1
高次方程式の解き方 ①
高次方程式
の整式 が 次式のとき，方程式 を の 次方程式 という。
また， 次以上の方程式を 高次方程式 という。
高次方程式は ( ) or ( ) を活用して解く。
x P(x) n P(x) = 0
x n 3
x − 1 = 0
左辺を因数分解すると
を解きなさい。
x
3− 1 = 0
よって
(x − 1)(x2 + x + 1) = 0
または
x2 + x + 1 = 0したがって
x = 1, −1 ± 3i 2← a3−b3 = (a− b)(a2+ ab + b2)
例は となる数 を求めている。
ある数を 乗して になるとき，その数を の x3 = 1 x 乗根 という。
3 a a 3
x2 + 2 = 0
左辺を因数分解すると
よって
(x2+ 2)(x2− 9) = 0
または
x2 − 9 = 0したがって
x = ± 2i, ±3← x2 = X より
X2−7X −18 = 0
(X + 2)(X −9) = 0
(x2 + 2)(x2 −9) = 0
の 乗根
1 3
名前 ( ）
因数分解 組立除法
例
例題
を解きなさい。
x
4− 7x
2− 18 = 0
解
2
練習問題１ 練習問題２
解 解
を解きなさい。
x
3− 8 = 0 x
4− 256 = 0 を解きなさい。
x − 2 = 0
左辺を因数分解すると
よって
(x − 2)(x2+ 2x + 4) = 0
または
x2 + 2x + 4 = 0したがって
x = 2, −1 ± 3ix2+ 16 = 0
左辺を因数分解すると
よって
(x2 + 16)(x2− 16) = 0
または
x2 − 16 = 0したがって
x = ± 4i, ±4← x2 = X より
X2− 256 = 0
(X + 16)(X −16) = 0
(x2+ 16)(x2 −16) = 0
の 乗根
8 3
名前 ( ）
高次方程式の解き方 ①
← a3−b3 = (a− b)(a2+ ab + b2)
とすると
P(x) = x
3− 4x
2− 2 x + 5
3
高次方程式の解き方 ②
解
P(1) = 13 − 4 ⋅ 12 − 2 ⋅1 + 5 = 0
よって， P(x) は x − 1 を因数にもち，組立除法より
P(x) = (x − 1)(x2 − 3x − 5)
P(x) = 0 から
x − 1 = 0
または
x2 − 3x − 5 = 0したがって
x = 1, 3 ± 29 21 −4 −2 5
0
1
1 −13 −−53 −5
P(−1) = (−1)3+ 5 ⋅ (−1)2+ 8 ⋅ (−1) + 4 = 0
とすると
P(x) = x
3+ 5x
2+ 8x + 4
よって， P(x) は x + 1 を因数にもち，組立除法より
P(x) = (x + 1)(x2 + 4x + 4)
P(x) = 0 から
x + 1 = 0
または
(x + 2)2 = 0したがって
x = − 1, −2= (x + 1)(x + 2)2
例題 の方程式 の解 を，この方程式の 重解 という。
2 (x + 1)(x + 2)
2= 0
x = − 2 2
2
重解
名前 ( ）
を解きなさい。
x
3− 4x
2− 2x + 5 = 0
例
高次方程式は
( ) or ( ) を活用して解く。
因数分解 組立除法
1 5 8 4
0
−1
1 −41 −44 −4
例題
を解きなさい。
x
3+ 5x
2+ 8x + 4 = 0
4
練習問題１ 練習問題２
を解きなさい。
x
3− 10x
2+ 18x + 9 = 0
解
P(3) = 33− 10 ⋅ 32 + 18 ⋅ 3 + 9 = 0
とすると
P(x) = x
3− 10x
2+ 18x + 9
よって， P(x) は x − 3 を因数にもち，組立除法より
P(x) = (x − 3)(x2 − 7x − 3)
P(x) = 0 から
x − 3 = 0
または
x2 − 7x − 3 = 0したがって
x = 3, 7 ± 61 2を解きなさい。
x
4− 5x
3+ 6x
2+ 4x − 8 = 0
P(−1) = (−1)4− 5⋅ (−1)3+ 6 ⋅ (−1)2 + 4 ⋅ (−1) − 8
= 0
とすると
P(x) = x
4− 5x
3+ 6x
2+ 4x − 8
解
よって， P(x) は x + 1 を因数にもち，組立除法より
P(x) = (x + 1)(x3− 6x2 + 12x − 8)
P(x) = 0 から
x + 1 = 0
または
(x − 2)3 = 0したがって
x = − 1, 2= (x + 1)(x − 2)3
重解
3
←
a3− 3a2b + 3ab2− b3
= (a− b)3
名前 ( ）
高次方程式の解き方 ②
1 −10 18 9
0
3
1 −37 −−213 −9 1 −5 6 4
0
−1
1 −−16 126 −88
−12
−8
5
高次方程式と虚数解
例題２
次方程式 が， を解にもつとき，
定数 ， の値を求めなさい。
また，他の解を求めなさい。ただし， ， は実数とする。
3 x3 −6x2+ ax +b = 0 2 +i a b
a b
解
例題１
がこの方程式の解であるから
2 + i
(2 +i)3− 6(2 +i)2+ a(2 +i) +b = 0 (2a +b −16) + (a − 13)i = 0
， は実数であるから
2a+ b − 16 a− 13
2a + b −16 = 0, a −13 = 0
これを解いて
a = 13, b = − 10方程式は
x3− 6x2+ 13x − 10 = 0 (x −2)(x2− 4x + 5) = 0x = 2, 2 ±i
したがって
2, 2 − i a = 13, b = 10
他の解は
A.
実部と
←虚部に 分ける!!
とおく
↓
因数定理より
↓ 組立除法
P(x) P(2) = 0
次方程式 が， を解にもつとき，
定数 ， の値を求めなさい。
また，他の解を求めなさい。ただし， ， は実数とする。
3 x3 +ax2 +b = 0 1−i a b
a b
解
−1, 1 + i a = − 1, b = 2
他の解は
A.
名前 ( ）
がこの方程式の解であるから
1− i
(1 −i)3+ a(1− i)2+ b = 0 (b − 2) + (−2a −2)i = 0
， は実数であるから
b − 2 −2a− 2
b − 2 = 0, − 2a − 2 = 0
これを解いて
a = − 1, b = 2方程式は
x3− x2+ 2 = 0 (x + 1)(x2− 2x + 2) = 0x = −1, 1 ±i
したがって
実部と
←虚部に 分ける!!
とおく
↓
因数定理より
↓ 組立除法
P(x)
P(−1) = 0
6
練習問題１ 練習問題２
解
−3, 2 + i a = − 7, b = 15
他の解は
A.
解
±1, 1 + i a = − 2, b = 1
他の解は
A.
名前 ( ）
高次方程式と虚数解
次方程式 が， を解
にもつとき，定数 ， の値を求めなさい。また，他の解を 求めなさい。ただし， ， は実数とする。
4 x4 +ax3 +bx2 + 2bx +a = 0 1−i a b
a b
がこの方程式の解であるから
1− i
(1 −i)4+ a(1 − i)3+ b(1− i)2+ 2b(1− i) +a = 0 (−a+ 2b − 4) + (−2a −4b)i = 0
， は実数であるから
−a+ 2b − 4 −2a− 4b
これを解いて
a = − 2, b = 1方程式は
x4− 2x3+ x2+ 2x − 2 = 0 x = −1, 1 ±iしたがって
←実部と虚部 に分ける!!
−a + 2b −4 = 0, −2a −4b = 0
(x − 1)(x3− x2+ 2) = 0 (x − 1)(x + 1)(x2−2x2+ 2) = 0
とおき，
P(x)
P(1) = 0
とおき，
P(x)
P(−1) = 0
次方程式 が， を解にもつとき，
定数 ， の値を求めなさい。
また，他の解を求めなさい。ただし， ， は実数とする。
3 x3 −x2 +ax +b = 0 2−i a b
a b
がこの方程式の解であるから
2− i
(2− i)3− (2− i)2+ a(2− i) +b = 0 (2a +b −1) + (−a −7)i = 0
， は実数であるから
2a+ b − 1 −a− 7
2a + b −1 = 0, −a −7 = 0
これを解いて
a = − 7, b = 15方程式は
x3− x2− 7x + 15 = 0 (x + 3)(x2−4x + 5) = 0x = − 3, 2 ±i
したがって
とおく
↓
因数定理より
↓ 組立除法
P(x)
P(−3) = 0
