Artin-Whaples 理論

Artin-Whaples 理論

@alg d 2013 年 9 月 7 日

複素関数 f が z0 ∈ C ^の近傍でf(z) =

∑∞ n=n₀

an(z −z0)ⁿ (an₀ ̸= 0) と書けるとき，

f はz = z₀ で有理型であるという．またこの時の n₀ をf のz = z₀ での位数といい，

ordz₀(f)で表す．n0 > 0のときf はz =z0 でn0 位の零点を持つといい，n0 < 0のと きf はz =z0で|n0|^{位の極を持つという．}

また f(1/w) をw の関数と見てw = 0で有理型であるとき，f(z)はz = ∞^で有理 型であるという．位数ord_∞(f) をf(1/w) のw = 0 での位数，即ちz = 1/w として f(z) =f(1/w) =

∑∞ n=n₀

anwⁿ (an₀ = 0)̸ と書けるときord_∞(f) :=n0 と定める．

f がRiemann球面C:=C∪ {∞}上の任意の点で有理型のとき，f をC^{上の有理型関} 数という．

命題. C上の有理型関数は有理関数(「多項式/多項式」と書ける関数)である．即ちC の有理型関数体はC(x)である．

定理. f をRiemann球面C =C∪ {∞}上の有理型関数とすればf の零点・極は有限個 で，位数の和は0である．即ち∑

z∈C

ordz(f) = 0．

定理. X をコンパクトRiemann面，f をX 上の有理型関数とすればf の零点・極は有 限個で位数の和は0である．即ち ∑

z∈X

ord_z(f) = 0．

この「位数の和が0」を一般化して整数論で使おう，というのが今回の話の内容である．

例えば，この一般化により代数体の特徴付けが得られるのである．一般化を行うため，ま ず「位数」という概念の言い換えを行う．

定義. K を体とする．以下を満たす写像| · |: K −→R^を絶対値(もしくは付値)という．

(1) x∈K について|x| ≥0であり，|x|= 0⇐⇒x = 0 (2) |xy|=|x||y|

(3) (三角不等式) |x+y| ≤ |x|+|y| 例. α ∈K に対して

|α|=

{ 0 (α = 0) 1 (α ̸= 0)

と定めればこれは明らかにK の絶対値を定める．これを自明な絶対値という．

定義. 体K の絶対値| · |0,| · |1 に対して二項関係∼^を

| · |0 ∼ | · |1 ⇐⇒ | · |0と| · |1がK に同一の位相を定める と定める．∼^{は同値関係である．}

命題. 体K の自明でない絶対値| · |0,| · |1 に対して以下は同値．

(1) | · |0 ∼ | · |1．

(2) 任意のα∈K に対して「|α|0 <1 =⇒ |α|1 <1」となる．

(3) ある実数s > 0が存在して，任意のα∈K に対して|α|0 =|α|^s1 となる．

定義. | · |0,| · |1 を絶対値として| · |0 ∼ | · |1 とすればある実数s > 0が存在して| · |0 =

| · |^s1となるが，絶対値| · |^に対して| · |^sが常に絶対値になるとは限らない．

例: Qの通常の絶対値| · |に対して|1 + 1|² = 4>2 =|1|²+|1|²．

そこで以下，ある絶対値| · |0 とs >0によって| · |=| · |^s0と書ける写像| · |^{も絶対値と} 呼ぶことにする．

定 義. 絶 対 値 | · | が 強 三 角 不 等 式 |x + y| ≤ max{|x|,|y|} を 満 た す と き ，| · | ^{は 非} Archimedes的であるという．そうでないとき，Archimedes的であるという．

命題 1. 絶対値| · |^が非Archimedes的⇐⇒ {|n| |n∈N} ⊂R^が有界 特に，Archimedes的絶対値を持つ体は標数0である．

定義. K の絶対値| · |^がdiscrete ⇐⇒(|K^×|, ·)∼= (Z,+)．

例. C^{上の有理関数体}C(x)を考える．実数c0 >1を一つ固定する．

f ∈C(x)のp∈C^{における位数を}ordp(f)とする．即ち f(x) =a∏

p∈C

(x−p)^np (a∈C^×, n_p ∈Z^{は有限個の}p∈C^を除いて0)

と一意に書いたときord_p(f) :=n_p である．このとき，|f|p := 1 c^ord₀ ^p(f)

と置けば| · |p は C(x)の絶対値である．

また，∞^{における位数を}ord_∞(f)とする．即ち f(x) = g(x)

h(x), g, h∈C[x], (g, h) = 1

と書いたときord_∞(f) := deg(h)−deg(g)である．このとき，|f|∞ := 1

c^ord₀ ^{∞(f) と置け} ば| · |∞はC(x)の絶対値である．

これらの絶対値は非Archimedes的で，discreteである．

命題. {φ|φはC(x)の非自明絶対値，C^上自明}/∼^{の完全代表系は}{| · |p |p∈C}^． 定理. 任意のα∈C(x)^× に対して，有限個のp∈C^を除いて|α|p = 1．

定理 (積公式). 任意のα ∈C(x)^× に対して ∏

p∈C

|α|p = 1

証明. |α|p = 1 c^ord₀ ^p(α)

だから ∏

p∈C

|α|p =∏ 1 c^ord₀ ^p(α)

= 1

c

∑ordp(α) 0

= 1

c⁰₀ = 1． 定義. 体K がPF体 (PF=Product Formula)

⇐⇒^体K の非自明絶対値のある集合M が存在して，以下を満たす．

(1) φ, ψ ∈M でφ̸=ψならばφ̸∼ψ

(2) α∈K^×に対して，有限個のφ∈M を除いてφ(α) = 1 (3) α∈K^×に対して ∏

φ∈M

φ(α) = 1

このM をK のPF集合と呼ぶことにする．

| · |^をArchimedes的とすれば|2|>1である．故にPF集合M はArchimedes的絶対 値を有限個しか含まない．

例. 有理関数体C(x)はPF体である．M ={| · |p |p∈C}と取れる．同様にして，コン パクトRiemann面上の有理型関数体もPF体である．

C(x)と同様なことが有理数体Q^{でも考えられる．}α ∈Q^{× は} α =a ∏

p:素数

p^np (a =±1, np ∈Z^{は有限個の}pを除いて0)

と一意に書ける．これを用いて，素数pに対してordp(α) :=npと書いて，Q^{の絶対値を}

|α|p := 1

p^{ordp(α) で定める．これを}p進絶対値という．また通常の絶対値を| · |∞ で表す．

X :={p∈N^：素数} ∪ {∞}^と置く．

命題. {φ|φはQ^{の非自明絶対値}}/∼^{の完全代表系は}{| · |p |p∈X}^． 定理. 任意のα∈Q^{× に対して，有限個の}p∈Xを除いて|α|p = 1． 定理 (積公式). 任意のα ∈Q^{×に対して} ∏

p∈X

|α|p = 1．

証明. α = ±p^e₁¹· · ·p^eg^g と書けば ∏

p∈X

|α|p = |α|∞|α|p1· · · |α|pg = |α| 1

p^e₁¹ · · · 1 p^eg^g

= 1．

系. 有理数体Q^はPF体である．M ={| · |p |p∈X}^{とすればよい．}

例. 一般に体kに対してk(x)はPF体である．それを示すため，Aをk(x)の非自明な絶 対値でk上自明なもの全体，とする．| · | ∈Aを取る．命題1により| · |^は非Archimedes 的である．

(1) |x| ≤1のとき

任意のf = anxⁿ +· · ·+a0 ∈ k[x]に対して |f| ≤ max{|anxⁿ|,· · · ,|a0|} ≤ 1である．

| · |^{は非自明だから，}p ∈ k[x]で|p| < 1となるものが存在する．そのような p のうち

degpが最小となるものを取る．pは既約多項式である．f ∈k[x]が|f|< 1を満たすな らば，あるg∈k[x]が存在してf =pgと書ける．

...

) |f| < 1として，f をpで割りf =pg+r (g, r ∈ k[x], degr <degp)と書く．

このとき|r|=|f−pg| ≤max{|f|,|pg|}<1だから，degpの最小性によりr= 0で ある．

任意のf ∈k(x)は f =p^n(p,f)g

h (g, h∈k[x], (g, h) = 1, (g, p) = 1, (h, p) = 1)

と一意に書ける．(g, p) = 1, (h, p) = 1より|g| = |h| = 1である．故に|f| = |p|^n(p,f) となる．

逆に，p∈k[x]を既約多項式，c >1を実数として|f|p := 1

c^{n(p,f) と定めれば}| · |p ∈A である．

(2) |x|>1のとき

y:=x⁻¹とすれば|y|<1だから(1)の議論が使える．この場合p=yと取れる．従って f = g

h, (g, h) = 1とすれば|f|=|y|^{degh−degg である．}

さて，実数 c0 > 1を一つとる．既約多項式 p ∈ k[x]に対して |f|p := 1 c^n(p,f)₀

，また

|f|∞ := 1

c^deg₀ ^{h−degg として}M := {| · |p |p ∈ k[x]は既約} ∪ {| · |∞}^{と定める．このと} きk(x)はM をPF集合とするPF体である．

命題. PF体K の有限次拡大L/K もPF体である．

証明. 簡単のためL/K をGalois拡大としてG := Gal(L/K)とおく．K のPF集合を M とする．φ∈M に対してN_φ :={Φ| ΦはLの絶対値，Φ|K =φ}^とする．Φ₀ ∈N_φ を一つ取れば，写像 a: G −→ Nφ がa(σ) := Φ0◦σ により定まる．Φ ∈ Nφ に対して n(Φ) := |a⁻¹(Φ)| ^と置き，N := ∪

φ∈M{Φ^n(Φ) | Φ ∈ Nφ} ^{と定める．}α ∈ Lに対して N_L/Kα :=∏

σ∈Gα^σ とすればN_L/Kα ∈K であり φ(N_L/Kα) = Φ0(N_L/Kα) = Φ0

( ∏

σ∈G

α^σ )

= ∏

σ∈G

Φ0(α^σ) = ∏

Φ∈Nφ

Φ(α)^n(Φ)

となる．故に

∏

Φ^n(Φ)∈N

Φ(α)^n(Φ) = ∏

φ∈M

∏

Φ∈Nφ

Φ(α)^n(Φ) = ∏

φ∈M

φ(N_L/Kα) = 1

であり，LはN をPF集合とするPF体である．

系. 代数体(Q^{の有限次拡大})と体k上の一変数代数関数体(k(x)の有限次拡大)はPF体 である．

K の非Archimeded的絶対値φに対してOφ := {α ∈ K | φ(α) ≤ 1}, pφ := {α ∈ K | φ(α) < 1} ^{と定める．}Oφ ⊂ K は部分環，p_φ ⊂ Oφ は極大イデアルである．

κφ :=Oφ/pφ をφの剰余体という．

K がPF体で，PF集合M がArchimedes的絶対値を含まないとする．

k₀ := ∩

φ∈M

Oφ

はK の真の部分体である．

...

) 明らかに環である．α ∈k₀\ {0}^{とすれば各}φ∈M に対してφ(α)≤1であり，

積公式 ∏

φ∈M

φ(α) = 1によりφ(α) = 1でなければならない．故にφ(α⁻¹) = 1とな りα⁻¹ ∈k0 である．

k₀はK の中で代数的に閉じている．またk₀ ⊂κ_φ とみなせる．

PF体の絶対値φ∈M について，以下の条件を考える．

(R1) φはArchimedes的である．

(R₂)φはdiscreteで，

{ κφは有限体 (M がArchimedes的絶対値を含むとき) [κφ :k0]<∞ (M がArchimedes的絶対値を含まないとき) (R) R1 またはR2

例えば R₁ を満たす絶対値のことをR₁ 絶対値と呼ぶことにする．K をPF体で，PF 集合M がR絶対値を含むとする．部分体Q⊂K，部分環Z ⊂Qを次のように定める．

(1) M がR1絶対値を含むとき

命題1によりK の標数は0である．故にQ:=Q, Z :=Z^{とできる．また}| · |∞ でQの 通常の絶対値を表す．

(2) そうでないとき

x ∈K \k₀ を一つ取りQ := k₀(x), Z := k₀[x]とする．(xはk₀ 上超越的であることに 注意する．) また| · |∞ でx⁻¹ に対応するQの絶対値を表す．

定理. K がPF体でM はR絶対値を含むとする．

(1) K/Qは有限次拡大である．

(2) 全ての| · | ∈M はR絶対値である．

定理. 体K について

K が代数体⇐⇒K がPF体で，M がR1絶対値を含む．

定理. 体K について

K が一変数代数関数体 ⇐⇒ K がPF 体で，M が R₁ 絶対値を含まずR₂ 絶対値を含 む．

※R絶対値を含まないPF体は存在する．

k を体，n > 1 として有理関数体 K := k(x1,· · · , xn) を考える．既約多項式 p ∈ k[x₁,· · · , x_n]から絶対値| · |p が定まり，多項式の次数から絶対値| · |∞ が定ま

る．これら全体をM とすればK はPF体でM はR絶対値を含まない．

Qでは素因数分解ができる．| · |p の定義から，α ∈ Qの素因数分解をすることは全て の有限素数pについて|α|p を求めることと同じである．この考えを使えば，一般の代数 体について《素因数分解》を考えることができる．(これは，素イデアル分解を考えるこ とと本質的に同じである．)

例. Q(√

−5) を考える．この代数体では《素因数分解》ができない事がよく知られてい る．6 = 2·3 = (1 +√

−5)(1−√

−5) φをQ(√

−5)の絶対値で，φ|Q =| · |p (p̸=∞)とする．

p̸= 2,3とすればφ(6) = 1である．故にφ(2) =φ(3) =φ(1 +√

−5) =φ(1−√

−5) = 1となる．

p= 2のとき φ(x+y√

−5) =√

|x²+ 5y²|₂ =

√ 1

2^ord2(x2+5y2) = 1

√2^ord2(x

2+5y²)

となることが知られている．このφも同じ| · |2 で表す．

p= 3のとき．√

−5 = 1 + 2·3 + 0·3²+ 2·3³+· · · ∈Q3であることが知られている．

これにより|x+y√

−5|3 が計算できる．φは以下の絶対値| · |3,1 か| · |3,2 のどちらかと なることが知られている．

|x+y√

−5|3,1 :=|x+y√

−5|3

|x+y√

−5|3,2 :=|x−y√

−5|3

よって

|2|2 = 1

2¹ = 1

√2²

, |2|3,1 =|2|3,2 = 1 3⁰

|3|2 = 1

2⁰ = 1

√2⁰

, |3|3,1 =|2|3,2 = 1 3¹

|1 +√

−5|2 = 1

√2^ord2(1+5)

= 1

√2¹

|1 +√

−5|3,1 =|2 + 2·3 +· · ·|3 = 1 3⁰

|1 +√

−5|3,2 =|1−√

−5|3 =|−1 +√

−5|3 =|2·3 +· · ·|3 = 1 3¹

|1−√

−5|2 = 1

√2^ord2(1+5)

= 1

√2¹

|1−√

−5|3,1 =|1−√

−5|3 = 1 3¹

|1−√

−5|3,2 =|1 +√

−5|3 = 1 3⁰ だから2 = p²₂, 3 =p3,1p3,2, 1 +√

−5 = p2p3,2, 1−√

−5 = p2p3,1, 6 = p²₂p3,1p3,2 と

《素因数分解》すると考えられる．

※Q(√

−5)をPF体にするためには，これらの絶対値を適当に冪乗する必要がある．

ところで，α ∈ Q(√

−5)^× に対して素因数分解(|α|2,|α|3,1,|α|3,2,· · ·)∈ ⊕

R>0 を対 応させる群準同型写像は単射ではない．そこでこの核を調べることが重要な問題となる．

一般に，次のように定義する．

定義. K をPF体とし，そのPF集合M はR 絶対値を含むとする．空でない有限集合 S ⊂M は全てのR1絶対値を含むとする．このとき

ε∈K がS 単数⇐⇒^任意の| · | ∈M \S に対して|ε|= 1． S 単数全体は乗法により群をなす．これをES と書く．

例. K = C(x) のとき．M は R1 絶対値を持たないから S = ∅ ^とすれば E_∅ = C (Liouvilleの定理)

即ち，S 単数とは関数体における定数のようなものとも思える．

定義. Λ⊂R^sがm次元の格子

⇐⇒^{一次独立な}v1,· · · , vm∈R^{sが存在して}Λ =Zv1+· · ·+Zvmと書ける．

例. Z[i]⊂C∼=R^{2は格子である．}

例. Z[√

2]⊂R^{は格子でない．}

| · | ∈S に対してES ∋ε−→ |ε| ∈R>0 は群準同型だからS ={| · |1,· · · ,| · |s}^として ES ∋ ε−→ (|ε|1,· · · ,|ε|s) ∈R^s>0 は群準同型である．準同型log : R>0 −→R^とあわせ て準同型L: E_S ∋ ε −→ (log|ε|1,· · · ,log|ε|s) ∈ R^{s を得る．}E_S の定義と積公式により log|ε|1+· · ·+ log|ε|s= 0である．即ちImL⊂ {(x1,· · ·, xs)∈R^s |x1+· · ·+xs = 0}^．

WS := kerLと書く．WS =k0 またはWS ={α ∈K |α^N = 1} (N ∈N)である．

命題. ImL⊂R^sは高々s−1次元の格子である．よってES ∼=WS×Z^m(0≤m≤s−1) と書ける．

(R₂₊) φは非Archimedes的で，κ_φ は有限体 (R+) R1 またはR2+

とする．勿論R2+ 絶対値はR2絶対値である．

定理. K をPF体で M はR+ 絶対値を含むとする．このときImLはs−1次元の格子 をなす．即ちE_S ∼=W_S ×Z^s−1

証明. ε1, . . . , εs ∈ES を「i ̸=j に対して|εi|j >1」となるように取れることが分かる．

このとき積公式より|ε_i|i < 1となる．L(ε₁), . . . , L(ε_s−1)がR上一次独立であることを 示せばよい．その為にはL(εi) = (ai1, . . . , ais) としてdet(aij)1≤i,j≤s−1 ̸= 0を示せば よい．

det(a_ij) = 0と仮定する．t:=s−1と書く．少なくとも一つは0でないx₁,· · · , x_t ∈R

が存在して 



a₁₁ · · · a_1t ... . .. ... a_t1 · · · a_tt







 x₁

... x_t



= 0

とできる．また

a_ij = log|ε_i|j

{ >0 (i̸=j のとき)

<0 (i=j のとき) である．

|xi|= max{|x1|, . . . ,|xt|}^なるiを取ると 0 =|ai1x1+· · ·+aitxt|

≥ |aiixi| − |ai1x1+· · ·+aii−1xi−1+aii+1xi+1+· · ·+aitxt|

≥ −aii|xi| −(|ai1x1|+· · ·+|aii−1xi−1|+|aii+1xi+1|+· · ·+|aitxt|)

≥ −aii|xi| −(ai1|xi|+· · ·+aii−1|xi|+aii+1|xi|+· · ·+ait|xi|)

=−|xi|(ai1+· · ·+ait)

=−|x_i|(log|ε_i|1+· · ·+ log|ε_i|s−1)

=|x_i|log|ε_i|s >0

となり矛盾する．

K を代数体とする．K はPF体で，M は有限個のR1 絶対値を含む．S ⊂M をR1 絶 対値全体とするとき，E_K :=E_S をK の単数群という．W_K :=W_S と置く．

系 (Dirichletの単数定理). K を代数体とすればE_K ∼=W_K ×Z^s−1． 例. K =Q^のときはE_Q ={±1}, W_K ={±1}, s−1 = 0．

例. K = Q(√

2) のときは W_K = {±1}, s−1 = 1．故に E_K ∼= (Z/2Z)×Z^．実際 E_K ={±(1 +√

2)ⁿ |n∈Z}^{と書ける．}

参考文献

[1] 彌永 昌吉編，『数論』，岩波書店, 1969年，附録1

[2] E. Artin and G. Whaples, Axiomatic Characterization of Fields by the Product Formula for Valuations, Bull. Amer. Math. Soc. 51(1945), 469–492, http://www.

ams.org/journals/bull/1945-51-07/S0002-9904-1945-08383-9/