２０１７年度前期・微分積分学I・数列の極限・演習問題 1
Exercise 1.1. 以下の数列の極限を求めよ. （18以後の級数は収束・発散を判定するのみでよ
い）ここで, s, a, b, c >0 とする. ただし,一部の問題で「関数の極限」と「関数の連続性」を 用いる問題がある.
1. lim
n→∞
1 2n+ (−1)nn 2. lim
n→∞
( 1− 1
n )n
3. lim
n→∞
(√
n+ 1−√ n
) 4. lim
n→∞
√n (√
n+ 1−√ n
)
5. lim
n→∞
an ns 6. lim
n→∞n−slogn 7. lim
n→∞
ns n!
8. lim
n→∞
nn n!
9. lim
n→∞
an2 nn 10. lim
n→∞
( 1− 1
n )−n
11. lim
n→∞(n2+n)1/n 12. lim
n→∞(an+bn+cn)1/n 13. an+1 = an
2 + 1
an, a1 = 2.
14. an+1 = an
2 + a2n a2n+ 1, a1 ∈R.
15. an+1 =a1+ 1
an, a1 >0, 16. an+1 = 1
2(a2n−2an+ 3), a1 >0
17. lim
n→∞
1 n3
∑n
k=1
k(k+ 1)
18. ∑ n
n3 + 1
19. ∑ 1
√n(n+ 1)
20. ∑an
n!, a >0 21. ∑ (
1− 1 n
)n2
22. ∑ 1
(2n−1)(2n+ 1) 23. ∑
n≥2
logn ns
24. ∑ nslog
( 1 + 1
n2 )
25. ∑sinn n2 26. ∑ (−1)n
nlogn 27. ∑ns
2n 28. ∑(n+ 1)n
2nnn Exercise 1.2.
1. lim
n→∞(an+1−an) =α ならば, lim
n→∞
an
n =α であることを示せ. 2. an>0をみたす数列が, lim
n→∞
an+1
an =α ならば, lim
n→∞(an)1/n =α であることを示せ.
Exercise 1.3. 数列 {an}n=1, {bn}n=1, a1 > b1 >0 をan+1 = an+bn
2 , bn+1 =√
anbn によって 定義する. この時, lim
n→∞an= lim
n→∞bn が成り立つことを示せ. Exercise 1.4. 数列 {an}n=1, {bn}n=1 が∑
a2n < ∞, ∑
b2n < ∞ をみたすと仮定する. この とき, ∑
|anbn|<∞であることを示し,
∑|anbn| ≤(∑
a2n
)1/2(∑
b2n )1/2
が成り立つことを示せ.
[email protected] May, 2017, Version: 1.0
2 ２０１７年度前期・微分積分学I・数列の極限・演習問題
Exercise 1.5. (★) 以下を示せ. 1. 任意の n∈N に対して 1
n+ 1 <log(n+ 1)−logn < 1
n が成り立つ. 2. 数列 {an}n=1 をan =
( n
∑
k=1
1 k
)
−logn と定義する. このとき, {an}n=1 は有界単調数列 であることを示せ.
Exercise 1.6. (★) 以下の極限を求めよ 1. lim
n→∞
(
mlim→∞(cos(n!πx))2m ) 2. lim
n→∞
(
mlim→∞(1 +⌊n!x⌋ −n!x)m )
Exercise 1.7. (★) アルキメデスの原理「任意の実数a, b に対して, ある自然数 N が存在し て,b < aN が成り立つ」を用いて, 数列an = 2n
n+ 1 の極限を ε−N 論法を用いて示せ.
Exercise 1.8. (★★)数列 {an} に対して, bn = 1 n
∑n
k=1
an とおく. このとき,次の命題が正しけ れば証明し,誤りならば反例をあげよ.
1. {an} が上に有界でなければ, {bn} も上に有界でない. 2. {an} が an >0 をみたせば 1 が成り立つ.
3. {an} が単調増加ならば 1が成り立つ. Exercise 1.9. (★★) 数列{an}n=0 を,
an+1 =an+an−1, a0 =α, a1 =β で定義する.
1. an の一般項を求めよ.
2. {an} が有界となるためのα,β に関する条件を求めよ. （そのような α, β が存在しない かもしれないことに注意せよ. 以下, 同様）
次に, 数列{bn}n=0 を,
bn+1 =Abn+Bbn−1, b0 =α, b1 =β で定義する.
3. 任意の α, β に対して,{bn} が有界となるための A, B に関する条件を求めよ.
4. 任意の α, β (α2 +β2 ̸= 0) に対して, {bn} が有界とはならないための A, B に関する条 件を求めよ.
May, 2017, Version: 1.0 [email protected]
