指数の連続性についての若干の問題(1)

(1)

指数の連続性についての若干の問題(1)

その他のタイトル Some Problems of Continuity of Index Number

著者高木秀玄

雑誌名關西大學經済論集

巻 7

号 4

ページ 293‑327

発行年 1957‑07‑01

URL http://hdl.handle.net/10112/15656

(2)

293

指数の連続性についての若干の問題︵高木︶系をいかなるものとするか︑

さら

には

︑

経済統計学の理論体系のうちで︑指数理論は極めて実際的局面と理論的局面とを有する︒すなわち︑指数の作成

に当

つて

︑

いかなる商品︑価格︑賃銀の如き基礎資料を選ぶか︑基準時点もしくは期間をいずれにとるか︑加重体

いかなる平掏方法をとるかという一連の問題が取りあげられるのである

が︑そのうちの最後の平均方法の決定以外は︑著しく実際的性格を有する︒広くいつて︑指数の作成方法は次のよ

うな諸点に焦点がしぼられる︒すなわち日指数の種々の作成方法の解明︑口その比較的評価︑国連鎖基準法対固定

基準法の問題︑移動ウェートの問題︑連鎖化の問題等の極めて特殊化された諸問題がこれであり︑既述の調査対象

として取り上げられる商品︑価格︑賃銀等の問題とともに︑

︵一

︶

ここでの日の問題は従来の理論家達によって可成りの

研究が試みられてきたのであるが︑口と国とは比較的︑その研究がおくれているようである︒なお︑口の問題は次

の二つの特長に依つて解決される︒すなわち︑第一にそれがどのように理解が容易であり︑かつ︑

ように容易であるかという実際的な特長であり︑第二に理論的特長とでもいわれるものであって︑

よって提唱された時間逆転テスト︑要素逆転テスト及び事実上は時間逆転テストの拡張である循環テストの﹁希ま

指数の連績性についての若干の問題

高

（一）

木

その計算がどの

フイッシャーに秀

玄

(3)

!Vil (V) (iiil (ii) ^{＇ー}^︐^•1⁹^,

以上が本稿の目的であり︑なお︑

徊）国口るなテストに合格することが﹁希ましい﹂というだけであつて︑ しい﹂三つの特長をめぐる指数の形式論的な特長であり︑

︒む

しろ

︑

いずれの作成方法︑あるいは平均方法をとるかという問題こそ︑われわれにとつて最も重要であり︑

これは︑単に便宜上の考慮︑もしくは実際的考慮のみで解決されざるものである︒

われわれはこの問題をュー・ポー・セン教授の所論を基盤において研究しよう︒なお︑本稿で明らかにしようと

指数の他の特長の研究結果を規定する︒

このような特長を有することの利益を説明する︒

いかなる条件のもとで︑それぞれの指数はこのような特長を有するかを明確にする︒

連鎖基準の如き指数作成の他の特殊化された諸点の新しい特長へ及ぽす妓果を考察する︒

( 1 )

ここでの特長というのは次の六つである︒

基準時点の変更を行う場合の指数の連続性の持続︒

すくなくとも一ケ以上の商品が旧指数の項目の等しい個数に代替されるときの連続性の持続︒

すくなくとも一ケ以上の商品が旧指数の項目リストより除去される場合の連続性の持続︒

加重体系の変更を行うときの連続性の持続︒

上述の変更のすくなくとも二つ以上が同時に行われるときの連続性の持続︒

日

するのは︑次の四点である︒ 指数の連続性についての若干の問題︵高木︶

いずれの指数もこれを有すること︑すなわち︑このよう

それを有することを必然的に要請されざるものであ

(4)

295

指数の連続性についての若干の問題︵高木︶は次のような形態の比例性を要求する︒ すなわち︑問題に直接にせまるか︑

(b )

れ︑それには︑

( a )

各段階に於て︑

t時点で﹇とrとの両者が使用すなわち︑時系列解析あるいは計量経済学的研究で最も基本的条件をなす指数をもつて系列の項をなす場合の各

項間の連続性の要求をそれぞれの場合に於て吟味︑検討しようとするものである︒以上の理由で︑われわれの本稿

の目的は指数に於ける連続性を研究することであるといいうるのである︒すなわち︑Iどのようにして指数の作成の

あらゆる上述の変更を行うことを前提として系列が連続的なものとされるかという問題が提せら

それが現在の適切な描写図を与えるばかりでなく︑比較的に容易に連続的ならしめられる︒

指数が何等かの方法で作成されるとき︑

かつ︑再計算するのに余り労力を要せずして連続的な系列をつくり出すことが可能であるかのいずれかであり︑こ

の後者は前者が直接的であるに対して間接的であるといいうるものであり︑なお︑後者では作成の各段階に於いて

生じたそれぞれの変更を考慮に入れなければならない︒すなわち︑指数の連続性は二つの道によって確保されるの

であ

るが

︑

その最も普通とられる方法は次の如き単純比率法による︒

Iは0時点よりt時点までにわたつての指数であるとしよう︒いま︑t時点でこの指数作成のある面あるいは全

体に変更を加えて新指数rを作成するとしよう︒当然︑何等かの変更が生ずる︒

される︒しかし︑

これ

より

︑

t時点以前の数時点たとえば

(t 1q )⁝ ︵

q1 11

"

︑ ⁝ 2

t )

では

Iだけを使用しうるのである︒比率法

I︑

( 1 ) t

—

q

I︑

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••.•••••••••••••••

I t It

—

q

t時点以前の数時点については︑次のようにrは容易に求められる︒ それに必要な資料を再蒐集し︑

(5)

4比較時点の価額︑ 3甚準時点の価額︑ ︵ウェートとして次の三種のものをとる加重算術平均︶

2. 1.

このようにして︑指数の系列は基準時点を遡のぼるt時点まで連続的なものとすることが可能となる︒但し︑

は基準時点の変更の場合の連続性の持続の可能性であるが︑

の︑しかも過去の資料を出来る限り限定して新旧指数間の連続性の研究へと進まねばならない︒

理論の展開の便宜上︑

う︒全算式を通じてP

は価

格︑

Q

は数

量︑

Nは商品の項目︑さらにその商品が何番目の項目であるかは︒フレフイッ

単純算術平均゜

単純幾何平均゜

i P i

ビーー；

;P,•;Q, 1 0 0

にB.iQtip︒

I( W. A. b)

i 1 0 0

ピi

P:

Q.

I( W. A. b)

1 1

g ;

P.•;Q., iB

︐

i p

︒ ビ_i Z X

1 0 0 i P t

.

p 9 I ( G .

_11[nM )

i t o

1 0 0 1 P ,

J

P ︒ I ( A . M ) 1

1￨

￨し

ピー

￨ー

N 1

A

グループ︵価格比のいずれかの平均をふくむ指数︶

クスで︑時点又は期間をサフイックスであらわす︒なお︑ 指数を物価指数に限り︑ 指数の連続性についての若干の問題︵高木︶

aは任意の時点又は期間とする︒ しかも次の十二の算式について問題の吟味を限定することにしよ以下に於てこの新旧指数の比例性の条件を取除いて

( 2 )

I] I︑tーq

11

︵ー

7l)It

ー q

⁝

四

これ

(6)

297

12. 11.

指数の連続性についての若干の間題．︵高木︶︵ウェートとして次の三種のものをとる加璽幾何平均︶

任意の時点の購入墨︑

I( W.

G .

c )

11

1 0 0 _x

望きq(1g)iP-•

; Q ,

ヽ

旦ら

H

︵ら言

a.

iQ

a

iP

︒

"

I ( W . _{G .}

a )

11 1 0

0 x

i [

i

Bグループ︑︵﹁商品の実際購入量﹂と次のものをとる総和の比率をふくむ指数︑︶

ビ

i P t .

i Q a

i

x l O O ,

ピ;Po•;Qa

I ( A g g . a )

1 1 1

i

フイッシァーの理想指数︑

I(

F)

11

yf

(L

as

.)

I X (P

含︶

1 0

比較時点の購入量︑ にP,•;Q,i

x 1 0 0 ,

ピ

i P o .

i Q ‑

I(

ミP

as

ch

e)

11

z 9基準時点の購入最︑ ビP;•;Qoi

x 1 0 0 ,

ピ

iP

o.

iQ

o

I(

Lg

p

ey

re

s)

1 1

9.

＆任意の時点の価額︒ 1比較時点の価額︑ 6基準時点の価額

I ( W .

. G _b

) 1 1

1 0 0 x

望らミ︵謬︶

iP

︒ や

i

丘任意の時点の価額︑

1 0 0

; P 1 I ( W . A . a )

︒ピipa.iQdip: 11ピー|•;Pa•;Q

i

五

(7)

時点の指数を規定する︒すなわち︑

一局面だけの変更を行う場合の連続性の持続

指数の作成に当つて︑旧指数の作成の場合と異る操作をとる場合が多い︒勿論︑

A︑基準時点の変更を行う場合の連続性の持続︒ それはその指数のもつ経済的意

味がこれをきめる︒すなわち︑経済の現実を分析する武器としての指数がその本来の要求に応じない場合︑

し

しか

えれば︑旧指数で現実の経済を分析することが不可能となる場合︑あるいは充分にそれが達成し得ない場合には何

等かの変更が必然的に行われなければならない︒われわれは既にユー・ポー・セン教授のこれについての各種の場

合を列挙しておいた︒この節ではそのうち

( i )

より

( V

)

までについて述べよう︒これらは時点の変更︑特定の

商品の代替︑特定の商品の追加もしくは除去︑さらに加重体系の変更というような唯︱つの局面の変更を行う場合

の指数の連続性の持続について述べ︑このそれぞれが同時に行われる場合については後程︑述べることにしよう︒

指数

I ‑ °

は基準時点

( 1 1

10

0)

によって計算される︒すなわち︑1,

2, ・・・

tのそれぞれの時点にそれぞれの指数が,

成立

する

︒ ( 0 1 1 1 0 0 )

いま︑基準時点が0時点からt時点へと変更されるとする︒すなわち︑t. 時点以降は新基準

に基づいて計算されるのである︒問題は再計算を行わないこと︑旧資料を使用を使用しないこと︒これだけの要求

をみ

たし

て︑

t時点以前の指数が︑

t 1 1

10

0

の指数へどのようにして転換することが出来るかということである︒

( 2 )

ユー・ポー・セン教授はこの場合にも新旧指数間の比率の存在の必要を強調する︒基準時点

(O

)によって計算し

た

( i

ー

q)

時点

(q

11

1,

2,

・

・・

t)

の指数の︑基準時点

(O

)によるt時点の指数の比率は︑基準時点

( t

) による

(t

ー

q)

二 ︑

指数の連続性についての若千の問題︵高木︶六

(8)

299

指数の連続性についての若干の問題︵高木︶

算術平均法の場合についてみよう︒即ちあるかという問題が生ずる︒

(c) (bl (al

I (t

ーq )

0 II I( t1 q)

‑9

⁝

( 3 )

I to

上述の十ニケの算式のうち次の三式のみがこの比率連続性の特長を有する︒すなわち

単純幾何平均指数

N

I I

; P t

ーq

・1 00 11I(-

q)-·—

………

(4)

<

i

￨

N

I I

; P , J P ‑

I (t

ーq )

0•100

1 1 1

;P o

. 1

00

1[i 1

I

‑ O N [ P

辛

任意の時点の価額を加重係数として使用する加重幾何平均指数

(I (W G .

. _a

) )

七

任意の﹁商品の実際の購入量﹂をウエートとして使用する総和指数の比率

[ I ( A g g . a

︑⑮と＠との証明は︑) ]

③と同様に行われる︒然るとき︑いかなる条件のもとで︑この比率の連続性の転換が可能であり︑又は凡そ可能で

ピ

(i Pt

ーq[

iP o)

1•

00

⁝

( 5 )

ピ

(i B] ip o ( i

ーq)・100

1 1 i

I I t

o

g

この第5式は︑あらゆる商品・tについてPo8piなるときのみ次の第6式に等しくなる︒

ヽ(

II I( tq )‑

︶

⁝

︵

6)

100~;P1

1q

N I

; P ,

︑

(9)

~~Q策嵩起!20,;l--'Q捩片〇臣墜(l嘔*)

ピ、商品I Ct‑q) o A B C D E F I Ct‑q) o 110 I,o I (1‑q) t P

。

120円240円240円120円120円480円P1‑q 180 300 420 120 300 720

P1‑q/Po 150 125 175 100 250 150 158%

P1 240円480円480円240円240円965円1 { P,!Po 200 200 200 200 200 200 200 79¼ 79% p← q/P1 75 62% 87½ 50 125 75 P, 120円240円480円120円150円480円2 { P1/P

。

100 125 200 100 125 100 125 126% 131¼ P1‑q/P1 150 100 87½ 100 200 150

3

{心。

240円180円480円60円300円900円200 75 200 50 250 200 162½ 971%9 1171%6 P1‑q/P1 75 166% 87½ 200 100 75 P1 180円180円360円240円240円600円4 {PtfP

。

150 75 150 200 200 125 150 105% 113½8 P1‑q/P1 100 166% 116% 50 125 120 P, 480円300円480円120円540円1200円5 {凡/P

。

400 125 200 100 450 250 254% 62埠紐73窃紐p← q/P1 37% 100 87½ 100 55% 60 P, 480円180円480円60円540円600円6 {Pi/Po 400 75 200 50 450 126 216% 73%3 1111%4 P1‑q/P1 37% 166% 87% 200 55% 120 第一表

(10)

301

指数の連続性についての若干の問題︵高木︶と1171%0とになつている︒ オニの場合︑比例性は存在しないが︑ いま︑第一表に掲げたようにA︑B︑C︑D︑E︑F︑

tーqの単位価格が与えられ︑

九

の六種の商品があるとする︒それぞれの商品の時点0︑t︑

t時点のそれのみが変化するものとする︒以下はそれぞれの場合の説明である︒

オーの場合

P o ' ,

と

sP t ヽ

との間に比例性が存在するときは︑比率連続性の関係が成立する︒すなわち次式が成立

するのである︒

( It

ーq)

ミー I I

q )

t︑⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝夕d)

It

o

sP i が︑

P o いと比べて大きなズレなく増大するときは︑

余り大きなひらきを示さない︒表では

1 2 6

%と

1 3! 1

; 11 ,

とになっている︒ 上式の左右両辺は

オ三の場合︑

P t ' ,

の二つ(BとD)が下落し、残りが全部、騰貴する場合、両辺のひらきは大となる。表では971~菩オ四の場合︑唯一っだけ

(B )

が下落し︑他は騰貴する場合は︑第三の場合とよく似た結果となる︒

才五の場合︑0時点とt時点との間で︑あらゆる商品の単位価格が騰貴するが︑

い場合には︑何等の均等性も︑近似的な均等性も存在しない︒ その騰貴の仕方が余り比例的でな

才六の場合︑ある商品の価格はいちじるしく騰貴し︑ある商品の価格はいちじるしく下落する場合︑左右両辺のひらきは非常に大となる︒表では

73

ぷs

l l H 7 f , 4

となつている︒

上述の第一の場合は事実上あり得ないが︑第二の場合は非常に事実に近いものである︒

以上の諸場合より次の結論を導く︒ ユー・ボー・セン教授は

(11)

I ( t 1

︒q )

[ I i

︒と

I ( t

ーq ) t

の間の比例性が近似的に非常に接近するときは︑

ないが︑両者間のひらきが可成り大なるときは︑誤れる結果へと導く故に︑

解は新基準時点の価格が旧基準時点の価格に比例的であるが︑又は非常に近似的であるという条件に応ずるように

( 3 )

新基準時点を規定することによって果される︒しかし︑私見によれば︑このふたつの結論は別々のものではない︒

これまでは算術平均に限つて理論を展開してきたのであるが︑他の平均法をとる場合はどのようであるか︑すな

わち︑比率連続性の転換法の使用条件はどのようなものであるかが検討されねばならない︒既述の十二の算式とそ

I(A.M)•

…••………

I( G. M)

⁝

I(W.A.b)·

…••…••

I( W. A. c)

⁝

I ( W .

A

. a )

⁝

I(W•

G . b )

⁝

I(W•

G . c )

⁝

I( W. G. a)

⁝

I(

Ì

0 s

pe

yr

es

)

⁝

れぞれの転換の適用条件を示すと次のようになる︒ すなわち︑⑮は③の前提であるにすぎない︒ す

なわ

ち︑

(al

;Q

︒8

; Q ,

i pi 1 q‑ ;

Q ,

ーq 8

;P,•;Q,

;Po•

;Q

o

00

;P1•

; Q1

︑

iP

o8

iP

︑t

iP

o8

iP

t

;Q

︒8

; Q,

iP

o8

ip

t

比率連続転換法の使用を妨げ

その使用は不可能である︒⑮

10

問題の

(12)

303

指数の連続性についての若干の問題︵高木︶加と除去が同時に行われる場合については後述する︒ は

後述

する

︒

を示すものである︒

I(Paasche)••

……•

I( F)

：

・

⁝

I( W. A. a)

以上は基準時点の変更の場合の比率連続性の転換の適用条件を示すものであり0は旧基準時点を︑tは新基準時点

I( W. A. b) , l ( W . G . b . )

｀

I ( I ̀ a s p

苔e y

e s )

では︑基準時点の変更は自動的に加重の変更を伴うことと︑

I ( W . A . c ) ,

の三算式は任意のウェートをとる指数である故に加重体系は変更されない︒

I(W•

G . c ) , I ( P a a s c h e )

は比較時点のウェートをとる故に何等の影響を被らないことが指摘される︒

I( W. . Ga ) , I ( A g g . a )

これについて

B︑すくなくとも一種類以上の新しい商品が旧商品の等しい数の種類に代替するときの連続性の持続︒

指数によってとらえる経済の現実は常に変動する︒ある時点の商品群を代表する特定の商品は必ずしも他の時点

( 5 )

でその代表性を有することは不可能である︒故に新旧指数間にとり入れるべき商品間に代替性が見られる︒さらに

くわしくいえば︑日旧指数の商品のあるものが代表性を失った場合︑口ある特定の商品が市場に登場した場合︑し

かも

︑

てき

た場

合に

︑

勿論

︑

その商品が商品群を代表する性格を有する場合︑国旧指数では無視してもよかったが︑新しく重要性をもっ

( 6 )

その商品を追加する必要が起り︑この三つの場合の逆の場合はその商品を除去しなければならない︒

このような追加と除去が行われたとしても指数より成る時系列の連続性は確保されねばならない︒なお︑追

I ( A g g . ) a

;Q

︒8 iQ i

ーq

8; Q

1

; Q ,

ーq 8i Qt

(4

)

(13)

(2) る ︒

一種以上の商品が旧商品の範囲に追加される場合の連続性の特続︒

0

時点

(1

1 0 0 1

)

による指数Iは︑時点T

まで

Nケの商品に基ずいて作成されるとする︒

この式で理解できる通り︑時点tの新指数は第二項で示された調節を旧指数に行って︑

に求めることが可能である︒新しく必要とされるのは追加商品に関するものだけである︒

単純幾何平均法︑

の価格比で示される︒ 新商品範囲での指数は次の第8

式に

よる

︒

①単純算術平均法︑旧商品範囲での指数は次の第

7

式に

よる

︒

が原リストに追加されるとする︒ c︑

t 1 1 0

" ₁

, 2,

⁝

9T

ー1

j1

1N

+1

"

N+

2 , . .

,,

N +n

nケの商品を記号Z+1︑N+2︑⁝︑N+nであらわす︒さらに次のように区分す

i1

11

︑2

︑⁝

︑N

;

i 11 1 ,

2 ,

⁝︑

}[

︑]

︷+

1 , . . .

︑]

{+

ni

いま時点Tでnケの商品

i p t

ビ

1 0 0

...•••••••••••••••••..••••••••••.••••.•.••.•••••••••

‑ ̀ l

ヽN・iiPo

1 0 0 I : ,

̲ & =

1

(N

.

︒ ＋ I ,

1 0 o z : ; h

⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝(OO) N+niiP︒

N + n ] j P o

その時点の旧指数より容易

この場合も同様の関係が導びかれる︒すなわち︑新指数は次の第9式で示されるように新旧

(14)

30.5

指数の連続性についての若干の問題︵高木︶曲任意の時点のウェートで加重する場合︑ ⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝

・: (9 )

比率の加重平坊法︑何をもつて加重するかによって次のように分けられる︒

1 0 0

; P , .ビ||ー•iPo.iQo、………(10)ビ;Po•;Qoi

; P o

I t o l

l

i︑ P t ピ||_•i、Po.i、Qo 100 ioM﹂

i︑

Po

.i

︑Q

oi

︑i

︑P

o

I︑

必要なものは追加された商品をふくむあらゆる商品の基準時点の価額であり︑

よい︒加重幾何平均法をとる場合も同様の結果が得られる︒すなわち︑ ⁝⁝⁝⁝

( 1 1 )

t時点では追加商品の価格比だけで

(12) M

;Po•;Qo

; P 1

;Po•;Qo I

t o l l i { I I

(￨￨￨︶︑⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝

iiPo

(13) 旦。•i`Q。ビ;Po•;Qo

i P t

iPo•

i Q o

Iiollirl(Iio)tm~)………

j j

11日〗·;(j01[Iio.セ;Po•;Q。+10 0

︵ャ亭・ぶ・

jQ

︒ ) ]

なお︑新指数はまず︑算術平均法について述べよう︒次式が成立する︒ ①基準時点のウェートで加重する場合

(3)

[（I-o)N•H に心

(N

もI︑1

i o ‑

j

j P o

(15)

かA る条件のもとで︑先きの場合と同様に

I

︒

^

1,

翌W ;

答が

W ;

と同じように分布するという条件を入れるなら

重をとる︑あらゆる指数について同様のことがいいうる︒ 0よりa場合と同じであり︑サフイックスは任意の時点の価額をウェートとする算術平均︑幾何平均の両方法による関係は︑基準時点の価額をウェートとする

に変更され︑時点

tの追加商品の価格比とともに必要とされる資料は︑

比較時点のウェートで加重する場合︑

この場合に必要とされるのは︑追加商品の価額および価格比の時点

t

の資料であり︑比較時点のウェートによる加ウェートが︒ハーセントの形式で規定されるときどのようになるかが考察されねばならない︒基準時点のウェート

であれ︑任意の時点のウェートであれ︑パーセントの形式で加重される︒商品追加の場合は︑

の相対的重要性を考慮してパーセントが変更される︒このことについて述べよう︒

原商品・

t︵→

1 1 1

︑2

︑ ⁝ ︑

N )

は

W]

なるウェートをとり︑修正された商品

r ( i

︑1 1

1 , 2 ,

⁝ ︑ N , N +

︑ ⁝ ︑ 1

N + n )

はw ;

1 1

︵ピ w i 1

1 ピ

W 1 1 1 0 0 )

なるウェートをとるとする︒もしば

︑ さ

iは

Wi

よりも小であり︑あらゆる

・ t に次の関係が成立する︒

⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝

(14)

1;0は

I to と追加商品の価格比で表現されうる︒すなわち︑加重算術平均の場合は次の第

式のようになり︑加重幾何平均の場合は第1 5

1 6 式のようになる︒しかも︑前の場合と同様に

j 1 1 Z+ l , N +

︑ 2

⁝ ,

N + n

である︒

(iii) あらゆる商品の任意の時点の価額である︒ 指数の連続性についての若干の問題︵裔木︶

その追加される商品一四

(16)

307

(iii) (ii)

(i) (4)

指数の連続性についての若干の問題︵高木︶ Ii。 11(Ito)a•18ミ（戸）uj9…………•………·…•…………(16)

総和比率法︑既述の場合と同様にここでも次のように区分される︒すなわち︑

基準時点の数量をふくむ場合︑この場合︵ラスパイど＾算式︶︑

上式でC11ピjP1•

jQ

︒および

j

る︒

さら

に︑

j R

ー

．き

⁝

U. 3)

jj po I i 0 1 1 u . I

＋ピ i o

ピ;P,•;Qo

I i o 1

げ1

Po

; Q .

‑ ; ;

1 •

00

1 1

¥ f l

・1

00

i

A + c

ビ

i︑Pt . i

︑ Qo

•100 1 1

・ 1 0 0

i︑

トi

o￨

ビi︑_{P o}

. i ︑

Qo

B +

D

D1

ピ1

jR

o・

jQ

O

であ

る︒

これより

一五

⁝

(17)

⁝

(18)

l•B•I10

+ c

̲)

・1

00

,

⁝

( 1 9 ) B+c

Ii

01

1(

̲

10

0

この式でCとDとは追加商品をふくみ︑Bは基準時点0の資料だけをふくみ︑あらゆるt時点について不変であ

この関係は基準時点のウェートを使用する加重罪術平均で導いた関係と一致する︒

任意の時点の数量を用いる場合︑

Q̀

s

のサフィックスが0からa

に変更して①の場合と同じ式が求められ

比較時点の数量を使用する場合︑すなわち︒ハーシェ算式の場合︑比較時点の価額をウェートとする加重平均る ︒

には次式が成立する︒

(17)

(3) ②価格比の単純幾何平均法︑次の第21式がこれを示す︒ 必要なのはKケの商品に関する資料だけである︒

(1) 作

成さ

れる

︒︵

→1

11 ,

2 ,

⁝︑

N)

D︑すくなくとも一種類以上の商品が原リストより除去される場合の連続性の持続︒

これはCで述べたと逆の過程であり︑その解決も当然︑非常に似ている︒指数I‑°はNケの商品の範囲について

Nヶよりnケだけ除去されるとする︒

力を費すことなくItoよりIi︒を求めることである︒以下︑ は新しい範囲

i︑IIn+1︑n+2︑⁝︑Nによって作成されるとする︒当面の目的は旧資料の再蒐集や再計算に余り労

そのとられる各種の平均値およびウェートのとり方に

よってどのようにしてこの目的が達せられるかを明白にすることである︒

価格比の単純算術平均︑既述の場合のように出発点は次式である︒

価格比の加重平均法

10

0

; P 1

ー

⁝

( 7

‑

i P o ︑

￨￨ービN

;

Iioー100~;、Pt111「N•I,o￨

10

0ピ

﹂ J1

‑

⁝⁝

(2

0)

￨N

ーn

i︑

Po

N‑n

k

k P o

Nー

n . k P t

Ii

01

1{

︵I

to

)N

¥ I T

ー￨￨⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝︵21)

kJ

Po

︑

基準時点︑任意の時点の価額のいずれによるものであれ︑あるいはその数量によるものであれ加重平均の場合はの場合と同様に︑その解は非常に複雑である︒ 指数の連続性についての若干の問題︵高木︶

これをk

︵子 1 1

1 "

2 ,

⁝J

2)

で示す︒新指数Iio 一六

指数の連続性についての若干の問題(1)

︵ ら 言

。

。

{心。

。

。

︒

^

︵ら言