三乗剰余および四乗剰余に対する相互法則の Eisenstein による解析的な証明

(1)

三乗剰余および四乗剰余に対する相互法則の Eisenstein による解析的な証明

Analytic proofs by Eisenstein of cubic and quartic reciprocity laws

数学専攻手塚将人

Masato TEZUKA

はじめに

本論文は

Franz Lemmermeyer

著

Reciprocity Laws (Springer)

第８章の

Eisenstein s Analytic

Proofs

に基づく総合報告である．論文は３節からなっている．第１節では平方剰余の相互法則に

ついて，三角函数を用いた

Eisenstein

による証明を取り上げた．この第１節で解説した

Eisenstein

による手法が楕円函数を利用してどのように創意がこらされているか，第２節では四乗剰余の相互法則について，第３節では三乗剰余の相互法則についてまとめた．

1 平方剰余の相互法則

定義

1.1. (n

乗剰余記号）

K

を

1

の

n

乗根全てを含む代数体とする．

p

を

n

と互いに素な

K

のイデアル，

α

を

p

と互いに素な

K

の整数とする．

³ α p

´

n

≡ α

^Nr(p)−1ⁿ

mod p

によって

n

乗剰余記号を定義する．

剰余体

O

_K

/p

は位数

Nr(p)

の有限体なので，

α ∈ O

_Kが

p

と互いに素なら

α

^Nr(p)−1

≡ 1 mod p

．したがって，

ζ

を

1

の原始

n

乗根とすれば，

α

^Nr(p)−1ⁿ

≡ ζ

ⁱ

mod p

となるような

i ∈ {0, 1, . . . , n − 1}

が唯一つ存在する．さらに，剰余体

O

_K

/p

の乗法群は位数

Nr(p) − 1

の巡回群なので，

β

ⁿ

≡ α mod p

となるような

β ∈ O

_Kが存在する

⇔

³ α p

´

n

= 1

．

例

1.2. (Legendre

記号）

K = Q, p = (p) (p

は奇素数

)

のとき，

³ α p

´

2は

Legndre

記号

³ a p

´

に他ならない．特に，

a

が

p

と互いに素な整数であれば，

³ a p

´

≡ a

^p−1²

mod p (Euler

の規準

)

が成立する．

定理

1.3. (

平方剰余の相互法則

) p, q

を奇素数とする．このとき，

³ q p

´

= (−1)

^p−1² ^q−1²

³ p q

´

が成立する．

第１節ではこれ以降，

Eisenstein

による三角函数を用いた平方剰余の相互法則の証明を追う．

1

(2)

2 四乗剰余の相互法則

定義

2.1. (

レムニスケート函数

)

ω = 2 Z

₁

0

√ dt 1 − t

⁴ とおく．複素函数

z = Z

_w

0

√ dt 1 − t

⁴ の逆函数を

w = sl(z) ¡

− ω

2 ≤ z ≤ ω 2

¢

と記す．さらに

f (z) = q

1 − sl

²

(z), F (z) = q

1 + sl

²

(z)

と定義する．

記号

2.2. φ(z) = sl((1 − i)ωz)

とおく．

sl(z)

が

(1 + i)ω, (1 − i)ω

を基本周期にもつ楕円函数なので，

φ(z)

は

1, i

を基本周期にもつ楕円函数．また，

(φ) = (0) + ¡ 1 + i

2 ¢ − ¡ 1 2

¢ − ¡ i 2

¢

．

定義

2.3. α ∈ Z[i]

とする．

α ≡ 1 mod 2(1 − i)

であるとき，

α

は準素であるという．

α = a + bi (a, b ∈ Z)

とおけば，

α

が準素

⇔ a ≡ 1 mod 4, b ≡ 0 mod 4

，または，

a ≡ 3 mod 4, b ≡ 2 mod 4

．また，

(1) α

が準素なら

α ¯

もまた準素．

(2) α, β

が準素なら

αβ

もまた準素．

(3) α ∈ Z[i]

とする．

α

が

2

と素なら，

±α, ±iα

の中で唯一つが準素．

(4) α

を

Z[i]

の準素な元とする．

α 6= 1

なら，

α = π

₁

π

₂

· · · π

_r

(π

_iは準素な素元

)

の形に順序を除いて一意的に表わせる．

定理

2.4. (

四乗剰余の相互法則

) π, λ

を

Z[i]

の準素な素元とする．このとき，

³ π λ

´

4

= (−1)

^Nr(π)−1⁴ ^Nr(λ)−1⁴

³ λ π

´

4

が成立する．

定義

2.5. ν ∈ Z[i]

とし，

(ν, 2) = 1

と仮定する．このとき，乗法群

{±1, ±i}

は剰余環

Z[i]/(ν)

に作用する．

(Z[i]/(ν ) − {0})/{±1, ±i}

の

Z[i]

における完全代表系を

ν

を法とする

1/4

剰余類系とよぶ．

2

(3)

例

2.6. π = −7

とする．

Z[i]/(π)

の完全代表系の例は以下の図のようになる．

- 6

Re Im

e

t t t t t t t

t −3 t −2 t −1 0 t 1 t 2 t 3 i

2i 3i

−i

−2i

−3i

'

&

$

%

ここで

1/4

剰余類系の１つの例として，

{a + bi|a,b ∈ Z,1 ≤ a ≤ 3,0 ≤ b ≤ 3}

（図の

^¨ _§ ^¥ _¦

の部分）が選べる．

補題

2.7. ν

を

Z[i]

の準素な元とする．このとき，多項式

W (X), V (X), P (X), Q(X) ∈ Z[i][X]

が存在して

sl(νz) = sl(z) W (sl

⁴

(z)) V (sl

⁴

(z)) ,

f(νz) = f (z) P (sl

⁴

(z)) − sl(z)Q(sl

⁴

(z)) V (sl

⁴

(z)) , F(νz) = F (z) P (sl

⁴

(z)) + s

²

Q(sl

⁴

(z))

V (sl

⁴

(z))

が成立する．さらに，

deg W = deg V = Nr(ν) − 1

4

^．

第２節ではこれ以降、上の

φ(z)

と

W (X)

を利用して四乗剰余の相互法則の証明を追う．

3

(4)

3 三乗剰余の相互法則

記号

3.1. ρ = −1 + √

−3

2 , γ = ρ − 1

3 = −3 + √

−3

6

^とおく．

補題

3.2. Z[ρ]

を周期にもつ楕円函数

ψ(z)

が唯一つ存在して，

(1) (ψ) = −2(0) + (γ ) + (−γ )

，

(2) ψ( 1

3 ) = 1

が成立する．

（証明）

℘(z) = ℘(z; 1, ρ)

とおく．楕円函数

℘(z)

の基本領域において

γ 6= 1/2, ρ/2, (1 + ρ)/2

なので，

b ∈ C

が唯一つ存在して

γ

は

℘(z) − c

の

1

位の零点となる．

℘(z)

は偶函数なので，

−γ

もまた

℘(z) − c

の

1

位の零点．さらに，

a = 1/(℘(1/3) − c), ψ(z) = a{℘(z) − c}

とおけば，

ψ(1/3) = 1

．

ψ(z)

の極は

℘(z)

の極と一致する．

定義

3.3. α ∈ Z[ρ]

とする．

α ≡ −1 mod 3

であるとき，

α

は準素であるという．

α = a + bρ (a, b ∈ Z)

とする．このとき，

α

が準素

⇔ a ≡ 2 mod 3, b ≡ 0 mod 3

．また，

(1) α

が準素なら

α ¯

もまた準素．

(2) α, β

が準素なら

−αβ

もまた準素．

(3) α ∈ Z[ρ]

とする．

α

が

3

と素なら，

±α, ±ρα, ±ρ

²

α

の中で唯一つが準素．

(4) α

を

Z[ρ]

の準素な元とする．

α 6= −1

なら，

α = (−1)

^r−1

π

₁

π

₂

· · · π

_r

(π

_iは準素な素元

)

の形に順序を除いて一意的に表わせる．

定理

3.4. (

三乗剰余の相互法則

) π, λ

を

Z[ρ]

の準素な素元とする．このとき，

³ π λ

´

3

=

³ λ π

´

3

が成立する．

定義

3.5. ν ∈ Z[ρ]

とし，

(ν, 3) = 1

と仮定する．このとき，乗法群

{1, ρ, ρ

²

}

は剰余環

Z[ρ]/(ν)

に作用する．

(Z[ρ]/(ν ) − {0})/{1, ρ, ρ

²

}

の

Z[ρ]

における完全代表系を

ν

を法とする

1/3

剰余類系とよぶ．

第３節ではこれ以降、上の

ψ(z)

を利用して三乗剰余の相互法則の証明を追う．

参考文献

[1] F. Lemmermeyer, Reciprocity laws, From Euler to Eisenstein (2000) Springer.

[2] A. Hurwitz, R. Courant (

著

)

，足立恒雄，小松啓一

(

訳

)

，楕円関数論

(1991)

シュプリンガーフェアラーク東京

[3]

倉田令二朗，平方剰余の相互法則〜ガウスの全証明

(1992)

日本評論社

4