることができた． 問題３ ５ Ｃｍ. 右の平行四辺形で， 尤 ， ｙ の 値 を 求 め な さ い．. ８び ３ ｃｍ ｏ ｙ. １. ３時間. １ １ アイウ ＡＤ. ｍ. 平行四辺形の定義. ズｃｍ ．. 平行四辺形の性質. 普通は， 平行四辺形の性質を指導してから， その練習問題として扱う 問題である． 小学校での知 識でも解決は できる． しかし， これまで証明の必要性を学習していることから， はじめにこの問題 を与えることによっ て， 定義や性質が新たな課題になり， その証明に取り組むことになっ た． 問題４. Ａ. 右の図で， 四角 形 ＰＱＲＳ はどんな四角 形だろうか．. Ｂ. ２２２. Ｐ. Ｐ. Ｓ. Ｒ Ｃ.
(12) . 問題づくりの視点. １. ３時間. ロ. アイウオ ＡＤ. 平行四辺形であるための条件. 皿. この問題も， 平行四辺形であるための条件を指導 したあとの， 教科書にある練習問題である．「な ぜ？」 を問う中で， 逆に条件が課題として浮かび上がっ た． 証明の必要性を確 認したあとで， ひと つひとつの条件 を証明した． 問題 ５ 右 の 図 で， 四角 形 ＰＱＲＳ が ひ し 形 に な る こ と は あ る. Ｄ. Ａ. だろうか． Ｂ. ２時間. １. ロ. アイ ウ. ＡＤ. ｍ. ・. Ｑ. ｃ. い ろ い ろ な 四角 形. 「長方形になること」 や 「正方形になること」 も扱う中で， いろいろな四角 形の定義や相互の関連 をお さ え る こ と が で き た． 問題６ 右 の よ う な 長 方 形 の 土 地 で， ２ 人 の 面 積 を 変 え な い. で１本の境界線で区画整理したい． どのように分 けた らよいだろうか．. ２時間. １. 口. アイ ウ エ オ. ＡＣ. ｍ. ・. 花子. 太郎. 等積 変 形. 長方形の場合は， 右のように中点を結んでも 面積は変わらない． 三角形の合同を使っ て証明 できた． さらに， 平行線に着目する考え方から 等積変形についてまとめること ができた． 以上， ひとつの章での問題と指導の関連を概観してきた． それぞれの問題の解決過程で教科書の 問題を練習として扱いながら， また， 問題が解決した段階では問題１のように練習問題を与えなが ら定着を図っ た． ６つの問題を解決する過程で， 教科書にある新たな指導内容をおさえ， また， 教科書の問題も解 くことができた． つまり， 問題解決型の授業は 「教科書を使わない授業」 ではなく， 「教科書を重視 する授業」 であることを補足しておきたい．. ５． お わ り に １ ５年間の実践のまとめのひとつと して 「問題」 に焦 点を当て， 「問題づくりの視 点」 をまとめてき た．. 授業で扱っ た問題を 「記録ノート」 からピッ クアッ プした ところ， かなりの数になっ た． 本稿で ２２３.
(13) . 相 馬 一 彦. はできるだけ多くの問題を取り上げることを意図したため， 個々の問題についての指導の流れを十 分に紹介できず， 指導の実際を具体的にイメージしていただけたか どうか心配である． 取り上げた問題は 「特別な問題」 ではない． 「普通の問題」 である． これらの問題を授業に生かす ことができるか どうかということは， 授業に臨む教師の姿勢にも大きく関わっていることを最後に 付け加えておきたい． 私たち教師自身が， 次のような姿勢を持ち続けたいものである． － 生徒の反応を楽しみにして授業に臨む． ・「なぜ ？Ｊ という 問いを大切にしようとする．. ・いろいろな見方や考え方を大切にしようとする． ・途中ま でであっ ても， まちがいであっ ても， その考え方のよさを認めてやる． さて， 「問題づくり」 に関しては， 研究課題がまだまだ残っている． 「問題づくりの視点Ｊ は他に もあるだろう． それらに適する 「よい問題」 ももっ とあるだろう． 授業に生きる 「よい問題」 を集 め て， 〔問 題 バ ン ク」 を つ く り た い も の で あ る．. また， どんな 「よい問題」 を提示しても， 同じ授業ができるとは限らない． いや， あり得ない． 同じ問題でも教師や生徒のちがいによっ て授業がどのように変わるのか， その比較研究も意義があ るだろう． これまでの実践をふまえて， 「問題」 に焦点を当てた研究をさらに進めていきたい． ▼ . . ｛ １ ） 拙稿 「問題の解決過程を重視する指導－－ 数学教育と問題解決－－」 日本数学教育学会誌 （第６ ５巻第９号） 昭和５８年 ｐｐ ２～１１ ‐ （ ２ ） 拙稿 「問題解決における問題とその指導」 筑波大学附属中学校研究紀要第３ ５号 昭和５８年 ｐｐ １～１８ ． （ ３ ） 拙稿 「問題解決と評価－－ 評価問題との関連を中心に－ －－」 日本数学教育学会誌 （第６ ８巻第１１号） 昭和６ １年 ｐｐ １６～２２ ． （ ４ ） 拙稿 「問題解決と教科書－－授業での教科書の位置づけ －－」 筑波大学附属中学校研究紀要第４ ３号 平成３年 ｐｐ ３９～４９ ． ５ １ （ ） 前掲（ ） ） 拙稿 「微妙なちがいを原動力にして」 『数学教育 Ｎｏ （ ６ ３ ５ ８ 』 ‐ 明治図書 昭和６ ３年 ｐｐ ３ ～ ２ １ ０ ． （ ７ ） 前掲（ １ ） （ ８ ） 福森信夫他編著 『数学の主体的・協力的授業』 ぎょ う せ い. 昭和 ５６ 年 ｐｐ １８９～１９７ ．. ９ （ ） 拙稿 「よい問題とその与え方の工夫」 『数学教育 Ｎｏ ３ ２４ 』 ． ２ １ ～ ２ ８ 明治図書 昭和６１年 ｐｐ ‐ （助 教 授. ２２４. 旭川 校）.
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