a ijを2 × 2行列、xiを2 × 1行列、biを2 × 1行列の成分とみれば ( a 11 a 12

行列式

行列式の関係を求めていきます。

大文字のローマ文字は行列、小文字とギリシャ文字はスカラー、太字はベクトルとしています。

 行列式が出てくる理由を見るために、2つの式による連立方程式

a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1

a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2

を持ち出します。これは

a ij

を

2 × 2

行列、x

i

を

2 × 1

行列、b

i

を

2 × 1

行列の成分とみれば

( a 11 a 12

a 21 a 22

) ( x 1

x 2

)

=

( a 11 x 1 + a 12 x 2

a 21 x 1 + a 22 x 2

)

= ( b 1

b 2

)

⇔ ∑ 2

j=1 a ij x j = b i

と書けます。これだとただの表記ですが、x

1 , x ₂

が解を持つかを行列の成分から判別できます。x

1 , x ₂

を普通に求 めると

x 1 = − a 12 b 2 − a 22 b 1

a ₁₁ a ₂₂ − a ₁₂ a ₂₁ , x 2 = a 11 b 2 − a 21 b 1

a ₁₁ a ₂₂ − a ₁₂ a ₂₁

このとき、分母が

0

でなければ解を持ちます。で、分母の形は行列の対角成分同士と非対角成分同士の積による 形になっています。これを行列式

(determinant)

と呼びます。行列式は

det A

や

| A |

と表記され、2

× 2

行列の場 合では

det A = a ₁₁ a ₂₂ − a ₁₂ a ₂₁

となります。行列の形で書けば

det A =

a ₁₁ a ₁₂ a 21 a 22

と表記されます。

 

3

つの連立でも同様にできます。面倒なので結果だけ示せば、3

× 3

行列の行列式は

det A = a ₁₁ a ₂₂ a ₃₃ + a ₁₂ a ₂₃ a ₃₁ + a ₁₃ a ₂₁ a ₃₂ − a ₁₁ a ₂₃ a ₃₂ − a ₁₂ a ₂₁ a ₃₃ − a ₁₃ a ₂₂ a ₃₁

となります。

 この手続きは

n × n

行列に一般化されます。3

× 3

行列での行列式には

6

個の項があり、その符号がプラスなのは

a 11 a 22 a 33 , a 12 a 23 a 31 , a 13 a 21 a 32

マイナスなのは

a ₁₁ a ₂₃ a ₃₂ , a ₁₂ a ₂₁ a ₃₃ , a ₁₃ a ₂₂ a ₃₁

各項での添え字の左側は

a _1i a _2j a _3k

のように

1, 2, 3

の並びになるようにしています。このように並べた時の

i, j, k

の 並びに法則性があります。

(i, j, k)

の並びは、プラスではそれぞれ

(1, 2, 3)、 (2, 3, 1)、 (3, 1, 2) (a ₁₁ a ₂₂ a ₃₃

、

a ₁₂ a ₂₃ a ₃₁

、

a ₁₃ a ₂₁ a ₃₂ )、マイナスではそれぞれ (1, 3, 2)、(2, 1, 3)、(3, 2, 1)

となっています。つまり、プラスでは

(1, 2, 3)

の並 びに対して偶数回の入れ替え

(偶置換)

が行われ、マイナスでは奇数回の入れ替え

(奇置換)

が行われています。こ こで言っている入れ替えは

(1, 2, 3) ⇒ (2, 1, 3) ⇒ (2, 3, 1) (1, 2, 3) ⇒ (1, 3, 2) ⇒ (3, 1, 2)

といったもので、これらは偶置換です。

 というわけで、3

× 3

行列の行列式は、a

1i a 2j a 3k

としたとき、i

= 1, j = 2, k = 3

の偶置換ではプラス、奇置 換ではマイナスとして全て足したものになっています。具体的に行えば、a

11 a ₂₂ a ₃₃

から始めて、2,

3

を交換した

a ₁₁ a ₂₃ a ₃₂

ではマイナス、これから

1, 3

を交換した

a ₁₃ a ₂₁ a ₃₂

ではプラス、さらに

1, 2

を交換した

a ₁₃ a ₂₂ a ₃₁

では マイナス、さらに

2, 3

を交換した

a ₁₂ a ₂₃ a ₃₁

ではプラス、そして

1, 3

を交換した

a ₁₂ a ₂₁ a ₃₃

ではマイナスとなり、

これらを足した

a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 − a 13 a 22 a 31

が行列式となります。1,

2, 3

の並びの組み合わせは

3! = 6

個なので

6

個の項になります。

 この結果をそのまま一般化することで

n × n

行列の行列式は

det A = ∑

perm

( − 1) ^σ a 1k

₁

a 2k

₂

· · · a nk

_n

となります。k

i

は

1

から

n

の整数で、σは

(k ₁ , k ₂ , . . . , k _n )

の並びが

(1, 2, . . . , n)

に対して偶置換なら

0、奇置換な

ら

+1

にし、和の記号はその並びによる全ての項の和を取ることを意味します。n個の数字の並びの組み合わせか ら、n!個の項の和になります。

 もしくはレヴィ・チビタ記号

ϵ _k

₁

_k

₂

_...k

_nによって

det A =

∑ n k

₁

,k

₂

,...,k

_n

=1

ϵ _k

₁

_k

₂

_...k

_n

a _1k

₁

a _2k

₂

· · · a _nk

_n

(1)

とも書かれます。和の記号は

∑ n k

1

=1

∑ n k

1

=2

· · ·

∑ n k

n

=1

を略して書いているだけです。レヴィ・チビタ記号は例えば、ϵ

123

では

ϵ ₁₂₃ = ϵ ₂₃₁ = ϵ ₃₁₂ = +1 ϵ 132 = ϵ 213 = ϵ 321 = − 1

ϵ ₁₁₁ = ϵ ₁₁₂ = ϵ ₁₁₃ = ϵ ₂₁₁ = · · · = 0

となる記号です。つまり、ϵ

12...n = +1

の添え字に対して偶置換なら

+1、奇置換なら − 1、同じ数字の添え字が複

数あるときは

0

になる記号です。なので、(1)は普通に和を取っていけばいいだけです。例えば、3

× 3

行列では

det A =

∑ 3 k

₁

,k

₂

,k

₃

=1

ϵ _k

₁

_k

₂

_k

₃

a _1k

₁

a _2k

₂

a _3k

₃

= ϵ ₁₂₃ a ₁₁ a ₂₂ a ₃₃ + ϵ ₂₃₁ a ₁₂ a ₂₃ a ₃₁ + ϵ ₃₁₂ a ₁₃ a ₂₁ a ₃₂ + ϵ 132 a 11 a 23 a 32 + ϵ 213 a 12 a 21 a 33 + ϵ 321 a 13 a 22 a 31

= a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 − a 13 a 22 a 31

となります。

 列で和を取るようにしましたが、行で和を取っても同じことなので、行列式は

det A = ∑

perm

( − 1) ^σ a _k

₁

₁ a _k

₂

₂ · · · a _k

_n

_n

det A =

∑ n k

1

,k

2

,...,k

n

=1

ϵ k

₁

k

₂

...k

_n

a k

₁

1 a k

₂

2 · · · a k

_n

n

と定義できます。雑に言えば、(

− 1) ^σ a 1k

₁

a 2k

₂

· · · a nk

_nと

( − 1) ^σ a k

₁

1 a k

₂

2 · · · a k

_n

n

の入れ替えによる組み合わせは同 じというだけです。

 

n × n

行列の行列式を

(n − 1) × (n − 1)

行列から求める方法を導出します。n

× n

行列

A

があり、それの

i

行と

j

列を抜いた行列の行列式を

M ^(ij)

とします。M

^(ij)

は小行列式

(minor)、i

行と

j

列を抜いた

(n − 1) × (n − 1)

行 列は小行列

(submatrix)

と言います。小行列を

A

とすれば小行列式は

M ^(ij) = det A

です。例えば、3

× 3

行列で の

M ⁽²³⁾

は

A =



 a 11 a 12 a 13

a 21 a 22 a 23

a 31 a 32 a 33



 ⇒ M ⁽²³⁾ =

a 11 a 12

a 31 a 32

となります。元の行列の

2

行目と

3

列目

(a 21 , a 22 , a 23 , a 13 , a 23 , a 33 )

に注目して、そこの成分を行列

A

から抜き取っ ています。

 

n × n

行列

A

の小行列式

M ^(ij)

を使って

∆ _ij = ( − 1) ^i+j M ^(ij)

としたものを行列

A

の余因子

(cofactor)

と言います。余因子

∆ ij

を成分に持つ行列を余因子行列と言います。

 ただし、余因子行列の定義のされ方が

2

通りあり、∆

ij

をそのまま

i

行

j

列とする場合と、転置して

j

行

i

列に する場合があります。英語だとこの

2

つは区別されていて、∆

ij

をそのまま

i

行

j

列としたものを

cofactor matrix (matrix of cofactor)、∆ ij

を

j

行

i

列としたものを

adjugate matrix (adjoint matrix)

としています。行列

A

の

adjugate matrix

は

AdjA、その成分は (AdjA) ij

のように表記されます

((AdjA) ij = ∆ ji )。

 日本語では

adjugate matrix

を余因子行列と言うことが多いです。おそらく、cofactor matrixはほとんど出て こないので

adjugate matrix

を余因子行列と呼ぶことにしているのだと思います。ここでも

adjugate matrix

を余 因子行列と言っていきます。

 例として

3 × 3

行列

A =



 a 11 a 12 a 13

a 21 a 22 a 23

a 31 a 32 a 33





を使ってみます。このときの小行列式

M ⁽¹¹⁾

は

M ⁽¹¹⁾ =

a 22 a 23

a 32 a 33

= a 22 a 33 − a 23 a 32

なので、余因子

∆ 11

は

∆ ₁₁ = ( − 1) ¹⁺¹ M ⁽¹¹⁾ = M ⁽¹¹⁾ M ⁽¹²⁾

でも同様に

∆ 12 = ( − 1) ¹⁺² M ⁽¹²⁾ = − M ⁽¹²⁾ = −

a 21 a 23

a 31 a 33

同様のことを残った成分でも行い、成分を

˜ a _ij = ∆ _ji

とすることで余因子行列

A(= AdjA) ˜

は

A ˜ =



 ∆ 11 ∆ 21 ∆ 31

∆ 12 ∆ 22 ∆ 32

∆ 13 ∆ 23 ∆ 33



 =



 

 

 



a 22 a 23

a 32 a 33

−

a 12 a 13

a 32 a 33

a 12 a 13

a 22 a 23

−

a 21 a 23

a 31 a 33

a 11 a 13

a 31 a 33

−

a 11 a 13

a 21 a 23

a 21 a 22

a 31 a 32

−

a 11 a 12

a 31 a 32

a 11 a 12

a 21 a 22



 

 

 



( − 1) ^i+j

から当たり前ですが、成分の符号は交互に変わります。

 余因子を使って行列式を求められます。n

× n

行列でも分かりにくくなるだけで同じことをするので、3

× 3

行 列を使います。3

× 3

行列

A

の行列式が、何かしらの係数

C ik

によって

det A =

∑ 3 k=1

a _ik C _ik (2)

という形で書けるとします。iは

1

から

3

のどれでもいいです。i

= 1

を使うことにして

det A =

∑ 3 k=1

a 1k C 1k = a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13

3 × 3

行列の行列式において

a ₁₁

は

det A =

∑ 3 k

₁

,k

₂

,k

₃

=1

ϵ k

₁

k

₂

k

₃

a 1k

₁

a 2k

₂

a 3k

₃

=

∑ 3 k

₂

,k

₃

=1

ϵ _1k

₂

_k

₃

a ₁₁ a _2k

₂

a _3k

₃

+

∑ 3 k

₁

̸ =1,k

₂

,k

₃

=1

ϵ _k

₁

_k

₂

_k

₃

a _1k

₁

a _2k

₂

a _3k

₃

として出てきます。二行目の第一項は

k ₁

は

k ₁ = 1

に固定しているので

k ₂ , k ₃

の和となり、第二項は

k ₁ = 1

でな い残りの項による和になります。これと

(2)

の

a 11

の項を取り出せば

a 11 C 11 =

∑ 3 k

2

,k

3

=1

ϵ 1k

₂

k

₃

a 11 a 2k

₂

a 3k

₃

= a 11 (a 22 a 33 − a 23 a 32 )

C 11 = a 22 a 33 − a 23 a 32

となることが分かり、係数

C ₁₁

は余因子

∆ ₁₁

になっています。

 これは他の成分でも同じ結果になり、n

× n

行列でも同様に成立するので、行列

A

の行列式は

A

の余因子に よって

det A =

∑ n k=1

a _ik ∆ _ik

と書けます。これを余因子展開

(cofactor expansion)

と言います。今は

i = 1

として行いましたが、他の場合でも 同様に示せます。また、行でなく列で展開しても同じことが言えて

det A =

∑ n k=1

a ki ∆ ki

となります。

 行列式と余因子行列から逆行列を求めることもできます。行列

A

の余因子行列を

A ˜

とします。行列

A

とその逆 行列

B

は定義から、単位行列

I

によって

AB = I

左辺は成分で書けば

(AB) ij =

∑ n k=1

a ik b kj

なので、AB

= I

は成分で書くと

∑ n k=1

a _ik b _kj = δ _ij

となります。この

b kj

が分かれば行列

A

の逆行列が求められたことになります。

 ここで行列

A

の余因子

∆ jk

による余因子展開

∑ n k=1

a ik ∆ jk = δ ij det A

を持ち出します。余因子展開は

i = j

のときなので、右辺にクロネッカーデルタを入れて

i = j

のときに

det A

に なるようにしています。変形すれば

1 det A

∑ n k=1

a _ik ∆ _jk = δ _ij

これと

AB = I

の形を比較すると

b _kj = ∆ _jk det A

( (B) _kj = ∆ _jk det A

)

のとき

∑ n k=1

a ik b kj = δ ij

となるのが分かります。よって、余因子

∆ _ij

の転置を成分とする行列は余因子行列

A ˜ (( ˜ A) _ij = ∆ _ji )

なので、行列

A

の逆行列

B = A ^{− 1}

は

A ^{− 1} = A ˜ det A

となります。当然、det

A ̸ = 0

である必要があり、det

A ̸ = 0

は逆行列があるための条件になっています。

 連立方程式の解と行列式の関係についてまとめておきます。連立方程式は、n

× n

行列

A、n

次元ベクトル

x, b

によって

Ax = b (3)

と書けます。なので、逆行列

A ^{− 1}

から

A ^{− 1} Ax = A ^{− 1} b Ix = A ^{− 1} b x = A ^{− 1} b

このため、連立方程式が解を持つためには逆行列

A ^{− 1}

が存在している必要があります。そして、逆行列が存在す るためには

det A ̸ = 0

である必要があり、det

A ̸ = 0

なら

A

の余因子行列

A ˜

から

x = A ˜

det A b (x i = 1 det A

∑ n k=1

˜

a ik b k , a ˜ ik = ∆ ki )

として求まります。一方で、b

= 0 (b

の成分が全て

0)

の場合

x = A ^{− 1} b = 0

このため、b

= 0

では

det A ̸ = 0

のとき

x = 0

が解になり（自明な解,trivial solution）、det

A = 0

のときに

x ̸ = 0

の解を持つことになります。あまり意味のない単純な例として

( α α α α

) ( x ₁ x ₂

)

= 0

という場合では、行列式は

0

になり、x

1 + x 2 = 0

を満たすものが解になります。

 

n × n

行列

A

の固有値

λ

とその固有ベクトル

v

は

Av = λv λv

を左辺に持っていき単位行列をつけて

(A − λI)v = 0

この式の形は連立方程式

(3)

での

b = 0

の場合なので、v

= 0

以外の解があるための条件

det[A − λI] = 0

が出てきます。これを固有方程式

(characteristic equation)、det[A − λI ]

を固有多項式

(characteristic polynomial)

と言います。固有方程式を解けば

λ

を求められます。

 多項式とついているのは、行列式の定義から、n

× n

行列のとき

det[A − λI] = ( − 1) ⁿ λ ⁿ + c n − 1 λ ^{n − 1} + · · · + c 0

という形になるからです。c

i

はスカラーです。もしくは、(λI

− A)v = 0

とすれば

det[λI − A]

になるので、−

1

を 省けて

det[λI − A] = λ ⁿ + c ^′ _{n − 1} λ ^{n − 1} + · · · + c ^′ ₀

とすることもできます。

 行列式の性質は

(i) n × n

行列のスカラー倍

αA

では

det[αA] = α ⁿ det A.

(ii) det A = det A ^t . (iii) det A ^∗ = (det A) ^∗ . (iv) det A ^† = det A ^∗ . (v) det[AB] = det A det B.

(i)

は行列式の各項は

n

個の積で、それら全てが

α

倍されるために

α ⁿ

倍になります。(ii)は行列式の定義そのま まです。実際に、3

× 3

行列では、転置

A ^t

では成分を

b _ij

として

det A ^t =

∑ 3 k

1

,k

2

,k

3

=1

ϵ k

₁

k

₂

k

₃

b 1k

₁

b 2k

₂

b 3k

₃

= b 11 b 22 b 33 + b 12 b 23 b 31 + b 13 b 21 b 32 − b 11 b 23 b 32 − b 12 b 21 b 33 − b 13 b 22 b 31

a _ij = b _ji

なので、

det A

と一致します。

(iii)

は、レヴィ・チビタ記号は実数であることと、複素数の

a ^∗ b ^∗ = (ab) ^∗ , a ^∗ + b ^∗ = (a + b) ^∗

からです。(iv)は

(ii),(iii)

から

det A ^† = (det A ^t ) ^∗ = (det A) ^∗ = det A ^∗

(v)

を示すために別の行列式の性質を出します。1列目に和を含むみ

T =



 

 

a 11 + b 11 a 12 · · · a 1n

a 21 + b 21 a 22 · · · a 2n

.. . .. . .. . .. . a _n1 + b _n1 a _n2 · · · a _nn



 

 

となっている行列の行列式は

det T = ∑

k

₁

,...,k

_n

ϵ _k

₁

_k

₂

_...k

_n

(a _k

₁

₁ + b _k

₁

₁ )a _k

₂

₂ · · · a _k

_n

_n

= ∑

k

₁

,...,k

_n

ϵ _k

₁

_k

₂

_...k

_n

a _k

₁

₁ a _k

₂

₂ · · · a _k

_n

_n + ∑

k

₁

,...,k

_n

ϵ _k

₁

_k

₂

_...k

_n

b _k

₁

₁ a _k

₂

₂ · · · a _k

_n

_n

=

a ₁₁ a ₁₂ · · · a _1n a ₂₁ a ₂₂ · · · a _2n .. . .. . .. . .. . a n1 a n2 · · · a nn

+

b ₁₁ a ₁₂ · · · a _1n b ₂₁ a ₂₂ · · · a _2n .. . .. . .. . .. . b n1 a n2 · · · a nn

と分解できます。i列目に足されていても同様です。これを利用します。また、k

1 , . . . , k _n

の和の範囲は省いてい きます。

 まず、2

× 2

行列とします。このときの

det[AB]

は

det[AB] =

a 11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22

a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22

=

a 11 b 11 a 11 b 12 + a 12 b 22

a 21 b 11 a 21 b 12 + a 22 b 22

+

a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22

a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22

= b 11

a 11 a 11 b 12 + a 12 b 22

a 21 a 21 b 12 + a 22 b 22

+ b 21

a 12 a 11 b 12 + a 12 b 22

a 22 a 21 b 12 + a 22 b 22

= ∑

k

1

b k

₁

1

a _1k

₁

a ₁₁ b ₁₂ + a ₁₂ b ₂₂ a _2k

₁

a ₂₁ b ₁₂ + a ₂₂ b ₂₂

= ∑

k

₁

b k

₁

1

( a 1k

₁

a 11 b 12

a 2k

₁

a 21 b 12

+

a 1k

₁

a 12 b 22

a 2k

₁

a 22 b 22

)

= ∑

k

1

b k

₁

1

( b 12

a 1k

1

a 11

a _2k

₁

a ₂₁ + b 22

a 1k

1

a 12

a _2k

₁

a ₂₂ )

= ∑

k

₁

∑

k

₂

b _k

₁

₁ b _k

₂

₂

a 1k

₁

a 1k

₂

a 2k

₁

a 2k

₂

行列式は

Σϵ _st a _1s a _2t

なので、k

1 = k ₂

なら

0、k 1 = 1, k ₂ = 2

の並びなら

+ det A

です。そして、k

1 = 2, k ₂ = 1

と 並びを

1

回変えると

− det A

です。よって

det A ∑

k

₁

,k

₂

ϵ k

₁

k

₂

b k

₁

1 b k

₂

2 = det A det B

となり、det[AB] = det

A det B

です。

 この手順を

n × n

行列で行えば

a ₁₁ b ₁₁ + a ₁₂ b ₂₁ · · · + a _1n b _n1 · · · a ₁₁ b _1n + a ₁₂ b _2n · · · + a _1n b _nn

.. . .. . .. .

a _n1 b ₁₁ + a _n2 b ₂₁ · · · + a _nn b _n1 · · · a _n1 b _nn + a _n2 b _2n · · · + a _nn b _nn

= ∑

k

₁

b k

₁

1

a 1k

₁

a 11 b 12 + a 12 b 22 · · · + a 1n b n2 · · · a 11 b 1n + a 12 b 2n · · · + a 1n b nn

.. . .. . .. . .. .

a nk

₁

a n1 b 12 + a n2 b 22 · · · + a nn b n2 · · · a n1 b n2 + a n2 b 22 · · · + a nn b nn

= ∑

k

1

b k

₁

1 b k

₂

2

a 1k

₁

a 1k

₂

a 11 b 13 + a 12 b 23 · · · + a 1n b n3 · · · a 11 b 1n + a 12 b 2n · · · + a 1n b nn

.. . .. . .. . .. . .. .

a _nk

₁

a _nk

₂

a _n1 b ₁₃ + a _n2 b ₂₃ · · · + a _nn b _n3 · · · a _n1 b _n2 + a _n2 b ₂₂ · · · + a _nn b _nn

= ∑

k

₁

,...,k

_n

b _k

₁

₁ b _k

₂

₂ · · · b _k

_n

_n

a _1k

₁

a _1k

₂

· · · a _1k

_n

.. . .. . .. . .. . a nk

₁

a nk

₂

· · · a nk

_n

このときも行列式の定義から、複数の

k _i

が同じだと

0

になり、k

i

が

i = 1, 2, . . . , n

と並んでいれば

+ det A、1

回 の並びの入れ替えで

− det A

です。よって、n

× n

行列の積

AB

の行列式は

det[AB] = det A ∑

k

₁

,...,k

_n

ϵ _k

₁

_k

₂

_{··· k}

_n

b _k

₁

₁ b _k

₂

₂ · · · b _k

_n

_n = det A det B

となります。

 固有値の積は行列式、固有値の和はトレースと等しいことを示します。

 まず、固有値の積は行列式になることを示します。固有多項式を

ρ(λ) = det(λI − A)

とします。n

× n

行列

A

の固有値は

ρ(λ) = 0

の解であり、ρ(λ)は

n

次の多項式です。このため、解は一般的に

n

個あって、それを

λ = s ₁ , s ₂ , . . . , s _n

とします。そうすると

ρ(λ) = 0

は

ρ(λ) = (λ − s ₁ )(λ − s ₂ ) · · · (λ − s _n ) = 0

と書けます

((λ − s i ) ^m

の場合もありますが今は関係ないので無視します)。λ

= 0

では

ρ(0) = ( − 1) ⁿ s 1 s 2 · · · s n

となり、det[λI

− A]

で

λ = 0

とすれば

ρ(0) = det[ − A]

なので

( − 1) ⁿ s 1 s 2 · · · s n = ( − 1) ⁿ det A s 1 s 2 · · · s n = det A

よって、Aの行列式は固有値の積と一致するのが分かります。

 固有値の和とトレースが一致することを示すために、det[λI

− A]

をさらに見ていきます。n

× n

行列で行いま すが、4

× 4

行列あたりを使うと分かりやすいです。D

= λI − A

は

D = λI − A =



 

 

λ − a 11 − a 12 · · · − a 1n

− a 21 λ − a nn · · · − a 2n

.. . .. . · · · .. .

− a _n1 − a _n2 · · · λ − a _nn



 

 

D = λI − A

の成分を

d _ij

と書くことにします。これの行列式での

λ ^{n − 1}

の項がどうなるのかを求めます。そのた めに、d

nn = λ − a _nn

を含む項を取り出します。行列

D

とその行列式

det D =

∑ n k

₁

,k

₂

,...,k

_n

=1

ϵ _k

₁

_k

₂

_...k

_n−1

_n d _1k

₁

d _2k

₂

· · · d _nk

_n

を見ると、d

nn

のときに

λ ^{n − 1}

が出てくるのが分かります。これは

n

行と

n

列では

d _nn

のみが

λ

を含んでいるた めです。例えば、k

n = 1

とした

∑ n k

₁

,k

₂

,...,k

_n−1

=1

ϵ _k

₁

_k

₂

_...k

_n−1

₁ d _1k

₁

d _2k

₂

· · · d _{(n − 1)k}

_n−1

d _n1

では、k

1 = 1

のとき

0

なので

d ₁₁

が使えないために

λ

が

1

つ減り、d

n1

にも

λ

はいないので

λ ^{n − 2}

までしか作れな いからです

(d nn

以外を使うと

2

つ

λ

が使えなくなる)。

 

d nn

の項は

∑ n k

₁

,k

₂

,...,k

_n−1

=1

ϵ k

₁

k

₂

...k

_n−1

n d 1k

₁

d 2k

₂

· · · d _{(n − 1)k}

_n−1

d nn

となっていて、k

1 , k ₂ , . . . , k _{n − 1}

が

n

の項は

0

になります。そうすると

d nn

n − 1

∑

k

1

,k

2

,...,k

_n−1

=1

ϵ k

₁

k

₂

...k

_n−1

d 1k

₁

d 2k

₂

· · · d (n − 1)k

_n−1

と書けます。和の部分は、n

× n

行列

D

から

n

行と

n

列を抜いた

(n − 1) × (n − 1)

行列

D _{(n − 1)}

の行列式になっ ていることが分かります。D

(n − 1)

は

A

から

n

行と

n

列をを抜いた

A _{(n − 1)}

と

(n − 1) × (n − 1)

単位行列

I _{(n − 1)}

に よって

D (n − 1) = λI (n − 1) − A (n − 1)

なので、これの行列式を使うことで

det[λI − A] = d _nn det[D _{(n − 1)} ] + · · · = (λ − a _nn ) det[λI _{(n − 1)} − A _{(n − 1)} ] + · · ·

「· · ·」部分は

λ ^{n − 2}

までしか出てこない項です。

 今の話を繰り返すことで

det[λI (n − 1) − A (n − 1) ] = (λ − a (n − 1)(n − 1) ) det[λI (n − 2) − A (n − 2) ]

= (λ − a _{(n − 1)(n − 1)} )(λ − a _{(n − 2)(n − 2)} ) · · · (λ − a 11 )

となります。よって、λ

^{n − 1}

までを書くと

det[λI − A] = (λ − a nn )(λ − a (n − 1)(n − 1) )(λ − a (n − 2)(n − 2) ) · · · (λ − a 11 ) + · · ·

= λ ⁿ − (a 11 + a 22 + · · · + a nn )λ ^{n − 1} + · · ·

そして、Aの固有値

s ₁ , . . . , s _n

から

det[λI − A] = (λ − s ₁ )(λ − s ₂ ) · · · (λ − s _n ) = λ ⁿ − (s ₁ + s ₂ + · · · + s _n )λ ^{n − 1} + · · ·

なので、λ

^{n − 1}

の係数の比較から

s 1 + s 2 + · · · + s n = a 11 + a 22 + · · · + a nn = trA

となり、行列

A

の固有値の和は行列

A

のトレースに等しいことが分かります。例えば、A

² = AA

の固有値は

λ ²

なので

trA ² = s ² ₁ + s ² ₂ + · · · + s ² _n

これは

k

乗の場合で成立します

(trA ^k = s ^k ₁ + s ^k ₂ + · · · + s ^k _n )。

 最後にヤコビアンと関数の逆変換に触れておきます。微分可能な

x _i = f _i (y ₁ , y ₂ , . . . , y _n ) (i = 1, 2, . . . , n)

があ り、行列式

det J (n) =

∂x 1

∂y ₁

∂x 1

∂y ₂ · · · · ∂x 1

∂y _n

∂x 2

∂y 1

∂x 2

∂y 2 · · · · ∂x 2

∂y n

.. . .. . .. . .. . .. .

∂x n − 1

∂y ₁

∂x n − 1

∂y ₂ · · · · ∂x n − 1

∂y _n

∂x n

∂y 1

∂x n

∂y 2 · · · · ∂x n

∂y n

が

0

でなければ、逆変換となる

y i = g i (x 1 , x 2 , . . . , x n )

が一意的に存在します。

J _(n)

はヤコビ行列

(Jacobian matrix)、

det J _(n)

はヤコビアン

(Jacobian)

やヤコビ行列式と呼ばれます。簡単に帰納法による証明を示しておきます。

 

F i (x i , y 1 , y 2 , . . . , y n ) = f i (y 1 , y 2 , . . . , y n ) − x i = 0

とします。n

= 1

のときは偏微分が存在すればいいので成立 します。nの場合

F 1 (x 1 , y 1 , y 2 , . . . , y n ) = 0 F 2 (x 2 , y 1 , y 2 , . . . , y n ) = 0

.. .

F n (x n , y 1 , y 2 , . . . , y n ) = 0

という

n

個の方程式があります。y

n − 1

までは

det J _{(n − 1)} ̸ = 0

なら逆変換が存在すると仮定しています。このため、

y k (k = 1, 2, . . . , n − 1)

は

x 1 , . . . , x n

の関数として書けるので、F

1

から

F n − 1

では

y k

に関して解くことができて、

それらを

y 1 = ϕ 1 (x 1 , . . . , x n , y n ), . . . , y n − 1 = ϕ n − 1 (x 1 , . . . , x n , y n )

とします。そうすると、残っている

F _n

は

F _n (x _n , ϕ ₁ (x, y _n ), . . . , ϕ _{n − 1} (x, y _n ), y _n ) = G(x, y _n ) = 0

x ₁ , . . . , x _n

は略して

x

と書いています

(y

でも同様に書きます)。y

n = ϕ _n (x)

になるには

G(x, y _n )

を

y _n

で微分し たとき

0

でなければいいです

(G(x, y _n )

が

y _n

を含んでいる必要がある)。

 なので、y

n

の微分を見ると多変数での連鎖則から

∂G(x, y n )

∂y _n = ∂F n

∂ϕ ₁

∂ϕ 1

∂y _n + · · · + ∂F n

∂ϕ _{n − 1}

∂ϕ n − 1

∂y _n + ∂F n

∂y _n n = 3

としてみます。n

= 3

では

∂G(x, y 3 )

∂y ₃ = ∂F 3

∂y ₁

∂ϕ 1

∂y ₃ + ∂F 3

∂y ₂

∂ϕ 2

∂y ₃ + ∂F 3

∂y ₃ F 1 , F 2

を

y 3

で偏微分したものは

∂F ₁

∂y 3

= ∂F ₁

∂y 1

∂ϕ ₁

∂y 3

+ ∂F ₁

∂y 2

∂ϕ ₂

∂y 3

+ ∂F ₁

∂y 3

= 0

∂F 2

∂y ₃ = ∂F 2

∂y ₁

∂ϕ 1

y ₃ + ∂F 2

∂y ₂

∂ϕ 2

y ₃ + ∂F 2

∂y ₃ = 0

これは

A ₍₂₎ =



 

∂F 1

∂y ₁

∂F 1

∂y ₂

∂F 2

∂y 1

∂F 2

∂y 2



 

とすれば

a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1

a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2

の連立方程式なので

x 1 = ∂ϕ 1

∂y 3

= 1

det A ₍₂₎ ( ∂F 1

∂y 2

∂F 2

∂y 3 − ∂F 2

∂y 2

∂F 1

∂y 3

)

x 2 = ∂ϕ 2

y 3

= − 1 det A ₍₂₎ ( ∂F 1

∂y 1

∂F 2

∂y 3 − ∂F 2

∂y 1

∂F 1

∂y 3

)

F i = g i (y) − x i = 0

から、A

(2)

での

F i

は全て

x i = g i (y)

に置き換わるので、A

(2)

は

J ₍₂₎

と同じです。これらを 入れて

∂G(x, y 3 )

∂y ₃ = 1 det A ₍₂₎

( ∂F 3

∂y ₁ ( ∂F 1

∂y ₂

∂F 2

∂y ₃ − ∂F 2

∂y ₂

∂F 1

∂y ₃ ) − ∂F 3

∂y ₂ ( ∂F 1

∂y ₁

∂F 2

∂y ₃ − ∂F 2

∂y ₁

∂F 1

∂y ₃ ) + det A ₍₂₎ ∂F 3

∂y ₃ )

= 1

det A ₍₂₎ ( ∂F 1

∂y ₂

∂F 2

∂y ₃

∂F 3

∂y ₁ − ∂F 1

∂y ₃

∂F 2

∂y ₂

∂F 3

∂y ₁ − ∂F 1

∂y ₁

∂F 2

∂y ₃

∂F 3

∂y ₂ + ∂F 1

∂y ₃

∂F 2

∂y ₁

∂F 3

∂y ₂ + det A ₍₂₎ ∂F 3

∂y ₃ )

行列

A ₍₂₎

を

3 × 3

行列に拡張した行列

A ₍₃₎

を

A (3) =



 

 

 

∂F 1

∂y 1

∂F 1

∂y 2

∂F 1

∂y 3

∂F ₂

∂y 1

∂F ₂

∂y 2

∂F ₂

∂y 3

∂F 3

∂y ₁

∂F 3

∂y ₂

∂F 3

∂y ₃



 

 

 

とすれば

∂G(x, y 3 )

∂y ₃ = 1

det A ₍₂₎ (a 12 a 23 a 31 − a 13 a 22 a 31 − a 11 a 23 a 32 + a 13 a 21 a 32 + (a 11 a 22 − a 12 a 21 )a 33 )

= 1

det A ₍₂₎ (a ₁₁ a ₂₂ a ₃₃ + a ₁₂ a ₂₃ a ₃₁ + a ₁₃ a ₂₁ a ₃₂ − a ₁₁ a ₂₃ a ₃₂ − a ₁₃ a ₂₂ a ₃₁ − a ₁₂ a ₂₁ a ₃₃ )

= det A ₍₃₎ det A ₍₂₎

det A ₍₂₎ ̸ = 0

なので、det

A ₍₃₎ ̸ = 0

なら微分は

0

になりません。これは

n

の場合でも同じことが言えます

(一般的

にしたいならクラメルの定理なんかを使えばいい)。

 これから、det

J (n) ̸ = 0 (J (n) = A (n) )

なら

y n = ϕ n (x)

になります。なので、k

= 1, 2, . . . , n − 1

において

y k = ϕ k (x, ϕ n (x)) = f k (x)

となり、nでは

y n = f n (x)

となります。

 よって、n

− 1

のとき

det J _{(n − 1)} ̸ = 0

なら

x _i = g _i (y) (i = 1, . . . , n − 1)

の逆変換

y _i = f _i (x)

が存在するとしたと き、y

n = f _n (x)

となるためには

det J ̸ = 0

が要求されるので帰納法から証明されたことになります。