最大値・最小値の求め方

(1)

名前 ( ）

１

最大値・最小値の求め方

２次関数の最大・最小

例題

解 y = ax²+bx +c ⇒ y = a(x −p)² +q

（Step１）

次の２次関数に最大値，最小値があれば，求めなさい。

( )をする平方完成

（Step２） ( )の正負を確認して，

グラフから最大・最小を求める。

a

y = a(x − p)²+q ^{の最大・最小】}

【

( )のとき，a > 0

x y

(p, q)

最大値（）最小値（）

q

なし

( )のとき，a < 0

x y (p, q)

最大値（）最小値（）

q

なし

(1) y = 2x²+ 4x −1 ⁽²⁾ y = −3x²+ 9x

y = 2x²+ 4x −1

(1)

= 2(x + 1)²− 3 2 > 0

−1

−1 頂点 (−1, − 3)

−3

x y

よって，

最大値最小値

なし

−3 (x = − 1)

y = − 3x²+ 9x

(2)

= −3(x − 3 2)

2+ 274

−3 < 0 頂点 (3

2, 27 4 )

よって，

最大値

最小値なし 27

4 (x = 32) 27

4

3 2

x y

O O

(2)

練習問題１練習問題２

１２次関数の最大・最小

名前 ( ）

解

(1) y = −2x²+ 6x + 1 ⁽²⁾ y = x²+ x −2

y = −2x²+ 6x + 1

(1)

= −2(x − 3 2)

2 + 11 2

−2 < 0 頂点 (3

2, 11 2 )

よって，

最大値

y = x²+x − 2

(2)

= (x + 12)

2− 5 1 > 0 2

頂点 (− 1

2, − 5 2)

よって，

最大値最小値

なし

−5 x = − 1 11

2

3 2

x y

11

2 (x = 3 2)

x

−1 y 2

−5 2

解

(1) y = 3x²− 6x − 1 ⁽²⁾ y = − x²−2x + 1

y = 3x²−6x − 1

(1)

= 3(x − 1)²− 4 3 > 0

頂点 (1, − 4)

よって，

最大値最小値

なし

y = −x²−2x + 1

(2)

= −(x + 1)²+ 2

−1 < 0 頂点

よって，

最大値

最小値なし

2 (x = −1)

−4 (x = 1) x y 1

−4

(−1, 2)

2

−1 x

y

(3)

名前 ( ）

２

定義域があるときの最大値・最小値

２次関数の定義域と最大・最小

例題

解

関数の定義域として，次の範囲をとるとき，各場合について，最大値と最小値を求めなさい。

(1) −2 ≦ x ≦ 1 ⁽²⁾

y = ax²+bx +c ⇒ y = a(x −p)² +q

（Step１） ( )をする平方完成

（Step２）グラフをかく

（Step３）（）と（）の端を確認する

頂点定義域

y = a(x− p)²+ q ^{の最大・最小】}

【

x y

O

y = −x²+ 4x + 5

1 ≦ x ≦ 4

を変形すると，

のとき，最大値 y = − x²+ 4x + 5 y = −(x− 2)²+ 9

y = − (x − 2)²+ 9

(1)

(2)

x y

O 1 8

−7

−2

(2, 9)

x = 1 8

●●

●

のとき，最小値

x = − 2 −7

x y

O 1 58

4 (2, 9)

のとき，最大値

x = 2 9

x = 4 5

(1) より，

●

●●

(4)

x y

O 2 13

−17

−1

(3, 15)

２２次関数の定義域と最大・最小

名前 ( ）

解

(1) −1 ≦ x ≦ 2 ⁽²⁾

y = −2x²+ 12x −3

0 ≦ x ≦ 4

のとき，最大値 y = − 2x²+ 12x − 3 y = −2(x −3)²+ 15

(1)

(2)

x = 2 13

x = − 1 −17

x = 3 15

x = 0 −3

(1) より，

y = −2(x −3)²+ 15 解

(1) −6 < x ≦ −1 ⁽²⁾ y = x²+ 8x + 5

−3 ≦ x ≦ 0

のとき，最大値 y = x²+ 8x + 5

y = (x + 4)²− 11

(1)

(2)

x y

−1 O

−2

−7

−6

(−4, −11)

x = −1 −2

x = − 4 −11

−3 5

x = 0 5

x = −3 −10

(1) より，

●

x y

O

●

−10

y = (x + 4)²−11

●

x y

O 4 13

−3

(3, 15)

●

O

(5)

関数

名前 ( ）

３

例題

解

２次関数の定義域と最大・最小（関数に変数を含む）

定義域があるときの最大値・最小値

y = ax²+bx +c ⇒ y = a(x −p)² +q

（Step２）グラフをかく

（Step３）（）と（）の端を確認する

頂点定義域

y = a(x− p)²+ q ^{の最大・最小】}

【

y = 2x²+ 4x +c ( −2 ≦ x ≦ 1 ) ^の最大値7^であるとき，定数 c^{の値を定めなさい。}

y = 2(x²+ 2x) +c y = 2x²+ 4x +c

y = 2⋅ 1²+ 4⋅1 +c

= 6 +c

6 +c = 7 c = 1

より，

−2 ≦ x ≦ 1 ^なので，

のとき，最大値をとるので，

x = 1

軸

6 +c

−2 1 ここで，最大値が 7^なので，

x y

O

●

y = 2(x + 1)²+c − 2

x = −1

(6)

３２次関数の定義域と最大・最小（関数に変数を含む）

名前 ( ）

関数

解

y = − x²+ 2x +c ( 0 ≦ x ≦ 3 )^の最小値− 5^であるとき，定数 c^{の値を定めなさい。}

y = −(x²−2x) +c y = −x²+ 2x +c

y = −3²+ 2⋅3 +c

= −3 +c

−3 +c = − 5 c = −2

より，

0 ≦ x ≦ 3 ^なので，

のとき，最小値をとるので，

x = 3

軸

−3 +c

(1, 1 +c)

1 3

ここで，最小値が − 5^なので，

関数

解

y = 4x²+ 8x + c ( −3 ≦ x ≦ 0 ) ^の最大値4^であるとき，定数 c^{の値を定めなさい。}

y = 4(x²+ 2x) +c y = 4x²+ 8x + c

y = 2⋅0²+ 4⋅0 +c

= c

c = 4

−3 ≦ x ≦ 0 ^なので，

x = 0

軸

c

(−2, − 4 +c)

−2 0

ここで，最大値が 4^なので，

−3

y = 4(x + 1)²+c − 4 y = −(x− 1)²+c + 1

0

(7)

名前 ( ）

４

軸が動くとき

２次関数の定義域と最大・最小（軸が動く）

例題

解

a は定数とする。関数

y = ax²+bx +c ⇒ y = a(x −p)² +q

（Step２）（）を確認する

（Step３）（）を固定し，軸の位置を変えながら，それぞれの場合についてグラフをかく。

軸

定義域

x

軸

x

軸

x

軸 y = a(x − p)²+ q ^{の軸の位置変化】}

【

の最小値を求めなさい。

y = x²−2ax + 1 ( 0 ≦ x ≦ 2 )

[1^]

y = (x− a)²−a²+ 1

のとき，グラフは下の図［1^{］の実線部分} よって，で最小値 1 ^をとる。

y = x²−2ax + 1

a < 0

x = 0

[2^] のとき，グラフは下の図［2^{］の実線部分} よって，で最小値をとる。

0 ≦ a ≦ 2

x = a −a²+ 1

2 < a

x = 2 −4a + 5

x x = a y

O 2 _O ₂ x

x = a y

x

y x = a

O 2

1 (a< 0)

−a²+ 1 (0≦a≦2)

−4a+ 5 (2 <a)

(8)

４２次関数の定義域と最大・最小（定義域に変数を含む）

名前 ( ）

解

a は定数とする。関数

y = x²−2ax + 2a + 1

[1^]

y = (x −a)²−a²+ 2a + 1

y = x²−2ax + 2a+ 1

a < 0

x = 0

0 ≦ a ≦ 2

x = a −a²+ 2a+ 1

2 < a

x = 2 −2a + 5

x x = a y

O 2 _O ₂ x

x = a y

x

y x = a

O 2

1 (a< 0)

−a²+ 2a+ 1 (0≦a≦2)

−2a+ 5 (2 <a)

( 0 ≦ x ≦ 2 )

解

a は定数とする。関数の最小値を求めなさい。

y = −x²+ 2ax + 1 ( 0 ≦ x ≦ 1 )

[1^]

y = − (x − a)²+ a²+ 1

のとき，グラフは下の図［1^{］の実線部分} よって，で最小値 2a ^をとる。

y = − x²+ 2ax + 1 a < 0

x = 1

0 ≦ a ≦ 1

x = a a²+ 1

[3^] のとき，グラフは下の図［3^{］の実線部分} よって，で最小値 1^をとる。

2 < a

x = 0

x x = ay

O 1 _O ₁ x

x = a y

x y x = a

O 2

2a (a< 0) a²+ 1 (0≦a ≦1) 1 (1 <a)

(9)

名前 ( ）

５

二次関数の文章問題

例題

解

14 cm のひもで面積が最大になるように長方形をつくる

とき，その面積の最大値を求めなさい。

最大・最小の応用

（Step１）文章から( )をつくる

（Step２）（Step１）でつくった方程式を

（）とみる。

（Step３）値の範囲に注意しながら，

（）をかいて求める。

二次方程式

二次関数 ^{縦の長さを} x cm^{とおくと，}

横の長さは 7 −x cm なので，

面積は，x(7− x) = − x²+ 7x ただし，辺の長さなので，

x > 0, 7− x > 0 ^{これより，}0 < x < 7

cm

7−x

cm

x

ここで，面積を S とすると，

S = −x²+ 7x

= −(x²−7x)

= −(x − 7 2)

2+ 494 グラフ

x y

7 2 49

4

よって，最大値は 49 4

(10)

練習問題１

５最大・最小の応用

名前 ( ）

解

AB＝3cm^，AD＝4cm^長方形ABCD^の辺AB^，BC^，DA^上にそれぞれ点 P^，Q^，R^をとり，AP＝2x^，CQ＝x^，DR＝3x とする。x がいろいろな値をとって変化するとき，△PQR^の面積の最小値とそのときの x の値を求めなさい。

A

B C

R D

P

Q

4 −3x

3x 2x

3−2x

4− x ^x

3

点 P^，Q^，R^{はそれぞれ辺}AB^，BC^，DA^{上にあるので，}

0 ≦ 2x ≦ 3, 0 ≦ x ≦ 4, 0 ≦ 3x ≦ 4

よって，

0 ≦ x ≦ 4 3

△PQR ^の面積をS^{とおくと，}

S^{＝（長方形}ABCD^）−（△APR^）−（△BQP^{）−（台形}CDRQ^）

= 3⋅ 4− 1

2 ⋅ 2x(4− 3x) − 1

2 ⋅(3−2x)(4−x) − 1

2 ⋅ (x + 3x) ⋅3

= 12− 1

2(8x − 6x²+ 12−11x + 2x²+ 12x)

= 12 + 2x²− 9

2 x −6

= 2x²− 9

2 x + 6

= 2(x − 9 8)

2+ 11132 x

S

O 4

3 9 8 1116

32

よって，

x = 98 ^で最小値 111 32

(11)

練習問題１

５最大・最小の応用

名前 ( ）

解

１辺の長さ 4^の正方形ABCD ^{がある。辺}AB^，BC^，CD^上にそれぞれ点 P^，Q^，R^をとり，AP＝BQ＝CR＝ x ^とする。

x がいろいろな値をとって変化するとき，△PQR^{の面積の最} 大値と最小値とそのときの x の値を求めなさい。

A

B C

D

R P

Q

4 x

4− x

4 −x

0 ≦ x ≦ 4 x

x 4− x

S^{＝（長方形}ABCD^{）−（台形}APRD^）−（△BQP^）−（△CRQ^）

= 4⋅ 4− 1

2 ⋅ 4(x + 4−x)− 1

2 ⋅x(4−x)− 1

2 ⋅(4−x)x

= x²−4x + 8

= (x −2)²+ 4

よって，

x = 2 ^で最小値 4

x S

O 2 4

8 4

(12)

確認テスト

(2) (1)

１

２関数の定義域として，次の範囲をとるとき，最大値と最小値を求めなさい。

３

Tー１

(1)

(2)

確認テスト

名前 ( ）

最大値：

最小値：なし 27

4 最大値：なし

最小値：−３ y = 2x²+ 4x − 1

y = −3x²+ 9x

= 2(x + 1)− 3

= − 3(x − 3 2)

2+ 274

y = −x²+ 4x + 5

−2 ≦ x ≦ 1

y = − (x −2)²+ 9

x = 1 8

x = − 2 −7

関数 y = 2x²+ 4x + c ( −2 ≦ x ≦ 1 ) ^の最大値7^であるとき，定数 c^{の値を定めなさい。}

y = 2(x²+ 2) +c y = 2x²+ 4x +c

y = 2⋅ 1²+ 4⋅1 +c

= 6 + c

6 +c = 7 c = 1

より，

−2 ≦ x ≦ 1 ^なので，

x = 1

c = 1

(13)

確認テスト

４

Tー１確認テスト

名前 ( ）

a は定数とする。関数の最小値を求めなさい。

y = x²−2ax + 1 ( 0 ≦ x ≦ 2 )

[1^]

y = (x − a)²− a²+ 1

のとき，グラフは左の図［1^{］の実線部分} よって，で最小値 1 ^をとる。

y = x²− 2ax + 1

a < 0

x = 0

0 ≦ a ≦ 2

x = a −a²+ 1

2 < a

x = 2 −4a+ 5

x x = a y

O 2 _O ₂ x

x = a y

x

y x = a

O 2

[1^] ^[2^] ^[3^]

(14)

確認テスト

５

Tー１確認テスト

名前 ( ）

14 cm のひもで面積が最大になるように長方形を

つくるとき，その面積の最大値を求めなさい。

縦の長さを x cm^{とおくと，}

横の長さは 7− x cm なので，

面積は，x(7− x) = −x²+ 7x ただし，辺の長さなので，

x > 0, 7−x > 0 ^{これより，}0 < x < 7

cm

7−x

cm

x

ここで，面積を S とすると，

S = −x²+ 7x

= − (x²− 7x)

= − (x − 7 2)

2+ 494

x y

7 2 49

4

49 4

(15)

確認テスト

(2) (1)

１

３

Tー２

(1)

(2)

確認テスト

名前 ( ）

最大値：２最小値：なし

最大値：なし最小値：−４ y = 3x²−6x −1

y = −x²−2x + 1

= 3(x − 1)²− 4

= − (x + 1)²+ 2

−6 < x ≦ −1

のとき，最大値 y = x²+ 8x + 5

y = (x + 4)²− 11

x = −1 −2

x = −4 −11

y = x²+ 8x + 5

関数 y = 4x²+ 8x +c ( −3 ≦ x ≦ 0 ) ^の最大値4^であるとき，定数 c^{の値を定めなさい。}

y = 2(x²+ 2) −4 +c y = 4x²+ 8x + c

y = 2⋅ 0²+ 4⋅ 0 +c

= c

c = 4

−3 ≦ x ≦ 0 ^なので，

x = 0

c = 4

(16)

確認テスト

４

Tー２確認テスト

名前 ( ）

[1^] ^[2^] ^[3^] a は定数とする。関数

y = − x²+ 2ax + 1 ( 0 ≦ x ≦ 1 )

[1^]

y = −(x −a)²+a²+ 1

のとき，グラフは下の図［1^{］の実線部分} よって，で最小値 2a ^をとる。

y = −x²+ 2ax + 1

a < 0

x = 1

0 ≦ a ≦ 1

x = a a²+ 1

[3^] のとき，グラフは下の図［3^{］の実線部分} よって，で最小値 1^をとる。

2 < a

x = 0

x x = ay

O 1 _O ₁ x

x = a y

x y x = a

O 2

(17)

確認テスト

５

Tー２確認テスト

名前 ( ）

AB＝3cm^，AD＝4cm^長方形ABCD^の辺AB^，BC^，DA^上にそれぞれ点 P^，Q^，R^をとり，AP＝2x^，CQ＝x^，DR＝3x とする。x がいろいろな値をとって変化するとき，△PQR^の面積の最小値とそのときの x の値を求めなさい。

A

B C

R D

P

Q

4 −3x

3x 2x

3−2x

4− x ^x

3

0 ≦ 2x ≦ 3, 0 ≦ x ≦ 4, 0 ≦ 3x ≦ 4

よって，

0 ≦ x ≦ 4 3

S^{＝（長方形}ABCD^）−（△APR^）−（△BQP^{）−（台形}CDRQ^）

= 3⋅4− 1

2 ⋅2x(4−3x) − 1

2 ⋅ (3− 2x)(4− x)− 1

2 ⋅(x + 3x) ⋅3

= 12− 1

2(8x −6x²+ 12− 11x + 2x²+ 12x)

= 12 + 2x²− 9

2 x −6

= 2x²− 9

2x + 6

= 2(x − 9 8)

2+ 11132 x

S

O 4

3 9 8 1116

32

よって，

x = 98 ^で最小値 111

32 111

32

(18)

確認テスト

(2) (1)

１

３

Tー３

(1)

(2)

確認テスト

名前 ( ）

最大値：

最小値：なし 11

2

最大値：なし最小値：−5

2 y = −2x²+ 6x + 1

= −2(x − 3 2)

2+ 11 2 y = x²+x −2

= (x + 12)

2− 5 2

−1 ≦ x ≦ 2

のとき，最大値 y = −2x²+ 12x− 3

y = −2(x −3)²+ 15

x = 2 13

x = − 1 −17

y = −2x²+ 12x −3

関数 y = −x²+ 2x + c ( 0 ≦ x ≦ 3 ) ^の最小値− 5^であるとき，定数 c^{の値を定めなさい。}

y = − (x²− 1) + 1 +c y = − x²+ 2x +c

y = −3²+ 2⋅ 3 +c

= −3 +c

−3 +c = −5 c = − 2

より，

0 ≦ x ≦ 3 ^なので，

のとき，最小値をとるので，

x = 3

ここで，最小値が − 5^なので，

c = − 2

(19)

確認テスト

４

Tー３確認テスト

名前 ( ）

[1^] ^[2^] ^[3^] a は定数とする。関数

y = x²− 2ax + 2a + 1

[1^]

y = (x− a)²−a²+ 2a + 1

y = x²−2ax + 2a + 1

a < 0

x = 0

0 ≦ a ≦ 2

x = a −a²+ 2a + 1

2 < a

x = 2 −2a + 5

x x = a y

O 2 _O ₂ x

x = a y

x

y x = a

O 2

( 0 ≦ x ≦ 2 )

(20)

確認テスト

５

Tー３確認テスト

名前 ( ）

１辺の長さ 4^の正方形ABCD ^{がある。辺}AB^，BC^，CD^上にそれぞれ点 P^，Q^，R^をとり，AP＝BQ＝CR＝ x ^とする。

x がいろいろな値をとって変化するとき，△PQR^{の面積の最} 大値と最小値とそのときの x の値を求めなさい。

A

B C

D

R P

Q

4 x

4− x

4 −x

0 ≦ x ≦ 4 x

x 4− x

S^{＝（長方形}ABCD^{）−（台形}APRD^）−（△BQP^）−（△CRQ^）

= 4⋅ 4− 1

2 ⋅ 4(x + 4−x)− 1

2 ⋅x(4−x) − 1

2 ⋅(4−x)x

= x²− 4x + 8

= (x −2)²+ 4

よって，

x = 2 ^で最小値 4

x S

O 2 4

8 4

4

最大値・最小値の求め方

１