数学試験問題

(1)

2 0 1 5 (平成27) 年度

数学試験問題

(70分，総点 100)

人間科学部

試験開始の合図があるまで聞かないこと

区 E

1. 問題用紙は，表紙を含めて8ページで，問題は 1， 11 ，皿の 3問ある。

2. 解答用紙はl枚で，氏名記入欄のある表側(その1)に，問題1，11 の解答欄がある。 1， 11はマーク選択式である。また，裏側(その 2) に問題凹の解答欄がある。皿は記述式である。

3. 解答用紙の表側には，事前に座席番号とカタカナ氏名が印字されているので，自分の解答用紙であることを確認すること。

4. 解答用紙への氏名記入は監督者の指示によること。

5. 試験時間内の退場はできない。

6. 試験終了後は，監督者の指示があるまで，各自の席で待機すること。

7. 問題用紙は，各自で持ち帰ること。

￨解答上の注意￨

1 問題 1， 11の口(ア，イ，ウ，エ， ...)に対する解答は，すべて解答用紙の表側の所定箇所の数字もしくは記号をOで囲むこと。後ろに挙げた例のようにはっきり確認できるように，ていねいに丸く囲むこと。訂正・修正するときは，消しゴムで完全に消し，跡が残らないようにすること。 2カ所以上にOがついていたり，消し方が不十分で，

どれが選ばれているかはっきりしない場合，その解答は無効となるので，注意すること。

2. 問題皿の解答は，裏側のその2 (記述式)の所定箇所(枠内)に記入すること。記入の際，解答欄からはみ出さないように気をつけること。

解答欄からはみ出した部分は，採点の際に消されるので，注意すること。

(裏表紙8ページに続く)

‑ 1 ‑

(2)

1 2個のサイコロを同時に投げる試行を行う. 2個のサイコロのうち少なくとも 1個は1の目が出る事象をA. 2個とも同じ目が出る事象を Bとする.このとき以下の確率を求めよ.ただし，P(X)は，事象Xの起

こる確率を表す.

げイ￨

(1) P(A U B) =争=尋

Hフニ巳￨

(2) この試行を 2回行うとき，少なくとも 1回は事象Aが起こる確率は，

よ己二￨オカ剤i「である.

￨クケコサ￨

(3) この試行を2回行うとき，少なくとも 1回は事象Bが起こる確率は，

￨シス￨

ーーである .

￨セソ￨

2 αを定数とし，次の式で与えられる直線l，m， nがある.

l: (α+ 1)x + ^α⁽^ー^2)y‑^5a+ 4 = 0 m: y=x

3 n: y ="2x

ωlとmが平一α=自である (2) lとnが垂直のとき α=ー図である.

(3)

計算用紙

−３−

(4)

E

1 放物線C:y = X2‑ X上の点 P(2， 2)における Cの接線を IIとし，

Cの接線のうち IIと直交する直線をらとする.

このとき，以下の問に答えよ.

(1) IIの方程式は， y =困^x^{一日である}

(2) l2の方程式は， y =一一因囚::;‑X一一一

困日

(3) ll' l2' Cで固まれる部分の面積は，

f

^102‑x)⁽^<^X2^‑x) ‑^{一臼一日日)月》肘}

o

^‑^E^J⁾μ⁾)怜^d

伽

d^x^x

叶

⁺

f

^f

l

^<\~ ~J ^X2^‑^x⁾^‑

(

^¥

因困臼/乃回日

_j

回臼守

によって求められる.ただし a=一一

回 ' 困

2 0を原点とし 2点 A(a)， B(b)に関して，

lal = 2， Ibl = 3， la + bl = 4であるとき，以下の聞に答えよ.

ー「マ￨

ω a • b = 冒である

(2) 三角形OABの外心をHとすると，

回囚 → 国 →_=一一_α+_{一一bである.}

因因

(5)

計算用紙

−５−

(6)

E

1 以下の問に答えよ.

(1) mを整数とするとき m²が偶数ならば mは偶数であることを証明せよ.

(2) 占が無理数であることを証明せよ.

2 三角形ABCにおいて，乙Aの2等分線と辺BCとの交点をDとする. このとき AB: AC = BD : DCが成り立つことを証明せよ.

(40点)

(7)

計算用紙

−7−

(8)

￨解答用紙その1(マーク選択式)についての注意￨

1 設問中の口の中の文字(ア，イ，ウ，エ，".)のひとつひとつは，それ

ぞれひとつの数字 (O~9) ，または:t *のいずれかに対応する。

2. 分数形で解答を求められているときは，既約分数で答える。また±や一の符号は分母には付けないものとする。さらに分数形で解答を求められている問題に対して，整数または整式で答えたいときは，分母は1と

して答える。

3. 根号の中の自然数は，可能な限り小さい整数の形にして答える。

4. 解答欄の各ブロックで，マークは上から順に行う。もし欄が余る場合は，

後ろの残りの欄の*をOで囲む。また欄が不足するときは，最後の欄の

*をOで囲む。さらに，適合するものがないときは，その欄の*をOで囲む。

￨解答の記入例￨

￨アイ￨ー「

(例1)y =ー三デx+トエ￨に y= ‑2x と答えたいとき (ア)

(イ) (ウ) (エ)

いラ￨ー‑ー +

。

^O ¹

士

。

1

+

。。

+

。

¹^②²²² ³³³³ ^{4 5}^{4 5}^{4 5}^{4 5}

(例 2)p = ￨オカキ￨に P :t 5 と答えたいとき (オ) ①

。

1 2 3 4 5 (カ) ⁺

。

1 2 3 4 ⑤

(キ) ^±

。

l 2 3 4 5 (例3)p = I^{クケ} l^に^p⁼2.5 と答えたいとき

。

l ② ³ ^{4 5}

。

6 6 6 6

6 6 6

6 7 7 7 7

7 7 7

7

8 9 *

8 9 @

8 9

ら￨

(9)

数

2 0 1 5 (平成27)年度

学試験

(70分，総点 100)

神学部経済学部

問

区 E

題

1. 問題用紙は，表紙を含めて8ページで，問題は 1， II， IIIの 3問ある。

2. 解答用紙は1枚で，氏名記入欄のある表側(その1)に，問題1， II の解答欄がある。 1，IIはマーク選択式である。また，裏側(その 2) に問題IIIの解答欄がある。 IIIは記述式である。

4. 解答用紙への氏名記入は，監督者の指示によること。

6. 試験終了後は，監督者の指示があるまで各自の席で待機すること。

1 問題 1， IIの口(ア，イ，ウ，エ， ...)に対する解答は，すべて解答用紙の表側の所定箇所の数字もしくは記号をOで囲むこと。後ろに挙げた例のようにはっきり確認できるようにていねいに丸く囲むこと。訂正・修正するときは，消しゴムで完全に消し，跡が残らないようにすること。 2カ所以上にOがついていたり，消し方が不十分で，

どれが選ばれているかはっきりしない場合，その解答は無効となるので，注意すること。

2. 問題IIIの解答は，裏側のその 2 (記述式)の所定箇所(枠内)に記入すること。記入の際，解答欄からはみ出さないように気をつけること。

‑ 1 ‑

(10)

1 三角形ABCの面積を5，内接円の半径をrとする.

AB = 1 +..fi， BC =../6， LABC = 45⁰のとき，以下の値を求めよ.

(1) AC =回

(2) 訓 C=回。

(3) 5 = 3+EJ

因

付) r = 抱 + $ j 一周

2 3次関数f(x)= ^‑⁴^x³+ 15x²+ 18x +αは， x=害で日 x=図で極大一

また，方程式f(x)= 0の異なる 3つの実数解のうち2つが負となるような定数 aの範囲は，同<αくよ喜子である.セソ￨

] 伊￨

(30点)

(11)

計算用紙

−３−

(12)

E

(1) 直線y=lxを原点のまわりに正の向きにーだけ回転した直線のπ 4

方程式はy=困^xである.

(2) 2点A(‑1， 5)， B( 3， 2)に対して，直線y= mx‑2m‑1が線分AB(両端を含む)と共有点をもつような定数mの範囲は，

m壬困 ^m主囚である

(3) 2点C(2，1) ， D( 5， 4)に対して， CP: DP = 1 : 2となるような点的， y)の軌跡の方程式は，(x一回)2+か一目

f =

^因である

2 以下の値を求めよ.

(1)

エ

^(2k

⁺ ^ド因

ⁿ²

⁺ ^日

ι ¹

一日

ω

ド

^1(2k

一卵

^k+ 1)

一日

^一ⁿ⁺¹

ωE‑1)K2k‑1=

白日

^‑1)

(30点)

(13)

計算用紙

−５−

(14)

E

集合Xkは次のように定義される.

Xk = { ~

I

^x^{は k桁の自然数で} ^xの全ての位に 1を含まない ) また，叫ん)はXkの要素の個数，S(Xk)はんの全ての要素の和とする.

1 1 1

たとえば，叫ん)_~，= ⁸_‑，‑，， s(_‑‑vX1) = ~ 2"3" +一+…+ーである.以下の問に"9 答えよ.

(1) 叫ん)を求めよ.

(2) s(X1) < 4を証明せよ.

18

(3) s(X2)くτを証明せよ.

271

(4) s(X1) + s(X2) + s(X3) <ーーを証明せよ.

25

(40点)

(15)

計算用紙

−7−

(16)

￨解答用紙その1(マーク選択式)についての注意￨

1 設問中の口の中の文字(ア，イ，ウ，エ， ...)のひとつひとつは，それぞれひとつの数字 (0~ 9) または:t *のいずれかに対応する^O 2. 分数形で解答を求められているときは，既約分数で答える。また±や一

の符号は分母には付けないものとするO さらに，分数形で解答を求められている問題に対して，整数または整式で答えたいときは，分母は lと

して答える。

4. 解答欄の各ブロックで，マークは上から11)買に行う。もし欄が余る場合は，

￨ア寸， 1 ー「

(例1)y=‑=戸三号ニx+トエ￨に y = ‑2x と答えたいとき (ア)

(イ) (ウ) (エ)

いフ

+ +

士士

G

。。

1 l

。。

。

¹^②²²² ³³³³ ^{4 5}^{4 5}^{4 5}^{4 5}

(例2)p =￨オカキ￨に P :t 5と答えたいとき (オ) θ ^O ¹ ² ³ ^{4 5}

(カ) ^士 O 1 2 3 4 ①

(キ) 士

。

1 2 3 4 5 (例 3)p = I^{クケ￨に} ^p=^{2.5と答えたいとき}

。。

。

6 6 6 6

6 6 6

7 7 7 7

7 7 7

8 9 *

8 9 @

(17)

2 0 1 5 (平成27) 年度

数学

試

験

^目^F^B ^: ^同守﹄

題

(70分，総点 100)

高学部国際文化学部

試験開始の合図があるまで開かないこと

区 E

1. 問題用紙は，表紙を含めて8ページで，問題は 1，11， IIIの3問ある。

2. 解答用紙は l枚で，氏名記入欄のある表側(その1)に，問題1，11 の解答欄がある。 1，11はマーク選択式である。また，裏側(その 2)

に問題IIIの解答欄がある。 IIIは記述式である。

3. 解答用紙の表側には事前に座席番号とカタカナ氏名が印字されているので，自分の解答用紙であることを確認すること。

4. 解答用紙への氏名記入は，監督者の指示によること。

1 問題1，11の口(ア，イ，ウ，エ， ...)に対する解答は，すべて解答用紙の表側の所定箇所の数字もしくは記号をOで囲むこと。後ろに挙げた例のようにはっきり確認できるようにていねいに丸く囲むこと。訂正・修正するときは，消しゴムで完全に消し，跡が残らないようにすること。 2カ所以上にOがついていたり，消し方が不十分で，

どれが選ばれているかはっきりしない場合その解答は無効となるので，注意すること。

2. 問題皿の解答は，裏側のその2(記述式)の所定箇所(枠内)に記入すること。記入の際解答欄からはみ出さないように気をつけること。

‑ 1 ‑

(18)

1 男子4人，女子4人の合計8人のメンバーがいる.

以下の問に答えよ.

(1) 8人を向性2人から成る4つのグループに分け，さらにこのグループを，先頭から男子グループ，女子グループ，男子グループ，女子グループの順に並べる方法は全部で回通りある

(2) くじ引きで，男女ベアから成る 4つのグループを作る.このときメンパーの 1人である自分が，ある特定の異性と同じグループになる確率は

且である

に工￨

(3) くじ引きで， 2人ずつ4つのグループを作る.このとき同性同士のグノレープが少なくとも 1つできる確率は告言尋である.￨オ刻

￨キ列

。) 0 <αくE，E^くs<πとする cosα=;，叫 = ; のとき， 2' 2

因叫

E 図+匹回

(2) 0壬θ壬πとするとき，

cos(α+F)=‑ 15W である.

関数f(θ)= sin9 + 山(θ+i)+吋^6+;π)

の最大値は図最小値は因担である

(19)

計算用紙

−３−

(20)

E

(1) ...fi，沼， VEの大小関係について，以下の 1'"'‑'6の選択肢のうち，

日が成立する 1 ...fiく結くv6 2 、/芝<V6<V3 3 結く花く v6 4 V吉く招く...fi 5 V6<、/芝〈持 6 v6く結く、fi

ωα^>b>1^のとき logab ‑logb^a=一字ならば

叶 logb^a= 自である

1 r : o 巳￨

(3) Y = logs(1 + XZ)一::;‑logzxはx=聞のとき最小値争尋をとる.

s 一院￨

2 平行四辺形ABCDにおいて，辺ABを2:1に内分する点を E，辺ADを3: 2に内分する点を F，辺ADの中点をGとする.

直線BGと直線EFの交点をPとすると，

困一回 ‑

AP =一一AB+一一AD である.

囚回

また，直線APと直線DCの交点をQとすると，

(21)

計算用紙

−５−

(22)

皿

実数αの関数 F(α)が

F( α ) =

ト卜

L¹^11Lk￨^は^I^刈^x⁽⁽^…一寸^x ^α^吋⁾

で与えられているとき，以下の問に答えよ.

(1) α>0のとき，xy平面上にy= ^Ix(x‑α)1のグラフを描け.

(2) F(α)を求めよ.

(3) αb平面上にb= ^F(^α⁾^{のグラフを描け.}

(4) F(a)の最小{直と，そのときのαの値を求めよ.

(40点)

(23)

計算用紙

−7−

(24)

l

解答用紙その1(マーク選択式)についての注意￨

1 設問中の口の中の文字(ア，イ，ウ，エ， ...)のひとつひとつは，それぞれひとつの数字 (0‑9)，または:t 一*のいずれかに対応する。

2. 分数形で解答を求められているときは，既約分数で答える。また±や一の符号は分母には付けないものとする。さらに，分数形で解答を求められている問題に対して整数または整式で答えたいときは，分母はlと

して答える。

4. 解答欄の各ブロックでマークは上から順に行う。もし欄が余る場合は，

￨イl 一一

(例1)y=号三デ^x+トエ￨に y = ‑2x と答えたいとき

(ア) (イ) (ウ) (エ)

いラ

+ + +

±

。 _。

^O

。。

^①^{l 2}^l¹^②²² ³³³³ ^{4 5}^{4 5}^{4 5}^{4 5}

(例2)ρ=￨オカキ￨に P :t 5 と答えたいとき (オ) θ ^{O l 2} ³ ^{4 5}

(カ) 士

。

1 2 3 4 ⑤

(キ) ⁺

。

1 2 3 4 5 (例3)p = I^{クケ￨に} p= 2.5と答えたいとき

。

1

。

³ ^{4 5}

。

6 6 6 6

6 6 6

6 7 7 7 7

7 7 7

7

8 9 *

8 9 @

8 9

る l

(25)

2 0 1 5 (平成27) 年度

委交

学

試

験

^E^回 ^﹁ ^; ^{H ‑} _a

題

(70分，総点 100) 文

法

品主，1

子一

品Lι

+

部部

区 E

1. 問題用紙は，表紙を含めて 8ページで，問題は 1，11， IIIの 3問ある。

2. 解答用紙は 1枚で，氏名記入欄のある表側(その 1)に，問題 1，11 の解答欄がある。 1，11はマーク選択式である。また，裏側(その 2) に問題IIIの解答欄がある。 IIIは記述式である。

1 問題 1，11の口(ア，イ，ウ，エ， ...)に対する解答は，すべて解答用紙の表側の所定箇所の数字もしくは記号をOで囲むこと。後ろに挙げた例のようにはっきり確認できるように，ていねいに丸く囲むこと。訂正・修正するときは，消しゴムで完全に消し跡が残らないようにすること。 2カ所以上にOがついていたり，消し方が不十分で，

2. 問題 IIIの解答は，裏側のその 2 (記述式)の所定箇所(枠内)に記入すること。記入の際，解答欄からはみ出さないように気をつけること。

‑ 1

(26)

(1) 2次不等式αx²+ 8x + b > 0の解が‑l<x<Sであるとき，

α=回 ^，b=困で、ある

(2) Y = Ix²+ x ‑21 + x + 1の‑3壬x壬1における最大値は因，最j伯ま困で、ある

2 以下の聞に答えよ.

(1) 正12角形の辺と対角線の数を合わせると全部で四本ある (2) 正12角形の辺と対角線を組み合わせてできる四角形は，

全部で巨E^個である

(3) 円Cに内接する正12角形がある.その正 12角形の隣りあう 2つの頂点をA，Bとする.頂点Aを通る直線lが円Cに接しているとき，直線lと直線ABとがなす角は，区丑で、ある

ただし， 0⁰~因。幻叫する

(30点)

(27)

計算用紙

−３−

(28)

E

1 kは実数の定数とする.0壬x<2πのとき xの方程式 cosx‑sinh1‑;=0

について，以下の聞に答えよ.

(1) 方程式が解をもつのは，kis四壬k壬困のときである (2) k = 3のとき，方程式の解は小さい順に，

にパ x= 幸三手π

仁ア￨

るあで

囚百

(3) ‑1 < k < ⁰のとき，方程式の解の個数は目個である

2 平面上に2つの円があり，それぞれの半径は7と4である.この 2つの円の中心間の距離をd，共通接線の数をnとすると，dの値に応じてnの値が定まる.ただし，共通接線が存在しない場合はn=Oとする.以下の問に答えよ.

(1) dが任意の値をとるとき nの最大値は因である (2) d壬11のとき nの最大値は困で、ある

(3) d <囚のとき，n = 0である

(29)

計算用紙

−５−

(30)

皿

1 互いに平行ではない平面上のベクトノレd，E，Eについて，

ベクトルの和の結合法則

(a + b) + e = a + (b + e)

が成立していることを，有向線分を用いた図で確かめよ.

ただし，成分を用いてはならない.

2 原点を Oとし，三角形OABがある A(a)， B(めを通る直線をlとするとき，以下の聞に答えよ.

(1) 1上の任意の点をP(戸)とすると，直線lのベクトル方程式は実数tに対して，

戸=(トt)a+ tb ・・・・・①

となることを証明せよ.

(2) a， bのなす角を2等分する直線m上の任意の点を Q(のとすると，

直線mのベクトル方程式は，実数kに対して，

となることを証明せよ.

(a b ¥

i j

= k 1 ，， !:+一l

¥￨αI . Ibl)

また， P(戸)が直線lと直線m の交点であるとき，式①のtをlalとIbl^で

表せ.

(40点)

(31)

計算用紙

−7−

(32)

￨解答用紙その 1(マーク選択式)についての注意￨

1 設問中の口の中の文字(ア，イ，ウ， L )のひとつひとつは，それぞれひとつの数字 (O~9) ，または:t一， *のいずれかに対応する。

2. 分数形で解答を求められているときは既約分数で答える。また±やの符号は分母には付けないものとする。さらに，分数形で解答を求められている問題に対して，整数または整式で答えたいときは，分母は lと

して答える。

4. 解答欄の各ブロックで，マークは上からI}I買に行う。もし欄が余る場合は，

￨イ

(例1)y=と戸三デx+トエ￨に y = ‑2x と答えたいとき

(ア) (イ) (ウ) (エ)

い"71 ーー

±

。 ^。

^l

士

。

l

士

。。

±

。

^l 2 3 4 5

② ^{3 4 5}

2 3 4 5 2 3 4 5 (例 2) 戸=￨オカキ￨に戸:t 5 と答えたいとき

(オ) θ

。

1 2 3 4 5 (カ) ⁺ O 1 2 3 4 ⑤

(キ) ⁺

。

l 2 3 4 5 (例 3) 戸=1^{クケ￨に} p= 2.5と答えたいとき

。

l

。

^{3 4 5}

。

6 6 6 6

6 6 6

6 7 7 7 7

7 7 7

7

8 9 *

8 9 @

8 9

る￨

(33)

数

2 0 1 5 (平成27)年度

学試 ^験

(70分，総点 100)

全守一^{品凶} 部

問

区 E

題

1. 問題用紙は，表紙を含めて8ページで，問題は 1， II， IIIの 3問ある。

2. 解答用紙は1枚で，氏名記入欄のある表側(その1)に，問題1，II の解答欄がある。 1，IIはマーク選択式である。また，裏側(その 2) に問題IIIの解答欄がある。 IIIは記述式である。

1 問題 1，IIの口(ア，イ，ウ，エ， ...)に対する解答は，すべて解答用紙の表側の所定箇所の数字もしくは記号をOで囲むこと。後ろに挙げた例のようにはっきり確認できるようにていねいに丸く囲むこと。訂正・修正するときは，消しゴムで完全に消し，跡が残らないようにすること。 2カ所以上にOがついていたり，消し方が不十分で，

2. 問題皿の解答は，裏側のその2 (記述式)の所定箇所(枠内)に記入すること。記入の際，解答欄からはみ出さないように気をつけること。

‑ 1 ‑

(34)

1 点A(3，4)， B(8， 6)と x軸上を動く点Pがある.

AP+BPが最小となるとき，以下の聞に答えよ.

(1) 点Aと点Pを通る直線lの方程式は，

y =回 x+困である

(2) 点Pを頂点、として，点Aを通る放物線Cの方程式は，

y =因x²ー困x+固である

ω ^l^と^Cで固まれる図形の面積は，冒であるにコ￨

2 0壬xくπのとき，以下の聞に答えよ.

(1) sin2x ‑cosx = 0の解は，小さい順に

回一回一因一一空因 '回目'固目、山町

(2) sin 2x呈cos2xの解は，

図-~ ‑̲<I!"回一ーす

回目ー孟因帥、山出

(30点)

数 学 試 験 問 題