2 Morrey 空間と Fourier-Morrey 空間

Morrey ^{空間の性質とその応用}

Properties of Morrey spaces and their applications

数学専攻 修士課程２年 岡安拓真

1 導入

次の線形波動方程式の初期値問題を考える:







∂_t²u−c²∆u= 0, x∈Rⁿ, t∈R, u(x,0) =u₀(x), x∈Rⁿ,

∂tu(x,0) =u1(x), x∈Rⁿ.

(1.1)

ただし,cは伝播速度とし, 正定数とする. (1.1)の解は次のように与えられる: u(x, t) =1

2(E0(t) +E0(−t))u0(x) + 1

2i(E0(t)−E0(−t))u1(x), x∈Rⁿ, t∈R. ここで,

E_µ(t)f :=F⁻¹

[exp(ict| · |) c| · |^µ Ff

]

, µ∈Rⁿ

は波動方程式の基本解であり, Fourier変換F^と逆Fourier変換F^−1を Ff(ξ) :=

∫

Rⁿ

e^−2iπx·ξf(x)dx, ξ∈Rⁿ, F⁻¹g(ξ) :=

∫

Rⁿ

e^2iπx·ξg(x)dx, ξ∈Rⁿ

と定義する. これから述べるStrichartz評価式は非線形波動方程式の可解性を研究する際の基本的な道具と なる.

Definition 1.1 (許容指数) 0≤µ < n/2に対して実数の組(p, q)が波動方程式の許容指数であるとは 2< p≤ ∞, 1

p =n (1

2−1 q

)

−µ, (n+ 1) (1

2−1 q

)

≤2µ (1.2)

を満たすことである.

許容指数(p, q)の関係は図1となる. 次の結果はよく知られている.

Theorem 1.2 (Strichartz評価式 Ginibre-Velo[1], 1997) 0 ≤µ < n/2とし, (p, q)を許容指数とす る. このとき,ある定数C >0が存在して

∥Eµ(·)f∥L^p(R;L^q)≤C∥f∥L²(Rⁿ), f ∈L²(Rⁿ) が成り立つ.

1

図1 ^許容指数(p, q)^の関係

2 Morrey 空間と Fourier-Morrey 空間

まず, Morrey空間の定義を与え, Lebesgue空間との包含関係を述べる.

Definition 2.1 (Morrey空間) 1≤q≤p≤ ∞^とする. このとき, Morrey空間M^pq(Rⁿ)を次のように定 義する:

M^pq =M^pq(Rⁿ) :=

{

f ∈L^q_loc(Rⁿ)∥f∥_M^p_q(Rⁿ)<∞} .

ここで,

∥f∥_M^p_q =∥f∥_M^p_q(Rⁿ):= sup

B∈B|B|^1p−1q (∫

B

|f(y)|^qdy )¹_q

とし, B^をn次元球から成る族とし, |B|^をBのLebesgue測度とする. さらにL^q_loc(Rⁿ)を次のように定義 する:

L^q_loc=L^q_loc(Rⁿ) :=

{

f :可測関数f は任意のコンパクト集合上でq乗可積分である} .

Proposition 2.2 (Morrey空間とLebesgue空間との包含関係) 1≤r≤q≤p <∞^とする. このとき L^p=M^pp,→ M^pq ,→ M^pr

が成り立つ.

次に, Fourier-Morrey空間の定義を与え, Lebesgue空間との包含関係を述べる. Definition 2.3 (Fourier-Morrey空間) 1≤q≤p≤ ∞^とし,ψ∈C^∞(Rⁿ)を

ψ(x) :=

{ 1, |x| ≤1, 0, |x| ≥4

2

と定義する. このとき, Fourier-Morrey空間M_Fq^pは M_Fq^p =M_Fq^p(Rⁿ) :=

{

f ∈ S^′ ∥f∥_MFp

q(Rⁿ)<∞} により定義される. ここで,

∥f∥M_Fq^p := sup

B∈B|B|^1p−1q (∫

Rⁿ|F⁻¹ψ_B∗f(x)|^q′dx )_q′¹

(2.1) であり,

ψB:=ψ

(· −c(B) r(B)

)

とおいた.

Proposition 2.4 1≤q≤p≤ ∞, q≤2とする. このときFourier変換F^に対して,

F:M^pq → M_Fq^p:有界 (2.2)

が成り立つ.

Proposition 2.5 (1) 1≤r≤q≤p <∞^とする. このとき

L^p′ =M_Fp^p,→ M_Fq^p,→ M_Fr^p

が成り立つ.

(2) 1≤q≤p≤ ∞^とする. このとき,M_Fq^{pは完備である}.

Remark 2.6 (2.2)はLebesgue空間におけるFourier変換の有界性の一般化になっている. 実際,p=q≤2 とすると(2.2)は

F :L^p→L^p′ :有界 と一致している.

3 主結果

次の定理が本研究の主結果である.

Theorem 3.1 (M_Fq^{p における}Strichartz評価式) 0 ≤µ < n/2とし, (p, q)を許容指数とする. さらに r, s∈R^を

p^′≤r≤2, 1 s = 1

r− 1 p^′ +1

2

を満たすようにとる. このとき,ある定数C >0が存在して, 任意のf ∈ M_F2^s(Rⁿ)に対して

∥E_µ(·)f∥_MFr

p′(R;L^q(Rⁿ))≤C∥f∥_MFs

2(Rⁿ) (3.1)

が成り立つ. ここで,

∥f∥M_Fq^p(R;L^r(Rⁿ)):= sup

B∈B|B|^1p−1q ( ∫

R

( ∫

Rⁿ|F⁻¹ψ_B∗f(x, t)|^rdx )^q_r^′

dt )¹

q′

である.

3

4 Theorem 3.1 ^{の証明の概略}

f ∈ MF2^s とすると,

F⁻¹ψ_Q∗f ∈L²(Rⁿ) である. Theorem 1.2より

Eµ(t)[F⁻¹ψQ∗f]∈L^p(R;L^q(Rⁿ)) が成り立つ. 一方で

Eµ(t)[F⁻¹ψQ∗f] =F⁻¹ψQ∗Eµ(t)f in S^′ (4.1) が成り立つ. これより変分法の基本補題を用いると, (4.1)から

Eµ(t)[F⁻¹ψQ∗f] =F⁻¹ψQ∗Eµ(t)f a.e.x∈Rⁿ (4.2) が任意のt∈R^{に対して成り立つ}. したがって, Theorem 1.2と(4.2)より任意のQ∈ Q^に対して

|Q|^1r−p′1∥F⁻¹ψ_Q∗E_µ(·)f∥L^p(R;L^q(Rⁿ)) =|Q|^1r−p′1∥E_µ(·)[F⁻¹ψ_Q∗f]∥L^p(R;L^q(Rⁿ))

≤C|Q|^{−1s+12+1r−p′1}|Q|^1s−12∥F⁻¹ψQ∗f∥L²

≤C∥f∥_MFs 2(Rⁿ)

が成り立つ. ここで,

p^′≤r≤2, 1 s = 1

r− 1 p^′ +1

2 とした. 以上より(3.1)が示せた.

参考文献

[1] J. Ginibre and G. Velo, Generalized Strichartz inequalities for the wave equation in homogeneous Besov spaces, in

“Nonlinear Wave 1995”, GAKUTO Int. Ser. Math. Sci. Appl.10(1997), 135-144.

[2] S. Nakamura and Y. Sawano, New function spaces related to Morrey spaces and Fourier transform, submitted.

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