解析I演習2学期 （試験） 2004年11月16日
解析 I 演習 2 学期末試験
担当：佐藤 弘康
問
1. 3つのベクトル関数
a(t),b(t),c(t)が，任意の
tに対し長さが
1で
a(t)×b(t) =c(t), b(t)×c(t) =a(t)を満たすとする．このとき，a
0(t),b0(t),c0(t)は
1次従属であることを示せ．
問
2. R3− {(a, b, c)}上で定義されたスカラー場
f(x, y, z) = 1
p(x−a)2 + (y−b)2 + (z−c)2
について以下の問に答えよ．
(1) X = gradf
を求めよ．
(2) (1)
の
Xに対し，rot
Xを求めよ．
(3) (1)
の
Xに対し，div
Xを求めよ．
問
3. Cを
r(θ) = (cosθ,sinθ,1−2 cosθ−sinθ), (0≤θ ≤2π)でパラメータ表示 される閉曲線とするとき，
Z
C
x2 dx+ (x3+y)dy+z dz
の値を求めよ．
問
4. xa22 + yb22 +zc22 = 1の原点の側を裏とする曲面を
Sとするとき，
Z
S
x dy∧dz+ 2y dx∧dz+ 3z dx∧dy
