第 4 章関数と平面図形

(1)

第

4

^章 ^{関数と平面図形}

電気電子工学の現象を式で取り扱ったり，それを図形で表現すると，現象を理解したり応用する際に便利である．その場合の式はいろいろな関数を用いて表す．本章では，関数について述べるとともに，それを図形として表すことにより関数への理解を深める．

4.1

関数の種類

2

つの集合の間の関係を決める規則を関数というが，我々が学ぶ初等関数は次のように，整式関数，分数関数，無理関数などの代数関数と指数関数，対数関数，三角算数などの超越関数に分類できる．

初等関数

—

代数関数

—

整式関数

有理関数

(

^分数関数

)

無理関数

—

^超越関数

—

^指数関数

対数関数

三角関数，逆三角関数

4.2

定義域と値域

y = f(x)

^の変数

x

の取り得る範囲を定義域という．定義域

x

^に対して

y

^の取り得る範囲を値域という．

[

例

1] y = x + 3

x + 2

^{の定義域と値域は，}

y = x + 3

x + 2 = 1 + 1

x + 2

^より，

それぞれ，

−∞ < x < ∞ (x ̸ = − 2)

，

−∞ < y < ∞ (y ̸ = 1)

となる．また，このグラフは図

4.1

のようになる．

(2)

-2 1

x y

図

4.1:

^例

1

^のグラフ

4.3

関数とグラフ

平面上に原点

O

と，

O

で垂直に交わる

x

軸，

y

軸を定めたとき，この平面を座標平面という．座標平面は，座標軸によって

4

つの部分に分けられ，それぞれを図

4.2

のように，反時計回りに第

1

^象限，第

2

^象限，第

3

^象限，第

4

^{象限という．}

図

4.3

は，方程式

y = f (x)

を満たす関数のグラフである．

O x y

第1象限第2象限

第3象限第4象限

図

4.2:

座標平面

x y

O

y=f(x)

t f(t)

図

4.3:

関数のグラフ

(1) 1

次関数

1

次関数

y = ax + b

のグラフは傾きが

a

，

y

切片が

b

の直線であり，

y

軸と座標

(0, b)

^{で交わる．図}

4.4(a)

は，傾きが正のグラフ，図

4.4(b)

^{は傾きが負のグラフで} ある．また，図

4.5

^{にように，点}

(b, 0)

^を通り，

y

軸に平行な直線の方程式は

x = b

となり，図

4.6

のように，点

(0, b)

を通り，

x

軸に平行な直線の方程式は

y = b

となる．

(3)

x y

O

y=ax+b b

a > 0

x y

O y=ax+b

b a < 0

(a)

^{傾きが正のグラフ}

(b)

^{傾きが負ののグラフ} 図

4.4: 1

^{次関数のグラフ}

x y

O

x=b

b

図

4.5: x = b

のグラフ

x y

O b y=b

図

4.6: y = b

^のグラフ

これらの直線の方程式は一般に次の形で表される．

ax + by + c = 0

ただし，

a ̸ = 0

または，

b ̸ = 0

である．

また，点

(x

₁

, y

₁

)

を通り，傾きが

a

である直線の方程式は次式となる．

y − y

₁

= a(x − x

₁

) (4.1)

2

点を通る直線の方程式は次式となる．

x

₁

̸ = x

₂のとき

y − y

₁

= y

2

− y

1

x

₂

− x

₁

(x − x

₁

) (4.2)

x

₁

= x

₂のとき

x = x

₁

(4.3)

2

直線

y = a

₁

x + b

₁，

y = a

₂

x + b

₂の位置関係は次の通りである．

交差：

a

₁

̸ = a

₂ 直交：

a

₁

a

₂

= − 1

平行：

a

1

= a

2，

b

1

̸ = b

2

(4)

x y

O

a = a

1 2

1

2

a

x y

O a a

₁ ₂

1

2

a

= −1

x y

O

a =a

₁ ₂

1 2

a a b =b

₁ ₂

x y

O

a =a

₁ ₂

b =b

₁ ₂

(a)

交差

(b)

直交

(c)

平行

(d)

一致

図

4.7: 2

^{直線の傾きと位置}

[

例

2](1)

原点を通って，直線

y = 3x − 1

に平行な直線は

y = 3x.

(2)

点

(2,1)

を通って，直線

2x + 3y = 2

に垂直な直線は次のように求める．

y = − 2 3 x + 2

3

より，元の直線の傾きは

− 2

3

だから，この直線と垂直な傾きは

3 2

^である．したがって，

y − 1 = 3

2 (x − 2)

より，

y = 3

2 x − 2

となる．

(2) 2

次関数

y = ax

²

+ bx + c (a ̸= 0)

^{のように，}

y

^が

x

^の

2

^{次式で表される関数を}

2

^次関数といい，

2

次関数のグラフを放物線という．放物線は，次のような性質がある．

⃝ 1 a > 0

のとき，下に凸（図

4.8(a))

．

a < 0

^{のとき，上に凸（図}

4.8(b))

^． ^第

13

^{章微分の応用}

(

^その

1)

^参照．

⃝ 2 D = b

²

− 4ac

^{とおくと，}

D > 0

のとき，

x

軸と

2

点で交わる（図

4.9(a))

．

D = 0

のとき，

x

軸と

1

点で交わる（図

4.9(b))

．

D < 0

^のとき，

x

^{軸と交わらない（図}

4.9(c))

^．

⃝ 3 y = ax

²

+ bx + c = a

x + b 2a

₂

− b

²

− 4ac

4a

^より，

頂点は点

− b

2a , − b

²

− 4ac 4a

!

，

y

軸との交点は，点

(0, c)

となる．また，下に凸のグラフは頂点が最小値に，上に凸のグラフは頂点が最大値となる．

y

x 2 1

− 27 3−

−

図

4.10:

^例

3

^のグラフ

(5)

y

Ο x

y

Ο x

(a)

下に凸の放物線

(b)

上に凸の放物線図

4.8:

放物線

y

Ο x

y

Ο x

y

Ο x

(a)D > 0 (b)D = 0 (c)D < 0

図

4.9: D

^{とグラフの関係}

(a > 0

^の場合

)

[

例

3] y = 2x

²

+ 6x + 1

のグラフは次のようになる．

y = 2(x

²

+ 3x) + 1

= 2

x + 3 2

₂

− 2 × 9 4 + 1

= 2

x + 3 2

₂

− 7 2

より，頂点の座標は

− 3 2 , − 7

2

で

,

^下に凸，

y

^軸と座標

(0, 1)

^{で交わる放物線となる}

(

^図

4.10).

[

例

4] y = − 3x

²

+ 12x − 9

の定義域と値域は次のようになる．

y = − 3(x

²

− 4x) − 9

= −3(x − 2)

²

+ 3 × 4 − 9

= − 3(x − 2)

²

+ 3

より，上に凸で

y

の最大値は

+3

．したがって，定義域は

−∞ < x < ∞

^，値域は

−∞ < y < 3

^となる．

(6)

x

²

+ y

²

= 1

(2)

中心が

(2, − 1)

，半径が

3

の円の方程式は

(x − 2)

²

+ (y + 1)

²

= 9

【例題

1

】点

(2,4)

を中心とし，原点を通る円の方程式を求めよ．

【解】図

4.11

より，半径は

√

2

²

+ 4

²

= √

20

．したがって，

(x − 2)

²

+ (y − 4)

²

= 20

【例題

2

】

x

²

+ y

²

− 4x + 10y + 20 = 0

を図示せよ．

【解】

(x − 2)

²

− 4 + (y + 5)

²

− 25 + 20 = 0

^より，

(x − 2)

²

+ (y + 5)

²

= 9.

^したがって，図

4.12

^{に示すような中心}

(2, −5)

^，半径

3

^{の円となる．}

y

O

x 2 4

図

4.11:

^例題

1

^の円

y

O

x 2

-5 3

図

4.12:

例題

2

の円

(4)

楕円（だ円）

原点を中心とし，

x

^軸と

±a

^{で交わり，}

y

^軸と

±b

で交わる楕円の方程式は次のようになる．

x

²

a

²

+ y

²

b

²

= 1 (4.5)

この式の表現は楕円の方程式の基本形であり，右辺はいつも

1

である．

(7)

y

O

x 2

−2

−1 1

図

4.13:

例題

3

の楕円

【例題

3

^{】方程式}

4x

²

+ y

²

= 4

^{を図示せよ．}

【解】右辺を

1

^{にするために両辺を}

4

^で割ると

x

²

+ y

²

4 = 1 x

²

+ y

²

2

²

= 1

となり，図

4.13

に示すような

x

軸と

± 1

，

y

軸と

± 2

で交わる楕円となる．

4.4

^{図形の平行移動}

x

y

q p y = f (x)

y - q = f (x - p)

O

図

4.14:

図形の平行移動

y = f(x)

のグラフを

x

軸の正の向きに

p

，

y

軸の正の向きに

q

だけ平行移動したものは次式で表される

(

^図

4.14).

y − q = f (x − p) (4.6) [

^例

6]

^直線

2x + 3y = 2

^を

x

^軸方向に

+2

^，

y

^軸方向に

+1

だけ平行移動した直線の方程式は，元の式の

x

に

x − 2

を代入し，

y

に

y − 1

を代入す

ればよいから，

2(x − 2) + 3(y − 1) = 2

^より，

2x + 3y = 9

^となる．

[

例

7]

放物線

y = 3x

²

+ x

を

x

軸方向に

+1

，

y

軸方向に

− 3

だけ平行移動した放物線の方程式は，元の式の

x

に

x − 1

を代入し，

y

に

y + 3

を代入すればよいから

(8)

y

O

x 2

−4 1 2

−2

−1

図

4.15:

例

8

の楕円

y − 2

【例題

4

】方程式

4x

²

+ 9y

²

− 8x − 36y + 4 = 0

を図示せよ．

【解】与式は次のように楕円の方程式に変形できる．

y

O

x 2

3 4

−3 −2 4

図

4.16:

例題

4

の図形

(

楕円）

4(x

²

− 2x) + 9(y

²

− 4y) + 4 = 0

{ 4(x − 1)

²

− 4 } + { 9(y − 2)

²

− 36 } + 4 = 0 4(x − 1)

²

+ 9(y − 2)

²

= 36

(x − 1)

²

9 + (y − 2)

²

4 = 1

(x − 1)

²

3

²

+ (y − 2)

²

2

²

= 1

したがって，

x

軸と

± 3

で交わり，

y

軸と

± 2

で交わる楕円を

x

軸方向に

+1

，

y

軸方向に

+2

平行移動した楕円となる（図

4.16

^参照

)

^．

PC(EXCEL)

を使った演習

EXCEL

を使って次の関数のグラフを描け．

1. y = − 3x

²

+ 12x − 9

^，

z = 3x

²

− 12x − 4

( − 1 ≤ x ≤ 5

^，

0.5

^刻み

) 2

^．

x

²

+ y

²

= 4

(−2 ≤ x ≤ 2

^，

−2 ≤ y ≤ 2

^，

0.1

^刻み

)

解答はホームページ

***

を参照

演習問題