立方対称場中の 3d 電子に対する動的平均場理論

立方対称場中の 3d 電子に対する動的平均場理論

Dynamical Mean Field Theory for 3d Electrons in a Cubic Field

物理学専攻 佐古田 光

Hikaru Sakoda

1 はじめに

固体中には多数の電子（1cm

³

あたり約

10 ²³

個）

が存在する。これらの電子は、互いにクーロン相 互作用を及ぼし合いながら運動している。この電 子同士のクーロン相互作用のために、固体の電子 状態を調べるには複雑な多体問題を解くことにな る。しかし、多体問題をそのまま解くことは扱う 自由度が大きいため難しい。

これまでに、Alや

Si

などの、単純な金属・半 導体・絶縁体の物性の理解には、平均場近似とし て、密度汎関数理論（Density Functional Theory:

DFT）における局所密度近似（Local Density Ap- proximation: LDA）に基づくバンド理論が、大き

な成果を上げてきた。しかし、遷移金属やその酸 化物など局在した

d, f

軌道を持つ物質については、

バンド理論はその物性をうまく説明できない。例 えば、バンド理論によれば、１原子あたりの電子 数が奇数の場合、基底状態は必ず金属になると結 論できる。しかし、NiOや

MgO

などバンド理論 によれば金属である物質が、実際にはモット絶縁 体と呼ばれる絶縁体になる。

遷移金属やその酸化物など、電子間クーロン相 互作用の効果が運動エネルギーよりも大きく、クー ロン相互作用による電子相関が重要な役割を果た す系は、強相関電子系と呼ばれる。強相関電子系 の物質は、金属-絶縁体転移や高温超伝導など応用 上も重要な興味深い現象を見せる。強相関系のこ のような現象を理解するには、平均場近似を超え たクーロン相互作用の取り扱いが必要になる。

最近、平均場近似を超えてクーロン相互作用を

取り込む方法の１つとして、動的平均場理論（Dy-

namical Mean Field Theory: DMFT）が発展して

きている

[4, 5, 13]。DMFT

では、格子系問題を有 効媒質中の１不純物問題へと置き換える。この有 効１不純物問題を解く方法には、量子モンテカルロ 法（Quantum Monte Carlo method: QMC）[3]、

数値的厳密対角化（Exact Diagonalization: ED）、

逐次摂動近似法（Iterative Perturbation Theory:

IPT） [7–12]、非交差近似（Non-Crossing Approx- imation: NCA） [1,2]

など、さまざまな方法がある。

また、

LDA

と

DMFT

を組み合わせ、第一原理計算 に電子相関を取り入れる試みも行われてる

[1,3,12]。

2 目的

結晶中の電子は、他の電子と相互作用しながら 運動している。１つの電子に着目すると、この相 互作用を平均値の周りを時間的・空間的に揺らいで いる場とみることができる。平均場近似では、時 間的な揺らぎ・空間的な揺らぎの両方を無視し、静 的な場でこれを近似する。強相関電子系では、揺 らぎの効果が大きく、揺らぎを無視する平均場近 似が成り立たない。

本研究では、動的平均場理論（DMFT）によっ て、電子間相互作用の時間的揺らぎを取り込んだ 電子状態を計算するプログラムの開発とテストを 行う。有効１不純物問題の解法には、非交差近似

（NCA）を用いる。

結晶中の

d

軌道は、周りの原子（配位子）の影 響で縮退が解け、いくつかのエネルギー準位に分

1

裂する。配位子が立方対称に配置している場合、d 軌道は、３重に縮退した

t 2g

軌道と２重に縮退した

e _g

軌道に分裂する。

NCA

を用いた動的平均場理論 の計算は、すでに

[1, 2]

などで行われているが、[1]

では

t _2g

軌道だけを扱っている。本研究では、現実 物質への応用を考え、t

2g

軌道のみでなく

e g

軌道 も含めた

d

軌道全体を扱う。また、電子間クーロ ン相互作用を

[1, 2]

と異なり、対称場中の多重項理 論（配位子場理論）で扱うことで局所的な多体効 果をより正確に取り込む。

3 計算方法

3.1

タイトバインディングモデル

格子点に

3d

軌道を配置した、つぎのタイトバイ ンディングモデルを考える。

H = X

i

X

mσ

ε mσ c ^† _imσ c imσ − X

⟨ ij ⟩

X

mm

′

σ

t ^mm ij

^′

c ^† _imσ c jm

^′

σ

+ 1 2

X

i

X

{mσ}

U m

1

m

2

:m

3

m

4

c ^† _im

₁

_σ

₁

c ^† _im

₂

_σ

₂

c im

4

σ

4

c im

3

σ

3

(3.1)

ここで、c

^† _imσ (c imσ )

は、サイト

i、軌道 m(m = 1, 2, · · · , 5)、スピン σ

の電子の生成（消滅）演算 子である。ε

mσ

は結晶場により分裂した、t

2g

軌道 と

e g

軌道のエネルギーを表す。

t ^mm _ij

^′は軌道間の電 子の移動を、

U _m

₁

_m

₂

_:m

₃

_m

₄は電子間のクーロン相互 作用を表す。現実物質への応用を考え、t

^mm _ij

^′にス レータ・コスターパラメータ

[6]

を、U

m

1

m

2

:m

3

m

4

にスレータ積分を用いることで、

d

軌道の非当方性 を取り入れている。

3.2

動的平均場理論

電子間相互作用をより正確に取り込むために動 的平均場理論（Dynamical Mean Field Theory:

DMFT）[4, 5, 13]

を用いる。動的平均場理論では、

格子系のある１つのサイトに注目し、それ以外のす べてのサイトを媒質とみなす。この注目サイトと媒 質との電子のやり取りが

hybridization

関数

∆(ω)

で与えられた状況で、注目サイトについて相互作 用を正確に扱い局所的な電子相関を求める。これ によって得られた注目サイトのグリーン関数と自

己エネルギーを格子系のグリーン関数と自己エネ ルギーとセルフコンシステントに決める。これは 有効媒質中の１不純物問題を解くことと同じにな る。動的平均場理論の概念図を図

1

に示す。動的

図

1: DMFT

の概念図。格子系問題から有効１不

純物問題へマッピング。

平均場理論では、局所的な電子相関の動的効果が 扱うことができる。ただし、サイト間の電子相関 は平均的に扱っているため、周りのサイトが無限 に多くサイト間相関を無視することができる無限 次元極限で正確になり、３次元では近似となって いる。

DMFT

では、格子系の問題から、セルフコンシス テントに決まる有効媒質中の１不純物問題へと置き 換わる。本研究では、有効１不純物問題の解法に非 交差近似（Non-Crossing Approximation: NCA）

を用いる。NCAは、強相関極限から不純物と媒質 との電子の移動を摂動として扱う近似解法であり、

次のような特徴をもつ。広範囲の温度を取り扱え る。多重項構造や軌道自由度のある系も容易に扱 える。近藤温度は正しいが、低温でフェルミ流体 にならない。U→ ∞で

Vertex

補正が必要。

4 _計算結果

（3.1）式に対して

DMFT-NCA

を適用し、相 互作用

U = 3.0、J = 0.3、結晶場分裂の大きさ 10Dq = 0.6

温度の逆数

β

は

β = 30

と固定し、１ サイトあたりの占有電子数

n d

を変えながらスペク トルの計算を行った。

4.1

状態密度（１電子スペクトル）

図

2

に、単純立方格子における

e g

軌道と

t 2g

軌 道の状態密度の占有電子数

n _d

依存性を示す。

2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

-6 -4 -2 0 2 4 6 8

-ImG( ω )

Energy ω n

_d

= 1.00

n

_d

= 1.05 n

_d

= 1.27 n

_d

= 1.52 n

_d

= 1.79 n

_d

= 1.95 n

_d

= 2.00 n

_d

= 2.10 n

_d

= 2.42 n

_d

= 2.57 n

_d

= 2.86 n

_d

= 3.00

µ = 1.0 µ = 1.6 µ = 2.0 µ = 2.4 µ = 2.8 µ = 3.0 µ = 4.0 µ = 4.6 µ = 5.0 µ = 5.2 µ = 5.6 µ = 6.6 e

g

t

2g

図

2:

単純立方格子、10Dq

= 0.6

における状態密 度の占有電子数

n _d

依存性

図

2

において、

e _g

軌道にはどの占有電子数

n _d

に

おいても

ω < 0

の占有状態に状態密度がほとんど

ない。これは結晶場

10Dq = 0.6

によってエネル ギーの低くなった

t _2g

軌道から占有されるためと考 えられる。占有電子数が整数

(n d = 1, 2, 3)

のとき、

ω < 0

の下部ハバードバンドと

ω > 0

の上部ハバー ドバンドにわかれ、上下ハバードバンド間にエネ ルギーギャップができ絶縁体となっている。占有電 子数が整数からずれたところでは、フェルミエネル ギーにコヒーレントピークを持つ金属状態へ転移 する。金属から絶縁体に転移する近傍

(n _d ∼ 1.8)

では、フェルミエネルギーより少し上に局所的な 励起に対応した鋭いピークを持つ。

4.2

スペクトルの多重項構造

n d = 1.79

での状態密度の微細構造には局所的な 多電子状態（多重項スペクトル）間の励起に対応し たピークが現れる。図

3

に単純立方格子、10Dq

= 0.6、 n d = 1.79

での

d ²

状態の多重項スペクトルを 示す。図

3

上図は、それぞれ２電子状態（d

²

）の田 辺・菅野ダイアグラムで、破線は各多重項の原子

極限でのエネルギー固有値を表す。また、各多電 子状態（d

ⁿ

、既約表現

^2S+1 Γ）の原子極限でのエ

ネルギー固有値と、多重項スペクトルのピーク位 置をまとめたものを表

1

に示す。ただし（電子配 置）は、10Dqが大きい極限で配置換相互作用を考 慮しない電子配置である。

∆

Q

$

'$

#_I '_I #I

6I 6I

#_I6_I6_I '_I

6I 6_I

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1

ImR(ω)

ω

#I '_I #_I 6I

6I #I 6I

6I 'I 6I 6I

図

3:

単純立方格子、10Dq

= 0.6, n d = 1.79

にお ける

d ²

状態の

ImR _α (ω)。田辺・菅野ダイアグラム

の線の色は、既約表現

^2S+1 Γ

の色と対応している。

状態密度

ImG(ω)

は図

4

のようになる。

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

-6 -4 -2 0 2 4 6

-ImG( ω )

Energy ω e

_g

t

_2g

図

4:

単純立方格子、10Dq

= 0.6, n d = 1.79

にお ける状態密度

い ま １ サ イ ト あ た り の 占 有 電 子 数 が

n d = 1.79

なので、基底状態は

t _2g

軌道に２電子の状態

3 T 1g (t 2g 2 )

と

t 2g

軌道に１電子の状態

² T 2g (t 2g )

と 考えられる。また

³ T 1g (t 2g 2 )

には、配置間相互作 用によって

³ T 1g (t 2g e g )

がわずかに混じっている。

図

4

の

ω = − 4.0

のピークは

² T 2g (t 2g )

から

t 2g

軌道の電子を１つ抜き

d ⁰

状態への遷移に対応して いる。基底状態に

e g

軌道に１電子の状態がないた

3

表

1:

各多電子状態の原子極限でのエネルギー固有 値と多重項スペクトルのピーク位置

d ⁿ

^既約表現

Energy ω

（電子配置） 原子極限

ImR α (ω) d ^{1 2} T 2g (t 2g ) − 3.04 − 3.7 ∼ − 2.0

2 E g (e g ) −2.44 −3.4 ∼ −1.5 d ^{2 3} T 1g (t 2g 2

) −3.48 −3.7

1 T 2g (t 2g 2

) −2.99 −3.2

1 E g (t 2g 2 ) − 2.98 − 3.2

3 T 2g (t 2g e g ) −2.93 −3.3

3 T 1g (t 2g e g ) − 2.48 − 3.0 ∼ − 2.6

1 A 1g (t 2g 2

) −2.47 −2.8 ∼ −2.4

1 T 2g (t 2g e g ) − 2.38 − 2.8 ∼ − 2.3

3 A 2g (e g 2 ) − 2.33 − 2.7

1 T 1g (t 2g e g ) −2.27 −2.8 ∼ −2.2

1 E g (e g 2 ) − 1.79 − 2.5 ∼ − 1.6

1 A 1g (e g 2

) −1.08 −1.8 ∼ −0.8 d ^{3 4} A 2g (t 2g 3

) −1.17 −1.8 ∼ 0.0

4 T 2g (t 2g 2 e g ) − 0.57 − 1.4 ∼ 0.7

2 E g (t 2g 3

) −0.55 −1.4 ∼ 0.6

2 T 1g (t 2g 3

) − 0.51 − 1.4 ∼ 0.6

4 T 1g (t 2g 2

e g ) −0.27 −1.3 ∼ 1.2

2 T 2g (t 2g 3

) − 0.25 − 1.5 ∼ 1.0

. .. .

.. .

..

め、e

g

軌道にはこれに対応したピークが現れない。

ω = − 2 ∼ 0

に広がったバンドは、d

²

状態

³ T 1g

か ら電子を１つ抜き

d ¹

状態への遷移に対応している。

ω = 0.5

や

omega = 1.0

の鋭いピークは

d ¹

状態

2 T 2g

から

d ²

の励起状態への遷移に対応している。

ω > 2

の上部ハバードバンドは、２電子状態

³ T _1g

から３電子状態への遷移に対応している。

5 _まとめ

立方対称場中で分裂した

e _g

軌道と

t _2g

軌道につ いて、DMFT-NCAを適用し、スペクトルを計算 した。

1.

状態密度は、占有電子数

n d

が整数のところで 絶縁体、n

d

が非整数のところでフェルミエネ ルギーにコヒーレントピークをもつ金属とな り、占有電子数が変化したときのモット転移 の様子を捉えている。

2.

多重項スペクトルの解析により、状態密度に 現れる各スペクトルと多重項間の遷移の対応

が付く。

占有電子数を変化させたときの立方対称場中の

3d

電子のスペクトルを、DMFT-NCAで定量的に 記述する方法が確立できた。

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