連続型 多期 間資本 資産評価 模型
Continuous‑TimeIntertemporalCapitalAssetPricingModel
板 垣 有記輔
by YukioITAGAKI
第1節 最 適消費 ・資 産選択 問題 第2節 投 資家 の価値 関数 第3節 最適消費 と資 産需要 第4節 一時 的均衡
第5節 第6節 第7節
複 数 ベ ー タ 消 費 ベ ー タ
消 費 変 動 危 険 の最 小 化
単 一 期 間 の 平 均 ・分 散 接 近 法 に よる 資 本 資 産 評 価 模 型 に よれ ば,危 険 資 産 の安 全 資 産 に 対 す る 均 衡 平 均 超 過 収 益 率 は,危 険 資 産 か ら構 成 され る唯 一 の市 場 ポ ー トフ ォ リオ の 安 全 資 産 に対 す る市 場 に 共 通 な 平 均 超 過 収 益 率 に,危 険 資 産 に 固 有 な ベ ー タ ・リス ク指 標 を乗 じた もの(危
険 資 産 の リス ク ・プ レ ミア ム)に 等 しい.こ れ は,危 険 の 高 い資 産 の 平 均 収 益 率 は ・ 危 険 の 低 い 資 産 の そ れ を 上 回 るは ず で あ る とい う直 観 的 認 識 を 理 論 化 して定 式 化 した もの とみ な す こ と が で き る.
だ が,単 一 期 間模 型 の 平 均 ・分 散 接 近 法 は 現 実 の 経 済 へ の 妥 当 な近 似 とは 言 え な い.な ぜ な ら,効 用 関 数 は 消 費 に関 して二 次 で あ り,現 在 の意 思 決 定 は 将 来 の そ れ に影 響 を与 え な い とい う仮 定 が,現 実 妥 当 性 を 持 つ とは と うて い 思 え な い か らで あ る.
そ の た め,効 用 関 数 に 関 す る強 い 仮 定 を 緩 和 し,将 来 へ の 影 響 を掛 酌 し なが ら現 在 の 意 思決 定 を 行 う投 資 家 の行 動 様 式 を 模 型 の 中 で 定 式 化 す る た め に は,単 一 期 間 模 型 の平 均 ・分 散 接 近 法 を 捨 て,多 期 間模 型 に よ る接 近 法 を 採 ら ざ るを 得 な い.こ れ が,Mertonの[27]を 嗜 矢 とす る連 続 型 多 期 間 資 本 資 産 評 価 模 型 で あ り,こ れ に 関 連 す る も の と し て,Breeden[3コ ・Cox・
Ingersoll,andRoss[6],GrossmanandShiller[14],JarrowandRosenfeld[20],Williams [34コ な どが あ る.
本 稿 で は,状 態 変 数 が 変 化 す る よ うな 連 続 型 多 期 間資 本 資 産 評 価 模 型 に お い て,資 産 の均 衡 収 益 率 が ど の よ うに決 定 され るか,ま た 単 一 期 間 の平 均 ・分 散 接 近 法 の場 合 と同 様 に資 産 の収 益 率 の 危 険 を,市 場 ポ ー トフ ォ リオ の 危 険 だ け で 説 明 で き る の だ ろ うか な どの 問 題 を 検 討 す る.さ らに,Breeden[3]に な ら って 個 人 消 費 を 集 計 した 総 消 費 を 用 い て消 費 型 資 本 資 産 評 価 模 型 を 導 出 し,最 後 に 連 続 型 多 期 間 模 型 の 単 一 期 間 の平 均 ・分 散 接 近 法 に よ る一 つ の解 釈 を
2季 刊 創 価 経 済 論i集Vol.XIX,No.1 与 え る.
確 率 的 解 析 学 や 確 率 的 最 適 制 御 理 論 を 援 用 しな が ら展 開 され る 連 続 型 多 期 間 資 本 資 産 評 価 模 型 は,必 ず し も理 解 しや す い もの とは 書 え な い の で,若 干 解 説 を ま じえ なが ら本 稿 を 記 述 す る
こ とに し よ う.
第1節 最 適消費 。資産選択 問題
い ま,1種 類 の 消 費 財 とs+1種 類 の 資 産 カミあ り,資 産 ◎ は 安 全 資 産 で,残 りは 危 険 資 産 と す る.資 産 の 収 益 率 は,時 点 ≠の 資 産zの 消 費 財 の 単 位 で 測 られ た 緬 格 を ρ誰){i‑◎,…,S)
と す る と き,安 全 資 産 に つ い て は, の 倉伽=探(ち ρ3①)4≠(1) 危 険 資 産 に つ い て は,
⑫̀/A=娠 ≠,ρs(の)4'+び 乞α,函(t))磁,Z=1,…,S,(2)
で そ れ ぞ れ 与 え られ る とす べ て の 投 資 家 が 予 想 す る も の と す る.こ こ にs49、(t>(芦1,…,S) は,標 準 ウ イ ナ ー 過 程zi{t)の 確 率 微 分 で,
瓦[轟 ① コ=0,炉1,…,S, È[(49、 ①)2]=4渉,6=1,…,S, 瓦[dtdzi⑦}瓢0,露1,…,S,
È[鵡(渉)dz;(t)]紫 ρ乞ゴ(t)dt,6,ブ=1,…,s,
但 し,飾(∫)dt=Cov[42盛(t},dz;('刀,4ブ=1,…,S,で あ る.(2)と(3)よ り, (1/dt)E、 〔dpi/ρ 、]=aZ(t,ps(の)+σ 、(ちρ、(の(1/dのEl、 陵 ・α)ユ 瓢 娠 ち ρ5(の),
旗1,…,S,
(2),(3),(4)よ り,
(1/dt)疏[42)f/ヵ ￠コ臨(1/dt)1㌶ 晦(ちA①)σ 、(',ρs⑦)磁 ⑦ ユ2}
臨 σf2α,ρ3(の)(1/4の 瓦 〔(4銑(t))租 謙 σ〜α,ρ3α)),2=1,…,s.
C3) (4) (5) C6)
c7>
C8) (7)は,危 険 資 産iの 価 格 の 動 学 方 程 式(2)の 右 辺 の 第1項 の α名(ちρs(の)が,危 険 資 産 の瞬 時 的 期 待 収 益 率 で あ る こ とを 示 し,第2項 の σ乞(ちρ3α))の2乗 が 危 険 資 産Zの 収 益 率 の 瞬 時 的 分 散 で あ る こ とを 示 して い る.
危 険 資 産Sの 価 格 ρsを 代 表 的 指 標 と考 え 状 態 変 数 とみ な し,安 全 資産 の瞬 時 的 収 益 率 α・, 危 険 資 産 の 瞬 時 的 期 待 収 益 率 偽 σ=1,…,S),危 険 資 産 の収 益 率 の瞬 時 的 標 準 偏 差62(旗1,
… ,S)は,状 態 変 数 ヵ5に 依 存 して 定 ま る も の とす る.
投 資 家 ブ の 時 点0の,消 費 財 の 賦 存 量 をCゴ,資 産 げの 賦 存 量 を 瓦 ゴ と し,時 点'の,消 費 財 の 需 要 量 をCJ(の,資 産 づの 需 要 量 をNza(t)と す る.投 資 家 ブの 所 得 は 資 産 か らの 収 益 の
June1989板 垣 有 記 輔:連 続 型 多 期 間 資 本 資 産 評価 模 型
み と し,計 画 期 間 の 長 さ をT'と す れ ば,時 点0のCゴ(0),ヱW(0)に つ い て,
S̲S̲
Cゴ(0)十Tye(0)ρ 乞(0)=C'十 Σ 瓦 ゴρ乞(0),
i=0乞=0
時 点t∈(0,Tゴ)のCゴ(t>,瓦 ゴ(の に つ い て,
急 蝋 の炸 ゑ 跳 ・(・)か(・)一∫lC・(τ)d・+∫:乱瓦 ・(τ)あ(・)(⑫(・)似 τ)) が 満 た され な け れ ぽ な らな い.
C9)
(10)
3
こ れ は,時 点tの 富 が,時 点0の 富 か ら,時 間[0,t]に 亘 る 累 積 消 費 を 引 き,S+1種 類 の 資 産 の 期 間[0,司 に 亘 る 累 積 収 益 を 加}た も の に 等 し くな け れ ば な ら な い こ と を 示 し て い る.投 資 家 ブ の 時 点tの 富 をW3(の,富 に 占 め る 資 産2の 時 点tの 保 有 比 を 観 ゴα)と す れ ば,
Wゴ(の 全 ΣNzJ(のi=O
s
ρ、α),(11)ZUiゴα)全!Wα)ρ 包(の/W」(t).(12) (11),(12)か
s
ら,勿 論Σwiz(の=1,(13)
i=1
が 成 立 す る.(10),(11),(12)か ら
脚)‑W・(・)一 ∫:α(τ)dz+∫:茎 蝋 τ)W・(・)(4あ(τ)/あ(τ))
一 欧 ・)一 ∫:c・(τ)dT+1'
Ow・ゴ(τ)W・(τ)(蜘)/か(・))
cs
+∫ 。Σ 蝋 ・)W」(τ)(dpi(・)/ρ ・(τ))
(1),(2),(13)か ら
一 欧 ・)一 ∫:α(τ)4τ+f'
0(・ か ・(・))W」(τ)ao(T,ps(・))d・
ss
+∫ 。i=、蝋 ・w(τ)[α ・(ちカ・(・))d・+碗(・ ・ρ・(・))dzi(・))]
=W(・)一 ∫:c・(τ)dT+∫:W」(τ)ao(ψ ・(・))d・
ts
+∫
。i=、蝋 τ)W・(τ)[礁 ρ・(τ))一 α・(τ・ρ・(・)肋
is
+∫ 。i=、蝋 τ)Wゴ(τ)σ ・(τ・ρ・(・))姻(14)
を 得 る.確 率 積 分 方 程 式(14)を 同等 な確 率 微 分 方 程 式 で 表 わ せ ば,
4聯)一 憾 勘 ・(t)脚)[ai(ち 醐)一 礁 ρ・㈲ コ+W・ 伽(姻 の)‑Cf(t)}dt
s
+Σ ω ノ(t)Wゴ(t)Qi(ち ρsα))dzi(t},(15)
i=1
4季 刊 創 価 経 済 論 集Vol.XIX,No.1 な る 富 の 動 学 方 程 式 を 得 る.
投 資 家 ブ は,各 時 点 の 消 費Cゴ(の の 瞬 時 的 効 用u3(Cゴ(の,の を 主 観 的 な:,一...時的 効 用 割 引 率 δゴ(の で 割 引 い た 割 引 効 用 の 計 画 期 間[0,Tゴ]に わ た る 総 和 と 計 画 期 間 末T」 の 富 罪 ゴ(T」) の 効 用 β ゴ(Wゴ(Tゴ),Tゴ)の 割 引 効 用 と の 和 の 期 待 値
瓦r師 α),t)exp(一 ∫1δ・(・)dr)dt+即(T・),㍗)exp(一 ∫1も・(・)4・)]
0
を ・ 条 件(9)・(・5)の 下 で 最 大 な ら し め る よ う 略 時 蘇[0 ,T」]の 消 費 ・鑓 選 択(C(t), wog(t),…,醐)Tj
Oを 決 定 す る も の と す る.硯8り こつ い て, zグノ>0,u'"<0,Zヲ ゴ'>0,・Bゴ"<0(16)
を 仮 定 す る.
第2節 投 資 家 の価 値 関i数
い ま,時 点'か ら71ゴ ま で の 消 費 の 瞬 時 的 効 用 の0時 点 現 在 の 割 引 現 在 価 値 の 和 と 時 点 丁ゴ の 富 の 瞬 時 的 効 用 の0時 点 現 在 の 割 引 現 在 価 値 と の 総 和 の 期 待 値 の 最 大 値 をH」 と 定 義 す れ ば,
H」(t,π ・ノ(t),/)S(t))
全
(oゴ(τ),Max.EL[∫1飯(・ ω 脚(一 ∫:が(h)dh}dr +β(wゴ(Tゴ),T・)・xpC∫ 豚 ・)4・)]
一
(MaxCゴ(τ),勧ゴ(τ),…,wsゴ(τ))評回 ∫r恢 ・ ω ・z)exp(一 ∫:朔 姫]
+易[T71uゴ(Cゴ(τ
t十at),・)exp(一 ∫=δ・(脚 τ+B・(欧P),T・)
・eXp(イ δ・(τ)dz)]}
条 件 付 期 待 値 の 性 質 に よ り
=
(Max))〆 易[∫:+dtu'(・ ω ・z)exp(一 ∫:が㈲ 醐 +鞠[ロT31u'(Cゴ(τ
̀+∠̀),τ)・xp(一 ∫:δ・(脚 τ +B・(Wゴ(Tゴ),7「 ゴ)・xp(一 ∫1'δ・(・)d・)]}
(17)
June1989板 垣 有 記 輔:連 続 型 多 期 聞 資 本 資 産 評 価 模 型 一
(MaxCゴ(τ),w・ゴ(τ),…,跳ブ(τ))rノ島{∫楚 漁)・ の ・xp(伽 肋)dT +輔 ン(α(τ),・)exp(一 ∫:δ・(卿 ・
+B・(Wゴ(Tゴ),Tりexp(一 ∫1ノδ・(τ)dz)]}
確率的動的計画法の最適性の原理 により e
(̲(騒 畔 β{∫%(㈱ ・xp(1:δ ゴ(h)dh)dz
+
(Cゴ(τ),翻(搬 卿))Et+atT.7t一ｺ一dt[∫》(C'Cz)・z)exp〈 一∫ン 鰍)ゐ +B'σ ・σ ・),T・)・xp(一∫1ゴδ・(・)dT)]}
(17)よ り
e
(α(τ)酬 瓢@))鯉 瓦[∫㌻(㈹ ・xv(‑1:綱 伽
+H・ α+∠ちw・α+」オ),カ・(t+∠わ)]・
よ っ て,
・e
(Maxcゴ(τ),w・ゴ(τ),…wsゴ(τ))鐙 レ(0(t),t)exp(一 ∫1融)漉
+・(助+H」(≠+llt,W」(t+dt),ρ ・(t+∠ の)一 玖 ち 罪 ・⑦,ρ ・(の)]・
こ こ に,0(∠itsは, o(∠ のli m=0.
∠̀→o∠ 「t
両 辺 をat(>0)で 割 り,4t→0と す れ ば,
・一
(Cf(t),働 際..,ws'(t))[ガ(0(の ・のexpC∫13(h)dh) +(dt)一 ・E・4玖 ち 罪 ・(の,ρ・(の)],
こ こ に,
(dt)‑1E占41臼 「'α,仰 「ゴ(の,ρsα))
一 ∂a
tゴ+axfaw」[SΣ ωzη7ゴ(ai一 α・i=1)+W'aa‐C3]+.asasks
+÷ 瀟 職 ・隔 ρ器+急 既伽i6・ ρ・s轟
、
Cls)
5
6季 刊 創 価 経 済 論 集Vo1 .XIX,No.1
+吉 解1罫'・(・9)
で あ る.
時 点 渉か ら7η まで の 消 費 の瞬 時 的 効 用 の 時 点 彦現 在 の 割 引 現 在 価 値 の和 と時 点Tfの 富 の 瞬 時 的 効 用 の時 点t現 在 の 割 引 現 在 価 値 との 総 和 の期 待 値 の 最 大 値 を,投 資 家 ブの 価 値 関V'
と定 義 す れ ば,
γ ゴ(t,wゴ('),1)s(オ))
全
(C」(r),曜 鵬 醐)EtT7t[∫ 》(α ⑦ ・t)exp‑∫:踊)伽 +B棚 叩)expC∫1ノ δ・(τ)dr)].
(17),(20)か ら,E'とV'と の 問 に は,
π ・(ちW」(t),ρ ・α))‑exp(一 ∫1δ・(h)dh>V・(ち 脚),ρ ・(の)
(20)
(21) が成立するから,
∂H」
at‑・xp(一 ∫1δ・(h)dh)(一 δ伽+∂V」at>(22) axe
aw」‑exp(1:δ ・卿 聯,(23) axe
aps・xp(一 ∫:δ鯛 霊 ・(24)
器 一exp(一 ∫1δ・(吻8謳1,(25)
∂鵜 一exp(a1δ3(乃0)dh)∂ 謬 幕 云 ・(26)
欝 一exp(1'・ 剛 誹 ・(27)
と な る.(19)に(22)〜(27)を 代 入 し て 整 理 す れ ば, (dt)‑1EtdH;(ち117ゴ(t),ρs(t))
=exp(一 ∫:δ・鱗){一 δ・(t)V'+∂卦1調 か ・∬・(‑Xi‑LYO)鼎・・‑C・]
+震 噛+青 舶 幽 囎 鰍 継+急 御 肱 碗噛 ∂鍔転 +÷ 解 鐸}・(28)
と な る ・(・8)に(28)を 代 入 し て ・ そ の 両 辺 に ・xp(∫1δ・ω4乃)を 掛 け れ ぼ ・ 投 資 家 ブ の 価 値 関 数V'が 満 た す べ き ハ ミル ト ン ・ヤ コ ビ ・ベ ル マ ン の 方 程 式
δゴ(のγゴ(ちW」 ⑦,1)ε(t))
June1989板 垣 有 記 輔:連 続 型 多 期 間 資 本 資 産 評 価 模 型
eMax[%ゴ(C'(の ,t}十(dt)‑IELV」(t,Wゴ(の,ρ8(t))](C∫(の ,ω1ゴ(t),…,zσ5ゴ(t))
を 得 る.但 し,こ こ に, (dt)一;EtV」{t,Wゴ(の,ρs(の)
全 ∂V'at+1昂[SΣ ωzゴW」(‑Xi‑a。
￠漏1)+W」ao‑C」]+aV」apsasks
+青 薫 観w皿 働 鑛+か 榊 鰍 伽 ∂翫
+÷ 解 鐸}・
で あ る.
(20)か ら,γ'の 満 た す べ き 境 界 条 件
V」(7「 ゴ,W」(T3),ρs(Tゴ))=召 ゴ(n73(Tゴ),T」), を 得 る.
(29)
C30)
(31)
7
第3節 最適消費 と資 産需要
まず,投 資 家 ブ の最 適 消 費 ・最 適 資 産 保 有 比 の 満 た す べ き条 件 を 求 め る.(29),(30)か ら, 最 適 消 費C5(の ≧0は,
∂
ac3(t))一 ∂V」(ち轟 拠(の)≦o,(32) C・(の[∂%'1ε;1蓉・の 一 ∂Vゴ(ち∂際illρs(の)]o,(33)
を 満 た さ な け れ ば な ら な い.資 産Zの 最 適 保 有 比 ωノ(の(簡 単 化 の た め 各iに つ い て,0<
ω乞'(のく1と 仮 定)は,
∂V」(t,W」(の,ρs(t))W」(の[
ai(t,W」(の,ps(の)一 α・(ち予7ゴ(の,ρ5(t))]
∂W」(の
+swaL=1・(の 脚)・ 礁 拠(の)の(梱 の)pZa(の 即(ち 辮 ・ρ5(の)
鼎(の ρsα)礁 幽(の)6s(ち 函(の)伽 α)彗 艦 鋤(t))‑o,i=・ ・… ・s (34)
を 満 た さ な け れ ば な ら な い.よ っ て,
命 題1投 資 家 ブ の 価 値 関 数 砂 が2回 連 続 微 分 可 能 で あ る と き,最 適 消 費 ・最 適 資 産 保 有 比 の 満 た す べ き 条 件 は,(9),(13),(15),(31),(32),(33),(34)お よ び 状 態 変ps(t)の 動 学 方 程 式 で あ る.
8 季刊 創 価 経 済 論 集 Vol.XIX,No.1.
次 に,資 産 の 個 別 需 要 関 数 を 求 め る.以 下 で は,混 乱 を お こ す 心 配 の 無 い 限 り,記 号 表 記 を 簡 単 化 す る た め に,投 資 家 ブ を 示 す 上 付 き 添 字 を 省 略 し,∂V/∂W,∂21ノ/∂W2,∂2V/∂ π ∂ρs を そ れ ぞ れVw,y冊 π,Vwpsと 表 記 す る,(34)の 両 辺 をVowWで 割 り,左 辺 の 第1項 と3 項 を 右 辺 に 移 せ ば,
ゑ 蝋 の 隔 画 一 一 傷(a;,‐ao)一 撫 碗噛 卸 一 ・,…S.
これ を,瞬 時 的 共 分 散 行 列2,
判∴1劉
を用いて表わせば,
畷 馬(::1擁c::piss>C35)
Σ を 正 則 行 列 と仮 定 し,行 列 式!ΣllのCZ,1)元 素6ti6apZaの 余 因 数 を2既 とす れ ば,Σ の 逆 行 列 一7.は,勿 論
1(Σ の ノX
‑1= 1Σ1
で,周 知 の 行 列 式 の 余 因 数 展 開 公 式 よ り
亀一il二::1::⑯
が 成 立 す る.(35)の 両 辺 に 一1を 左 か ら 掛 け れ ぽ
(嬬 隔 鴫1擁 イ∵〉
す なわ ち
wZW‑一 鳥 酋 誇1(aa‐ao)一 躊 峨 急 の噛 (36)か ら
{欝:∴ 無 ∵ 蕩(37)
が 成 立 す る.ま たe(13)と(37)か ら,
woW‑w+需 謡 端(as‐ao)+鷺 静(38)
June1989板 垣 有 記 輔:連 続 型 多期 間 資 本 資 産 評 価 模 型 を 得 る.よ っ て,
9
命 題2投 資 家 ブ の価 値 関 数 丁々 が2回 連 続 微 分 可 能 で,資 産 の 収 益 率 の 瞬 時 的 共 分 散 行 列 Σ が 正 則 で あ れ ば,安 全 資 産 の個 別 需 要 関 数 は,(38)で 与 え られ,危 険 資 産 の個 別 需 要 関 数 は,(37)で 与7..られ る.
第4節 一 時 的均 衡
資 産 の収 益 率 に つ い て 同 一 の 予 想 を もつ ノ人 の投 資 家 か らな る純 粋 交 換 経 済 の 一 時 的 資 産 市 場 均 衡 の概 念 を 定 義 し よ う.
定 義1(一 時 的 資 産 市 場 均 衡)つ ぎ の 条 件(i),(ii)を 満 た す す べ て の 投 資 家 ブ∈…ノa{1,
…,ノ}の 時 点0のs+1種 類 の 資 産 需 要{ハ 厚(0),…,.〈 雇(0)}と 時 点0のS+1種 類 の 資 産 価 格 {ρ。(0),…,ρ 、(0)}の 組 合 せ{ヱW(0),…,NSA(0),…,N・ ∫(0),…,NSJ(0),…;p・(0),…,ρ ・(0)}
を 純 粋 交 換 経 済 の 一 時 的 資 産 市 場 均 衡 と い う.
(i)す べ て の 投 資 家 ブ∈ノ の 時 点oのS+1種 類 の 資 産 需 要{ハ π・ゴ(o),…,NSA(o)}は,条 件(9),(13),(34)を 満 た す.
(ii)s+1種 類 の す べ て の 資 産 犯S全{o,1,…,s}に つ い て,需 給 均 衡 条 件
J ノ
ΣNノ=Σ 瓦 ゴ(0)(39)
j=1j=1
が 成 立 す る.
定 義2(一 時 的 消 費 財 市 場 均 衡)つ ぎ の条 件(i),(ii)を 満 た す す べ て の 投 資 家 ブ∈ノ の 時 点0の 消 費 財 需 要 の 組 合 せ{C1(0),…,CJ(0)}を 純 粋 交 換 経 済 の 一 時 的 消 費 財 市 場 均 衡 と
い う.
(i)す べ て の 投 資 家 ノ∈ノ の 時 点oの 消 費 財 需 要 の 組 合 せ{c1(o),…,Cr(o)}は,条 件 (32),(33)を 満 たす.
(ii)消 費 財 の需 給 均 衡 条 件 ゑ ご』 重 α(0)(40)
ゴ=1ゴ=1
が 成 立 す る.
こ の と き,次 の 命 題 が 成 り立 つ.
命 題3す べ て の投 資 家 ブ∈…ノ がS+1種 類 の 資 産 の 収 益 率 に つ い て 同 一 の 予 想 を もつ もの
・。 季 刊 創 価 経 済 論 集Vo1 .XIX,No.4 と す る.こ の と き,す べ て の 投 資 家 ブ∈Jの 時 点0のs+1種 類 の 資 産 需 要{瓦 ゴ(0),…Ns」
(0)}と 時 点0のs+1種 類 の 資 産 価 格{ρ ・(0),…,ρs(0)}の 組 合 せ{N・1(0),…,〈 奪(0),…, 縮 ノ(0),…,.〈Tsr(0);カ ・(0),…,ρs(0)}が 純 粋 交i換経 済 の 一 時 的 資 産 市 場 均 衡 で あ れ ば,す べ て
の 投 資 家 ブ∈ ノ の 時 点0の 消 費 財 需 要 の 組 合 せ{C1(0),…,Cノ(0)}は,純 粋 交 換 経 済 の 一 時 的 消 費 財 市 場 均 衡 で あ る.
証 明 す べ て の 投 資 家 ノ∈ ノ の,条 件(32),(33)を 満 た す 時 点0の 消 費 財 需 要 の 組 合 せ{C1 (0),…CJ(0)}を 考}る.{Nai(0),…,.輪1(0),…,ハ 乙o∫(0),…,蕊 ∫(0);ρo(0),…,ρs(0)}が 一 時 的 資 産 市 場 均 衡 で あ る か ら,す べ て の 投 資 家 ブ∈ ノ に つ い て,
s̲s
Cゴ(0)十 Σ1W(0)1)乞(0)=Cゴ 十 Σ 瓦 や 、(0),(9)
i=Oi=0
が 成 立 す るの で,(9)を ノ∈Tに つ い て 加}れ ば,
∫ ノsI̲JS̲
Σ α(0)+Σ Σ2V、ゴ(0)A(0)=ΣCゴ+Σ Σ ヱW1》、(0)
j=1j=1i=Oj=1j=1i=0
が 成 り立 つ.こ れ よ り
ノ̲ノ ∫S∫S̲
Σ α=Σ α(0)+Σ Σ 瓦 ゴ(0)ρ乞(0)一 Σ ΣNzゴ ρ睦(0)
j=1j=ij=1i=Oj=1i=0
‑ICl
j=1(0)+嘉 あ(0)(塾 ゴ(・)一為 瓦 ・)
s+1種 類 の す べ て の 資 産2ESに つ い て,需 給 均 衡 条 件(39)が 成 立 し て い る の で,
ノ
=・ΣCゴ(0) .
j=1
よ っ て,消 費 財 の 需 給 均 衡 条 件(40)が 成 立 し,{C1(0),…,Cノ(0)}は 一 時 的 消 費 財 市 場 均 衡 で あ る.
証 了
第5節 複i数べ 一 タ
投 資 家 の 保 有 す る各 危 険 資 産 を時 点0の 各 均 衡 価 格 で 評 価 し,市 場 で取 引 され るす べ て の 危 険 資 産 の す べ て の 投 資 家 にわ た る集 計 総 額 に対 す る危 険 資 産Zの す べ て の 投 資 家 に わ た る集 計 額 の 比 率 を 〃Z紘 とす れ ぼ,
鷹 全ゑ 瓦 ・森(・)/涌 瓦 ・あ(・),i‑・,…,s,(4・) で
S
Σrnkti=1.(42)
j=1
危 険 資 産 疹の0時 点 現 在 の時 価 総 額 の 比 率 窺肱 を 用 い て,市 場 ポ ー トフ ォ リオ を つ ぎの よ う
June1989板 垣 有 記 輔:連 続 型 多期 間 資 本 資 産 評 価 模 型 に 定 義 す る.
1工
定 義3(市 場 ポ ー ト フ ォ リオ)市 場 で 取 引 され る す べ て の 危 険 資 産Z∈{1,…,s}を,そ れ ぞ れ の 比 率mktiで 組 入 れ た ポ ー ト フ ォ リオ を 市 場 ポ ー トフ ォ リ オ と い う.
市 場 ポ ー トフ ォ リオ の概 念 を 用 い て,連 続 型 多 期 間 資 本 資 産 評 価 の複 数 ベ ー タ型 模 型 を 導 出 し よ う.
(37)か ら,
あ(・照 ・)=wz.7W.7‑一 巖 滝 誇1(aL‐ao)2=・,…,s‑1,(43)
醐 魏 ・(・)一岬 』‑y鶏 謡 語1@…)一 ㍑ 静(44)
各 危 険 資 産 ご とに,す べ て の投 資 家 に わ た っ て集 計 し,す べ て の 危 険 資 産 の す べ て の 投 資 家 に
Sノ
わ た る 集 計 額 Σ Σ2W(0)あ(0)で 割 れ ば,(39),(41),(43)か ら, i=1ゴ=1
鷹 一A飴1(as‑ao)2=・,…,S‑・ ・(45)
禰 婦 謡1(ac‐ao)+Bps,(46)
を得 る.こ こに,
△全ゑ(V3wゴγ触
ゴ7')/舶 蝋 ・)あ(・),(47)
B全 ゑ(‑V'w」psV'
tiv3wf)/触 瓦 ・(・)あ(・),(48) で あ る.
(45),(46)か ら,
S
YI2kti6i6npih i=1
‑A涌
1卸 輪(一)+Bps6s6npsn 一且 盈[S
i=11髪1碗 輪](crc‐ao)+B齢 砺 蝕 一 五[S
l=1(毒1趨1卿 偽)(ac‐ao)+(ゑ 急1の 輪)(飾 一 伽)]+Bps6s6npsn
∫キ ん
行 列 式1Σ1の 余 因 数 展 開 公 式 よ り
一櫨 」≒乃1呈1(一)+禺(ah‐ao)]+β 緬 轍
=∠4(an‐ao)十Bρ3σsσ だρsん,h=・1,…,S,(49)
・2季 刊 創 価 経 済 論 集 を 得 る.い ま,
6mh窺 んちσfσんρ抗,乃=1,…,s,
2=1
SS
σ肌祝 全 Σ Σmkti・ 〃3ん㍍ ・σ話σんρ鵠
h=1i=1
と 定 義 し よ う.(49),(50)か ら,
σ皿、一.Bρ3σsσ、ρs。=且(α 。一 α・),h=1,…,s, を 得 る.(52)に お い てh=Sと す れ ば,
σ飢s一 β ρsσs2=A(as一 α・).
(52)の 両 辺 に 勉 紘 を 掛 け てhに つ い て 加 え れ ば,
s
h=、伽 …8ρ ・急 鵡 σ・一(肴 卿 ・・… α・ゑ 窺㊨
と な る カミ,こ れ と(42),(50),(51)と か ら,
σ…Bカ ・σ・・‑A(S
lz=、rnkth・an一 α・)
を 得 る.(53),(54)を,A‑1と 一BSA‑1に つ い て の 方 程 式 と み な し て 解 け ば,
A‑・一紳 ・一等 ≦轍 竺'… の,
‑6 ‑(α 一 α・)+6拠 ・(加 ・・α一 α・)
‑BpSA‑1=
σ鵬s̲σ ㎜肌σs・ ・
を 得 る.(52)の 両 辺 をAで 割 り,(55),(56)を 代 入 す れ ば,
6mS(α ・一 α・)一σ・・(か 紘 ・ah‐a・)
α ん 一 α0=6mh
σ。、・‑6mm6S・
‑6 mm(α ・一 α・)+6'ms(加 ・・… α・) +σ ・σ・ρ・・
ぴ肌。・6mm6S・
一 σsσ砦 壽 σs2(SΣ初肱 ・αrα ・ h=1)
+σ 課 ぎ1欝 σ (α・一α・)・
すなわち
α一 α・一 β肌n(S
h=、漁 α一 α・)+β ・・(α・一 α・)h‑・ ・・…s,
を 得 る.こ こ に,ベ ー タ ー 係 数 β殖,β3ん は,
β㎜違 σs篶 響 濤 慧1σ32・
Vol.XIX,No.4
(50)
(51)
(52)
(53)
(54)
(55)
(56)
(57)
June1989板 壇 有 記 輔:連 続 型 多 期 聞 資 本 資 産 評 価 模 型 13
鎚 び票 詔灘 ざ ・
で,市 場 ベ ー タ係 数 β殖 は,危 険 資 産hの 収 益 率 が 資 産 市 場 全 体 の 動 きに 対 して どの 程 度 敏 感 に 反 応 す る か を 示 す 危 険 指 標 で,状 態 変 数 ベ ー タ係 数 β航 は,危 険 資 産hの 収 益 率 が 状 態 変 数 ρsの 動 きに 対 して どの 程 度 敏 感 に 反 応 す るか を 示 す 危 険 指 標 で あ る.
(57)か ら次 の 命 題 を 得 る.
命 題4す べ て の 投 資 家 ブ∈ ノ がS+1種 類 の 資 産 の 収 益 率 に つ い て 同 一 の 予 想 を も つ も の と す る.こ の と き,す べ て の 投 資 家 ノ∈ ノ の 時 点0のs+1種 類 の 資 産 需 要 と 時 点0のS+1 種 類 の 資 産 価 格 の 組 合 せ{N。1(0),…1s(0),…,N。 ∫(O),…,NS」(0);ρ 。(0),…,カ5(0)}が 純 粋 交 換 経 済 の 一 時 的 市 場 均 衡 で あ れ ば,連 続 型 多 期 間 資 本 資 産 評 価 の 複 数 ベ ー タ 型 模 型(57)が 成 立 す る,
S
(57)の 右 辺 第1項 の Σ 吻 肱 ・飾 は,市 場 ポ ー トフ ォ リオ を 構 成 す る 各 危 険 資 産hの 瞬 時
h=1
的 期 待 収 益 率 αん の,そ の 危 険 資 産hの 市 場 ポ ー ト フ ォ リ オ に 占 め る 割 合 魏 肱 を ウ ェ ー トに し た 加 重 平 均 で,市 場 ポ ー トフ ォ リオ の 瞬 時 的 平 均 収 益 率 と み な す こ と が で き る.し た が っ て,(57)か ら,各 危 険 資 産hの 安 全 資 産0に 対 す る 瞬 時 的 平 均 超 過 収 益 率(危 険 プ レ ミア ム) ah一 α・ は,市 場 ポ ー トフ ォ リオ の 安 全 資 産0に 対 す る 瞬 時 的 平 均 超 過 収 益 率(市 場 プ レ ミア
S
ム)Σ 〃￠紘 ・αん一 α・ に 市 場 ベ ー タ 係 数 β顧 を 乗 じ た も の と そ の 価 格 が 状 態 変 数 で あ る 危 険 資
h=1
産Sの 安 全 資 産0に 対 す る 瞬 時 的 平 均 超 過 収 益 率(状 態 変 数 ρ5の プ レ ミア ム)as一 α・ に 状 態 変 数 ベ ー タ 係 数 β舘 を 乗 じた も の の 和 と し て 表 わ さ れ る.す な わ ち,単 一 期 間 の 平 均 ・分 散 型 接 近 法 に よ る 資 本 資 産 評 価 の 単 一 ベ ー タ 型 模 型 と異 な っ て,状 態 変 数 の 変 化 す る 連 続 型 多 期 間 模 型 に お い て は,各 危 険 資 産 の 危 険 プ レ ミア ム は,共 通 な 市 場 プ レ ミア ム だ け で は 十 分 説 明 し き れ ず,状 態 変 数 の プ レ ミア ム に も 影 響 を 受 け る.但 し,富Wを 除 く状 態 変 数 の 数 が0 と い う特 別 の 場 合 は,連 続 型 多 期 間 模 型 に お い て も,通 常 の 単 一 期 間 の 平 均 ・分 散 型 接 近 法 に よ る 資 本 資 産 評 価 の 単 一 ベ ー タ 型 模 型 と 同 じ く,各 危 険 資 産 の 危 険 プ レ ミ ア ム は,共 通 な 市 場 プ レ ミア ム だ け で 説 明 で き る.
つ ぎ に,連 続 型 多 期 間 資 本 資 産 模 型 の 各 投 資 家 ブ∈Tの 最 適 ポ ー ト フ ォ リオ が,安 全 資 産0, 市 場 ポ ー ト フ ォ リ オ,そ の 価 格 が 状 態 変 数 で あ る 危 険 資 産Sの3種 類 の ポ ー ト フ ォ リオ(フ
ァ ソ ド)か ら 構 成 さ れ る と い う ミ ュ ー チ ュ ア ル ・フ ァ ソ ド定 理 を 導 出 す る.(37),(45),(46) か ら
7ゴwゴmkti ωzゴ==‑7ゴ
pr卿 ゴwゴA
=μ ゴ・mkti ,i=1,…,S‑1,ゴ=1,…,ノ,(58)
・4季 刊 創 価 経 済 論 集 ωゴー一 諺 論(ynktsA‑BpsA)一 諏 釜 移 、
一〆・繍 ・一卿 ・一 藷 診伽 ノー・,…,ノ
を 得 る.但 し,こ こ に,
γ ゴπ ゴ ノ
=1 ,…,ノ μ ゴ全 一 γ ゴ
w卿3耳zゴ 且'
と す る.
(13),(42),(58),(59)よ り,
S
1一 ω ・ゴー μゴ=Σzoノ ー μ ゴ
乞=1
一μ・急 鷹 一幽 一 畿 沸 、一μ・
τzゴwゴ ρψs ブ
=1 ,…,ノ
=一 μ ゴiI γ
ゴπ 加 ゴ∬ ゴ'
と な る か ら,(59),(60)よ り
zσs'=μ5・mkts十(1一 祝70ゴー μ ゴ)
を 得 る.よ っ て
Vol.XIX,No.1
C59)
<60)
(61)
命 題5(ミ ュ ー チ ュ ア ル ・フ ァ ン ド定 理)
す べ て の 投 資 家 ブ∈TがS+1種 類 の 資 産 の 収 益 率 に つ い て 同 一 の 予 想 を も つ も の と す る.
こ の と き,す べ て の 投 資 家 ブ∈ ノ の 時 点0のs+1種 類 の 資 産 需 要 と 時 点0のS+1種 類 の 資 産 価 格 の 組 合 せ{N・1(0),…,NSA(0),…,N・/(0),…,NSj(0);ρG(0),…,ヵs(0)}が 純 粋 交i換経 済 の 一 時 的 市 場 均 衡 で あ れ ば,す べ て の 投 資 家 ノ∈ ノ に 対 して,(58),(61)を み た す μゴ∈Rが 存 在 す る.
こ の ミ ュ ー チ ュ ア ル ・フ ァ ソ ド定 理 は,す べ て の 投 資 家 ブ∈JがS+1種 類 の 資 産 の 収 益 率 に つ い て 同 一 の 予 想 を も ち,s+1種 類 の 資 産 市 場 が 一 時 的 均 衡 に あ る と き,す べ て の 投 資 家 ブ∈ノ のS種 類 の 危 鷹 胎 蠣 囎 ま・ 綴 擁1;i(i,1・ ・…,S‑・,s)と な り・
す べ て の 投 資 家 に と っ て 同 一 の 市 場 ポ ー トフ ォ リ オ の そ れ に 一 致 し 各 投 資 家 ブ∈Jに 個 有 の μゴ か ら 独 立 し て い る こ と(分 離 定 理 の 成 立),お よ び す べ て の 投 資 家 に と っ て,安 全 資 産0に
S‑1
wog,S類 の鰍 資 産 か ら な る 危 膿 産 胎(楊 魁 トフ ォ リオ)セ㍉ 孕 ノ+μ"mkts=
S‑1S
Σ μゴ・rnktL+μ ゴ・rnkts=μ'Σ 初 んあ=μ ゴ,状 態 変 数 函 に か か わ る ヘ ヅ ジ ・ フ ァ ン ドに1一 ω ♂
i=1i=1
一μゴ の 割 合 で 投 資 す る こ と と各 資 産iに ωノc2=0 ,1,…,S‑1,s)の 割 合 で 投 資 す る こ と は 無 差 別 で あ る こ と を,示 し て い る.
こ の よ う に,2フ ァ ン ド分 離 定 理 の 成 立 す る 単 一 期 間 の 平 均 ・分 散 型 接 近 法 に よ る 資 本 資 産 評 価 模 型 と異 な っ て,状 態 変 数 の 変 化 す る 連 続 型 多 期 間 資 本 資 産 評 価 模 型 に お い て は,安 全 資
June1989板 垣 有 記 輔:連 続 型 多 期 間 資 本 資 産 評価 模 型 ・ 5 産 と 市 場 ポ ー ト フ ォ リ オ の2フ ァ ソ ドに 加 え て 富 を 除 く状 態 変 数 の 数 だ け の ヘ ッ ジ ・ポ ー トフ
ォ リオ を 作 ら な け れ ば,各 投 資 家 の 危 険 に 対 す る 最 適 行 動 は 達 成 で き な い の で あ る .
第6節 消 費 ベ ー タ
前 節 で は ・ 単 一 期 間 の 平 均 ・分 散 型 接 近 法 に よ る 資 本 資 産 評 価 の 単 一 ベ ー タ 型 模 型 と 異 な り・ 状 態 変 数 の 変 化 す る 連 続 型 多 期 間 模 型 に お い て は,富 以 外 の 状 態 変 数 の 数 に1を 加 え た 数 の ベ ー タ 型 資 本 資 産 評 価 模 型 を 得 る こ と を 示 した が,Breeden[3]),rỲ.よ れ ば,こ の 場 合 に お い て も,個 人 消 費 を す べ て の 投 資 家 ノ∈ ノ に わ た っ て 集 計 し た 総 消 費 を 用 い て
,資 本 資 産 評 価 の 単 一 ベ ー タ 型 模 型 を 導 出 で き る.こ れ を 連 続 型 多 期 間 資 本 資 産 評 価 の 消 費 ベ ー タ 型 模 型(あ る い は,連 続 型 多 期 間 消 費 ベ ー ス 資 本 資 産 評 価 模 型)と い う.
い ま 投 資 家 ブ∈Tの 最 適 消 費C'(t>は ,時 点t,富Wゴ(の お よ び 状 態 変 数1)s(の に 依 存 す る か ら,
Cゴ(t)=Cゴ(t,『 レレr」(t),1)s(t)) と 表 わ せ ば,伊 藤 の 補 題 に よ り,
dC・(∂cゴ(tの=
at)dt+1畿 ち4w・(t)+1器 咽 の+÷ 器 線(dW・Ct))・
+∂ 談 劣 絵(t)(4脚)の ・(t))+÷1蓋 謬(4ρ ・(の)2ブ ー・,…,T, C62)
で あ る.(2),(15)か ら,
(4ρsα))2=(6sα,ρsα))ρs(t)dzs(の)2(=Var(dps(の))
̲d.s2(ち ρ3(の)ρs2(の4'
(dW」(t))2‑(黒 醐 脚)卿 ・(の)dzi(t})2(‑Var(dW」(t)))
SS
=混 黒 蝋 の ω ・ゴ(の π'α)2σ ・(ちカ・(の)6・(ち ρ・α))ρ・・(のdt,
dW'(の4ρ ・(の一(急 蝋')π ・(')の(ちρ・α))dzi(t))σ ・(ちρ・(の)ρ,(')dz,(の
(63)
(64}
(=Cov(dW」(t),dps(t)))
=昌S蝋 の 欧 の ρ・(t)6i(t
,/)5(t))6S(ち ρ・(の)i4iS(t)dt,(65)
と な る.(2),(15),(63),(64),(65)を(62)に 代 入 す れ ば,
4α(∂Cゴの=at)at+ac'<t)α
aW3fit){[急 躍 欧 碕一ao)+隔 一〇]dt+か 帥 の晦}
+灘(asdt+σ 鯛+÷ 辮 議 曜 岬 鰯'
、6季 刊 創 価 経 済 論 集
+訪 鴛 譲(のか 肱 鵜4'+÷ 瓢釜鍬 醐
を 得 る.こ れ よ り
4c・(t)‑È[4Cゴ(t)]イ 総 急 躍 肱 鵡+1器 σ紬
号 総[押 一即 駒 コ+絵i;1吻 ・一瓦伽]・
と な る.他 方,(2)か ら, dpi/あ 一È(dp2/pi)=6zdzi,i=1,…,s で あ る.よ っ て,
C・v(4≠}̀/力 乞,dCゴ)=E、{[4カ 、/pi‑Et(4〃 ρ∂][dCゴ ーE・(4Cリ コ}
(67)か ら
一Et{[4〃 あ 一 瓦(4醐][霧 、(dW」 ‐EtdW・)+acsap
s(des‑Etdps)]}
一 轟 瓦{幽 か 一瓦(dpi/pi)](4罪 ・一 瓦4駒}
+霧 即 〃 あ 一瓦(4齢)コ(dps‐Erdps)}
‐acsc
aW」 ・v(dpi/pi,dW」)+蕩iC・v(dpi/鰯 (68)か ら
e[轟 禽 酬 琳 働+1募1鰍 防・]dt,2=・ ・…・S,
と な る.
(34)の 両 辺 を 砂 炉Wゴ で 割 り,左 辺 の 第2項 と 第3項 を 右 辺 に 移 せ ば,
偽一伽一一窄甥 か 僻 働 一雫聯 無 内隔
Vo1.XIX,No.1 (66)
C67)
(68)
(69)
客=1,…,s,j=1,…,T,
C70) を 得 る.す べ て の 投 資 家 ブ∈ ノ の 最 適 消 費Cゴ が 正 で あ る と す れ ば,(32),(33)か ら
uゴcゴ=V'W,ブ==1,…,s[,(71)
が 成 立 し な け れ ば な ら ず,こ れ よ り, τ/ゴ冊ゴ確ゴ=z〃 σ'cゴCゴwブ,i==1,…,s,(72) Vゴ 研ゴpS̲=uゴcゴσゴCeps,ブ=1,…,s,(73)
が 成 立 す る.(70)に,(71),(72),(73)を 代 入 す れ ば,
az‐ao=一 留(SCゴWゴ Σ 働 ゴWゴ σ包の ρ甜 十CゴP5ρsσ 亀σ5ρzs
z=工)i=・ ・… ・S,j=1,・J,
(74)
June1989板 垣 有』記 輔:連 続 型 多期 間 資 本 資 産 評 価 模 型 を 得 る.(69)と(74)か ら
πゴcゴcゴ
(ati‐ao)dt=‐Cov(dpi/pi,4Cゴ),i=1,…,s,ブ=1,…,ノ,
%ゴcゴ
そ れ 故 に,
蕩 、(aa‑‑ao}dt=C・v(晦/血,4α)2‑・,…S,9=・,・ ・J,
ノ C(の 全 ΣCゴ(の,
ゴ=1
で,そ の 確 率 微 分dC(t)は,伊 藤 の 補 題 か ら,
dC(の 一d(ゑ α(の)
煮∂艦))燗 噛 鉱 雑 鴇
=・ΣdCゴ(のノ ,
ノ=1
と な り,
瓦[dC(t)]一 瓦[4(浜 α α))]一 ゑ 瓦[4α(の], と な る.し た が っ て,
Iノ
ΣCov(dpi/pi,4Cゴ)=ΣE、{[4ρ 、/か一 瓦(4〃 ρの][4α 一E、(4Cゴ)]}
ゴ=1j=1
=Et{[4酷 一 瓦(dpi/pi)][J(4α 一瓦(4α))]}
(77),(78)か ら
=ELε{[♂1)i/ρ ガーEt(4ρ 五/」ウ2)]〔dC‑Et(dC)コ
=Cov(4〃 ク、,4C).
(75)か ら,
ゑ(uゴcゴ%ゴCゴCゴ)(ai‐ao)dt一 鄭 晦 加,dC>) (79)か ら,
=Cov(の 、/カ、,dC).
こ の 両 辺 をCで 割 れ ば
%ゴcゴ
J
j=1警(ai‐ao)4'‑1CC・v(4〃 瓦4C)
=C・v(4〃 カ・,dC/C),2=1,…,s.
エ7
を 得 る.C(の をす べ て の 投 資 家 ブ∈ノ の 時 点tの 最 適 消 費Cゴ(t)を 集 計 した 総 費 費 とす れ ば, (75)
<76)
(77)
(78)
C79)
Cso>
エ8季 刊 創 価 経 済 論 集
い ま,時 点tの 危 険 資 産 ポ ー トフ ォ リ オ(ψ ・(の,… ,ψs⑦)が 存 在 し て, S
Σ ψ、(t}=1
2=1
趣(の 餐?‑6器 ・
で あ る と 仮 定 す る.こ の と き,(80),(82)か ら,
訓 ゑ 一拳@綱 撫 ゆ(dpi/pi,d・/C),
が 成 立 す るか ら,
%ゴCゴ
J
,i=z磐(急 ψ漁 一α・き幽 一C・v(ゑψ・雲 ≒ 讐)
(82)か ら
=CovdCdCICc'Cl
=Var(dC/C) . ま た,(82)か ら
瓦(d・/c)一瓦(急 ψ髪 り
S
=Σ ψzE、(dpz/ρ ∂
2=1
(2)か ら
S
=Σ ψ 包E、(α 、4'+6ZdzZ)
i=1
s
=Σ ψ、α諺 .
琶三1
(81),(83),(84)か ら,
%ゴCゴ
ゑ 響[瓦(dCC)一 α・dt]‑Va・(dCC) を得るから
,一 轟Va・(dCC)
j=1c=灰 誓) ‐aodt
を 得 る.こ れ を(80)に 代 入 す る と
詑 鶏 一 〕一(鵠 ・dCICJ'Z...S=1,〉
Vol.XIX,No.4
(81) (82)
(83)
(84)
June1989板 垣 有 記輔:連 続 型 多期 間 資 本 資 産 評 価 模 型 す な わ ち,
19
[α、(ちρ、(の)一 伽(姻 の)]一 馬(の{(dt)一 ・Et[dC<t)Cat)]‐ao(ち 函(の)}2=・,…s,
cs5) を 得 る.但 し こ こ に 危 険 資 産aの 総 消 費 ベ ー タ 係 数RiC(の は,
β￠c(の 全
Va・畷?,dC(t)C(t))
Var(dC(t)¥C(t)J,i=1,…,S, C86)
で,危 険 資 産aの 収 益 率 が 経 済 全 体 の消 費 成 長 率 に対 して どの 程 度 敏 感 に 反 応 す るか を示 す 危 険 指 数 で あ る.
(85)か ら次 の 命 題 を 得 る.
命 題6す べ て の 投 資 家 ブ∈ ノ'がs+1種 類 の 収 益 率 に つ い て 同 一 の 予 想 を も つ も の とす る.こ の と き,す べ て の 投 資 家 ブ∈1の 時 点0のs+1種 類 の 資 産 需 要 と 時 点0のS+1種 類 の 資 産 価 格 の 組 合 せ{N・1(0),…,NIS(0),…,N・ ∫(0),…,NSA(0);ρ ・(0),…,ρs(0)}が 一 時 的 市 場 均 衡 で あ れ ば,連 続 型 多 期 間 資 本 資 産 評 価 の 消 費 ベ ー タ 型 模 型(85)が 成 立 す る.
(85)か ら,各 危 険 資 産Zの 安 全 資 産 に 対 す る 瞬 時 的 平 均 超 過 収 益 率‑Xg一 αoは,経 済 全 体 の
髄 安鍵 ・に対す繍 的平均超過成長(dt)画 雅]… に危険資産灘
消 費 ベ ー タ 係 数 β、Cα)を 乗 じた もの と して 表 わ され る.つ ま り,各 危 険 資 産2の 瞬 時 的 平 均 収 益 率 は,そ の 危 険 資 産 の 収 益 率 と経 済 全 体 の 消 費 成 長 率 との 相 関 が 高 け れ ば,そ れ だ け 高 い こ とを 示 して い る.
第7節 消費変動危 険の最 小化
連 続 型 多 期 間模 型 で の 各 投 資 家 の最 適 消 費 ・資 産 選 択 行 動 が 消 費 変 動 の 危 険 を 最 小 化 す る行 動 に 一 致 す る こ とを 示 し,単 一 期 間 の 平 均 ・分 散 接 近 法 に よる一 つ の解 釈 を与}る.
(67)か ら
(dt)‑1Vart[dC」(t)]
SSS
=C』2罪3Σ Σ ω 、ゴω 己η7ゴ2σzz十2Cゴ 躍 」C㌔
3Σzo、 」Wゴ σ、σsρ、Sρs十Cコ2p5σs2」 ウs2.(87)
i=1Z=1i=1
各 資 産2の 時 点tの 瞬 時 的 収 益 率ai(の の,投 資 家 ブ の 時 点'の(37)を 満 た す 資 産Zの 最 適 保 有 比 ωノ*(の を ウ ェ ー トに し た 加 重 平 均 を αゴ*ct)と す れ ば,
s
αゴ*(の=Σ αε(のω 、ゴ*(の
i=0
20季 刊 創 価 経 済 論 集Vo1.XIX,No・4
で,α ゴ*(の を 投 資 家 ブ の 時 点tの 要 求 収 益 率 と 呼 ぶ こ と に す る.こ の と き,消 費 水 準 は 条 件 (71)を 満 た す 最 適 消 費Cゴ*(の の 水 準 で,平 均 収 益 率 が 要 求 収 益 率 αゴ*(の を 下 回 ら な い ポ ー ト フ ォ リオ の う ち,消 費 変 動 の 分 散(87)を 最 小 に す る ポ ー ト フ ォ リ オCw・ ゴ(の,π1ゴ(の,…, ws'(の)を 求 め る.そ こ で,
Minirnize(dt)‑1Vart[4σ(の コ (wog(t),…,ws'(t))
s
ai① ω 、ゴ(わ≧ αゴ*(の,
i=O
subjecttos
2=0
ガcゴ=y3∬ ブ,
な る 条 件 付 最 小 化 問 題 を 解 く とCw・ ゴ(の,…,ω3ゴ(t))(>0)は,
‑/:ll漕::∴ ε;
艶::1∴D
(71)(し た が っ て(72),(73))か ら, SΣ 砿
1:二:撫::零:::二:嘱諺箒拠
を 満 た す.こ こ に λゴ は,制 約 条 件(88)に 対 応 す る 乗 数 で, λ』4((4の 一1Var̀(dC(t))1(勿1'(t) ,…,励 ゴ⑦)/day*(の.
(37)と(89)を 比 較 し て,も し も,
‑27ゴ πル7ゴ α P∫
λゴ=
y㌃ ゴPS (71),(73)か ら
一2(一24ブcj uゴcブcゴ)伽 で あ れ ば,
(w。 ゴ*(の,…,ωsゴ*(の)=(2U・ ゴ(の,…,πsゴ(の).
よ っ て,
(Z=1,…,S‑1),
Cz=s)
(88) (13) C71)
C89)
命 題7連 続 型 多 期 間 模 型 で の各 投 資 家 の 最 適 資 産 選 択 行 動 は,こ の と きの 最 適 消 費 水 準 と 要 求 収 益 率 との も と で,各 自の 消 費 の 変 動 の 危 険 を 最 小 化 す る資 産 選 択 行 動 に 一 致 す る.
June 19891aE: AWIilMAII1W W1 'ii ' ffi 21
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