2. Δ ⇒ Y 変換 3.Y- Δ 変換とブリッジ回路

3. Y-Δ 変換とブリッジ回路

3. Y-Δ Transform and Bridge Circuit

講義内容 1. Y ⇒ Δ 変換 2. Δ ⇒ Y 変換

3. ブリッジ回路への応用

Y-Δ 変換

1

2 3

R₁

R₂ R₃

1’

2’

3’

R₁₂

R₂₃ R₃₁

Y 結線 Δ 結線

等価 に 変形

1 – 2 ⇔ 1’ – 2’ ， 2 – 3 ⇔ 2’ – 3’ ， 3 – 1 ⇔ 3’ – 1’

各 端子 間の 抵抗値 が 等価 になるように変形を行う

Δ ⇒ Y 変換における対応関係の導出（ Y 結線）

1 - 2 端子に電源 E[V] を接続し， 3 端子は 非 接続 (NC)

E [V]

R₁

R₂ R₃

3：NC

E [V]

R₁

R₂ I [A]

I [A]

E [V]

I [A]

R [Ω]

1

2

1 2

R = R + R R3  

Δ ⇒ Y 変換における対応関係の導出（ Δ 結線）

1’ – 2’ 端子に電源 E[V] を接続し， 3’ 端子は 非 接続 (NC)

E [V]

R₃₁

R₂₃ I [A] 1’

2’

R₁₂

3’ E

[V]

I [A]

E [V]

I [A]

R R₁₂ [Ω]

R_1-2

1-2 31 23

R = R + R ₁₂

(

)

12 23 31

R R R R R R R

= +

+ +

Δ ⇒ Y 変換における各種基本方程式を導出

1- 2 ( 1’ - 2’ ) 端子に電源 E[V] を接続し， 3 ( 3’ ) 端子は 非 接続 (NC) 他の抵抗も

同様に計算

2 - 3 ( 2’ - 3’ ) 端子に電源 E[V] を接続し， 1 ( 1’ ) 端子は 非 接続 (NC)

3 - 1 ( 3’ - 1’ ) 端子に電源 E[V] を接続し， 2 ( 2’ ) 端子は 非 接続 (NC)

式➀

式➁

式➂

( )

23 31 12

2 3

12 23 31

R R R R R

R R R + = +

+ +

( )

31 12 23

3 1

12 23 31

R R R R R

R R R + = +

+ +

( )

12 23 31

1 2

12 23 31

R R R R R

R R R + = +

+ +

Δ ⇒ Y 変換

（➀＋➂－➁）÷ 2

( ) ( ) ( ) 2

2 2

R R R R R R R

+ + + − + = = R

他のも同様に展開

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

12 23 31 31 12 23 23 31 12

1

12 23 31

12 23 12 31 31 12 31 23 23 31 23 12

12 23 31

12 31

12 23 31

12 31

12 23 31

2 2 2

2

R R R R R R R R R

R R R R

R R R R R R R R R R R R R R R

R R

R R R R R

R R R

+ + + − +

= + +

+ + + − −

= + +

= + +

= + +

12 31 1

12 23 31

23 12 2

12 23 31

31 23 3

12 23 31

R R R

R R R R R R

R R R R R R

R R R

= + +

= + +

= + +

Y ⇒ Δ 変換における対応関係の導出（ Y 結線）

3 - 1 端子に電源 E[V] を接続し， 2 - 3 端子は 短絡

式➀➁➂から変形すると非常にややこしいので，関係性が 逆 になるように 変形

E [V]

R₁ I [A] 1

2 3

R₂ R₃

E [V]

G₁ I [A]

G₂ G₃

1 2 3

1

1 1

G

G G G

=

+ +

R ⇒ G

合成 コンダクタンス

( )

1 2 3

1 2 3

G G G G G G G

= +

+ +

Y ⇒ Δ 変換における対応関係の導出（ Δ 結線）

3’ – 1’ 端子に電源 E[V] を接続し， 2’ – 3’ 端子は 短絡

式➀➁➂から変形すると非常にややこしいので，関係性が 逆 になるように 変形

E [V]

I [A]

3 R₃₁

1

2 R₁₂

R₂₃

R ⇒ G 短絡経路

E [V]

I [A]

G₁₂

G₃₁ ^{G = G}₁₂ ^+G₃₁

Y ⇒ Δ 変換における各種基本方程式を導出

3 - 1 ( 3’ - 1’ ) 端子に電源 E[V] を接続し， 2 - 3 ( 2’ - 3’ ) 端子は 短絡 他の抵抗も

同様に計算

1 - 2 ( 1’ - 2’ ) 端子に電源 E[V] を接続し， 3 - 1 ( 3’ - 1’ ) 端子は 短絡

2 - 3 ( 2’ - 3’ ) 端子に電源 E[V] を接続し， 1 - 2 ( 1’ - 2’ ) 端子は 短絡

式➀’

式➁’

式➂’

( )

1 2 3

12 31

1 2 3

G G G G G

G G G + = +

+ +

( )

2 1 3

12 23

1 2 3

G G G G G

G G G + = +

+ +

( )

3 1 2

23 31

1 2 3

G G G G G

G G G + = +

+ +

Y ⇒ Δ 変換

（➀ ’ ＋➂ ’ －➁ ’ ）÷ 2

( ) ( ) ( ) 2

2 2

G G G G G G G

+ + + − + = = G

他のも同様に展開

1 2 12

1 2 3

2 3 23

1 2 3

3 1 31

1 2 3

G G G

G G G G G G

G G G G G G

G G G

= + +

= + +

= + +

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

1 2 3 2 1 3 3 1 2

12

1 2 3

1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2

1 2 3

1 2

1 2 3

1 2

1 2 3

2 2 2

2

G G G G G G G G G

G G G G

G G G G G G G G G G G G G G G

G G

G G G G G

G G G

+ + + − +

= + +

+ + + − −

= + +

= + +

= + +

Y ⇒ Δ 変換

1 2 12

1 2 3 12

2 3 23

1 2 3 23

3 1 31

1 2 3 31

1 1 1 G G G

G G G R G G G

G G G R G G G

G G G R

= =

+ +

= =

+ +

= =

+ +

1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1

12

1 2 3

1 2

1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1

23

2 3 1

2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1

31

3 1 2

3 1

1 1 1

1

1 1 1

1

1 1 1

1

G G G R R R R R R R R R

R G G R

R R

G G G R R R R R R R R R

R G G R

R R

G G G R R R R R R R R R

R G G R

R R + +

+ + + +

= = =

+ +

+ + + +

= = =

+ +

+ + + +

= = =

Y-Δ 変換のまとめ

1

2 3

R₁

R₂ R₃

1’

2’

3’

R₁₂

R₂₃ R₃₁

1

2 3

R₁ R₂ R₃

1’

2’

3’

R₁₂ R₂₃

R₃₁

Y ⇒ Δ 変換

3 端子

開放 2 - 3 端子間

短絡

Δ ⇒ Y

変換

ブリッジ回路

R₀ E

R₄ R₃

R₅ R₁

R₂ a

d c

b

I₀

I₂

I₃

I₁

I₄ I₅

図のような回路を ブリッジ 回路という

この回路に流れる各電流を求める場合に，

Δ ⇒ Y 変換を用いる

a

c

d R₁

R₅

R₂ a'

c'

d' R_an R_nc

R_nd n

Δ ⇒ Y 変換によるブリッジ回路の変形

a

c

d R₁

R₅

R₂

a'

c'

d' R_an R_nc

R_nd n

1 2 an

1 2 5

5 1 nc

1 2 5

2 5 nd

1 2 5

R R R

R R R R R R

R R R R R R

R R R

= + +

= + +

= + +

a

n

c

d

d

R₄ R₃

R_nd R_nc

R_an

R₀

E I₀

I₄ I₃

ブリッジ回路の各電圧，電流

a

n

c

d

d

R₄ R₃

R_nd R_nc

R_an

R₀

E I₀

I₄ I₃

回路の主電流 I

：

( ) ( )

( ) ( )

0

nc 3 nd 4

0 an

nc 3 nd 4

I E

R R R R

R R

R R R R

= +  +

+ +

+ + +

n-d 間の電圧降下 V

： V

= − E ( R

+ R

) I

分流比より

I

， I

は ( ) ( )

( ) ( )

nd 4

3 0

nc 3 nd 4

nc 3

4 0

nc 3 nd 4

R R

I I

R R R R

R R

I I

R R R R

= +

+ + +

= +

+ + +

ブリッジ回路の各電圧，電流

R₀ E

R₄ R₃

R₅ R₁

R₂ a

d c

b I₂

I₃

I₁

I₄ I₅

I₀

a-c 間の電圧降下 V

： V

= R I

+ R I

= R I

a-d 間の電圧降下 V

： _V

_{= R I}

_{+ R I}

_{= R I}

c-d 間の電圧降下 V

： V

= R I

− R I

= R I

上式より

I

， I

I

は

ac an 0 nc 3

1

1 1

ad an 0 nd 4

2

2 2

cd 3 3 4 4

5

5 5

V R I R I

I R R

V R I R I

I R R

V R I R I

I R R

= = +

= = +

= = −